Basiswiskunde Week 3_ Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Transcriptie

1 Basiswiskunde Week 3_2 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

2 2 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Middelwaardestelling 1 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value Theorem) Beschouw een functie f op een gesloten bd met de eigenschappen dat de functie f continu is op het bd en differentieerbaar is op het interval Ha, bl. f HbL-f HaL Dan bestaat er c in Ha, bl met = f HcL. b-a f HbL f HaL f HxL a x 1 x 2 b Hier staat een grafische toelichting voor een gekozen f. De grafiek van f is zonder sprongen en in ieder punt van Ha, bl heeft de grafiek een raaklijn. De lijn door de punten Ha, f HaLL en Hb, f HbLL heeft rc f HbL-f HaL b-a. Door parallel te verschuiven vindt u punten op de grafiek met raaklijn parallel aan. In dit plaatje zijn er twee punten. Zodoende is c = x 1 of c = x 2.

3 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Middelwaardestelling 2 De stelling zegt niet hoeveel getallen c er zijn met De stelling zegt niets over de plaats van c. f HbL-f HaL b-a = f HcL. De stelling wordt op twee manieren gebruikt: f HbL-f HaL b-a = f HcL of f HbL - f HaL = f HcLHb - al. Gevolg 1: Beschouw een functie f en een interval I zodanig dat f HxL = 0 voor alle x in I. Dan bestaat er een constante d zodanig dat f HxL = d voor alle x in I. Gevolg 2: Beschouw een functie f en een interval I zodanig dat f HxL > 0 voor alle x in I. Dan is de functie f monotoon stijgend op I.

4 4 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Voorbeeld 1 Laat zien dat sinhx + 1L - sinhxl 1 voor alle x in R. Laat f HxL = sinhxl, b = x + 1 en a = x. Dan is f HxL = coshxl Er geldt dat sinhx + 1L - sinhxl = coshclhx xl = coshcl voor zekere c tussen x en x + 1. Dus sinhx + 1L - sinhxl = coshcl 1.

5 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Voorbeeld 2 Laat zien dat x x+1 < x HlnHx + 1L - lnhxll < 1 voor alle x > 0. Op het verschil lnhx + 1L - lnhxl kan de middelwaardestelling worden toegepast. Laat f HxL = lnhxl, a = x en b = x + 1. Nu is f HxL = 1 x Dus lnhx + 1L - lnhxl = 1 c Hx xl = 1 c voor zekere c met x < c < x + 1. Gevolg xh lnhx + 1L - lnhxll= x c 1 Omdat x > 0 geldt dat < 1 < 1 en ook x < x < 1 x+1 c x x+1 c x Conclusie: < xh lnhx + 1L - lnhxll< 1. x+1

6 6 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Voorbeeld 3 Laat zien dat sin2 HbL-sin 2 HaL 1 voor alle a en b in R, a b. b-a Laat f HxL = sin 2 HxL. Dan is f HxL = 2 sinhxl coshxl. Dus sin2 HbL-sin 2 HaL b-a = 2 sinhcl coshcl met c tussen a en b. Gevolg sin2 HbL-sin 2 HaL = 2 sinhcl coshcl. b-a Er moet worden aangetoond dat 2 sinhcl coshcl 1. Merk op dat 2 sinhcl coshcl = sinh2 cl. Dus sin2 HbL-sin 2 HaL = sinh2 cl 1. b-a

7 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Voorbeeld 4 Laat zien dat tanhxl > x voor alle x in J0, p 2 N. Op een verschil van de functiewaarden kan de middelwaardestelling worden toegepast. Nu is tanhxl = tanhxl - tanh0l. Dus f HxL = tanhxl. Nu is f HxL = Gevolg tanhxl = 1 cos 2 HcL Hx - 0L = x cos 2 HcL. Omdat 0 < x < p 2, is 0 < cos2 HcL < 1, Conclusie: tanhxl = 1 cos 2 HcL x > x. 1 cos 2 HcL > 1 en x cos 2 HcL > x. 1 cos 2 HxL.

8 8 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Generalisatie * Deze slide valt buiten stof. Stelling 16 Generalisatie van middelwaardestelling Beschouw de functies f en g en een bd met de volgende eigenschappen: f en g zijn continu bd, f en g zijn differentieerbaar op Ha, bl, ghxl 0 voor alle x met a x b, Dan bestaat er c in Ha, bl met f HbL-f HaL = f HcL ghbl-ghal g. HcL Waarom heet deze stelling een generalisatie?

9 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Inleiding impliciet differentiëren De grafiek van de functie f HxL = 4 - x 2 is de helft van een cirkel. De punten van de grafiek van f voldoen aan de vgl x 2 + y 2 = 4. Omgekeerd zijn niet alle punten van de cirkel x 2 + y 2 = 4 punten van de grafiek van f. In de buurt van het punt I1, 3 M vallen cirkel en grafiek van f samen. Als we y als functie van x zien dan wordt door x 2 + y 2 = 4 en yh1l = 3 een functie vastgelegd, namelijk yhxl = 4 - x 2 = f HxL. Door f HxL = 4 - x 2 wordt de functie f expliciet gegeven. Door x 2 + y 2 = 4 en yh1l = 3 wordt de functie y impliciet gegeven. Een vergelijking met x en y is meestal niet oplosbaar, maar legt vaak een kromme in het vlak vast die locaal als de grafiek van een functie gezien kan worden. Als yhxl niet expliciet bepaald kan worden, dan kan men toch iets zeggen over y HxL.

10 10 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.9 Opdrachten (1) Differentieer de uitdrukking x sin 3 HxL + lnh2 + x sinhxll naar x. (2) Differentieer de uitdrukking xy 3 HxL + lnh2 + xyhxll naar x (1) Antwoord: sin 3 HxL + 3 x sin 2 HxL coshxl x sinhxl (2) Antwoord: y 3 HxL + 3 xy 2 HxL y HxL yHxL HyHxL + xy HxLL HsinHxL + x coshxll

11 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Voorbeeld impliciete differentiatie * Beschouw de functie y impliciet gegeven door x 2 + y y 2 = 5, H1L yh1l =-1, H2L (a) Druk y uit in x en y (b) Bepaal y H1L (c) Bepaal y H1L als dat kan. (a) Vgl (1) is eigenlijk x 2 + y 4 HxL + 3 y 2 HxL = 5. In Adams wordt het argument van y weggelaten. Aan beide kanten differentiëren geeft 2 x + 4 y 3 y + 6 yy = 0, vgl (3). Dus y = -2 x 4 y 3 +6 y. (b) Vul x = 1 in vgl H3L. Dan 2-4 y H1L - 6 y H1L = 0; Dus y H1L = 1 5 (c) Vgl (3) herschrijven geeft 2 x + I4 y ym y = 0. Differentiëren levert 2 + I12 y 2 y + 6 y M y + I4 y ym y = 0. Invullen geeft y H1L = 0. Dus y H1L =

12 12 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 4.9 Inleiding linearisatie Er bestaat geen formule om alle functiewaarden sinhxl uit te rekenen. Voor speciale hoeken kan dit wel: sinh0l = 0, sinj p N = 1, sinj p N = 1 2 etc Een rekenmachine geeft de waarde voor sinh0.1l. Dit is een benadering voor sinh0.1l. Vaak zijn (functie)waarden niet exact te bepalen, maar wel te benaderen. Beschouw een differentieerbare functie f met een punt a in het domein DHf L. Als van de functie f de functiewaarde f HaL en de afgeleide f HaL bekend zijn, dan kan de waarde van f HxL rond x = a benaderd worden. Als x dicht bij a ligt dan zal f HxL-f HaL x-a º f HaL ofwel f HxL º f HaL + f HaLHx - al.

13 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Linearisatie Beschouw een functie f die differentieerbaar is in het punt a in DHf L. f HxL f HaL Y f HxL p 1 HxL p 0 HxL a x X De raaklijn in Ha, f HaLL heeft vergelijking y = f HaL + f HaLHx - al. De raaklijn is de grafiek van de functie p 1 met p 1 HxL = f HaL + f HaLHx - al. De horizontale lijn door Ha, f HaLL is de grafiek van de functie p 0 met p 0 HxL = f HaL. De functie p 1 HxL = f HaL + f HaLHx - al heet de linearisatie van f rond a. Rond a zal p 1 HxL een betere benadering voor f HxL zijn dan p 0 HxL.\ De linearisatie wordt ook vaak met LHxL aangegeven. Een linerisatie past locaal bij een functie!

14 14 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 4.9 Voorbeeld 1 linearisatie Beschouw de functie f HxL = x. (1) Bepaal de linearisatie van f rond a = 1 en benader 1.1. (2) Bepaal de linearisatie van f rond a = 4 en benader 4.1. Er geldt f HxL = 1 2 x. (1) LHxL = f H1L + f H1LHx - 1L = Hx - 1L. Nu is 1.1 = f H1.1L º LH1.1L = μ 0.1 = (2) LHxL = f H4L + f H4LHx - 4L = Hx - 4L. Nu is 4.1 = f H4.1L º LH4.1L = μ 0.1 =

15 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Voorbeelden linearisatie Voorbeeld 1 Beschouw de functie f HxL = 1 met afgeleide f HxL =- 1. x x 2 Van deze functie is rond a = 10 de linearisatie LHxL = En 1 = f H10.2L º LH10.2L = 1-1 μ 0.2 = Hx - 10L. Voorbeeld 2 Beschouw de functie f HxL = sinhxl. Van deze functie is rond a = 0 de linearisatie LHxL = x. Nu is sinh0.1l = f H0.1L º LH0.1L = 0.1 We merken op dat sinh0.1l = , dus de benadering is niet slecht. Voorbeeld 3 Benadering van 37 met een linearisatie. Omdat 36 = 6, kiezen we f HxL = 36 + x. Dan 37 = f H1L. De linearisatie van f rond a = 0 is LHxL = x. 12 Dus 37 º LH1L = = 6.083

16 16 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 4.9 Fout bij linearisatie Stelling 11 Fout bij linearisatie Gegeven functie f, getal a in DHf L en getal x in DHf L zodanig dat f H2L continu is op interval met eindpunten a en x. Dan geldt dat f HxL = f HaL + f HaLHx - al + 1 f HsLHx - al 2 voor zekere s tussen a en x. 2 De stelling zegt dat er een s bestaat en niet hoeveel het er zijn en hoe u ze kunt vinden. De term 1 2 f HsLHx - al 2 wordt de fout van de linearisatie genoemd en met E 1 HxL aangegeven. Anders gezegd: f HxL = p 1 HxL + E 1 HxL Zeker als x dicht bij a ligt, zal de fout klein zijn ten opzichte van Hx - al. Het teken van E 1 HxL bepaalt of p 1 HxL onder of boven f HxL ligt.

17 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Benadering met interval 1 Geef benadering voor sinh0.1l met een geschikt interval er omheen. Beschouw f HxL = sinhxl en a = 0. Dan is LHxL = x. Nu is x = 0.1 en sinh0.1l = LH0.1L + E 1 H0.1L. Nu is E 1 H0.1L = 1 f HsLH0.1L 2 = sinhslh0.1l2 met 0 < s < 0.1. Merk op dat 0 < sinhsl < sinh0.1l < 0.1. Dus EH0.1L =-sinhsl ÿ is negatief. Er geldt dat -0.1 <-sinhsl < 0 ofwel < E 1 H0.1L < 0. Overal LH0.1L bij optellen levert < sinh0.1l < 0.1 De rekenmachine geeft sinh0.1l =

18 18 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 4.9 Benadering met interval 2 Geef benadering voor 1.04 met een geschikt interval er omheen. Beschouw f HxL = x en a = 1. Er geldt dat f H1L HxL = 1 en f H2L HxL = x 4 x x Nu is de linearisatie LHxL = f H1L + f H1LHx - 1L = ÿ Hx - 1L. 2 Omdat 1.04 = f H1.04L, 1.04 º LH1.04L = ÿ 0.04 = Er geldt f H1.04L = LH1.04L + E 1 H1.04L en E 1 H1.04L =- 1 8 c c H0.04L2 met 1 < c < Omdat 0 < 1 < 1, vinden we < E 1H1.04L < 0. c c Dus met optellen van LH1.04L vinden we < 1.04 < 1.02.

19 Basiswiskunde_Week_3_2.nb Slotopmerkingen linearisatie * é In LHxL de haakjes van Hx - al laten staan! é De linearisatie LHxL is een polynoom in x van de graad hoogstens 1. é Grafiek van linearisatie LHxL is rechte. é Beschouw een functie f HxL met linearisatie LHxL rond a. Aan het teken van de tweede afgeleide van f is te zien aan welke kant van de benadering LHxL de werkelijke waarde f HxL ligt.