HOOFDSTUK 3 : LOGARITMISCHE FUNCTIES

Transcriptie

1 HOOFDSTUK : LOGARITMISCHE FUNCTIES Kern : Logaritmen a) D t 5 t (D in grammen ; t in dagen) D 5 9 gram b) 5 t t 6 t log 6 log 6 log a) log9 9 b) 5 log c) log 5 5 d) 5 e loge 7 e e 7 7 e) log 5 5 f) log g) log en 6 6. Dus ligt tussen 5 en 6. h) e log e 5 6 en e 5 8. Dus ligt tussen en 5. i) log ) log p p p ; p ; 6 p 6 ; 7 p 8 p ; p 8 ; p 6 ; 5 p Dus p p p p 8 p 6 p p 6 a) log b) 6 log c) 5 log5 log log 66 log log6 57 log5 log5 68 d) log5 log5 log7 e) 9 e 5 ln5 8 f) e ln

2 5a) p p log log7 log7 log 7 5b) log log8 6a) ln5 8 6b) ln 6c) ln5e 5 8 6d) ln e 6e) ln5e 6 8 6f) ln5e 7 8 6g) ln e 6h) ln e 88 6i) ln e 7 ln e ln e e 7 ln e 7 9 ln e 9 ln e 5 6 ln 5 e 5 8 ln 6 e 6 log8 log5 7 8a) ln e 8b) ln e e e e 8c) ln e e e e 86 8d) ln e 9a) ln p e p e ln e ln 9b) e ln 6 6 De eacte waarde van de eponent is ln6 9 9c) e ln e ln eln 6 e ln e ln e ln ln e ln6 ln ln ln6 a) p ln 5 p p ln 5 ln 5,5 ln 5 5 ln 6 - ln6 8 8

3 b) p ln5 p p ln5 ln5 6 ln5 6,5 ln5 5 5 ln5 ln5 8 ln5 8 - ln5 ln5 c) ln 6 6 ln ln 6 e 95 a) log,want ; log,want log,want b) log c) ln 5 5 e 5 e 5 e 5 5 a,b) () log 8() log5 () log () log log log ln log5 log ln 5 log log ln 58 ln 7 9 ln ln log log ln ln 57 ) log ln k log loge k log k loge log loge ln 5a) D t 5 t 5 t 5b) t 5 6 t 6 t log6 log6 log 6a) 5 6b) % 6c 5 t t 5 t log log log 7 Na 8 jaren is het kapitaal aangegroeid tot gulden. 7a) % wordt afgebroken, 9% blijft over. De groeifactor is dan,9 G t 5 9 t 7b) t 9 t 5 t 9 log 5 log 5 log uur

4 Kern : Formules 8b) log8 log6 log8 9a) p a p loga ; q b q logb Stel p a en q b p q p q p q ab logab p q logab loga logb a b ab 9b) g p a p g loga ; g q b q g logb Stel g p a g q b g p g q g p q g p q ab g logab p q g loga g logb a b ab 9c) g logb g log a b g logb a b g loga g loga g logb g log a b a) Een natuurlijke logaritme is een logaritme met grondtal e. b) () lna k k lna loga loge () lna () lna lnb lnab () lna lnb ln a b a) log5 log5 log log 5 5 log log5 log b) 5 log 5 log 5 5 log 5 log 5 5 log 5 log 5 5 log 5 5 log5 c) log log log5 log log5 log7 d) log7 log6 log8 log6 log8 log 6 8 log a) log 5 log5 log log5 log log5 log5 b) log log8 log5 log5 log8 log c) 7 log7 log9 7 log 7 log 7 log9 7 log7 d) 5 log5 5 log5 5 log 5 log 5 log5 5 log 5 log 6 ) Regel () en () van bladzijde 65. In a) en b) in het boek zitten twee foutjes. a) log log log log log log log log log log log log log

5 b) 5 log log 5 log log log 5 log log log 5 5 log log log5 5 log log log5 5 log log log5 5 log 5 log 5 log 5 log c) 5 log5 5 log 5 5 log5 5 log 5 log5 5 log 5 log5 5 log 5 log5 5 log 5 5 log5 5 5 log5 d) log log log log log log log log log log log log log Dus log log 5a) log log log log 8 log6 5b) log log log log log log 5c) log 5 log log log log 5 log log log 5d) Fout in boek. log moet log zijn. log log log 6a) log log log log log 6b) log b log log loga log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log log! log log logb loga log logb log loga logb " log loga logb loga logb loga logb loga logb loga logb loga b a b a b 7) log log 5 log 5 log 5 5

6 Kern : Logaritmische functies 8) y logy log 5 8 (Je kijkt in de grafiek bij y 5 en zoekt de daarbij horende -waarde. log 6 (Je kijkt in de grafiek bij y en zoekt de daarbij horende -waarde. 9a) () en () zie hieronder 8 ** log()/log() 8 ** log()/log() () en () zie hieronder 8.5** log()/log(.5) ** log()/log(.) b) als g # dan g log stijgend als $ g $ dan g log dalend

7 a) en b).5 log(+) log(-) y ln heeft als asymptoot :. Nulpunt y ln heeft als asymptoot :. Nulpunt c) en d) log(*-) log(*+) y ln. Dus is de vertikale asymptoot.. Dus is het nulpunt. y ln Dus is de vertikale asymptoot. Dus is het nulpunt ) y log is een stijgende functie. y log is het spiegelbeeld (gespiegeld in y-as). Dit is dan een dalende functie. y log 6 is een dalende functie. Er staat een min-teken voor de Bij toenemende neemt 6 af. log 6 neemt dan ook af. 7

8 a) f log Deze functie heeft als asymptoot, als nulpunt, en is stijgend. log(+)/log() b) g 5 log Deze functie heeft als asymptoot, als nulpunt, en is dalend. log(-)/log(.5) c) h log (asymptoot) (Nulpunt : ) Deze functie is stijgend..5 log(*-)/log()

9 d) k log (asymptoot) 6 5 (Nulpunt : ) Deze functie is dalend..5 log(*+6)/log(.) a) y log 6 6 # # 6 #. Het domein is : $ &% # 6. Asymptoot is : 6 5. Nulpunt is : Het is een stijgende functie. g # b) y log 6 6 # # 6 #. Het domein is : $ &% # 6 Asymptoot is : 6 7. Nulpunt is : Het is een stijgende functie. g # c) y log # # #. Het domein is : $ &% # is de vertikale asymptoot.. Nulpunt is : Het is een dalende functie. g $. d) y log # # #. Het domein is : $ &% # is de vertikale asymptoot.. Nulpunt is : Het is een dalende functie. g $. e) y log 6 6 # 6 # $ 6 $. Het domein is $(' # is de vertikale asymptoot Nulpunt is : Het is een dalende functie. # y log 6 is stijgend (g y log 6 is dan dalend. 9

10 # $ # $ # # # $ # # # # $ $ # f) y log 6 6. (zie e) Het domein is $)' is de vertikale asymptoot. 6 (zie e) Nulpunt is : Het is een stijgende functie. y log 6 is dalend. (g y log 6 is dan stijgend. g) y ln 5. Het domein is 5 &% 5 is de vertikale asymptoot. 5. Nulpunt is : 5 Het is een stijgende functie. g e h) y ln Het domein is $)' is de vertikale asymptoot Nulpunt is 5 Het is een dalende functie. y ln 5 is stijgend. y ln 5 is dalend. y ln 5 is dan ook dalend. i) y 5 log 8 8 # # 8 8 $ $. Het domein is $)' is de vertikale asymptoot Nulpunt is 8 Het is een stijgende functie. j) y log 9 9 # # 9 9 $ $. Het domein is $)' is de vertikale asymptoot Nulpunt is 9 Het is een dalende functie. a) g e g* e g* e De helling in het punt e is e b) Helling in ( e op g is e Dit betekent: als op de raaklijn met toeneemt, dan neemt y op de raaklijn met e toe. Raaklijn in het punt e aan f. Als op de raaklijn met e toeneemt, dan neemt y op de raaklijn met toe. Als met toeneemt, dan neemt y met toe. e De helling in het punt e op f is e c) g e g* e De helling van de raaklijn in het punt e aan g is e De helling van de raaklijn in het punt e aan f is e 5a) f 5 ln log ln 5 ln5 ln f * ln5 ln5 ln 5b) g log ln ln ln g* ln 5c) h 5 log ln ln ln 5 ln 5 ln h* ln 5 ln 5 # #

11 5d) k ln Stel p d dan dp d ; y ln p, dan dp p dp dp d p 5e) y 5 log 5f) ln y log 5g) y ln Stel d ln ln 5 ln5 ln ln ln ln d ln 5 ln5 d ln ln p dan dp d ; y ln p, dan dp p dp dp d p 5h) y log ln ln ln ln 6) f lna lna ln f * Dit geldt als a # en # Het geldt ook als a $ en $ d ln ln 7a) f ln en g ln Neem een punt van f, bijv. Neem op dezelfde hoogte (dezelfde y-waarde) een punt op g ln g krijg je uit f door te vermenigvuldigen vanuit de y-as met factor 7b) ln ln ln ln Dus een vertikale verschuiving van ln naar boven. 8a) y ln ln ln Een vertikale verschuiving van ln naar boven of een horizontale vermenigvuldiging met 8b) y ln ln ln ln ln &+++",% naarlinks lnnaarboven ln -"++++".% ln / ln of ln &+++",% naarlinks ln horizontalevermenigvuldigingmet ++"++++"++++"++++"% ln 8c) y ln Spiegeling in de y-as of een horizontale vermenigvuldiging met -. 8d) y ln ln spiegeleniny as ++++"++% ln naarrechts ++"++5% ln Neem ter controle voor de laatste stap een testpunt, bijv. op ln Op dezelfde hoogte ligt punt op ln 6 Een andere manier ziet er alsvolgt uit: y ln ln ln 5+"+ naarrechts "% ln spiegelenindey as "+5% ln

12 9) y ln ln ln d y ln ln ln ln d y ln ln d y ln is het spiegelbeeld van y ln. (Gespiegeld in de y-as). Dit heeft als gevolg dat ook de helling gespiegeld is. y ln heeft als hellingfunctie d Het punt heeft een raaklijn met helling d y ln heeft als hellingfunctie d Het punt heeft een raaklijn met helling d y ln ln d a) ln y log ln ln ln; Vertikale vermenigvuldiging met ln b) y ln log ln ln ln ; Vertikale vermenigvuldiging met ln c) y 5 ln log ln 5 ln 5 ln ; Vermenigvuldiging met ln 5 d) y log ln ln ln ln ; &+++",% ln ln naarlinks e) y log ln naarrechts vertikalevermenigvuldigingmet ln -"++++"++++"++++"++-% ln ln ln ln ln ln vertikalevermenigvuldigingmet 9+++"++++"++++"+++:% ln ln ln 5+"+ "% ln f) y 5 log 6 ln 5 ln ln ln ln 5 ln &+++",% naarlinks ln ln 6 ln 5 ln 5 ln 6 ln ln 5 vertikalevermenigvuldigingmet ln; 5 ln " "++++"<% vertikaleverplaatsingmet ln ln; 5 ln ="++++"++++"++++=% ln 5 ln 5 ln ln 5 ln ln Kern : Lineair maken a) y logy logy log log logy logy log + b) De richtingscoefficient (helling) is log c) 5 log " 5 log log 5 log log log log 6 6 Coordinaten in linkergrafiek : 6 6;

13 $ $ # # a) y b g logy log b g logb logg logb logg De richtingscoefficient (het hellingsgetal) wordt dus geleverd door logg Als g, dan is logg negatief en is de lijn dalend. b) logb b a) y logy log logy log log " 77 b) y logy log log log log log log " log 77 c) y logy log log log log log d) y logy log log 77 e) y logy log log log log log 77 f) y logy log log log log log a) y b g logy logb logg (zie som a) ligt op de grafiek. Dan logy logb logg logb b De helling is. Dan logg g 6 De vergelijking van de eponentiele functie wordt dan : y 6 ligt op de bovenste lijn. Dan logb > b De helling van deze lijn is 5 logg 5 g 5 5 De vergelijking van de eponentiele functie voor de bovenste lijn wordt dan : y 5 ligt op de onderste lijn. Dan logb b De helling van deze lijn is hetzelfde als de helling van de bovenste lijn. De vergelijking van de eponentiele functie voor de onderste lijn wordt dan : y 5 b) Gelijke grondtallen. (gelijke groeifactoren) 5a) fluisteren : 5 P P 5k 5 5k k 5b) P P kg logp log P kg logp log kg logp logp kgk logp G 5c) logp kg log Er is sprake van een toename van decibel. We ervaren dit als 6 keer zo veel geluid. 5d) k ; G 9 P P 9 voor één trein. P P 9 voor twee treinen. Dan 9 G G log 9 G 9 decibel. 6) y 5 logy log 5 logy log 5 log logy log 5 log logy log log 5

14 7a) y logy log logy log log logy log log logy log log 7b) y 5 logy log 5 logy log log 5 logy 5 log log 7c) y logy log logy log 7d) y logy log logy log log logy log log 7e) y logy log logy log log logy log log 7f) y logy log log log logy log log 8 y a n logy log a n logy loga log n logy 5 ligt op de rode lijn. Dan loga 5 a 5 n log loga De helling van de rode lijn is 5. Dan n 5 De formule voor de rode lijn is : y 5 ligt op de groene lijn. Dan loga a De helling van de groene lijn is 5 Dan n 5 De formule voor de groene lijn is : y