Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Transcriptie

1 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers van de breuken niet gelijk zijn aan 0. Er is ook een overzicht met de rekenregels voor breuken met animaties. Zie bij de cursus Standaardfuncties voor grafieken met breuken. 1 Eenvoudige breuken met getallen Eerst even repeteren of je de basisregels nog weet van het breuken optellen, vermenigvuldigen en vereenvoudigen. Dit gaat even zonder rekenmachine en ook zonder benaderingen met decimale punten. Dus exact en formeel met breuken rekenen zodat je het ook met letters kunt doen. 1.1 voorbeelden voorbeeld 1 a a aanwijzing als je een appel door 4 deelt heb je het vierde deel van een appel ofwel een "kwart appel".

2 voorbeeld 2 aanwijzing Je mag dus teller en noemer door hetzelfde delen. Zie voor de begrippen "teller" en "noemer" in de woordenlijst onderaan. voorbeeld 3 aanwijzing Bij het optellen van breuken moeten de noemers (onder de breukstreep) gelijknamig gemaakt worden. voorbeeld 4 aanwijzing Hier worden weer breuken opgeteld dus de noemers (onder de breukstreep) moeten gelijknamig gemaakt worden. Het is handig om de noemer niet onnodig groot te kiezen. Kies hier noemer 6 (en niet 18) want is gemakkelijk te veranderen in. oplossing

3 . voorbeeld 5 aanwijzing Bij het vermenigvuldigen worden tellers (boven de breukstreep) vermenigvuldigd met elkaar en noemers (onder de breukstreep) vermenigvuldigd met elkaar. voorbeeld 6 aanwijzing Het is wat overdreven om direct al de tellers met elkaar en de noemers met elkaar te vermenigvuldigen en daarna pas te vereenvoudigen!! Beter kun je éérst vereenvoudigen en daarna de vermenigvuldiging doen. wegstrepen

4 Wegstrepen mag dus ook schuin tegenover elkaar!! LET OP Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel verklarende woordenlijst onderaan deze les.) kan niet vereenvoudigd worden tot. Vul maar getallen in voor a en b! kan wél vereenvoudigd worden tot Stel dan is voorbeeld 7 Met letters kan er natuurlijk niet altijd vereenvoudigd worden. vermenigvuldiging. Dus $ voorbeeld 8 Het vereenvoudigen van breuken door het wegstrepen van gelijke factoren in de teller en noemer van de breuk. Je moet dan natuurlijk wel factoren hebben! Hoe is de volgende breuk vereenvoudigd? kun je vereenvoudigen tot aanwijzing Maak van de vorm een vorm met factoren.

5 Bekend moet zijn dat Dit kun je beredeneren met behulp van het wegwerken van haakjes. Zie uitleg hieronder uitleg Ontbind altijd de teller en de noemer in zoveel mogelijk factoren en ga vervolgens overeenkomstige factoren boven en onder tegen elkaar wegstrepen. Dat komt neer op het delen van teller en noemer door dezelfde factor. Zorg er natuurlijk voor dat je niet deelt door 0. In het volgende mag dit wegstrepen niet in het geval a gelijk zou zijn aan b. LET OP Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel verklarende woordenlijst onderaan deze les.) kan niet vereenvoudigd worden tot. Vul maar getallen in voor a en b! kan wél vereenvoudigd worden tot Stel dan is 2 Werken met het min-teken Bij breuken kan het minteken vóór de breuk staan, maar mag ook ín de breuk staan: naar keuze in de teller (boven de streep) of in de noemer (onder de streep). Let wel op dat als het minteken vóór de breuk staat, dat dit teken dan geldt voor de gehele breuk. of

6 2.1 Voorbeeld Ga de volgende beweringen na. Let op dat bij de tweede stap het minteken in de teller is gezet. Als je het minteken ín de breuk werkt, dan kun je dat boven óf onder doen:. en Zie voor een animatie hiervan onder de knop Minteken in de breuk. De breuk kan niet verder vereenvoudigd worden omdat je termen niet kunt wegstrepen! wegstrepen Als er factoren in de teller en de noemer van de breuk staan, kun je gemeenschappelijke factoren wegstrepen. Dit komt neer op het delen van teller en noemer door hetzelfde. kan níet verder vereenvoudigd worden. kan wél verder vereenvoudigd worden als b (en c) niet gelijk is aan 0. Immers als er tussen a en b een spatie staat, dan wil dat zeggen a b. 2.2 Voorbeeld Ga de volgende bewering na

7 Let op dat bij de tweede breuk het minteken voor deze breuk in de teller gewerkt is:. Zie voor een animatie hiervan onder de knop Minteken in de breuk. Oefening 1 Werk het minteken zo mooi mogelijk in de breuk. Oefening 2 Werk het minteken zo mooi mogelijk in de breuk. 3 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Ga naar de oefeningen met vermenigvuldigen en delen.om te kijken of je de oefeningen kunt maken zonder hulp. Lukt het niet goed, bekijk dan de aparte oefeningen en voorbeelden van paragraaf vermenigvuldigen met breuken en delen met breuken. Bekijk de voorbeelden en doe de oefeningen met pen en papier. 3.1 Vermenigvuldigen met breuken

8 Bij het vermenigvuldigen van breuken kun je de tellers met elkaar vermenigvuldigen en de noemers met elkaar vermenigvuldigen. (Denk ook aan. ) Vergeet niet te vereenvoudigen als dat kan, dat wil zeggen dat je teller en noemer door hetzelfde mag delen. Zie daarvoor ook de aanwijzing bij voorbeeld 6 in paragraaf 1.1. Er is hier boven en beneden een a en een b weggestreept. 3 b. Beneden de streep staat in totaal: b a. Je kunt dan inderdaad één a en één b boven en onder wegstrepen. Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel verklarende woordenlijst onderaan deze les.) kan NIET vereenvoudigd worden tot kan wél vereenvoudigd worden tot (Schuin wegstrepen kan dus ook.) Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Zie uitleg aan het begin van deze paragraaf. Verder moet je het nodige weten van machten, te vinden in de cursus Algebra 1 bij Wisnet. Voorbeeld 3

9 Zie voor het werken met het minteken paragraaf 2. Voorbeeld 4 Kun je nog niet goed met machten omgaan, dan is er een les met oefeningen met machten. Zoek deze zonodig op met behulp van de zoekfunctie (trefwoordenlijst). Voorbeeld 5 Vermenigvuldigen van twee breuken. Vermenigvuldig de tellers én de noemers met elkaar. aanwijzing Dus moet in zijn geheel vermenigvuldigd worden met b. Als je met haakjes werkt, zie je het beter.. Zo doe je ook met de noemer Oefeningen om zelf te doen

10 Met pen en papier! Herleid de volgende breuken tot een zo eenvoudig mogelijke vorm. vraag 1 vraag 2 vraag Delen met breuken (breuken in de breuk) Er is een aparte les over dit onderwerp met meer voorbeelden en een makkelijker begin. Bekend is dat als je deelt door 2, dan vermenigvuldig je eigenlijk met. (Je neemt dan de helft wordt ook wel gezegd.) Andersom geldt dat ook: als je deelt door, dan vermenigvuldig je eigenlijk met 2. Voorbeeld 1 Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk.

11 : teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigen Het komt neer op: teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigen. Hier is teller en noemer is hier met a vermenigvuldigd zodat het ook direct opgeschreven kan worden als: Nu de teller haakjes wegwerken en de noemer vereenvoudigen: Voorbeeld 2 Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk door teller en noemer met a te vermenigvuldigen Bij deze breuk ga je de teller én de noemer met a vermenigvuldigen en vervolgens de haakjes wegwerken. Nu teller én noemer met a vermenigvuldigen:

12 Werk nu boven en onder de buitenste haakjes weg: Let op dat. Let op! Er kan in deze breuk NIETS weggestreept worden. Er staan immers min-tekens en plus-tekens. Vergelijk de situatie met de volgende als er sprake was geweest van een vermenigvuldiging waarbij je kunt wegstrepen. wegstrepen Bij de volgende breuk staat er een vermenigvuldiging!!! en kan er weggestreept worden! Er is een duidelijk verschil met de oorspronkelijke opdracht! Dit kan vereenvoudigd worden tot aanwijzing Er kan nu namelijk de hele factor ( ) in zijn geheel boven en onder weggestreept worden, omdat er sprake is van een vermenigvuldiging. Dit was dus een ander vraagstuk dan de oorspronkelijke waar het ging om de volgende vorm:

13 Daarin kan dus niet zo gemakkelijk iets worden weggestreept. voorbeeld 3 LET OP, DEZE IS BELANGRIJK! Vereenvoudig de volgende vorm: tip Vermenigvuldig teller en noemer met Vermenigvuldigen met in de teller en in de noemer levert het volgende: aanwijzing Een veelgemaakte fout is dat je misschien denkt dat gelijk zou zijn aan. Dit is niet waar!!! Wél waar is

14 Oefening om zelf te doen Deze vragen gaan over het delen met breuken. Je ziet dan breuken in een breuk. Let goed op wat de hoofdbreukstreep is. vraag 1 Vereenvoudig de volgende vorm aanwijzing Er zijn meer mogelijkheden om dit aan te pakken. Eerst kunnen de haakjes weggewerkt worden en daarna kan de teller en de noemer beiden met a vermenigvuldigd worden. Let hierbij op hoe de haakjes weggewerkt dienen te worden! Kijk bijvoorbeeld eerst eens naar de teller van de breuk die gegeven is Dit kun je vereenvoudigen tot: Doe hetzelfde met de noemer en ga vervolgens teller én noemer met a vermenigvuldigen. Vergeet niet dit met pen en papier te doen. Uit het hoofd kan haast niet!

15 vraag 2 Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk. Kom tot het in een paar verschillende stappen met pen en papier! vraag 3 Herleid de volgende samengestelde breuk zo goed mogelijk. tip 1 Werk eerst de haakjes weg in de noemer tip 2 Vermenigvuldig nu alles in de teller én alles in de noemer met

16 tip 3 Je kunt het nu verder zo laten staan of in de teller ontbinden in factoren, dat kan ook, in de hoop dat er nog iets weg te strepen valt. Er valt niets meer weg te strepen dus zo kan het ook blijven staan. Eventueel kunnen in de teller de haakjes nog weggewerkt worden. Echter er kan niets weggestreept worden!. vraag 4 Herleid de volgende samengestelde breuk zo goed mogelijk. tip Werk de haakje weg in de noemer en vermenigvuldig teller en noemer met 9. Werk eventueel de haakjes weg in de teller van dit. 3.3 Haakjes wegwerken en ontbinden in factoren Als je breuken wilt vereenvoudigen, is het handig om gelijke factoren boven en onder de breukstreep tegen elkaar te kunnen wegstrepen.

17 Het verschil van twee kwadraten kun je ontbinden in twee factoren. Werk de haakjes weg in het rechter lid en kijk wat er komt. oefening 1 Werk de haakjes weg van de volgende vorm: oefening 2 Werk de haakjes weg van de volgende vorm: oefening 3 Ontbind in factoren: oefening 4 Ontbind in factoren:

18 aanwijzing Dit is natuurlijk hetzelfde als. Ga dat na. Zie eventueel verder voor oefeningen en zelftoetsen met Haakjes wegwerken en een oefening met Ontbinden in factoren. Als je dat kunt, zal dat helpen met het doorzien van sommige vereenvoudigingen met breuken. In paragraaf 5 ontbinden zie je een overzicht van de meest voorkomende ontbindingen. Leer ze van voor naar achter en van achter naar voor uit het hoofd! 3.4 Oefeningen met vermenigvuldigen en delen Vereenvoudigings oefeningen. Vraag 1 Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk. Eerst alle getallen en dan de letters achtereenvolgens op alfabet. Vraag 2 Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk. aanwijzing De factoren ( ) en ( ) kunnen als geheel weggestreept worden boven en onder de streep. Dat wil dus zeggen dat je de teller en de noemer van de uiteindelijke breuk door hetzelfde deelt. Hoe dat werkt zie je nog even in paragraaf voorbeeld 8 van paragraaf 1.1.

19 Vraag 3 Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk. aanwijzing Schrijf als (verschil van twee kwadraten paragraaf 4.3) zodat gelijke factoren boven en onder weggestreept kunnen worden. Als je dit niet goed kunt, oefen dan met het wegwerken van haakjes. Zie daarvoor bij de External Links: Haakjes wegwerken. LET OP Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel verklarende woordenlijst onderaan deze les.) kan niet vereenvoudigd worden tot. Vul maar getallen in voor a en b! kan wél vereenvoudigd worden tot Stel dan is Ga na dat er boven en onder de factor een factor. kan worden weggestreept en ook nog vraag 4 Vereenvoudig de volgende breuk

20 Teller en noemer ontbinden: Gelijke factoren wegstrepen wat neerkomt op teller en noemer delen door de factor. Lukt het niet goed met deze drie vragen, bekijk dan de aparte oefeningen en voorbeelden van paragraaf vermenigvuldigen met breuken en delen met breuken. 4 Breuken optellen en aftrekken en vereenvoudigen De volgende breuken moeten steeds samengenomen worden tot één breuk. Vergeet niet zoveel mogelijk te vereenvoudigen. Bij breuken met verschillende noemers, moeten de noemers eerst gelijknamig gemaakt worden, voordat ze samengenomen kunnen worden. 4.1 Voorbeeld 1 uitleg Kies een gemeenschappelijke noemer zó dat het niet veel moeite kost om de breuken die samengenomen moeten worden gelijknamig te maken. In dit geval kan de breuk gemakkelijk geschreven worden als door de teller en de noemer met 2 te vermenigvuldigen Voorbeeld 2

21 uitleg Kies de gemeenschappelijke noemer:. Bij de tweede breuk kan deze noemer gerealiseerd worden door de teller én de noemer van deze tweede breuk met c te vermenigvuldigen. Vervolgens kijk je naar de tellers en neem de breuken samen. 4.3 Voorbeeld 3 breuken gelijknamig maken De eerste breuk teller en noemer met vermenigvuldigen De tweede breuk teller en noemer met vermenigvuldigen De derde breuk teller en noemer met 2 vermenigvuldigen Uitleg Kies als gemeenschappelijke noemer. Kies de gemeenschappelijke noemer nooit groter dan nodig is!!! Bij de eerste breuk hoeft de teller en de noemer dan alleen nog maar vermenigvuldigd

22 te worden met en bij de tweede breuk is dat met. Bij de derde breuk kun je volstaan met teller en noemer met 2 te vermenigvuldigen om de noemer te maken. 4.4 Oefeningen om zelf te doen Met pen en papier de volgende breuken vereenvoudigen. Ga steeds op de rode inputregel staan en druk op Enter om de vraag te zien. Kijk eventueel naar de uitgewerkte voorbeelden met uitleg: voorbeeld 1 of voorbeeld 2 of voorbeeld 3 voor de manier van opschrijven. vraag 1 Aanwijzing De tweede breuk teller en noemer met c vermenigvuldigen zodat de noemers gelijk worden. Anwoord vraag 2 Aanwijzing De noemer van de tweede breuk kun je schrijven als minteken zijn deze twee breuken snel gelijknamig te maken., dus met een Let ook op dat te ontbinden in factoren is als (Verschil van twee kwadraten.) Ga eventueel ook naar paragraaf 6 waar je meer hierover leert. Antwoord

23 vraag 3 Aanwijzing Het getal 2 kun je schrijven als en dat is met de haakjes weggewerkt weer hetzelfde als. Antwoord vraag 4 Aanwijzing Je kunt schrijven als Antwoord vraag 5 Aanwijzing Je kunt 1 schrijven als Antwoord

24 Let hierbij op het minteken voor de middelste breuk dat dus voor die héle breuk staat. vraag 6 Aanwijzing Bedenk dat je kunt schrijven als en dat je 1 kunt schrijven als. Antwoord 5 Werken met ontbinden in factoren 5.1 Voorkennis Het is beslist noodzakelijk dat je goed kunt ontbinden in factoren als je op een beetje niveau met breuken wilt leren omgaan. De omgekeerde bewerking is het wegwerken van haakjes. Daarover is ook oefenmateriaal beschikbaar. Zie ook al een korte aanwijzing met oefeningen in paragraaf 4.3 haakjes wegwerken en ontbinden. Daarin staan oefeningen van het verschil van twee kwadraten. Een schema van de meest voorkomende ontbindingen is het volgende: (zoveel mogelijk buiten

25 haakjes halen) kwadraten) (het verschil van twee Verder hebben we nog het soort waarbij je twee getallen moet zien te vinden om het kloppend te maken. Leer deze vier soorten in ieder geval uit het hoofd en oefen ermee om ze snel te kunnen herkennen. Leer het van achter naar voren en van voor naar achteren. De vorm met de haakjes (ontbonden in factoren) is het meest geschikt voor het wegstrepen van overeenkomstige factoren in teller en noemer van een breuk! 5.2 vereenvoudigen van breuken Bij het vereenvoudigen van breuken kun je steeds proberen om teller en noemer van een breuk door hetzelfde te delen. Dit komt neer op het wegstrepen van gelijke factoren boven en onder de streep. Zoals je in voorbeeld voorbeeld 7 van paragraaf 2 en vooral voorbeeld 8 van paragraaf 2 hebt gezien, moet je hiervoor ontbinden in factoren goed kunnen. Heel veel vereenvoudigen van breuken komt neer op het goed kunnen ontbinden in factoren. Kijk nog eens bij het onderdeel Ontbinden in factoren als je hierover een extra les wilt hebben. voorbeeld Noemer ontbinden in factoren Teller en noemer door t delen (t wegstrepen dus). toelichting Als je niet zou ontbinden in factoren, dan had je ook geen factoren kunnen wegstrepen! Je kunt namelijk alleen factoren wegstrepen.

26 Doe ook nog eens het voorbeeld 8 van paragraaf 1 met de uitleg erbij om te zien hoe dit gaat. 5.3 Optellen en aftrekken van breuken (op niveau) Bij het optellen en aftrekken van breuken, moet je eerst zoveel mogelijk factoren in de noemer maken om te kunnen zien welke noemer je uiteindelijk kiest als gemeenschappelijke noemer om de breuken samen te kunnen nemen. Als je niet ontbindt in factoren dan komt het vaak voor dat je misschien wel veel te grote en ingewikkelde noemers kiest. Denk aan het optellen van. Je gaat dan ook niet noemer 54 kiezen om de twee breuken op te tellen. Veel handiger is: dan hoef je later vaak ook niet nog een keer verder te eenvoudigen. voorbeeld Schrijf de volgende twee breuken als één breuk en vereenvoudig zoveel mogelijk.

27 aanwijzing 1 Ga eerst de twee noemers ontbinden in factoren en bepaal wat de gemeenschappelijke noemer het beste zou kunnen zijn. Ontbinden van de noemers: aanwijzing 2 Het snelst is om bij de eerste breuk in de teller en de noemer met s te vermenigvuldigen en dat bij de tweede breuk te doen met de factor t. aanwijzing 3 De breuken hebben nu dezelfde noemer gekregen en kunnen samen genomen worden. aanwijzing 4 Gelukkig stond de noemer nog in de ontbonden vorm (de haakjes in de noemer liever niet meteen wegwerken!) Er kan nu nog een factor in de teller en in de noemer weggestreept worden namelijk de factor ( ).

28 vraag 1 Aanwijzing Bedenk dat je kunt schrijven als en dat je kunt schrijven als. Antwoord Bij de eerste breuk kan teller en noemer ontbonden worden: De eerste breuk kan dus vereenvoudigd worden. De noemers zijn nu gelijk dus de breuken kunnen samen genomen worden. LET OP! Hier gaat het vaak fout. Zet voor de zekerheid eerst even haakjes om eerst bijelkaar te houden en werk nu de haakjes weg. Herleiden: Eventueel het minteken vóór de breuk (maar dat hoeft niet)

29 vraag 2 Aanwijzing De noemer van de breuk kun je schrijven als twee kwadraten). Antwoord (Het verschil van vraag 3 Aanwijzing De noemer van de breuk kun je schrijven als twee kwadraten). Antwoord (Het verschil van vraag 4

30 Aanwijzing Bij de eerste breuk teller en noemer met vermenigvuldigen en bij de tweede breuk teller en noemer met vermenigvuldigen. Antwoord Gelijke noemers maken Breuken samen nemen Boven de breukstreep haakjes wegwerken en herleiden Onder de breukstreep ook haakjes wegwerken. vraag 5 Aanwijzing Bij de eerste breuk teller en noemer met vermenigvuldigen en bij de tweede breuk teller en noemer met vermenigvuldigen. Antwoord Door te kijken bij vraag 8 zou je zelf kunnen herleiden en dan het vinden: vraag 6

31 aanwijzing De noemer van de tweede breuk kun je ontbinden in factoren als (Het verschil van twee kwadraten). Daarna kun je bij de eerste breuk teller en noemer met vermenigvuldigen. Ga eventueel ook naar paragraaf 6 waar je meer hierover leert. Noemer van de tweede breuk ontbinden. Gelijke noemers maken. Breuken samen nemen. Herleiden. x vraag 7 aanwijzing Ontbind de noemer van de eerste breuk en bepaal dan welke noemer je kiest om de noemers gelijknamig te maken. Dan kies je dus noemer

32 Gelijknamig maken. Bij de tweede breuk de haakjes in de teller uitwerken. En nu OPLETTEN! want hier gebeuren altijd fouten mee! Breuken samen nemen en voor de zekerheid bijelkaar houden: Haakjes wegwerken: Herleiden: Klaar.