Functies van één veranderlijke
|
|
|
- Michiel Sanders
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Functies van één veranderlijke Docent : Anton Stoorvogel A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
2 Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote of juiste kleine waarden: lim x!1 lim x! 1 2/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
3 Verticale asymtoten Punten waar de functie in de buurt naar oneindig gaat: lim f.x/ D 1 x#a lim f.x/ D 1 lim f.x/ D 1 x#a x"a lim f.x/ D 1 x"a 3/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
4 Vindt de horizontale en verticale asymtoten van: f.x/ D 2x 2 C 1 3x 5 4/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
5 lim x!1 2x lim 2 C 1 3x 5 q 2 C 1 x D 3 x x!1 5/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
6 We gebruiken omdat x > 0: 1 2x x 2 C 1 D 1 2x 2 C 1 D x 2 2x 2 C 1 x 2 D s 2x 2 C 1 x 2 6/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
7 lim x! 1 2x lim 2 C 1 3x 5 q 2 C 1 x D x x! /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
8 We gebruiken omdat x < 0: 1 2x x 2 C 1 D 1 2x 2 C 1 D x 2 2x 2 C 1 x 2 D s 2x 2 C 1 x 2 8/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
9 lim x#5=3 2x 2 C 1 3x 5 D 1 lim x"5=3 2x 2 C 1 3x 5 D 1 9/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
10 Vindt de horizontale en verticale asymtoten van: f.x/ D x 2 C 1 x 10/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
11 lim x 2 C 1 x!1 x lim x!1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x 11/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
12 lim x 2 C 1 x!1 x lim x!1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x lim x!1.x 2 C 1/ x 2 x 2 C 1 C x lim x!1 1 x 2 C 1 C x D 0 12/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
13 lim x 2 C 1 x! 1 x lim x! 1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x 13/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
14 lim x 2 C 1 x! 1 x lim x! 1. x 2 C 1 x/. x 2 C 1 C x/ x 2 C 1 C x lim x! 1.x 2 C 1/ x 2 x 2 C 1 C x lim x! 1 1 x 2 C 1 C x D 14/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
15 Continuïteit Een functie f is continu in a als lim f.x/ D f.a/ x!a Een functie f W A! B heet continu als de functie continu is voor elke a 2 A. 15/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
16 Voor een continue functie f geldt: lim.f ı g/.x/ D f lim g.x/ x!a x!a 1 x lim arcsin x!1 1 x 16/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
17 1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin lim x!1 1 x 1 x 17/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
18 arcsin 1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin lim x!1 lim x!1.1 1 x 1 x 1 x x/.1 C x/ 18/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
19 1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin arcsin lim x!1.1 arcsin lim x!1 lim x!1 1 x 1 x 1 x x/.1 C x/ 1 1 C x 19/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
20 1 x lim arcsin x!1 1 x arcsin arcsin lim x!1.1 arcsin arcsin lim x!1 lim x! x 1 x 1 x x/.1 C x/ 1 1 C x D 6 20/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
21 Tussenwaardestelling Gegeven is een functie f die continu is o het gesloten interval Œa; b. Zij N een getal tussen f.a/ en f.b/. Er bestaat een c 2.a; b/ zodanig dat f.c/ D N. Het geval N D 0 wordt de stelling van Weierstrass genoemd. 21/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
22 Toon aan dat de functie: een nulunt heeft tussen 1 en 2. 4x 3 6x 2 C 3x 2 D 0 22/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
23 Differentiatie Als een auto otrekt dan neemt de snelheid steeds toe. Kunnen we dit als volgt modelleren? v.t/ D 1 voor t 2 Œ0; 1/ v.t/ D 2 voor t 2 Œ1; 2/ v.t/ D 3 voor t 2 Œ2; 3/ v.t/ D 4 voor t 2 Œ3; 4/ Niet echt! 23/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
24 We kunnen het beter doen: v.t/ D 0:5 voor t 2 Œ0; 0:5/ v.t/ D 1:0 voor t 2 Œ0:5; 1/ v.t/ D 1:5 voor t 2 Œ1; 1:5/ v.t/ D 2 voor t 2 Œ1:5; 2/ Nog niet erfect! 24/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
25 De beste beschrijving volgt als we definiëren: v.t/ D t Wat is in dit geval het verband tussen snelheid en ositie: v.t/ D lim h!0 x.t C h/ h x.t/ 25/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
26 Voor x.t/ D 1 2 t2 krijgen we v.t/ D t. lim h!0 x.t C h/ h x.t/ lim h!0 1 2.t C h/2 1 2 t2 h lim h!0 th C 1 2 h2 h lim t C 1 2 h D t h!0 26/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
27 Gegeven een functie f W A! B. De functie f wordt differentieerbaar in a genoemd met afgeleide f 0.a/ als: f 0.a/ D lim x!a f.x/ x f.a/ a goed gedefinieerd is. De functie f wordt differentieerbaar genoemd als f differentieerbaar is voor alle a 2 A. 27/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
28 /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
29 Raaklijn: y D f.a/ C f 0.a/ Œx a 29/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
30 Voor x klein: en dus: f 0.a/ f.x/ x f.a/ C f 0.a/ Œx a f.a/ C f.a/ a f.x/ f.a/ x a Œx a D f.x/ 30/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
31 Raaklijn: y D f.a/ C f 0.a/ Œx a y x f.a/ a D f 0.a/ 31/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
32 Voorbeeld f 1.x/ D x 1, 32/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
33 /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
34 Voorbeeld f 2.x/ D jxj, 34/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
35 /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
36 /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
37 Voorbeeld f 3.x/ D x 3, 37/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
38 /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
39 Voorbeeld f 4.x/ D sin.x/. 39/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
40 /57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
41 Standaard afgeleiden d dx xa D ax a 1 ; d dx ex D e x ; d dx ln jxj D 1 x ; sin 0.x/ D cos.x/; cos 0.x/ D sin.x/; tan 0.x/ D 1 cos 2.x/ D 1 C tan2.x/: 41/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
42 Rekenregels Otellen.f C g/ 0 D f 0 C g 0 Vermenigvuldigen.fg/ 0 D f 0 g C fg 0 Delen f g 0 D f 0 g fg 0 g 2 42/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
43 Kettingregel Als: dan geldt: h.x/ D f.g.x// h 0.x/ D f 0.g.x//g 0.x/ 43/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
44 Voorbeeld f 1.x/ D e sin.x/ f1 0 d.x/ D esin.x/ dx sin.x/ 44/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
45 Voorbeeld f 1.x/ D e sin.x/ f1 0 d.x/ D esin.x/ dx sin.x/ f 0 1.x/ D esin.x/ cos.x/ 45/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
46 Voorbeeld f 2.x/ D sin.cos.tan.x/// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// dx cos.tan.x// 46/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
47 Voorbeeld f 2.x/ D sin.cos.tan.x/// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// dx cos.tan.x// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// sin.tan.x// dx tan.x/ 47/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
48 Voorbeeld f 2.x/ D sin.cos.tan.x/// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// dx cos.tan.x// f2 0 d.x/ D cos.cos.tan.x/// sin.tan.x// dx tan.x/ f 0 2.x/ D cos.cos.tan.x/// sin.tan.x//.1 C tan2.x// 48/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
49 Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 49/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
50 Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 5 50/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
51 Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 5 f 0 3.x/ D.2x C 1/4 10.x3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/.x 3 x C 1/ 5 51/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
52 Voorbeeld f 3.x/ D.2x C 1/5.x 3 x C 1/ 4 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4 4.x 3 x C 1/ 3.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 8 f 0 3.x/ D 10.2x C 1/4.x 3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/ 5.x 3 x C 1/ 5 f 0 3.x/ D.2x C 1/4 10.x3 x C 1/ 4.3x 2 1/.2x C 1/.x 3 x C 1/ 5 f 0 3.x/ D.2x C 1/4 14x 3 12x 2 2x C 14.x 3 x C 1/ 5 52/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
53 Differentiatie en inverse functies We hebben f en g zodanig dat: f.g.x// D x Dan geldt volgens de kettingregel: f 0.g.x//g 0.x/ D 1 We vinden: arcsin 0.x/ D 1 1 x 2 ; arccos0.x/ D 1 ; 1 x 2 arctan0.x/ D 1 1 C x 2 53/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
54 We hebben: arcsin.sin x/ D x; x 2 Π2 ; 2 en dus: arcsin 0.sin x/ cos x D 1 arcsin 0.y/ cos x D 1 met y D sin x. Maar dan cos x D 1 y 2 q arcsin 0.y/ 1 y 2 D 1 arcsin 0.y/ D 1 1 y 2 54/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
55 We hebben: arccos.cos x/ D x; x 2 Œ0; en dus: arccos 0.cos x/ sin x D 1 arccos 0.y/ sin x D 1 met y D cos x. Maar dan sin x D 1 y 2 q arccos 0.y/ 1 y 2 D 1 arccos 0.y/ D 1 1 y 2 55/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
56 We hebben: arctan.tan x/ D x; x 2. 2 ; 2 / en dus: arctan 0.tan x/.1 C tan 2 x/ D 1 arctan 0.y/.1 C y 2 / D 1 met y D tan x. arctan 0.y/ D 1 1 C y 2 56/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
57 Zelfstudie gaat met behul van MathXL. htt:// Usercode: Password: s-nummer 57/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/60 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Een functie f W A! B is injectief of one-to-one als
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /37 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Newton s method Hoe vinden we een nulpunt: f.x/ D 0 Stel
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Functies van één veranderlijke Als je alleen deelneemt
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Functies van één veranderlijke 191512600
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Partieel Breuksplitsen a0 x m C a x m C C a m x C a m
Inverse functies en limieten
Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Inhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen
0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b
QuizAnalyseHoofdstuk3 - wv -Brackx
QuizAnalyseHoofdstuk3 - wv -Brackx Als: dan is: Als f discontinu is in x 0 en dan zijn de linker- en rechterlimieten van f(x) in x 0 aan elkaar gelijk maar verschillend van L. Als voor alle x in ]a,b [
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 200009 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Convolutie.f g/.t/ D Z f./g.t / d Goed gedefinieerd als f.t/
Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplicht en vrijwillig huiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan het eind.
Wiskunde 1A - groep 3 (Gabor Wiese) 16/09/2003 Wat informatie: Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplict en vrijwillig uiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan et eind.
college 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Limieten. Theorie: De begrippen limiet en continuïteit. Laat f een functie zijn, gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen.
Limieten Theorie: De begrippen limiet en continuïteit Laat f een functie zijn, gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen. Definitie: Het begrip limiet We zeggen dat de limiet van f(x)
Convexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Tussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Uitwerkingen analyse op de lijn tweede deel
Uitwerkingen analse op de lijn tweede deel Het uitwerkspook 23 juli 25 Inhoudsopgave Hoofdstuk 2 3 2 Hoofdstuk 32 3 3 Hoofdstuk 29 4 4 Hoofdstuk 33 5 5 Hoofdstuk 34 5 6 Hoofdstuk 36 5 7 Hoofdstuk 37 7
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Voorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van
Convexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie
Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.
V.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Tx D Ax; x.t/ 2 R 2 x D 0 is een evenwichtspunt;
== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Calculus. Een dictaat voor het vak Continue Wiskunde. Ale Jan Homburg. Versie 20061030. 1 Voorwoord 2. 2 Limieten 2
Calculus Een dictaat voor het vak Continue Wiskunde Ale Jan Homburg Versie 263 Inhoudsopgave Voorwoord 2 2 Limieten 2 2 Definities en eigenschappen 3 22 Regel van De L Hôpital 5 23 Oefeningen 6 3 Goniometrische
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/33 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Signalen en Transformaties Onderwijs Dinsdag: hoorcollege
Toelatingstest Wiskunde, dinsdag 21 juni 2011, uur.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Toelatingstest Wiskunde, dinsdag 1 juni 011, 930-100 uur Het gebruik van een telefoon is niet toegestaan
WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
UITBREIDING INTEGRALEN VAN HET TYPE. ««««««««««x ««2« ««9««««««««««1««6««x««««« ««1««««««««««u«««««2. f (x) 1 ««««««««
INTEGRALEN VAN HET TYPE k. f (x). dx ««a««««««««b«.«««f«(«x«)««a. Een nieuwe fundamentele integraal Met behulp van de rekenregels van afgeleiden vinden we ook. du = arcsin u + c ««««««««««««u«««««arcsin
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,
Samenvatting. TI1106M Calculus Samenvatting colleges 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1106M Calculus Samenvatting colleges 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)
Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }
Analyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36
4 IJkingstoets 08 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen, en 4 is (A) 7 (B) 4 (C) (D) 6 Vraag Beschouw de functie f met voorschrift f(x) = f ( g ( )) gelijk? en g met voorschrift
Calculus TI1 106M. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 1 september 2014
Calculus TI1 106M, 1 september 2014 Inleiding Studiemateriaal Onderwerpen Calculus 1 september 2014 1 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage :
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Bouwstenen van signalen
Bouwstenen van signalen Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl Zonder wiskunde geen snelle communicatie 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI We sturen steeds meer informatie
Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële
e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
integreren is het omgekeerde van differentiëren
Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).
(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Samenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Paragraaf K.1 : Substitutiemethode
Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule
10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
![10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:](/thumbs/55/36210674.jpg "10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:")
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
V.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).
Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
maplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Signalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Laplace transformatie éénzijdige Laplace-transformatie:
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI x.k C 1/ D Ax.k/ C Bu.k/; y.k/ D Cx.k/ C Du.k/ We
K.1 De substitutiemethode [1]
![K.1 De substitutiemethode [1]](/thumbs/59/42734179.jpg "K.1 De substitutiemethode [1]")
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 1 september Nummer vragenreeks: 1
Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 Nummer vragenreeks: Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 - p. / Aan de KU Leuven namen in totaal 8 aspirant-studenten deel aan de ijkingstoets
(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur
Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.
Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze
Toegepaste Wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Correcties en aanvullingen (mei 2009) HBuitgevers, Baarn
Drs. J.H. Blankespoor Drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Toegepaste Wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Correcties en aanvullingen (mei 009) HBuitgevers, Baarn TOEGEPASTE WISKUNDE DEEL Correcties
Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen
Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen Dr. A.C.M. Ran najaar 00 (gewijzigde druk Voorwoord Dit dictaat is bedoeld voor twee groepen studenten: de eerstejaars studenten scheikunde en
x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie augustus ) Inhoudsopgave Functies van reële getallen en grafieken Som, verschil, product en quotiënt van reële
Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.
SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de
Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
== Tentamen Analyse 1 == Maandag 12 januari 2009, u
== Tentamen Analyse == Maandag januari 009, 400-700u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille of O van Gaans) en je studierichting Elk antwoord dient gemotiveerd te
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEI\ Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEI\ Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 13 april 2011, 9.00 12.00 uur. Ceef op bet eerste ye! met uitwerkingen aan welk programma (Schakeiprogramma
(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback
IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel
Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)
1 Continuïteit en differentieerbaarheid.
1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies