Eenvoudige breuken. update juli 2007 WISNET-HBO

Transcriptie

1 Eenvoudige reuken update juli 2007 WISNET-HBO De edoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met reuken. Steeds wordt ij geruik van letters verondersteld dat de noemers van de reuken niet gelijk zijn aan 0. Door ij de oefeningen steeds op de rode input te gaan staan en <Enter te drukken, komt de formule in het lauw gecentreerd te staan. TIPS. - Om het overzicht te houden, kun je met View, Collaps All Sections alle paragrafen weer dichtmaken. - Als je met een paragraaf ezig ent geweest is het handig om daarna deze weer dicht te klikken voor het ehouden van het overzicht. - Met een van de knoppen ovenaan (het vergrootglaasje) kun je de letters op het scherm vergroten. - Met Edit, Remove Output, kun je alle output weer uit het worksheet halen. - Omdat we met pen en papier werken is het geruik van decimale getallen in deze les niet interessant en geeft geen extra ijdrage voor het egrip. - Onderaan is een woordenlijst voor de geruikte egrippen in deze les. Eenvoudige reuken met getallen Eerst even repeteren of je de asisregels nog weet van het reuken optellen, vermenigvuldigen en vereenvoudigen. Dit gaat even zonder rekenmachine en ook zonder enaderingen met decimale punten. Dus exact en formeel met reuken rekenen zodat je het ook met letters kunt doen. 2. vooreelden vooreeld 4 a a 4 a 4 als je een appel door 4 deelt he je het vierde deel van een appel ofwel een

2 "kwart appel". vooreeld Je mag dus teller en noemer door hetzelfde delen. Zie voor de egrippen "teller" en "noemer" in de woordenlijst onderaan. vooreeld Bij het optellen van reuken moeten de noemers (onder de reukstreep) gelijknamig gemaakt worden vooreeld Hier worden weer reuken opgeteld dus de noemers (onder de reukstreep) moeten gelijknamig gemaakt worden. Het is handig om de noemer niet onnodig groot te kiezen. Kies hier noemer 6 (en niet 8) want is gemakkelijk te veranderen in 2 6. oplossing 2

3 vooreeld Bij het vermenigvuldigen worden tellers (oven de reukstreep) vermenigvuldigd met elkaar en noemers (onder de reukstreep) vermenigvuldigd met elkaar. vooreeld Het is wat overdreven om direct al de tellers met elkaar en de noemers met elkaar te vermenigvuldigen en daarna pas te vereenvoudigen!! Beter kun je eerst vereenvoudigen en daarna de vermenigvuldiging doen wegstrepen Wegstrepen mag dus ook schuin tegenover elkaar!! 8 LET OP Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel verklarende woordenlijst onderaan deze les.) 2 4 9

4 a a kan niet vereenvoudigd worden tot. Vul maar getallen in voor a en! a a kan wél vereenvoudigd worden tot Stel a 8 dan is 24 8 vooreeld 7 Met de computer invoeren vooreeld 6 geeft automatisch vereenvoudiging: Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. /8*4/9; 6 Met letters kan er natuurlijk niet altijd vereenvoudigd worden. Bij vermenigvuldiging met letters hoeft er geen -teken tussen. Een spatie etekent vermenigvuldiging. Dus a a a. /a*4/; 2 a vooreeld 8 Het vereenvoudigen van reuken door het wegstrepen van gelijke factoren in de teller en noemer van de reuk. Je moet dan natuurlijk wel factoren heen! Hoe is de volgende reuk vereenvoudigd? a a 2 2 met ehulp van de computer (a)/(a^2-^2); a 4

5 %simplify(%); a a 2 2 a a 2 2 a Als je niet weet hoe deze vereenvoudiging tot stand komt is het aan te raden om de en de uitleg te openen. Maak van de vorm a 2 2 een vorm met factoren. Bekend moet zijn dat a 2 2 ( a ) ( a ) Dit kun je eredeneren met ehulp van het wegwerken van haakjes. Zie uitleg hieronder uitleg Ontind altijd de teller en de noemer in zoveel mogelijk factoren en ga vervolgens overeenkomstige factoren oven en onder tegen elkaar wegstrepen. Dat komt neer op het delen van teller en noemer door dezelfde factor. Zorg er natuurlijk voor dat je niet deelt door 0. In het volgende mag dit wegstrepen niet in het geval a gelijk zou zijn aan. a a 2 2 a ( a )( a ) a ( a ) ( a ) a LET OP Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel verklarende woordenlijst onderaan deze les.) a a kan niet vereenvoudigd worden tot Vul maar getallen in voor a en! 5

6 a a kan wél vereenvoudigd worden tot Stel a 8 dan is Werken met het min-teken Bij reuken kan het minteken vóór de reuk staan, maar mag ook ín de reuk staan: naar keuze in de teller (oven de streep) of in de noemer (onder de streep). Let wel op dat als het minteken vóór de reuk staat, dat dit teken dan geldt voor de gehele reuk. 5 a 5 a of 5 a 5 a. Vooreeld Ga de volgende eweringen na. a a a c c c Let op dat ij de tweede stap het minteken in de teller is gezet. Als je het minteken ín de reuk werkt, dan kun je dat oven óf onder doen:. ( a ) a en ( c ) c. Zie voor een animatie hiervan onder de knop Minteken in de reuk. De reuk kan niet verder vereenvoudigd worden omdat je termen niet kunt wegstrepen! wegstrepen Als er factoren in de teller en de noemer van de reuk staan, kun je gemeenschappelijke factoren wegstrepen. Dit komt neer op het delen van teller en noemer door hetzelfde. a kan niet verder vereenvoudigd worden. c a kan wel verder vereenvoudigd worden als (en c) niet gelijk is aan 0. c 6

7 a c Immers als er tussen a en een spatie staat, dan wil dat zeggen a. a c.2 Vooreeld Ga de volgende ewering na x y x 2 y x y x y x y x 2 y x y y x y Let op dat ij de tweede reuk het minteken voor deze reuk in de teller gewerkt is: ( x 2 y) x 2 y. Zie voor een animatie hiervan onder de knop Minteken in de reuk. Oefening Werk het minteken zo mooi mogelijk in de reuk. Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. -(a)/(0-a^2); %simplify(%); Oefening 2 a 0 a 2 a 0 a 2 Werk het minteken zo mooi mogelijk in de reuk. -(-a)/(^2-); %simplify(%); a 2 a 2 a 0 a 2 a 2 7

8 Woordenlijst factoren Factoren in een formule zijn de onderdelen van een vermenigvuldiging. vooreeld ( a ) 2 ( a ) Er staat tussen deze factoren steeds spaties. (Als het niet verwarrend is zoals ij getallen, dan hoeft er voor vermenivuldiging geen teken te staan. De uitdrukking a etekend eigenlijk a en is een product estaande uit de factoren a en.) De 4 factoren van deze vorm zijn achtereenvolgens, a, 2, a Echter de tweede factor estaat weer uit twee termen (a en ) en de laatste factor ( a) estaat ook weer uit een tweeterm. De factor 2 estaat weer uit twee factoren:. gelijknamig Bij reuken met verschillende noemers, moeten de noemers eerst gelijknamig gemaakt worden, voordat ze samengenomen kunnen worden. noemer De noemer van een reuk is het gedeelte onder de reukstreep. Zie ook paragraaf werken met het minteken. teller De teller van een reuk is het gedeelte oven de reukstreep. Zie ook paragraaf werken met het minteken. termen Termen in een formule zijn de onderdelen van een optelsom (mag ook aftrekken). vooreeld ( a ) 2 c De termen van deze formule zijn dan ( a ), 2 en c. Deze eerste term estaat weer uit twee factoren: en (a ) en de tweede term estaat weer uit twee factoren. 8