Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Transcriptie

1 Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda) E. Lambeck (Newmancollege, Breda) H. Sterk (Technische Universiteit Eindhoven) J. Verschuren (Mgr. Frencken College, Oosterhout) H. Voorn (Mgr. Frencken College, Oosterhout)

2

3 Een oefenreeks algebraïsche vaardigheden voor VWO Inleiding Algebraïsche vaardigheden vormen een onmisbaar onderdeel van de wiskundige vorming van leerlingen in het voortgezet onderwijs. De afgelopen jaren is echter op diverse plaatsen geconstateerd dat de algebraïsche vaardigheden merkbaar zijn afgenomen. De aansluiting met vervolgopleidingen in het hoger onderwijs is mede hierdoor in gevaar gekomen. Met de documenten `Rekenvaardigheden voor de bovenbouw VWO en Rekenvaardigheden voor klas en VWO beoogt de productgroep Wiskunde (VWO) uit het Netwerk West-Brabant de docenten wiskunde een handvat te bieden om algebraïsche vaardigheden gedurende de leerjaren tot en met 6 VWO voldoende aan bod te laten komen. Zo krijgen zij de mogelijkheid een serieus aansluitingsprobleem in een vroeg stadium gericht het hoofd te bieden, terwijl in de huidige situatie de rekenvaardigheidsproblematiek voornamelijk door instellingen voor hoger onderwijs wordt aangepakt, (te) laat dus. Op termijn zullen de methoden die in het voortgezet onderwijs gebruikt worden ongetwijfeld de lacunes opvullen. Het is zaak ons tot die tijd zelf actief met (dit aspect van) de aansluitingsproblematiek bezig te houden. Gunstig neveneffect van het project is ook dat samenstellers en gebruikers van het materiaal met de door hen opgedane ervaring een nuttige bijdrage zullen kunnen leveren aan de inrichting van het toekomstige wiskundeonderwijs, met oog voor aansluiting. De inrichting van het materiaal Algebraïsche vaardigheden vormen met nadruk een onderdeel van het wiskundeonderwijs. Wiskunde en wiskundeonderwijs behelzen uiteraard veel meer, en we willen niet de indruk wekken dat algebraïsche vaardigheden het centrale onderdeel van de wiskunde zijn. De door de productgroep samengestelde materialen moeten gezien worden als een coherente aanvulling bij het bestaande curriculum, waarmee een majeur aansluitingsprobleem in een vroeg stadium aangepakt kan worden. Bij de samenstelling van het materiaal hebben we ons laten leiden door de volgende uitgangspunten. Een oefenlijn voor meerdere jaren Het is van belang rekenvaardigheden gedurende langere tijd te trainen. Om die reden is materiaal samengesteld dat geschikt is om te gebruiken in de klassen tot en met 6 VWO. Korte aanduidingen van de betekenis Voor de hogere klassen is ervoor gekozen, waar mogelijk, een korte indicatie te geven waarom een techniek nuttig is. Doorgaans gebeurt dit aan de hand van een concreet voorbeeld. Hiermee hopen we leerlingen te motiveren, maar ook docenten aan te zetten op dezelfde weg verder te gaan en materiaal te verzamelen waarmee zij hun leerlingen kunnen stimuleren zich een techniek eigen te maken. Kriskrasopgaven Naast opgaven per onderwerp is ook een opgavenreeks opgenomen waarvan elk item een willekeurig rekenvaardigheidsaspect belicht. Leerlingen kunnen op deze manier uiteindelijk vaststellen of zij in een onbekende' situatie adequaat het standaardarsenaal aan technieken weten in te zetten. Maurice Alberts (Markenhage College) Ingrid van de Bliek (Mencia de Mendozalyceum) Ernst Lambeck (Newmancollege) Hans Sterk (Technische Universiteit Eindhoven) José Verschuren en Hans Voorn (Mgr. Frencken College)

4

5 Inhoudsopgave. Breuken blz.. Gelijksoortige termen samennemen 8. Rekenen met machten 9. Rekenen met wortels 0. Breuken met letters 6. Algebraïsche producten. Ontbinden in factoren 8. Eerstegraads vergelijkingen 9. Eerstegraads ongelijkheden 0. Tweedegraads vergelijkingen 6. Vervolg tweedegraads vergelijkingen. Tweedegraads ongelijkheden 8 Oefening 9 Oefening Oefening Oefening Oefening Kris Kras Opgaven 9 Antwoorden oefening t/m

6 6

7 . Breuken Hier komen gewone breuken aan de orde zoals en. Let op : ½ betekent + ½. Vereenvoudigen van breuken : b a b k a k (teller en noemer delen door k) vb. 0 8 Optellen van gelijknamige breuken : b c a b c b a + + vb ) ( ) ( (een andere manier) 9 ) ( ) ( Vermenigvuldigen van breuken : bd ac d c b a vb Delen van breuken : bc ad c d b a d c : b a Algemeen: delen door een getal is vermenigvuldigen met de omgekeerde vb. : : :

8 . Gelijksoortige termen samennemen Een onderdeel van een optelling of aftrekking noemt men een term; een vorm met meerdere termen wordt een veelterm genoemd. Een onderdeel van een vermenigvuldiging of een deling noemt men een factor. vb. in de veelterm x + y zijn de termen x en y, in x zijn en x factoren. Men onderscheidt gelijksoortige termen en niet-gelijksoortige termen. vb. x en x zijn gelijksoortige termen (van het soort x), x en 8x zijn gelijksoortige termen (van het soort x ), a b en a b zijn gelijksoortige termen (van het soort a b), x y en xy zijn niet-gelijksoortig. Gelijksoortige termen neemt men samen tot één term. vb. x + x x x 8x x a b a b 0a b x y + 6xy kan je niet korter schrijven a a + 6a + a a 8a a + 6a a + a + a 8a a a 8

9 . Rekenen met machten Een macht is een kortere schrijfwijze voor een herhaalde vermenigvuldiging van dezelfde factoren. vb. a aaa ( p) ( p)( p)( p)( p) (x + y) (x + y)(x + y) Let op het verschil tussen 9 en ( ) ( )( ) 9 Voor het rekenen met machten zijn enkele regels afgeleid a. Optellen en aftrekken van machten Alleen gelijksoortige machten kunnen samen worden genomen (zie gelijksoortige termen) vb. x + 9x x 6x 8x : kan je niet korter schrijven b. Vermenigvuldigen van machten : a p a q a p + q vb. a a a 0 x x 6 x x 6 8x 8 x x x x x (bij het rekenen met machten is x x) 9x y xy x y p p a a p q a c. Delen van machten : en a als p > q en als p < q p q q q p a a a a p vb. 6x y 6 x y x y x y x y xy 9xy y p pq d. Macht van een macht : ( ) vb. ( ) x x a q a p p e. Macht van een product : ( ) vb. ( x) x 8x ( x ) ( ) x x p ab a 6 6 ( a ) ( a ) a a 8a ( p q) p q p 6 ( pq ) p q q b 9

10 . Rekenen met wortels a is het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan a. vb. 6 want 6 9 want 9 Wortels zijn te benaderen met decimale getallen, daarvoor kun je je rekenmachine gebruiken. Het is gebruikelijk in de wiskunde en ook vaak nuttig om de wortels waar mogelijk te vereenvoudigen. Hieronder bespreken we hoe je dat aanpakt. a. Optellen en aftrekken van wortels Alleen gelijksoortige wortels kunnen worden samen genomen tot één wortel (zie gelijksoortige termen) vb dit kan je niet eenvoudiger schrijven b. Vermenigvuldigen van wortels : a b ab vb c. Delen van wortels : 8 vb. 9 a b a b d. Vereenvoudigen van wortels Als er een wortel in het antwoord voorkomt en er wordt niet gevraagd naar een benadering, is het gebruikelijk de wortels zover mogelijk te vereenvoudigen. Dit betekent dat je zoveel mogelijk kwadraten buiten de wortel brengt. vb

11 . Breuken met letters a. Vereenvoudigen van breuken vb. 8a + b 8a 0ab + b b + b 0ab b a + b b + b ab + b b. Optellen van breuken : a c a c + + b b b vb. x z x z + + y y y Vaak moeten eerst de breuken gelijknamig gemaakt worden. vb. a + b r x + y x b b a a + b + b b r x + x y x y r + x x y c. Vermenigvuldigen van breuken : vb. x r rx y s sy u x u x v v ux v a b c d ac bd a c a d ad d. Delen van breuken : : b d b c bc Algemeen: delen door een getal is vermenigvuldigen met de omgekeerde. vb. xy y : z x xy x z y y x z y y x z

12 6. Algebraïsche producten Een techniek die veel wordt toegepast op algebraïsche vormen is het herleiden van producten tot een som of een verschil. We herkennen daarbij een aantal veel voorkomende technieken.. e Algemeen product : a(b + c) ab + ac vb. x(x 6) 6x 8x. e Algemeen product : (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd vb. (x + )(x 6) 6x x + 9x 8 6x x 8 vb. (x )(x + 9) x + x 6 vb. (p 6)(p ) p p + 0 de e term ontstaat uit de som van en 9 en de e term uit het produkt van en 9. e Bijzondere product : (a b)(a + b) a b vb. (x )(x + ) 9x 6. e Bijzondere product : (a + b) a + ab + b De middelste term, ab, noemt men het dubbelproduct. vb. (x + ) x + x + 9 vb. (x ) x x + 9

13 . Ontbinden in factoren Dit betekent dat een som van termen wordt geschreven als product. We kennen daarvoor een aantal methoden. De methoden zijn afgeleid van de algebraïsche producten. a. Gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen vb. x 8x x(x ) vb. 6a b ab ab(a b) vb. x + x x (neem het min-teken mee naar buiten) x(x x + ) b. Som-product methode vb. x + x + 6 (x + )(x + ) want + en x 6 vb. p p 0 (p )(p + ) want + en x 0 c. Verschil van kwadraten vb. x y (x y)(x + y) vb. a 6 (a )(a + ) vb. 9a b (a b)(a + b)

14 8. Eerstegraads vergelijkingen Een eerstegraads vergelijking is een vergelijking die te herleiden is tot ax + b c. Het oplossen van de vergelijking is het zoeken naar een getal dat, na invulling voor de onbekende, een ware bewering oplevert. vb. x + x + heeft als oplossing x want + + ( ) De methode die we hier gebruiken is de balans-methode. Je mag aan beide kanten van het "" teken met hetzelfde getal vermeerderen, verminderen, vermenigvuldigen en delen, zonder dat de oplossing verandert. vb. x + x + [ x] x + [ ] x [ -] x vb. / x / x + [ 6] x 8 0x + 8 [ 0x] x 8 8 (+8] x 6 [:-] 6 x Eerstegraads vergelijkingen hebben precies één oplossing.

15 9. Eerstegraads ongelijkheden Het oplossen van de ongelijkheid is het zoeken naar alle getallen die, na invulling voor de onbekende, ware beweringen opleveren. De methode die we hier gebruiken lijkt sterk op de balans-methode van de eerstegraads vergelijkingen, maar er is een belangrijk verschil. Je mag aan beide kanten van het ">" en < teken met hetzelfde getal vermeerderen, verminderen, met een positief getal vermenigvuldigen en door een positief getal delen, zonder dat de oplossing verandert. Echter vermenigvuldig je met of deel je door een negatief getal, dan slaat het teken om. vb. x + > x + [ x] x + > [ ] x > 6 [ : ] x > vb. (x ) < (x +) [haakjes wegwerken] x < 6x + [ 6x] x < [+] x < [:-] x > /

16 0. Tweedegraads vergelijkingen Het oplossen van de vergelijking is het zoeken naar getallen die, na invulling voor de onbekende, ware beweringen opleveren. vb. x + x heeft twee oplossingen, nl. en, want ( ) + ( ) en + De methode om deze vergelijkingen op te lossen berust op het volgende principe: Een product is gelijk aan nul als een van de factoren gelijk aan nul is. In formule: als a b 0 dan moet gelden a 0 of b 0 De methode: werk eventuele haakjes weg, herleid de vergelijking op nul, ontbind het linkerlid in factoren (zie ontbinden in factoren), pas toe: ab 0 d.w.z. a 0 of b 0, werk de twee eerstegraads vergelijkingen verder uit. vb. x + x (op nul herleiden) x + x 0 (ontbinden in factoren; som-product-methode) (x + )(x ) 0 x + 0 of x 0 x of x vb. ½x + x 0 (ontbinden in factoren: gemeenschappelijke factor) ½x(x 6) 0 ½x 0 of x 6 0 x 0 of x 6 vb. x 6 (op nul herleiden) x 6 0 (ontbinden in factoren: verschil van kwadraten) (x )(x + ) 0 x 0 of x + 0 x of x nb. vaak zal je bij dit type het antwoord snel kunnen geven en kan je alle stappen overslaan. x 6 x of x 6

17 . Vervolg tweedegraads vergelijkingen Als het linkerlid van de vergelijking niet eenvoudig is te ontbinden, dan is er nog een alternatieve methode, de abc-formule. We gaan uit van de algemene vorm: ax + bx + c 0 We berekenen eerst de Discriminant D b ac Daarna kunnen we de oplossingen berekenen met: x b a D en x b + a D vb. x x 0 a, b en c D ( ) ( ) x of x + (controleer met je rekenmachine dat het antwoord goed is!) vb. 8x + 6x + [ ] 8x + 6x + 0 dan a 8, b 6 en c + D x of x

18 . Tweedegraads ongelijkheden Om de ongelijkheid f(x) > g(x) op te lossen, vraag je je af: Voor welke x of x en ligt het punt (x,f(x)) van de grafiek van f boven het punt (x,g(x)) van de grafiek van g?. Vergelijkbaar is natuurlijk de ongelijkheid f(x) < g(x). Het is daarvoor nodig de grafieken van f en g te tekenen. Daarna moeten de coördinaten van het snijpunt (of de snijpunten) berekend worden. Oplosmethode: het -stappen-plan. voer in op je GR y linkerlid y rechterlid. schrijf het venster op en schets de grafiek. bereken de coördinaten van het snijpunt (de snijpunten) door de vergelijking f(x) g(x) op te lossen: hetzij algebraïsch, hetzij met je GR. lees het antwoord af uit de grafiek vb. Los algebraïsch op x + x + > x. y x + x + y x. [,] x [,]. snijden: f(x) g(x) x + x + x x + x x x 6 0 (x + )(x ) 0 x v x. x + x + > x geeft < x < 8

19 Oefening Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. a + a 9a + 0a b. ab 9a b + ab + a b c. a b 8a b a b + 9a b d. 9x 8x 0x + 6x x + x Opgave. Herleid de volgende machten: a. x y ( 6x y) b. (a ) c. ( x y)( 6xy ) d. (x y 6 ) Opgave. Herleid de volgende wortels: a. ( 6 ) b c. 9 d. ( ) Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. x(x ) e. xy(x + y 6) b. (x + )(9x 6) f. (x + 9)(x + ) c. (x + )( x ) g. (p q)(p + q) d. (x + )(x ) h. (x + 0) Opgave. Ontbind in factoren: a. x x e. x + x + b. ½ p + p p f. 8p q pq c. x 6 g. a a d. a b ab h. k + k 0k Opgave.6 Los de volgende vergelijkingen op: a. (x 6) + x (x 8) + b. ¼ x + x 8 c. / x ½ (x ) d. / x (x ) / (x ) + (x ) 9

20 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x e. p(p+ ) p b. x 6 f. ½ x x c. x + x + 0 g. x d. a h. x ½ x Opgave.8 Herleid tot één breuk: a. b. c. d. + e. 8 f. 9 + g h. : Opgave.9 Herleid: a. b. xy 8x abc ac c. d. pq + ps p p + q p + q Opgave.0 Los algebraïsch op: a. x x > 0 b. x < 6x 0

21 Oefening Opgave. Herleid: a. b. c. 8 d. 8 9 e.. 0 f. : 00 g. 8 h. 6 8 i. : j : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x (x + x ) + 6x b. x(x 8) 9x(x + ) c. x ( 9x) ½(x + ) d. / (x ) ½(x + ) Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy b. (a 6 b ) ( ab ) c. d. 0a ab 9xy x b y e. f. ( xy (x x xy y ) y) xy : x y Opgave. Herleid de volgende wortels: a. + 0 b. 0 c. 6 + d. ( 0 ) e. ( ) 6 9

22 Opgave. Herleid: a. x(x 8) (x x + ) e. (x ) b. (x )(½ x + ) f. (x + ) c. (x + 0)(x 0) g. x(x )(x + ) d. (x )(x + 0x + ) h. (½ x 6) Opgave.6 Ontbind in factoren: a. x 8x e. x x + 9 b. x + x 0 f. x 6x c. / x x + 6x g. ½ p q p q d. x + 0 h. t + t + t Opgave. Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) b. / (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6) Opgave.8 Los op: a. x 0 d. x x + 8 b. x x e. x 0 c. ½ x + (x + ) f. x(x + ) Opgave.9 Herleid de volgende formules: a. b. T P a + 0b + a 6a a c. d. x 60x y 0x p + p A p + p + 6 Opgave.0 Los op, rond je antwoord af op één decimaal: a. 0,x + x + 6 > 0 b. x x + >

23 Oefening Opgave. Herleid: a. b. 6 c. 9 d. e. : f. : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x(x ) (x )(x ) c. (x ) + (x + )(x ) b. (x )(x + )(x + ) d. / (x ) ½ (x + ) Opgave. a. b. xy x y ( xy x ) y Herleid: c. d. a ab b a b : ab ( a) ( a) Opgave. Herleid de volgende wortels: a. b c. d. ( ) 8 Opgave. Ontbind in factoren: a. ½a a e. x 0x + b. x + x 8 f. x + x c. p g. x(x ) + (x ) d. x x h. ab ab Opgave.6 Los op: a. (x + ) (x ) > (x + ) x b. ¼(x + ) x / (x + 0) < ½ x(x 6)

24 Opgave. Los op: a. x c. x + x 6 b. ½x 6x d. x x 9 x Opgave.8 Herleid: a. b. c. a a + c c x x + y y x y x + y 0x y 9x y x y d. e. f. + a a x y a b : c b Opgave.9 Los algebraïsch op: a. x + x > b. x > 9 c. x + x > 0 d. x 9 < 0

25 Oefening Opgave. Herleid de volgende breuken: a. 6 b. 0 c. 6 d. + 9 Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. ab a b + ab a b b. a b 8a b a b + 9a b c. 9x + 6x x + x 8x 0x d. p + p 9p + 0p Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy b. (p 6 q ) ( pq ) c. d. a b ab 6x 8x y y Opgave. Herleid de volgende wortels: a. b c. d. ( ) 8 Opgave. Herleid: a. (p 9)(9p ) d. (a + )(a + ) b. (x + 6)( x 6) e. (x )(x + 8) c. x(x ) f. 6xy(x + y )

26 Opgave.6 Ontbind in factoren: a. a a d. x + x + 6 b. x + x + x e. 9p q pq c. p p f. a b ab Opgave. Los op: a. x c. x x b. ½x 8x d. 6 x x + x Opgave.8 Herleid: a. b. c. xy y 9 x x 9p p q q d. e. f. x y ab c x y x : y a 9bc x : y Opgave.9 Los op, rond je antwoord zo nodig af op één decimaal: a. x x < b. x x < (x )(x + ) 6

27 Oefening Opgave. Herleid: a. b. 8 c. : d. : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. (p + p ) + 6p + p b. ( 6x) (x + ) c. ½ (a + ) / (a ) Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. a(a ) d. xy(x + y 6) b. (p + )(p 6) e. (a )(a + ) c. ( x + 6)( x 6) f. (p q)(p + q) Opgave. Herleid de volgende wortels: a b. 6 + c. ( d. ( ) ) 6 + Opgave. Ontbind in factoren: a. x 8x d. x 6x + 6 b. a + 6a 0 e. x x c. ½ x ½ x + 9x f. a b a b Opgave.6 Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) b. ¼ (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6)

28 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x d. x(x + ) ( ½ x) b. x + 8 e. ½ a a c. x + x f. p Opgave.8 Herleid a. b. c. x + x + x + x x + x x d. e. f. + x + x 0y y : x + x x x + 9 x Opgave.9 Los op: a. (x )(x ) < 0 exact b. (x + 6) < exact c. ½ x > x + 9 op decimaal d. x + < x exact 8

29 Kris Kras Opgaven : : : ab 0. ( ) : a. ( a ) a a ( xy ). a x b 6. ( ) ab ( ) 9

30 . ( + ) 8. ( ) ( ). 0( ). ( ) ( ). ( + )( ). 6. a + 8b a 8b. t v v + t p ab p a + b x 0. + xy y... x y + a ab b a y a b 0

31 x. xy y x. : x y a 6. b ab. : p p 8. p q p : 9q a a : ( ) 9. b b 0. ( x + 6) ( x ) ). ( x ) ( x. (x 6)(x + 6). Ontbind in zoveel mogelijk factoren: a b ab + b. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x + x + 6. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x 6x + x 6. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: a 00b. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x x + 6x 8. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x 9x 9. Los algebraïsch op: 0. Los algebraïsch op: (x ) (x + ) > x. Los algebraïsch op: ( x + 0). Los algebraïsch op: x( x ) x. Los algebraïsch op: ( x + 0)

32 . Los algebraïsch op: x x. Los algebraïsch op: x + x > (x ) 6. Gegeven is de functie f(x) x x Bereken f(), f( ), f(p), f(p), f( ), f( ) p p. Gegeven is de functie f(x) x x + Bereken f(), f( ), f(p), f(p), f( ), f( ) p p

33 Antwoorden oefening Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. a + a 9a + 0a a + a b. ab 9a b + ab + a b 8ab a b c. a b 8a b a b + 9a b a b d. 9x 8x 0x + 6x x + x x x + x Opgave. Herleid de volgende machten : a. x y ( 6x y) x y b. (a ) a 6 c. ( x y)( 6xy ) 8x y d. (x y 6 ) 6x 0 y Opgave. Herleid de volgende wortels: a. ( 6 ) b c. 9 8 d. ( ) 8 6 Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. x(x ) e. xy(x + y 6) 6x x 6x y 9xy + 8xy b. (x + )(9x 6) f. (x + 9)(x + ) 6x x 8 x + 0x + 99 c. (x + )( x ) g. (p q)(p + q) x p 9q d. (x + )(x ) h. (x + 0) x x 8 x + 0x + 00

34 Opgave. Ontbind in factoren : a. x x e. x + x + x(x ) (x + )(x + ) b. ½p + p p f. 8p q pq ½p(p 6p + ) pq(p ) c. x 6 g. a a (x + )(x ) (a 6)(a + ) d. a b ab h. k + k 0k ab(a b) k(k )(k + ) Opgave.6 Los de volgende vergelijkingen op : a. (x 6) + x (x 8) + x 0 x / b. ¼x + x 8 / x x 0 c. / x ½(x ) / 6 x x 8 d. / x (x ) / (x ) + (x ) 6 / x 8 / x / 9 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x e. p(p+ ) p x(x ) 0 (p )(p + ) 0 x 0 v x p v p b. x 6 f. ½x x x v x x(x 0) 0 x 0 v x 0 c. x + x + 0 g. x (x + )(x + ) 0 x x x v x d. a h. x ½x a v a x(6x ) 0 x 0 v x / 6

35 Opgave.8 Herleid tot één breuk: a. b. c. d. + e f g h. : Opgave.9 xy pq + ps a. y c. q + s 8x p abc b. b ac p + q (p + q) d. p + q p + q Opgave.0 a. x x > 0 ) y x x y 0 ) [,0] x [ 60,0] ) snijden: x x 0 x(x ) 0 x 0 of x ) x x > 0 y > y geeft x < 0 v x >

36 b. x < 6x ) y x y 6x ) [,0] x [ 0,0] ) snijden: x 6x x 6x 0 x(x 6) 0 x 0 of x 6 ) x < 6x y < y geeft 0 < x < 6 6

37 Antwoorden oefening Opgave. Herleid: a. b. 9 8 c. 8 0 d e f. : g. 9 8 h. i. j 6 8 : 8 : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x (x + x ) + 6x x x x + 6x x + x b. x(x 8) 9x(x + ) 8x 6x 9x + 8x x + x c. x ( 9x) ½(x + ) x + 9x x ½ x ½ d. / (x ) ½(x + ) / x / x ½ / x / 6

38 Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy 0x 9 y 9 b. (a 6 b ) ( ab ) a b c. d. 0a ab 6a b 9xy x y x b y e. f. ( xy (x y x x y xy x y ) y) xy : x y Opgave. a. + 0 b c d. ( 0 ) 0 0 e. ( ) 6 9 Herleid de volgende wortels: Opgave. Herleid: a. x(x 8) (x x + ) e. (x ) x 9x x 6x +9 b. (x )(½x + ) f. (x + ) x +8x 0 x + 8x +9 c. (x + 0)(x 0) g. x(x )(x + ) x 00 x +x x d. (x )(x + 0x + ) h. (½ x 6) x + 0x x 0x 8 / x 6x + 6 8

39 Opgave.6 Ontbind in factoren: a. x 8x e. x x + 9 x(x + ) (x ) b. x + x 0 f. x 6x (x + 8)(x ) x(x + )(x ) c. / x x + 6x g. ½ p q p q / x(x 6x + 8) ½ p q ( 8p q ) d. x + 0 h. t + t + t K.N. t(t + )(t + ) Opgave. Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) / 6 x 8 x > x 8 x < / b. / (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6) / x 0 9 / 0 x < x / x > / 9 Opgave.8 Los op: a. x 0 d. x x + 8 x x x 8 0 x v x (x )(x + ) 0 x v x b. x x e. x 0 x x 0 x x(x ) 0 x x x 0 v x / c. ½ x + (x + ) f. x(x + ) ½ x x 0 (x + 8)(x ) 0 ½ x(x 6) 0 x 8 v x x 0 v x 6 Opgave.9 a + 0b (a + b) a. T a + b a + 6a a(a + ) b. P a + a a x 60x x(x 0) c. y (x 0) x 0x 0x 0 0 p + p p(p + ) p d. A p + p + 6 (p + )(p + ) p + 9

40 Opgave.0 a. 0,x + x + 6 > 0 ) y 0,x + x + 6 y 0 ) [,0] x [ 0,0] ) snijden: 0,x + x [x ] x x 0 (x 6)(x + ) 0 x 6 of x ) 0,x + x + 6 > 0 y > y geeft x < v x > 6 b. x x + > ) y x x + y 0 ) [,0] x [,0] ) snijden: x x + x x + 0 a, b, c dus D ( ) 6 8 < 0 geen snijpunten ) x x + > y > y geldt voor alle waarden van x 0

41 Antwoorden oefening Opgave. a b c Herleid: d e. : f. : 9 8 Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x(x ) (x )(x ) c. (x ) + (x + )(x ) x x x + x x 8x x x x x x x + b. (x )(x + )(x + ) d. / (x ) ½(x + ) (x + x )(x + ) / x / x ½ x + x x / x / 6

42 Opgave. Herleid: a. xy c. x y a b ab 6y b a x a b : ab b. x y ( xy xy ) d. ( a) ( a) 6a 6 Opgave. Herleid de volgende wortels: a c. ( 0 ) b d. 8 Opgave. Ontbind in factoren: a. ½a a e. x 0x + ½a(a ) (x ) b. x + x 8 f. x + x (x + )(x ) (x 6)(x 9) c. p g. x(x ) + (x ) (p + )(p 9) (x + )(x ) d. x x h. ab ab x(x )(x + ) ab(b ) Opgave.6 Los op: a. (x + ) (x ) > (x + ) x b. ¼(x + ) x / (x + 0) < ½ x(x 6) x + > 0x + / 0 x < x x < / x < 0 /

43 Opgave. Los op: a. x c. x + x 6 x x (x )(x + )0 x v x b. ½x 6x d. x x 9 x ½x(x )0 (x ) 0 x 0 v x x Opgave.8 a. b. c. d. e. f. a a a + c c c x 0x 9x x + y y y y y x y x x y xy xy xy + + a a a x y 0xy a b : c b a b b c a a 8 a c 6 a a c of ab 8bc a c Opgave.9 Los algebraïsch op: a. x + x > ) y x + x y ) [,8] x [ 0,] ) snijden: x + x x + x + 0 x x 0 (x 6)(x + ) 0 x 6 v x ) x + x > y > y geeft < x < 6

44 b. x > 9 ) y x y 9 ) [,] x [,] ) snijden: x 9 x v x ) x > 9 y > y geeft x < v x > c. x + x > 0 ) y x + x y 0 ) [,] x [,6] ) snijden: x + x 0 x(x + ) 0 x 0 v x ) x + x > 0 y > y geeft x < v x > 0 d. x 9 < 0 ) y x 9 y 0 ) [,] x [ 0,6] ) snijden: x 9 0 x 9 x 9 x v x ) x 9 < 0 y < y geeft < x <

45 Antwoorden oefening Opgave. Herleid de volgende breuken: a b c d Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. ab a b + ab a b ab a b b. a b 8a b a b + 9a b a b + a b c. 9x + 6x x + x 8x 0x 0x x + x d. p + p 9p + 0p p + p

46 Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy x 6 y 9x y xy x 9 y 0 b. (p 6 q ) ( pq ) p 8 q p q 6 p q 8 c. d. a b ab a 6x b 8x y y y Opgave. Herleid de volgende wortels: a b. 8 6 c. d. ( ) Opgave. Herleid: a. (p 9)(9p ) d. (a + )(a + ) 6p 88p + 9 a + 9a + 60 b. (x + 6)(x 6) e. (x )(x + 8) x 6 x + x 6 c. x(x ) f. 6xy(x + y ) 0x 0x x y 6xy + 0xy 6

47 Opgave.6 Ontbind in factoren : a. a a d. x + x + 6 a(a ) (x + 6) b. x + x + x e. 9p q pq x(x x ) pq(p ) x(x )(x + ) c. p p f. a b ab (p 6)(p + ) ab(a b) Opgave. Los op: a. x c. x x x v x x + x 0 (abc-formule) a b c + x v b. ½x 8x d. 6 x x + x ½x 8x 0 x + 6x 6 0 ½x(x 6) 0 (x )(x + 8) 0 x 6 v x 0 x v x 8 x Opgave.8 a. b. c. d. e. f. x x xy y xy xy xy 9 x x 9p p q q x y ab c x y 9 x 9p q x p q x p q x x : y y a 9bc x : y 6a b 6bc x y y x a b c x y y x y x 6xy x y x y x x y y

48 Opgave.9 a. x x < ) y x x y ) [,0] x [,0] ) snijden: x x Calc intersect x, en y x, en y ) x x < y < y geeft, < x <, b. x x < (x )(x + ) ) y x x y (x )(x + ) ) [,] x [ 0,0] ) snijden: x x (x )(x + ) x x x + x x x x ) x x < (x )(x + ) y < y geeft x > 8

49 Antwoorden oefening Opgave. a b Herleid: c. : 6 6 d. 9 : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. (p + p ) + 6p + p p p + 6p + p p +p b. ( 6x) (x + ) + 6x 6x 0 c. ½(a + ) / (a ) a ½ / a / Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. a(a ) d. xy(x + y 6) 6a 0a x y + xy + 6xy b. (p + )(p 6) e. (a )(a + ) p 0p a a c. ( x + 6)( x 6) f. (p q)(p + q) x + x 6 p 9q 9

50 Opgave. Herleid de volgende wortels: a. b. 6 c.( 6 + d. ( 6 ) ) Opgave. Ontbind in factoren: a. x 8x d. x 6x + 6 x(x+) (x 8) b. a + 6a 0 e. x x (a )(a + 0) x(x ) x(x + )(x ) c. ½ x ½ x + 9x f. a b a b ½ x(x x + 8) a b ( a b ) Opgave.6 Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) / 6 x 8 x 00 > x 8 x 8 x > x < / x < / b. / (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6) / x / x 0 / 0 x < ½ x ½ x / 9 / 0 x < x 0½ x > / 9 0

51 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x e. x(x+ ) ( ½ x) x x 0 x + x x x(x ) 0 x + x 0 x 0 v x (x + )(x ) 0 x v x b. x + 8 f. ½a a x 6 a 0a x v x a 0a 0 a(a 0) 0 a 0 v a 0 c. x + x g. p x + x + 0 p p (x + )(x + ) 0 x v x Opgave.8 a. x + x + x + x + x + b. x + x x + x x + x x + x(x + ) x(x + ) x(x + ) x(x + ) c. x (x ) x x + x + x x x(x ) x(x ) x(x ) x(x ) d. (x ) (x ) x + x x + x (x + )(x ) (x + )(x ) (x + )(x ) e. 0y y 0y x 0xy x : x + x x + y y (x + ) y(x + ) f. x + 6 (x + 6) (x + ) (x + ). 6x + 9 x x(6x + 9) (x + ) (x + ) 8x (x + )(x )

52 Opgave.9 a. (x )(x ) < 0 exact ) y (x )(x ) y 0 ) [,0] x [,0] ) snijden: (x )(x ) 0 (x x x + 6) 0 x + x + x 6 0 x + x + 0 x x 0 (x )(x + ) 0 x v x ) (x )(x ) < 0 y < y geeft x < v x > b. (x + 6) < exact ) y (x + 6) y ) [,] x [0,0] ) snijden (x + 6) x + 6 v x + 6 x v x ) (x + 6) < y < y geeft < x < c. ½ x > x + 9 op decimaal ) y ½ x y x + 9 ) [,0] x [0,0] ) snijden ½ x > x + 9 Calc intersect x, en y,6 x 6, en y, ) ½ x > x + 9 y > y geeft x <, v x > 6,

53 d. x + < x exact ) y x + y x ) [ 0, ;,] x [, ; 0,] ) snijden x + x x x + 0 a b c D 9 + x v x ) x + < x y < y geeft < x <