Wiskunde voor bachelor en master Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk 5

Transcriptie

1 Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 205, Synta Media, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk a. 2 + = + 7 { naar links, naar rechts} 3 = 6 {deel door 3} = 2 2 y + 2 = y {maal } 2y + 8 = y {y naar links, 8 naar rechts} y = 9 c. t 3 = 3t {3t naar links, 3 naar rechts} t = d. 2(p ) = p + {haakjes uitwerken} 2p 2 = p + {p naar links, 2 naar rechts} p = 3 e. ( )( 2) = ( + )( + 2) {haakjes uitwerken} = { naar links, 2 naar rechts} 6 = 0 {deel door 6} = 0 f. ( + 3)(2 + ) = A {haakjes uitwerken} = A {2 2 naar links, 3 naar rechts} 7 = A 3 {deel door 7} = A 3 7

2 2 Uitwerkingen a = {maal 6} = {2 naar links, 2 naar rechts} = 3 = 3 {maal 3} 3 = 3 {3 naar links, 3 naar rechts} 2 = 2 {deel door 2} = c. + 2 = 3 ( 2) {maal 3} = 2 { naar links, 6 naar rechts} 2 = 8 {deel door 2} = d. 3( 3 ) = 3 ( 3) {maal 3} 9( 3 ) = 3 {haakjes uitwerken} 9 3 = 3 { naar links, 3 naar rechts} 8 = 0 {deel door 8} = 0 e. t(t ) = t 2 {haakjes uitwerken} t 2 t = t 2 {t 2 naar links} t = {deel door } t = f. 3(v ) + (2v + 5) = 6v {haakjes uitwerken} 3v 3 + 8v + 20 = 6v {termen samen nemen} v + 7 = 6v {6v naar links, 7 naar rechts} 5v = 8 {deel door 5} v = 8 5 = 3 3 5

3 Uitwerkingen a. = A {kruislings vermenigvuldigen, } + = A + A {A naar links} A = A { buiten haakjes halen} ( A) = A {deel door A} = A A Aan de voorwaarde is altijd voldaan, want 0 bestaat niet, dus 0 A. + = A {maal } + = A { naar rechts} = A c. 2 + = 2 {kruislings vermenigvuldigen, 0} (2 + ) = ( 2) {haakjes uitwerken} = 2 2 { 2 2 naar links} = 0 {ontbind in factoren} ( + 3) = 0 {product is 0} = 0 (voldoet niet) of = 3 (voldoet) Oplossing: = 3 d. = { naar links, naar rechts} 2 = 2 {kruislings vermenigvuldigen, 0} 2 = 2 {deel door 2} = (voldoet) e. ( + ) 2 = ( ) 2 {haakjes uitwerken} = { 2 2 naar links, naar rechts} = 0 {deel door } = 0

4 Uitwerkingen 5.3 f. 3 + = = 3 + {3 naar links} 2 = {deel door 2} = 2 (voldoet) {kruislings vermenigvuldigen, en 0}. a. ( + )( ) = 3 {merkwaardig product (a + b)(a b) = a 2 b 2 } ( ) 2 = 3 {( ) 2 =, voorwaarde 0} = 3 { naar rechts, 3 naar links} = 2 (voldoet niet, 2 < 0) De vergelijking ( + )( ) = 3 heeft geen oplossing. + = ( ) 2 {haakjes uitwerken} + = 2 + ( ) 2 {( ) 2 =, voorwaarde 0} + = 2 + { 2 + naar links} 3 = {deel door 3} = 3 {kwadrateer, 3 0} = 9 (voldoet) Controle: = = 9 ( en 9 ) 2 = ( 3 )2 = ( 2 3 )2 = 9 c. + = {kruislings vermenigvuldigen mag, want + } = + { naar links} 3 = {kwadrateer} = 9 Controle: + 9 = = d. 5( + ) + 3(2 ) = 6 {haakjes uitwerken} = 6 {uitwerken} + 2 = 6 {2 naar rechts} = {deel door } = {kwadrateer, voorwaarde 0} = 2 6 = (voldoet)

5 Uitwerkingen e. + = + {kruislings vermenigvuldigen, voorwaarde } ( + ) 2 = {kwadrateer, voorwaarde + 0 } + = { naar rechts} = 0 (voldoet) f. + + = 2 + = {gelijknamig maken} {uitwerken} + = 2 {kruislings vermenigvuldigen, voorwaarde } + = 2 {kwadrateer, voorwaarde + 0 } + = { naar rechts} = 3 (voldoet) 5. a. 2 + p = + 7 { naar links, p naar rechts} 3 = 7 p {deel door 3} = p 2 + p = {maal } 2 + p = { naar links, p naar rechts} = p c. a = 3 b {3 naar links, a naar rechts} = a b d. a( ) = + {haakjes uitwerken} a a = + { naar links, a naar rechts} (a ) = a + {deel door a } = a + a

6 6 Uitwerkingen 5.3 e. ( a)( b) = ( + ) {haakjes uitwerken} 2 (a + b) + ab = 2 + { 2 + naar links, ab naar rechts} (a + b + ) = ab {deel door (a + b + )} = ab a + b + f. a(2 + ) = b(2 ) {haakjes uitwerken} 2a + a = 2b b {2b naar links, a naar rechts} 2a 2b = a b {haal buiten haakjes} (2a 2b) = a b {deel door 2a 2b} = a b 2a 2b = 2 a + b a b = 2 a + b b a (het antwoord in het boek is onjuist!) 6. a = + 7 { naar links, 3 naar rechts} 3 = 7 3 {deel door 3} = = {maal } = { naar links, 8 2 naar rechts} = 8 2 c. 8 = 3 2 {3 naar links, 8 naar rechts} = 8 2 { 8 = 2 = 2 2} = 2 d. 3( ) 3 = 6 + {haakjes uitwerken} = 6 + {6 naar links, 3 3 naar rechts} (3 3 6) = {deel door = 3( 3 2)} = ( 3 2) = (3 3 + )( 3 + 2) 3( 3 2)( 3 + 2) = {verdrijf wortel uit de noemer} {werk uit} =

7 Uitwerkingen e. 2 5 = 2 {verwissel links en rechts} 2 = 2 5 { naar rechts} 2 = {deel door 2} = f. 2 = {deel door 2} = 2 {kwadrateer, voorwaarde 0} 3 = {neem de derdemachtswortel} = 3 (voldoet) 7. a. 2(t + 3) + A = t + 6 {haakjes uitwerken} 2t A = t + 6 { t naar links, 6 + A naar rechts} 3t = A {deel door 3} t = 3 A t 2 (t + 2) = A {maal 2A} At + 2A = 2t 2 {2t naar links, 2A naar rechts} 2t + At = 2 2A { t buiten haakjes, 2 buiten haakjes} t(2 A) = 2( + A) {deel door (2 A)} t = 2( + A) 2 A = 2 A + A 2 c. (t A) = 3t + A {haakjes uitwerken} t A = 3t + A {3t naar links, A naar rechts} t = 5A d. 3A(t ) = 6t + {haakjes uitwerken} 3At 3A = 6t + {6t naar links, 3A naar rechts} (3A 6)t = 3A + {deel door 3A 6 = 3(A 2)} t = 3A + 3(A 2)

8 8 Uitwerkingen 5.3 e. 2At = 2(t 3) {haakjes uitwerken} 2At = 2t 7 {2t naar links} (2A 2)t = 7 {deel door 2A 2 = 2(A )} t = 7 2(A ) = 7 2( A) f. 2(t 2A) = A {deel door 2} t 2A = 2A { 2A naar rechts} t = 2 2 A 8. a. 2(t + 3) + A = t + 6 {haakjes uitwerken} 2t A = t + 6 {2t + 6 naar rechts} A = 3t {kwadrateer, voorwaarde 3t 0, dus t 0} A = 9t 2 met als voorwaarde t 0 t 2 (t + 2) = A {maal 2A, voorwaarde A 0} A(t + 2) = 2(t ) {deel door t + 2} A = 2(t ) t + 2 voor t (vanwege de voorwaarde A 0) c. (t A) = 3t + A {haakjes uitwerken} t A = 3t + A {3t naar links, A naar rechts} t = 5A {deel door 5} A = 5 t d. 3A(t ) = 6t + {deel door 3(t )} A = 6t + 3(t )

9 Uitwerkingen e. 2At = 2(t 3) {deel door 2t} A = 2t 7 2t f. 2(t 2A) = A {haakjes uitwerken} 2t A = A { A naar rechts} 2t = 5A {verwissel links en rechts en deel door 5} A = 2 5 t 9. = + A a. Laat zien dat elke oplossing voldoet aan = A A : Als een oplossing is dan geldt: = + A 2 = ( )( + A) {haakjes uitwerken} {kruislings vermenigvuldigen, 0 en } 2 = 2 + A A { 2 naar rechts, A naar links} A = (A ) {deel door A } = A A Wat zijn de voorwaarden voor het bestaan van een oplossing? Bij het kruislings vermenigvuldigen zijn de voorwaarden 0 en. Als je in de oplossing A = 0 invult, dan krijg je: = 0, dus A = 0. Blijkbaar is A = 0 niet toegestaan. A A Vul je = in, dan komt er: =, dus A = A en dat heeft geen oplossing voor A. A Ten slotte mag in = A de noemer A niet 0 zijn, dus A = is ook niet toegestaan. A De voorwaarden voor het bestaan van een oplossing: A 0 en A c. Wat zijn de oplossingen als A = 0 en wat zijn de oplossingen als A =? A = 0 en A = zijn niet toegestaan, zie onderdeel Voor A = 0 en voor A = zijn er geen oplossingen.