De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

Transcriptie

1 98 Algebra 3.3 Variabelen Inleiding F= = 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden Fahrenheit kan worden omgerekend: F= 9 5 C+32 Zo n afkorting wordt een formule genoemd en is handig omdat op de plaats waar C staat iedere temperatuur in graden Celsius kan worden ingevuld die je maar wilt. Na berekening rolt de bijbehorende temperatuur in graden Fahrenheiteralshetwarevanzelfuit. Op die manier wordt vaak een letter gebruikt om een getal te vertegenwoordigen. Zo n letter is dan als het ware een lege plaats waar later een getal kan worden ingevuld. Zo n letter heet dan een variabele. Herleiden De optelling 2+3 kun je uitvoeren immers:2+3=5 De optelling a+b kan niet worden uitgevoerd. Herleiden betekent: anders schrijven, meestal: eenvoudiger schrijven. Alle symbolen, tekens, getallen, bewerkingen, afspraken en eigenschappen die hierboven zijn genoemd gelden in principe ook voor het rekenen met variabelen. Men moet er alleen rekening mee houden dat bij variabelen sommige bewerkingen niet verder kunnen worden uitgevoerd Vermenigvuldigen met variabelen De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. De volgorde-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in een willekeurige volgorde worden gedaan, want voor iedergetal a,bencgeldt:

2 Variabelen 99 (a b) c=a (b c). Inplaatsvanhet -tekengebruikenweindewiskundevaakeenpunt. Bijhet vermenigvuldigen van variabelen wordt zelfs de punt vaak weggelaten. a b=ab Vermenigvuldigen van losse variabelen Zet de variabelen achter elkaar, in alfabetische volgorde c a d=acd Vermenigvuldigen van producten van variabelen Zet de variabelen achter elkaar, in alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen van producten van variabelen en getallen Vermenigvuldig de getallen met elkaar en zet ze voorop. Zet daarna de variabelen er in alfabetische volgorde achter. ab f de= = abdef 3x 4yz= 12xyz Vermenigvuldigen van dezelfde variabelen Schrijf a a als a 2 enx x x alsx 3 enz. (zieookbij Machten ). Opgave 10 Herleid: 3ab 2ac= = 6a 2 bc a)2x 3y d)22x 12y 2a b) a 12b e)x y 2z c)18c 3b 21c f)2z 12 3x Optellen met variabelen De onderdelen van een optelling worden termen genoemd. Een term kan bestaan uit: een getal of een variabele of een product van variabelen In a+2zijn a en2determen. bijv. 3 bijv. a bijv. ab. bijv. 2abc.

3 100 Algebra of een product van een getal en één of meer variabelen, hierin kunnen ook breuken voorkomen. Er zijn gewoontes voor het opschrijven wat betreft de volgorde: bijv. 6xyz Weschrijven3a enniet a3,3heethierdecoëfficiëntvan a. We schrijven de variabelen in één term in alfabetische volgorde. In3+204=207 zijn3en204 gelijksoortig In4a+3a= 7a zijn4a en3a gelijksoortig Je kunt alleen gelijksoortige termen optellen. We noemen termen gelijksoortig als als ze precies dezelfde variabelen bevatten en ook precies evenveel van elke variabele. Termen zonder variabelen, dus met alleen getallen, kun je natuurlijk altijd bij elkaar optellen. Nog een gewoonte wat betreft de volgorde: 2ab+a+3 a+b+x+7 Weschrijvenmeestal a+3enniet3+a. We schrijven termen zoveel mogelijk in alfabetische volgorde. De eigenschappen die worden gebruikt zijn: De wissel-eigenschap voor optellen 22 2a+2b a 3b= 3a b+22 Optellen kan in omgekeerde volgorde gebeuren want a+b=b+a De volgorde-eigenschap voor optellen 12c+3a 2c 12a = 9a+10c Optellen kan in willekeurige volgorde worden gedaan want (a+b)+c=a+(b+c).

4 Variabelen 101 Opgave 11 Herleid: a)2x+3x d)3a 2b+3a b)13y+12y e)7t 3t+4t 7s Opgave 12 Herleid: c)2y 7y+5x a)3b 2a+2b 2a f)12k 3j 11k d)12 3t+2x 3 b)2k 3+12l 3k+1 e)2a 3b+4c+2b a+12 c)3x 3y x f)22x 33y+12 x y Opgave 13 Herleid: a)2a 3b+3 b+12 d)x+2y 17x+12 b)x y+2 3 2x e)87x+53y 98x+1 c)2i 3j+i+2j+1 f)78+17x x Optellen en vermenigvuldigen kunnen ook door elkaar voorkomen. Denk aan de volgorde-afspraak: vermenigvuldigen en delen komt vóór optellen en aftrekken. Opgave 14 Herleid: a)2a b 3b 2a d)2x 13y+2x 2xy+3y x= 2xy+3xy= 5xy De gelijksoortige termen2xy,3xy kun je optellen! b)xy 2x 78y e)7x 3xy 12z c)12+13x y 3y 17x f)2ab 3a+2b a

5 102 Algebra Opgave 15 Herleid: a)13a 12b+27 a 7b 17 d)2 3b 6ab b)118a 3b ac+12 ab e)12a 2b 3b 7a c)17xy 12z 3x 3y 14x f)x 13yz 12xz 2y Delen met variabelen In de wiskunde wordt een deling meestal met een breukstreep geschreven, zoals wedievanbreukenkennen. Dusniet(ax) (12b)maar ax 12b Ookbijzo ndelingsprekenwevandetellerendenoemer. Let op: Eigenlijk zouden we moeten zeggen dat de noemer 12b, en dus b niet0magzijn. Maaromdatdatzovanzelfsprekendis,wordtditnooitgedaan. Delingen met variabelen vermenigvuldigen x z 3ab = 3abx 2c 2cz 2 a 3= 6 a Breuken en delingen kunnen worden vermenigvuldigd door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en de noemers met elkaar te vermenigvuldigen.(bedenkhierbijdatbijvoorbeeld3kanwordengeschrevenals 3 ac 1 en ac als 1. ) Opgave 16 Herleid: a) a 9 7 b c) 8 x y 3 e) 2a b c 3d Opgave 17 Herleid: b) 5 x 3 d) 5p q a b f)4 a b a) 6a 11b 1 7 c)b a 7 e) x y 21 5 b) 3a b x y d) 3x y p 12q f) a 2b p 2q x 2y

6 Variabelen 103 Delingen met variabelen vereenvoudigen Breuken en delingen hebben de eigenschap dat ze op verschillende manieren geschreven kunnen worden, terwijl ze toch dezelfde waarde houden(dezelfde plaats op de getallenlijn): 1 2 = 2 4 = 3 6 Teller en noemer mogen met een zelfde getal of variabele worden vermenigvuldigd. Deze eigenschap heet de equivalentie-eigenschap. De eigenschap volgt uit de vermenigvuldigingsregel voor breuken, immers: a b = a b 1= a b c c = ac bc Natuurlijk kunnen teller en noemer ook door eenzelfde getal of variabele worden gedeeld. Deze eigenschap gebruiken we nu bij het vereenvoudigen van delingen. In plaats van het weggedeelde getal of de weggedeelde variabele zetten weeen1. Opgave 18 Herleid: a) 24a 6 c) p 7p e) 18abc 3a abc abd = /a/b c /a/b d = = 1c 1d = c d teller en noemer gedeeld door ab Opgave 19 Herleid: b) 16abc 6 d) 6a 12a a) 28xyz 14z c) 30pq 6q f) 24ab 12a e) 32a 8ab b) 12pq 3p Opgave 20 Herleid: d) 22ac 11c f) 12pq 6qr a) c) ab 2b e) Opgave 21 Herleid: a) 2x+y x+y b) d) a+b a c) axy byz f) a+b a+b e) y+x x+y b) 33ab 3b d) 5ap 10px f) 9abxy 3ayz

7 104 Algebra Wegdelen vóór het vermenigvuldigen Met de regels voor het vermenigvuldigen van breuken en de wissel-regel voor vermenigvuldigen: In de praktijk schrijven we dat korter: ac d d a = acd da = adc ad = ad ad c 1 =1 c=c of nog korter: ac d d a =/a c /d /d /a = 1c = c 1 = c, ac d d a =/a c /d /d /a = c. Opgave 22 Herleid: a) x y y z c) ab c d abd e) 2a b b 3a b) x 2y y 2x d) 3p q q f) 3a b 2b a Opgave 23 Herleid: a) ab c 2c 5a c) x 2y 1 x e) a bc 1 a b)6x 2y 3x Opgave 24 Herleid: a) 12pq b ab 3p d) pq p 4 2q c) 12 ac 3b b 4c f) p 2q 6q p e) 17xz 6 12a 34x b) ab ac d)21a 3bc 7abc f) ax 7y 14 Opgave 25 Herleid: a) x y y z z x c) 2 q b 6 12q b e)12ac bd bc b) a x y y a d) y 6b 2 y 3ab f) 5p 3q pq 7 p

8 Variabelen 105 Breuken/delingen met variabelen Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. Immers: 6 3 =2iswaar,want2 3=6. Op dezelfde manier geldt: want a b c d = a b d c = ad bc Opgave 26 Herleid: ad bc c d = a/d b/c /c /d = a b a) c) a c b d e) c d p 2 b) 2 a 3 a d) p q r q f) 2x 3y x 12 Opgave 27 Herleid: a) 2a b b 3a c)2pq 6p 3 e) 2xy z 7xy b) 3ab c 2a c Opgave 28 Herleid: a) 2x 3y x 12 d) ab ab c c) 3a 5b 2a 3b f)5 ab 5c e)7ab 14bx 3y b) 2 a 3 a d) a b 100 c f) xyz 1000 xz Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken/delingen met variabelen Breuken en delingen kunnen alleen worden opgeteld of afgetrokken als ze gelijknamig zijn, d.w.z. als ze dezelfde noemers hebben. De uitkomst heeft dezelfde noemer als de breuken die bij elkaar worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken. De teller is de som of het verschil van de twee tellers. Dit gaat dus precies zoals het optellen van breuken zonder variabelen. a b + 2c b = a+2c b

9 106 Algebra Opgave 29 Herleid: a) 2 3a + 3 3a c) x y + z y e) 12x z 12 z b) 2 3ab 3 3ab d) 2x z x z f) 12z xy 11z xy Opgave 30 Herleid: a) 3a c + 2a c c) x 2y + 3x 2y e) 2a 3b + 8a 3b b) 4y 3z 2y 3z d) q 4r q 4r f) b 2c b 2c a b + a c = ac bc + ab bc = ac+ab bc indeeerstebreuk zijn teller en noemermet c vermenigvuldigd detweedemet b. Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken/delingen Ongelijknamige breuken moeten eerst gelijknamig worden gemaakt, voor ze kunnen worden opgeteld of afgetrokken. Hiervoor maken we weer gebruik van de equivalentie-eigenschap: Teller en noemer mogen met eenzelfde getal of variabele worden vermenigvuldigd. Opgave 31 Herleid: a) 4 a + 5 2a c) 3 2a 4 a e) 7 2x 1 x Opgave 32 Herleid: b) 2 a 1 5a d) 1 3a + 2 a f) 3 2p 4 4p a) c) a bc + 1 b e) 5 a 2 ab Opgave 33 Herleid: b) 1 a + 1 b d) x y 3 z f) 2p x 3q y a)1+ 1 x c) a+ 1 3 e)x 2 y b)2 1 y d)b 2 5 f) a 1 2b

10 Variabelen 107 Opgave 34 Herleid: a) b x + c y c) 1 ab c a e) 17ab b) a x d) 12a b + 2 c f) 12x y 12a Gelijknamig maken door vereenvoudigen Soms kan gelijknamig maken door vereenvoudigen; ook hiervoor wordt weer gebruik gemaakt van de equivalentie-eigenschap. xy z xy z + ab bz = + a/b /bz = xy+a z Opgave 35 Herleid: a) 12x xy 11 y c)12 13a a e) 22ab b 21a b) 1 a + 3bc abc Opgave 36 Herleid: a) ab 2b + a 2ab c) d) 2a ab + 3c bc d bd q 2pq 4q 2q f) 21ac+ 22abc b e) x xy + z yz b) Machten a 2abc 2 6bc d) b bc + c ac f) 5c 3bc 3a ab Herhaald vermenigvuldigen van hetzelfde getal wordt geschreven als macht. Bijvoorbeeld: a 3 = a a a, a heethetgrondtalen 3 deexponent. Optellen en aftrekken van machten Machten kunnen alleen worden opgeteld of afgetrokken als ze gelijksoortige termen vormen: zowel de grondtallen als de exponenten moeten gelijk zijn, immers: a 3 = aaa. a 3 +a 3 = 2a 3 maar a 3 +a 2 = a 3 +a 2

11 108 Algebra Opgave 37 Herleid: a) a 3 +2a 3 d)x 3 y 2 22x 3 y 2 b)2x 2 3x 2 e)2x 3x+2x 2 3x 2 c)2xy 3 3xy 3 f)2x 3 2x 2 +3x 3 Opgave 38 Herleid: a)10a 2 b+3a 2 b d)3a 2 +3p 5a 2 +6p b)2d d2 e)4 1 3 y2 z y2 z 3 c)c 5 5c 5 f)3a 2 b+2ab 2 +7a 2 b+4ab 2 Vermenigvuldigen van machten Machten met hetzelfde grondtal kunnen worden vermenigvuldigd door de exponenten op te tellen. Immers: x 2 x 3 = x x x x x= x 2+3 = x 5. Maarletop: x 2 +x 3 kannietkorter. Determenzijnnietgelijksoortig,omdat de variabele in de eerste term twee keer voorkomt en in de tweede term drie keer! Opgave 39 Herleid: a) p 3 p 2 c) y 2 y 7 e) a 6 a 6 Opgave 40 Herleid: b)q 4 q 6 d) f)q 8 q a) a 4 a a 5 c)z z e)d d d 9 b)b 2 b 7 b 3 d) f)2 2 4

12 Variabelen 109 Opgave 41 Herleid: a)x 2 2x 5 c) 2a 7 7a 2 e)5y 3y 2 b)2x 2 3x d) 1 2 b 4b2 f) c 3 5 c3 Opgave 42 Herleid: a)xy y c)x 3 2x 2 y e)xyz 2 x 2 z b)xy x 3 y d)2ab 3 3a 2 b f)2xyz 3xy 4z 2 Delen van machten Machten met hetzelfde grondtal kunnen worden gedeeld door de exponenten af te trekken. Immers: a 5 a 3=aaaaa = aaa aa =1 a2 aaa 1 1 = a2 = a 5 3. Of door te vereenvoudigen. x 7 x 3 = x 4 a 3 a 5 = /a/3 1 a /52= 1 a 2 Opgave 43 Herleid: a) 26 2 c) a3 2 a e) x8 x 5 b) d) s3 s 2 f) x25 x 24 Opgave 44 Herleid: a) 8a5 4a 2 c) 12x5 6x 2 e) 18z6 9z 6 b) a15 a 15 Opgave 45 Herleid: d) 10y7 5y 3 f) 12p6 4p 5 a) p5 q 3 p 2 q 3 c) 16pq4 8pq 2 e) a4 b 7 a 4 b 4 b) a8 b 7 a 4 b d) 7x2 y 2 3 7xy f) 24a10 b 5 8a 3 b

13 110 Algebra ((z 2 ) 3 ) 2 = Machten van machten = z = z 12 Eenmachtkantoteenmachtwordenverhevendoordeexponententevermenigvuldigen.(x 3 ) 2 = x 6,immers: (x 3 ) 2 = x 3 x 3 = x x x x x x= x 6 = x 2 3. Opgave 46 Herleid: a)(2 4 ) 2 c)(x 4 ) 2 e)((b 2 ) 2 ) 3 b)(10 3 ) 5 d)(a 3 ) 8 f)((x 4 ) 2 ) 3 Machten van producten Demachtvaneenproductishetproductvandefactorentotdiemacht. (ab) 3 = a 3 b 3,immers: Nog een voorbeeld: (ab) 3 = ab ab ab=a a a b b b=a 3 b 3. (x 2 y 3 ) 4 =(x 2 ) 4 (y 3 ) 4 = x 8 y 12. Opgave 47 Herleid: a)(5 3) 2 c)(xy) 2 e)(p 2 q) 3 b)(2 3 5) 3 d)(ab 3 ) 2 f)(y 3 z 4 ) 6 Opgave 48 Herleid: a)(3a 2 b 2 ) 4 c)(2x 2 y 3 ) 2 e)(2x 2 y) 2 (xz 2 ) 3 b)(xyz) 13 d)(3x 3 y 2 ) 3 f)2(ab 2 ) 3 (ab) 2

14 Variabelen 111 Breuken en machten Demachtvaneenbreukisdiemachtvandetellergedeelddoordiemachtvan denoemer.( a b )3 = a3 b 3,immers: ( a b ) 3 = a b a b a b = a a a b b b = a3 b 3. ( x y 2 ) 2 = x 2 y 4 Opgave 49 Herleid: a)( 2 3 )2 c)( x2 y )4 e)( a7 b 3 ) 5 b)( a b )2 Opgave 50 Herleid: a)( a2 b c 3 ) 2 d)( a3 b )2 c)12( x2 y )3 f)( 2x3 y 6 ) 2 e)( x5 z 2 ) 2 ( 1 x )5 b)( 2xy2 4x 2 y )3 d) x2 y 3 y x 2 f)( 2x3 y )2 ( 1 x )5 y Alles door elkaar Opgave 51 Herleid: a) 3b 4b c) a b + 1 2b e) x ac + 2 ab b)3x 2 +x x 2 d) 30pr 12pqr f) 2 a ab c Opgave 52 Herleid: a) c)( 7pq) 2 e) a 1 b Opgave 53 Herleid: b) a bc 1 b d)(2z) 3 +z 3 f) a 1 b a) x y y z z x c)2ab 3 3a 2 b e) 8x5 +2x 5 5x 3 b) x 4 d) ( 5p6 q) 3 ( pq) 2 f)( a) 8 (a 2 ) 4

15 112 Algebra Opgave 54 Herleid: a)13x 2 y+7x 2 y c)(xy) 9 +xy 9 e) 15pqr 5p 6q 5r b) a 8 a 3 d) 2 y 3 xy f) 5p 3q 4x 5y Opgave 55 Herleid: a) 5a 2b 10x + 2x ab c) 5x 12y 2x 5 e)17m 2 8m 2 b) 20p5 q 4 5p 2 q 3 d) 35ab 60bc +x2 3yz 4cy f)(3x 3 ) 2 ( 2xy 2 ) 3 Opgave 56 Herleid: a) x 2y 2y x c)(p 3 ) 8 pq 2 e)(a 3 b) 2 b a b) x 2y 2y x d)( x y )3 ( 2 3z )2 f)( pq3 (pq) 3 ) 3