Producten, machten en ontbinden in factoren

Transcriptie

1 Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen van producten, waarbij ook machten een rol spelen. 2. Leren letterrekenen. 3. Ontbinden in factoren. Opmerkingen 1. Rekenen met machten kun je oefenen in het boekje Machten ( onderbouw) ( voldoende voor Havo A en onderbouw) of in het boekje Machten. Ook deze boekjes staan in de kast in het studiecentrum of zijn te koop voor 0, Ontbinden in factoren is voor Havo A1 geen onderdeel van de examenstof. 3. Ontbinden in factoren moet je vooral goed beheersen om hogere graads vergelijkingen en ongelijkheden te kunnen oplossen. Het boekje Vergelijkingen en ongelijkheden 2 kan je daarbij helpen. 1 van 9TSC, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc, PvL

2 Inhoud: A. Optellen en vermenigvuldigen (3) B. Machten (3) C. Voorangsregels (3) D. Substitueren (4) E. Het uitrekenen van producten (4) F. Ontbinden in factoren (6) G. Antwoorden eerste vijf opgaven (7) H. Extra oefenopgaven berekenen van producten (8) I. Oefenopgaven ontbinden in faktoren ( per type) (8) J. Oefenopgaven ontbinden in factoren ( typen door elkaar heen) (9) 2 van 9 Joke Smit College, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc,PvL

3 Optellen en vermenigvuldigen a + a = 2 a = 2 a = 2a 2a is een verkorte schrijfwijze voor a + a. Tussen een getal en een letter laten we de vermenigvuldigingspunt vaak weg. a + a + a = 3 a = 3a 3a + 2a = a+a+a + a+a = 5a 7a + 1½ a = 8½ a a + (-a) = a - a = 0 3a - 5a = -2a 5a - 6½ a = -1½ a 5a + 2b =? Hier kan je niet optellen, want de termen zijn niet gelijksoortig. Dat geldt ook voor: Oók geldt: 2a 2 + 3a =? Ook deze som kan je alleen maar laten staan! x 2 = 2 x = 2x Machten Een product kan je soms op een korte manier als een macht noteren: = 3 4 Zo is: = = Let wel op dat een macht dus een verkorte schrijfwijze van een product is. Je kunt dus: a 2 a 3 schrijven als a 5 ( a 2 a 3 is immers a a a a a ofwel a a a a a en dat is a 5 ) Zo is: 2b 2 3b 3 = 2 b 2 3 b 3 = 2 3 b 2 b 3 = 6b 5 Máár: a 2 + a 3 kan je helemaal niet korter opschrijven!! Voorrangsregels Met haakjes geven we aan wat je als eerste moet berekenen: 3 (4+5) = 3 9 = 27 Daarnaast werken we met de zogenaamde voorrangsregels: maar: je rekent in principe van links naar rechts vermenigvuldigen en delen hebben voorrang boven optellen en aftrekken = 3 + (4 5) = = 23 3 van 9 Joke Smit College, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc,PvL

4 Wil je dat eerst 3 en 4 worden opgeteld, dan moet je met haakjes werken: (3 + 4) 5 = 7 5 = 35 machtsverheffen is sterker dan vermenigvuldigen en delen = 3 8 = 24 Als je wilt dat eerst 3 2 wordt uitgerekend, moet je met haakjes werken: (3 2) 3 = 6 3 = 216 Let op het verschil tussen: én: (-2) 4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = = = - 16 In strijd met de afspraak is het de gewoonte vermenigvuldigen, genoteerd zonder of, voorrang te geven boven delen: 3 3 : 2a betekent 2a terwijl: 3 3 : 2 a betekent a 2 Veel verstandiger is om met haakjes te werken zodat er geen twijfel is: 3 : (2a) en (3:2) a Bij wortels maak je of met haakjes of met de verlenging van de vlag duidelijk wat je bedoelt: 4 9 = 2 9 = 18 ; duidelijker is: ( 4) 9 (4 9) = 36 = 6 óf Substitueren of invullen Veel van bovenstaande afspraken moet je nauwkeurig gebruiken bij zogenaamde invul- of substitutie-oefeningen: Vul x = -3 in in: x 2 2x Uitwerking: (-3) 2 2 (-3) = 9 (-6) = = 15 Vul x = -3 in in: -x Uitwerking: -(-3) = - (9) + 8 = = -1 Het uitrekenen van producten We gebruiken de distributieve wet ( ook wel verdeeleigenschap) om haakjes weg te werken: a (b + c) = a b + a c bijvoorbeeld: 3 (x+2y) = 3x + 6y 4 van 9 Joke Smit College, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc,PvL

5 (a + b) (p + q) = ap + aq + bp + bq bijvoorbeeld: (x+2) (y+3) = xy+3x+2y+6 Met minnen erbij moet je erg opletten: (a b) (x y) = ax + a ( y) b x b ( y) Dus: (a b) (x y) = ax ay bx + by Speciale gevallen van de verdeeleigenschap ( ook wel de merkwaardige producten genoemd) zijn: (type 1) (a + b)(a b) = a 2 b 2 (type 2A) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( Bedenk dat (a + b) 2 = (a + b)(a + b) ) 'het dubbele product' (type 2B) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Vaak voorkomend type: (type 3) (x + 3)(x + 5) = x 2 + 8x + 15 de som het product van 3 en 5 van 3 en 5 Opgave 1: Ga deze gevallen na door zelf de haakjes steeds weg te werken. Vaak kom je bij het uitrekenen van producten machten tegen: x 2 (x + 3) = x 3 + 3x 2 (a 2 + 2b)(a + 3b 3 ) = a 3 + 3a 2 b 3 + 2ba + 6b 4 Opgave 2 Bereken: a. 2b + 7b = b. a a 3 = c. 3x 2x = d. a 2 a 5 = e. 5q 8q = f. d + d + 2d = g. a b 2 a 2 = 2 h. a 4 = i. a b 3 = j. 8a + 3a + b + 2b = k. 8a + 3b 8a + b = l. 3ab 2a 2 b +5ab 2 + ab = 5 van 9 Joke Smit College, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc,PvL

6 Opgave 3 Bereken: a. b 5 + b 5 = b. b 5 b 5 = c. b 5 b 5 = d. 5b 5 5b 5 = e. 3y + 4y = f. 3y 4y = g. 3y 4y = Opgave 4 Bereken: a = b = c = d = h. (3y) 2 4y 2 = i. 2z 2 3z 3 = j. q 2q 2 3q 3 = k. (xy) 3 xy 3 = l. y (yz) 2 ( z) = Vul x = -2 in in: e. x 2 2x + 7 = f. 2x x 2 1 = g. x 2 + 5x h. (-x) 2 3x = Opgave 5 Schrijf zonder haakjes: a. x(x + y) = b. x(2x z) = c. 3xy(x 2y) = d. 3pq(p 2 pq) = e. (x + 3)(x + 2) = f. p 3) (p + 2) = g. (2a 3b) 2 = h. (2x 3) 2 = i. (x 2 + 4) 2 = j. x ( 2 3x) = Ontbinden in factoren We hebben bij het uitrekenen van producten steeds van een product een som ( of een verschil) gemaakt. Als we het omdraaien ( dus bijvoorbeeld: a 2 b 2 schrijven als (a + b)(a b) ) zeggen we dat we a 2 b 2 hebben ontbonden in factoren. Voorbeelden: x 2 9 = (x + 3)(x 3) (type 1) y 2 6y + 9 = (y 3) 2 (type 2b of 3) x 2 4x 5 = (x 5)(x + 1) (type 3) x 2 6x + 8 = (x 4)(x 2) (type 3) Ontbinden van type 3 ken je misschien als de som-product-methode. Het eerste waar je naar kijkt bij ontbinden in factoren is of er een gemeenschappelijke factor buiten haakjes gehaald kan worden: x 3 + 2x = x ( x 2 + 2) Verklaring: x 3 x 3 2x + 2x = x = x ( x 2 + 2) x x 6 van 9 Joke Smit College, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc, PvL

7 Nog een voorbeeld: 3x 3 + 6x 2 + 9x = 3x 3 3x 3x 2 6x 3x 9x 3 = 3x (x 2 + 2x + 3) Soms ben je er niet in een stap: 2x 3 + 6x 2 8x = 2x (x 2 + 3x 4) = 2x (x + 4)(x 1) x 4 16 = (x 2 + 4) (x 2 4) = (x 2 + 4) (x + 2) (x 2) Maak nu in ieder geval de eerste opgaven 1,2 en 4 uit Extra oefenopgaven berekenen van producten en de opgaven 2,3,5,9 en 12 uit Oefenopgaven ontbinden in factoren op bladzijde 8. De andere opgaven op blz. 8 en 9 kun je gebruiken als extra oefenopgaven. Antwoorden opgave 1-5: 1: (a+b)(a-b) = a 2 ab + ba - b 2 = a 2 - b 2 (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 - ab - ba + b 2 = a 2-2ab + b 2 (x+3)(x+5) = x 2 + x5 + 3x + 15 = x 2 + 8x a. 9b b. a 4 c. x d. a 7 e. 3q f. 4d g. a 3 b 2 3. a. 2b 5 b. b 10 c. 0 d. 25b 10 e. 7y f. y g. 12y 2 4. a. 3 b. 12 c. 19 d. 15 h. a 8 i. a 3 b 3 j. 11a + 3b k. 4b ( 0a + 4b) l. 4ab + 5ab 2 2a 2 b h. 36y 4 i. 6z 5 j. 6q 6 k. x 4 y 6 l. y 3 z 3 e. 15 f. 9 g. 14 h a. x 2 + xy b. 2x 2 + xz c. 3x 2 y 6xy 2 d. 3p 3 q 3p 2 q 2 e. x 2 +5x + 6 f. p 2 p 6 g. 4a 2 12ab + 9b 2 h. 4x 2 12x + 9 i. x 4 + 8x van 9TSC, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc, PvL

8 j x Extra oefenopgaven berekenen van producten Antwoorden: Oefenopgaven ontbinden in factoren 8 van 9TSC, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc, PvL

9 Antwoorden: Nu de typen door elkaar: Antwoorden: 9 van 9TSC, , J:\1213\wiskunde\basiscursus\definitieve_onderdelen\steunlesProdMaOntbindenv_hv_ doc, PvL