Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie
|
|
- Mathilda van de Velden
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie
2 SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen De eerste getallen waar we als kind kennis mee maken zijn die getallen waarmee je leert tellen: 0,,,, enz We noemen ze dan ook de Natuurlijke getallen. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt voorgesteld door N. N { 0,,,,4,5,6,... } We kunnen hiermee al heel wat berekeningen maken: +56 N.50 N Maar: al vlug ondervind je tekortkomingen, je moet een tekort kunnen uitdrukken, een negatief resultaat bij het kaartspelen, vriesweer, 5-6 N We moeten de natuurlijke getallen uitbreiden met negatieve getallen: 0,, maar ook -, -. Gehele getallen { 0,,,,,,,4, 4,... } We zien dat we de natuurlijke getallen hier terugvinden, dus de natuurlijke getallen zijn een deel van de gehele getallen. In symbolen: N (-) -6-8 : (-) 4 maar hier verschijnen dan al vlug problemen vb 5:! Nochtans moeten we dergelijke verhoudingen kunnen uitdrukken, er is dus weer nood aan een uitbreiding:we hebben breuken nodig.. Rationale getallen Q a a, en b 0 b } Q is dus de verzameling van alle getallen die we kunnen schrijven als een breuk met in teller en noemer een geheel getal. Als we dan bemerken dat elk geheel getal x kan geschreven worden als de breuk x, en dat bv 0, kunnen we ook een poging doen om de rationale getallen op te sommen: 5 Q 0 ;; ;; ; ; ;0,666666;... 4 Je merkt dus weer dat de gehele getallen ook rationale getallen zijn: ratio rede of verhouding, de Grieken beschouwden breuken als verhoudingen, vandaar de naam. men kan aantonen dat elk decimaal getal met een repeterend decimaal gedeelte kan geschreven worden als een breuk, en dus een rationaal getal is.
3 N Q Weer hebben we een aantal problemen opgelost: 5: 5 Q 9 Q Q Q, dit hadden de Grieken reeds ontdekt (zie opmerkingen), dit zou geen probleem zijn als men in de praktijk dit getal nooit tegenkwam, maar diezelfde Grieken hadden al een eenvoudig praktisch probleem waar een oplossing biedt. (zie ook opmerkingen) We moeten dus weer uitbreiden:.4 Reële getallen Als we al dit soort getallen toevoegen aan de rationale getallen krijgen we volgende verzameling: R { 0;; ;; ;0,...; ; ; π;e... } N Q R R en weer zijn veel problemen opgelost. Blijft echter nog een probleem: R want stel x R dan zou x² - wat onmogelijk is bij reële getallen. Als we vroeger in de algebra wortels van negatieve getallen tegenkwamen (bv bij oplossen van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant) stelden we gewoon geen oplossing, in de reële algebra kan men dit lang volhouden. Nu blijkt echter dat om bepaalde problemen in de elektronica wiskundig te kunnen omschrijven, we moeten doen alsof wortels van negatieve getallen wel kunnen. Zoals telkens hierboven moeten we dus de getallen weer gaan uitbreiden. We komen hier met ons voorstellingsvermogen tekort, het is moeilijk om een voorbeeld uit de praktijk te bekijken waar we deze getallen tegenkomen. Men heeft nieuwe getallen uitgevonden om aan een praktische nood te voldoen. Men spreekt dan ook over imaginaire getallen..5 Complexe getallen We voeren een nieuw getal in, in de wiskunde wordt dit getal meestal i genoemd, in de elektronica gebruikt men meestal j. In deze cursus gebruiken we daarom ook j. We stellen j² -, en dat is eigenlijk alles wat we van j weten, de rest kunnen we dan puur wiskundig afleiden. We stellen dan dat z a+bj waarbij a, b R en j² -; en de verzameling van al deze getallen z vormen de verzameling complexe getallen. C { z a + bj a, b R en j² } vb: j C maar ook j C dus we zien: N Q R C en we hier wel degelijk met een uitbreiding te maken. In het volgend hoofdstuk bestuderen we deze complexe getallen verder. je hoort het Frans woord imaginer inbeelden
4 .6 Opmerkingen ) kan niet geschreven worden als een breuk. ) 0, Q ; men kan aantonen dat een decimaal getal met een repeterend gedeelte altijd kan geschreven worden als een breuk. 4), Q ; zonder repeterend gedeelte kan een decimaal getal niet geschreven als een breuk. 5) R \Q noemt men de verzameling van de IRRATIONALE getallen 6) De Reële as 0,5 0 R π Elk reëel getal kan men voorstellen door een punt op de reële as. Omgekeerd kan men stellen dat elk punt op de reële as een reëel getal voorstelt, zodat we merken dat er geen mogelijkheid is om nog een andere soort getallen zoals complexe getallen op deze as voor te stellen. We zullen dus naar een andere voorstellingsmanier moeten uitkijken..7 Interessante sites
5 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN. Inleiding In het eerste hoofdstuk hebben we gezien dat alle getallen van N, en Q eigenlijk ook reële getallen zijn. Daarom beperken we ons hier tot de eigenschappen van de reële getallen. Deze eigenschappen zijn dan immers zeker ook geldig voor de getallen van N, en Q.. Hoofdbewerkingen.. Terminologie De hoofdbewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het resultaat bij een optelling heet de som. Het resultaat bij een aftrekking heet het verschil. Het resultaat bij een vermenigvuldiging heet het poduct. Het resultaat bij een deling heet het quotiënt. Bij een optelling a + b of aftrekking a b noemt men a en b de termen. Bij een vermenigvuldiging a. b of deling a : b noemt men a en b de factoren. Bij de deling a : b noemen we a het deeltal en b de deler. Het delen wordt ook vaak geschreven met een breukstreep: a : b b a. a wordt dan de teller genoemd en b de noemer... Eigenschappen van breuken Als je de teller en de noemer van een rationaal getal door eenzelfde van nul verschillend getal deelt, dan bekom je een gelijk rationaal getal. Als je de teller en de noemer van een rationaal getal met eenzelfde van nul verschillend getal vermenigvuldigt, dan bekom je een gelijk rationaal getal. Met symbolen: a N en b, m N 0: a b a : m b : m Dit doen we: om breuken te vereenvoudigen a N en b, m N 0: a b a. m b. m Dit doen we: om breuken gelijknamig te maken.. Rekenen met breuken Optellen van rationale getallen in breukvorm: je maakt de ongelijknamige breuken eerst gelijknamig!
6 de som is dan de breuk waarvan: * de noemer dezelfde noemer is als die van de termen * de teller gelijk is aan de som van de tellers vb: Vermenigvuldigen van rationale getallen in breukvorm: je bepaalt het teken met de tekenregel voor de vermenigvuldiging je vereenvoudigt voor je vermenigvuldigt je schrijft het product van de tellers en het product van de noemers vb: Delen van rationale getallen in breukvorm: je bepaalt het teken met de tekenregel van de deling * zelfde tekens geven + * verschillende tekens geven - je vermenigvuldigt de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk vben: ) ) ) of : : Machten van rationale getallen in breukvorm Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht vb: Wetenschappelijke notatie Voor zeer grote of zeer kleine getallen schakelt een rekentoestel automatisch over op de wetenschappelijke notatie.
7 De wetenschappelijke notatie van een rationaal getal is het product van een macht van 0 en een decimaal getal met absolute waarde gelegen tussen en 0 Let op! in de notatie met een macht van in de wetenschappelijke notatie 9,7. 05 Op het rekenmachientje wordt ook met volgende notatie gewerkt: E6 0 6 is een miljoen, dus kan je onmiddellijk lezen als 5 miljoen. Hetzelfde geldt voor E , ,9 E9 0 9 is een miljard, dus 75,9 * 0 9 kan je onmiddellijk lezen als 75,9 miljard. Hetzelfde geldt voor E9. 0, * E is een miljoenste, 5 * 0-6 kan je onmiddellijk lezen als 5 miljoensten...5 Absolute waarde van een getal De functie absolute waarde maakt elk negatief getal positief en laat elk positief getal onveranderd. Voorbeeld 7 is de absolute waarde van +7 en -7 We noteren +7 7 lees: de absolute warde van +7 is lees: de absolute waarde van -7 is 7 De absolute waarde van a noteer je a a en a zijn tegengestelde getallen: ze hebben dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken.. Tekenregels.. Tekenregel voor twee tekens na elkaar (altijd gescheiden door een haakje! ): + ( ( + - verschillende tekens vervangen door - - ( ( + + zelfde tekens vervangen door +
8 .. Optellen en aftrekken van twee getallen Twee mogelijkheden: De gehele getallen hebben hetzelfde teken: behoud dit teken tel de absolute waarden op De gehele getallen hebben een verschillend teken: neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde maak het verschil: grootste absolute waarde min kleinste absolute waarde.. Opmerkingen:. Als er haakjes staan, werk je die altijd eerst weg voorbeeld: 8 + (-5) 8 5. Elke aftrekking wordt beschouwd als een optelling, want een getal aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal optellen voorbeeld: (-7)..4 Tekenregel voor vermenigvuldigen (ook altijd haakjes!) verschillende tekens geven dezelfde tekens geven +..5 Product van twee getallen bepaal het teken: twee dezelfde tekens geven + twee verschillende tekens geven - bepaal het product van de absolute waarden van de getallen Afspraken. Het vermenigvuldigingsteken mag weggelaten worden als dat niet tot verwarring leidt. (-5) (-) wordt dus (-5)(-) in 5 moet de blijven, anders staat er 5!. Haken rond een factor mag je weglaten als: er daardoor geen twee tekens onmiddellijk na elkaar komen te staan, er geen verwarring met een som mogelijk is. (+5)(-) 5.(-) 5(-) (-5)(-) -5(-) (-5)(+) -5
9 zelfde tekens geven +..6 Product van meerdere getallen Om een product met meer dan twee factoren te berekenen (gedurig product): bepaal je eerst het teken: + als het aantal negatieve factoren even is - als het aantal negatieve factoren oneven is bereken je daarna het product van de absolute waarden van de factoren..7 Tekenregel voor de deling (ook altijd haakjes!) + : : - + zelfde tekens geven + + : : + - verschillende tekens geven..8 Quotiënt van twee getallen: bepaal het teken: twee dezelfde tekens geven + twee verschillende tekens geven - bereken het quotiënt van de absolute waarden..4 Volgorde van bewerkingen. Eerst bewerkingen tussen haakjes: eerst de binnenste haakjes!. Vermenigvuldigen en delen (van links naar rechts). Optellen en aftrekken (gedurige som) voorbeeld : voorbeeld : (-. + 6) : (- + 6) : voorbeeld [5 - ( + 7)] : [(7-6) - ( + 7)] [5-9] : [ - 9] 6 : (-8) -.5 Oefeningen. Bereken: (-4) (-7) (-9) (-9) (-5)...
10 (-) (-) (-58) (-0).... Bereken volgende lettervormen als: x -5 y z - x + y - z -x + y + z x - y - z x + y + z x - y + z x - y + z Bereken zonder rekenmachine. Schrijf de uitkomst zo eenvoudig mogelijk ( )
11 ( )+( ) Bereken: ( 6 ) (+ ) ( 7 8 +) ( 4 8 ) Bereken: -5. (-6) (-7) (-) (-8) (-6) (-)... 8.(-7) Bereken: 6 : : (-9 ) : : : (-5) : : (-)... 5 : : : (-) : (-)... 0 : Bereken: ( ) : (-. ) (5-7) : ( ) [(- - 8) - ] : [-9 +(5-9)] Bereken: 7 : (- -6) : (- + 4) (0. 5-6) : (-) Bereken de volgende opgaven voor a - b - c +5
12 a + bc (a + )(c - 9) a + ab a : (b + c) (b - c) : a (b - c) : (b - a) Bereken: (-4) (6-4).( -. 4) (-) (-5) (6 - ) : (-) + ( -.4) (-4). : (-8) (6 -) + 5(4-5) (-) (7-4) Volgorde van bewerkingen Volgende regels voor de volgorde zijn belangrijk:
13 . eerst haakjes uitwerken. dan machten (en dus ook wortels) uitwerken. daarna de vermenigvuldigingen en delingen uitwerken in de volgorde waarin ze zich voordoen, van links naar rechts. 4. als laatste: optellen en aftrekken, ook best in de volgorde waarin ze zich voordoen, van links naar rechts. Opmerkingen: In 6. 4 hoort de exponent bij het grondtal 4 In (6. 4) hoort de exponent bij het grondtal (6. 4): dat zie je omdat er haakjes staan! Op dezelfde manier kan je zien dat: in (-)² is het grondtal - maar: in -² is het grondtal! Dus: (-)² (-)(-) 9 en -² - (. ) Oplossingen van oefeningen oef : oef : oef :
14 4 oef 4: oef 5: oef 6: oef 7: 5-6 oef 8: oef 9: oef 0: Interessante sites (engels - rekenen met negatieve getallen) (hoofdbewerkingen met gehele getallen) (som van rationale getallen of breuken) (bewerkingen met rationale getallen) (een beetje geschiedenis) (overzicht getallenleer) (oefeningen op volgorde van bewerkingen) (volgorde van bewerkingen)
15 LINEAIRE VERGELIJKINGEN. Gelijkheden.. Definitie Een gelijkheid bestaat uit drie delen. voorbeeld het eerste lid het gelijkteken het tweede lid (het linkerlid) (het rechterlid).. Werken met gelijkheden Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt. En dus ook als je van beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal aftrekt. A B A + C B + C A B A C B C Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je de beide leden van een gelijkheid met eenzelfde getal vermenigvuldigt. En dus ook als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde getal (niet nul!) deelt. A B A. C B. C A B A : C B : C. Vergelijking Een vergelijking is een gelijkheid waarin een letter voorkomt. De letter noem je de onbekende. Alle letters kunnen gebruikt worden als onbekende. voorbeeld het eerste lid het gelijkteken het tweede lid 5.a + 4.a + 0.x + 7 x + De vergelijking oplossen wil zeggen de oplossing van de vergelijking zoeken. Je lost een vergelijking op met de weegschaalmethode: je houdt de vergelijking in evenwicht door in het linkerlid en in het rechterlid dezelfde bewerking met eenzelfde getal uit te voeren. voorbeeld 5.a + 4.a a -.a.a a 6 : : a Een oplossing van de vergelijking is een getal dat je in de plaats van de onbekende moet zetten om van de vergelijking een gelijkheid te maken.
16 De oplossingverzameling is de verzameling V van alle oplossing van een vergelijking.. Lineaire vergelijking.. Definitie Een lineaire vergelijking is een eerstegraadsvergelijking, dwz dat in de vereenvoudigde vorm van de vergelijking de onbekende voorkomt enkel met exponent. In dit hoofdstuk werken we enkel met lineaire vergelijkingen... Werkwijze om een vergelijking op te lossen: Vergelijkingen met haakjes: Je werkt altijd eerst de haakjes weg! Komen er breuken voor in de vergelijking, dan kan je best de noemers wegwerken door beide leden te vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke noemer. Door bij de beide leden eenzelfde getal op te tellen (of van de beide leden een zelfde getal af te trekken), komen de termen waarin de onbekende staat in één lid en de termen zonder onbekende in het andere lid. of: Als de onbekende in beide leden van de vergelijking voorkomt, dan moet je eerst de termen met een onbekende in het ene lid plaatsen en de termen zonder onbekende in het andere lid. In de praktijk merk je dat dit er op neerkomt dat je een term van teken verandert als je van lid verandert. (dus alleen bij het optellen of aftrekken!!!) Je telt de termen met onbekende samen en je telt de termen zonder onbekende samen! Door de beide leden met eenzelfde getal te vermenigvuldigen (of de beide leden door eenzelfde getal te delen), vind je de oplossing (en). Je maakt de proef voor de gevonden oplossing... Voorbeelden:. 7a 5a + beide zijden + 7a + 5a + + beide zijden 5a 7a 5a 5a + + 5a 7a 5a + a 4 beide leden door a 4 a V {}..(x ) + 4 5x 4.( x + ) x haakjes uitwerken 6x + 4 5x 4x 4 x beide zijden + 4 4x + x 6x 5x 4x + x termen met x optellen alsook termen zonder x x 6 beide leden delen door x 6 vereenvoudigen x V {}
17 . (x + ) 4 9 x + 4 is een gemeenschappelijke noemer 6x linkerlid: elke term. rechterlid: elke term. 6x x x - V 6 6 Proef L( ) R( ) Evenredigheden Definitie: De gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid a c Symbolen: met b 0, d 0 b d Je leest: de verhouding van a tot b is gelijk aan de verhouding van c tot d of a staat tot b zoals c tot d Terminologie: a, b, c en d zijn de termen van de evenredigheid: a is de eerste term; b is de tweede term; c is de derde term en d de vierde term a en d zijn de uiterste termen en b en c zijn de middelste termen Hoofdeigenschap van evenredigheden: a b c d a d b c met b 0 en d 0 Dit kan je eenvoudig bewijzen:
18 a b a c b d (b d) c (b d). d Stap : beide leden. (b.d) of dus bd. a b d b c b d d a b/ d b/ c b d/ d/ Stap : vereenvoudigen a d c b a d c b Een aantal vergelijkingen kunnen eenvoudiger opgelost worden als men de hoofdregel voor evenredigheden toepast. Voorbeeld: x x.4 5.( ) 5 4 x 5 x 5 5 x 5 V..5 Speciale vergelijkingen. x (x ) + 4 x x + 4 x x x 5 V {} Φ want geen enkel getal voldoet aan deze vergelijking! Men noemt dit een valse vergelijking.. (x ) x 4 x x 4 x x x 0 V R want elk reëel getal voldoet aan deze vergelijking! Men noemt dit een identieke vergelijking.
19 .4 Oefeningen. Los volgende vergelijkingen op: x x 4 8x 4 x x x + 0,75 + x 0,5 0,5. p. 0, x y x t 5 0 y x x x t ( ) x,6 6 x, x 9b
20 5 x x ,5. x x,5 ( 0,05) Oplossingen van de oefeningen Oef V {9} V {- 8} V {} V {- } 7 V {0} V {- 0,5} V {- 8} V 5 0 V V V V 0 8 V V V V {- 4} 6 6 V {} V {,} V {,6} V {} 400 V V V {0} V {4,5} 4.6 Interessante sites (vergelijkingen oplossen)
21 4 KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 4. Definitie In een vorig hoofdstuk hebben we lineaire vergelijkingen leren oplossen. Daar kwam de onbekende slechts voor in de eerste graad. Een vergelijking waarin de onbekende voorkomt in de tweede graad noemt men een kwadratische of tweedegraads vergelijking of ook een vierkantsvergelijking Algemene vorm: ax² + bx + c 0 met b, c R, a R 0 en x de onbekende Voorbeeld: x² 5x Deze vergelijking oplossen wil zeggen dat we waarden voor x zoeken, zodanig dat als we in de vergelijking x vervangen door die waarde, er een gelijkheid staat. vb: vervang x door 4: 4² is dus geen oplossing van deze vergelijking vb: vervang x door : ² is dus oplossing van deze vergelijking vb: vervang x door : ² is dus ook een oplossing van deze vergelijking We kunnen dan aantonen dat en de enige oplossingen zijn: V {,} Hoe we deze waarden vinden bespreken we in volgend item. 4. Kwadratische vergelijkingen oplossen in R We kunnen uiteraard de regels van rekenen met gelijkheden toepassen, maar in de meeste gevallen vinden we daar geen oplossing mee: vb: 4x² 5x x² 5x 6, maar dit levert nog geen oplossing. vb: x² 0 x² V {, }, hier mag je uiteraard de tweede oplossing niet vergeten! Bepaalde tweedegraadsvergelijkingen kunnen eenvoudig opgelost worden: 4.. Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren Hierbij gebruiken we volgende regel: Het product van factoren kan slechts gelijk zijn aan 0 als minstens van de factoren gelijk is aan 0. (rechtstreeks gevolg van een eigenschap van de reële bewerkingen) A.B 0 A 0 en/of B 0 Een tweedegraadsvergelijking wordt zo omgevormd tot het product van twee eerstegraadsvergelijkingen, deze kunnen we reeds oplossen!
22 vb (x ). (x + ) 0 x 0 of x + 0. x 0 x. x + 0 x x V, Nu zijn er allerhande truukjes om een tweedegraadsvergelijking om te vormen naar een product van twee factoren, maar dat valt buiten het bereik van deze cursus. Daarom bespreken we vooral de algemene oplossingsmethode. 4.. Algemene oplossingsmethode Een willekeurige tweedegraadsvergelijking kunnen we herleiden tot de standaardvorm ax² + bx + c 0 We gaan nu deze vergelijking omvormen tot een product van twee factoren. Dit is een omslachtige berekening die we nadien niet herhalen, maar we zullen slechts het eindresultaat gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. b V b 4ac b +, a b 4ac a Dit lijkt dus hopeloos moeilijk, maar we stellen nu: Discriminant: D ax² + bx + c 0 b + D x a x b D a Er zijn nu mogelijkheden: b² 4ac dan wordt de oplossing al veel eenvoudiger: D > 0 b + V a D b, a D D < 0 D heeft dan geen reële betekenis, zodat we geen reële oplossing voor x hebben! V D 0 b x a b x a V b a
23 Samengevat hebben we volgende mogelijkheden: D > 0 verschillende oplossingen: b + V a D < 0 0 oplossingen V D 0 oplossing (of oplossingen) b V a 4.. Voorbeelden. x² 5x D b² 4ac ( 5) D b + D ( 5) + 6 x a. b D ( 5) 4 x a. V{, } D b, a D. x² + x 0 D b² 4ac 4.( ).( ) 9 8 D b + D x a +.( ) 4 b D 4 x a.( ) 4 V, We voeren hier de controle uit voor x, maar opgelet! Vaak is de controle moeilijker dan de berekening zelf!? + 0? x² + x + 0 D b² 4ac ² geen reële oplossing!! V 4. x² 6x D b² 4ac ( 6)
24 D 0 0 b + D ( 6) x a. b D ( 6) 0 6 x a. V {} 5. x² x + 0 D b² 4ac ( ) 4.( ) x D 7 b + a D ( ) + 7.( ) + 7 4,75 + V 7 4, 7 4 b D ( ) 7 7 x 0, 5 a.( ) 4 4. Speciale gevallen Met speciale gevallen bedoelen we hier kwadratische vergelijkingen van de vorm ax² + bx + c 0 waarbij b 0 en/of c 0. c. b 0 ax² + c 0 ax² c x² a c c c c c 0 x en x V, a a a a a c < 0 geen reële oplossin g a. c 0 ax² + bx 0 x.(ax + b) 0 ) x 0 b ) ax + b 0 ax b x a b V 0, a. b 0 en c 0 ax² 0 x² 0 x 0 V {0} 4.4 Oefeningen. Los op in R a. x² 6x b. x² 4x 5 0 c. 9t² + 5t d. (p ).(p 4) 4 e. 4(x 4) (x + ) (x + ). (x 4) f. x² 55x 0 g. x² + 0 h. x² 0 i. t(t + 9) 7 j. x² + 7x 0
25 4.5 Oplossingen van de oefeningen.a. V {5, }.b. V {5, } 4.c. V,.d. V {0, }.e. V {0, 5}.f. V {0, 5}.g. V.h. V {, } 7.i. V, 5.j. V, Interessante sites Vierkantsvergelijkingen%0(%05u%0).html (oplossen van vierkantsvergelijkingen) 5
26 5 STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN 5. Stelsels van lineaire vergelijkingen met onbekenden ( x stelsels) 5.. Voorbeeld: x y 4 Dit lineair stelsel oplossen in R wil zeggen dat we alle koppels (x,y ) zoeken waarvoor beide vergelijkingen in een gelijkheid resulteren. x y (-,-6) is zo een oplossing voor de eerste vergelijking, maar de tweede vergelijking geeft: - -.(- 6) 7 0, en is dus geen oplossing voor de tweede vergelijking. Het koppel (,) is een oplossing van beide vergelijking en dus een oplossing van het stelsel. 6 4 en. 6 In een vorig hoofdstuk hebben we al aangehaald dat we een vergelijking van de vorm ax + by + c 0 grafisch kunnen voorstellen door een rechte. Als we dit toepassen op een stelsel vergelijkingen kunnen we puur grafisch al een belangrijk besluit trekken: Er zijn mogelijkheden:. Het stelsel kan voorgesteld worden door snijdende rechten, er is dan één snijpunt dat de oplossing van het stelsel voorstelt.. Het stelsel kan voorgesteld worden door evenwijdige rechten, er is dan geen snijpunt en dus ook geen oplossing voor het stelsel.. Het stelsel kan voorgesteld worden door samenvallende rechten en dan zijn er oneindig veel oplossingen, nl elk punt van die rechte. Ter illustratie geven we hier de grafische voorstelling van het voorbeeldstelsel: We merken dus dat (,) inderdaad het snijpunt van de rechten is, en dus de enige oplossing van het stelsel. 6
27 5.. Algemeen Elk stelsel dat herleid kan worden tot de volgende standaardvorm: ax + by c waarbij x en y de onbekenden zijn, en a, b, c, d, e en f R dx + ey f noemt men een lineair stelsel van vergelijkingen met onbekenden. Om stelsels te kunnen oplossen moeten we rekening houden met een aantal rekenregels voor vergelijkingen.. A B A + k B + k met k R. A B k. A k. B met k R. A B k. A k. B + C D + l. C l. D A + C B + D en k. A + l. C k. B + l. D met k en l R 4. A B en B C A C Of samengevat: elke lineaire combinatie van gelijkheden resulteert in een nieuwe gelijkheid. Voorbeeld: ste gelijkheid: kg appels de gelijkheid: kg kiwi s lineaire combinatie kg appels + kg kiwi s. +. ( 8 ) 5. Oplossingsmethoden 5.. Combinatiemethode rechtstreekse toepassing van regel, waarbij wel telkens het stelsel eventueel herleid wordt naar de standaardvorm. Voorbeeld x + y x + y 0x + 4y 4 4y 4 y We merken hier dat eenvoudig optellen van de vergelijkingen de termen in x laat wegvallen en we houden een vergelijking in y over. Deze is dan eenvoudig op te lossen. We werken nu verder met een gelijkwaardig stelsel van van de gegeven vergelijkingen samen met de gelijkheid y : x + y y V {(, )} controle : y x + y x y x
28 Dit voorbeeld was nu zeer eenvoudig omdat de termen in x wegvielen bij optellen van de vergelijkingen, in andere gevallen hebben we ook een toepassing van regel nodig: Voorbeeld x + y 9 4x + y x + y 9 4x + y 9x y 7 4x + y x + 0y 6 x 6 x De termen in x of in y moeten worden weggewerkt, je kiest die met het minste rekenwerk! Hiervoor gaan we de vergelijkingen vermenigvuldigen met een geschikte factor. We krijgen nu weer volgend stelsel: de factoren waarmee vermenigvuldigd wordt, worden tussen rechte lijnen naast het stelsel geplaatst x + y 9 x V {(,) } x.( ) + y 9 x 6 + y 9 x y 9 6 Voorbeeld x 5y x 4y 5 6x 5y 6 6x 8y 0 0x y 46 y 46 y y y x 5y x 5. V {(, )} y x 0 y x 5.. Substitutiemethode Deze methode is alleen interessant als één van twee onbekenden vlug berekend kan worden. Voorbeeld y y y y y y x 4y 7 x 4y 7 x 4 7 x 7 x 9 x V, Voorbeeld 5x + y 6 y 6 5x 4x 5y 7 4x 5(6 5x) 7 (*) 8
29 (*) 4x 5.(6 5x) 7 9x x x x In het stelsel kunnen we nu vergelijking (*) vervangen door x : x x y 6 5. y V {(, )} 5.. Gelijkstellingsmethode Hierbij zullen we gebruik maken van eigenschap 4 in stelsels van volgende vorm: Voorbeeld 5 y y 5 5 y x 4 4 y 5 y 5 x x (*) y 5 5 y (*) 4 4. (y 5). (5 y) 4y 0 0 6y 4y + 6y y 0 y y y y y 5 5 x x x V {(,) } Voorbeeld y x y x y x 4x 5 4x 5 4x 5 y + y x (*) 9
30 (*) 6x 4x 5 6x 4x 5 6x 4x 5 6x 4x 5 + 0x 5 0x 5 of 0 0 x Het nieuwe stelsel wordt dan: x x x x y x y y y V, Uiteraard zal een stelsel vaak niet onmiddellijk in een geschikte vorm voor één van de drie methodes staan, maar dan herleid je het stelsel eerst mbv de eigenschappen Speciale gevallen Identiek stelsel: x y 4x y 4x + y 4x y 0x + 0y 0 Je vindt dus geen nieuwe vergelijking want we hebben eigenlijk twee keer dezelfde vergelijkingen, of we hebben een lineaire vergelijking met onbekenden. De oplossing wordt: y x of V t,t t R {( ) } Vals stelsel: x y 4x y 5 4x + y 4x y 5 0x + 0y Geen enkele oplossing kan hier aan voldoen, de vergelijkingen zijn tegenstrijdig! V 0
31 5. Oefeningen. Werk volgende x stelsels uit: x 5y 9 x 6y 0 x + y 5 5x + 6y (x 6) (y 4) 7x + y 46 x + 6y 5 x + 9y 4 x y + 4 x y (y x) + 8 x y 4 x + y 4 x + y x y x + y x y x y 6 (x + y) x y y + x Oplossingen van de oefeningen oef V {(, -)} V {( -4, )} V {( - 4, )} V {( 4, 7)} V {( 6, 4)} V {(, 0)} V V {(, 9)} V R 5.5 Interessante sites ( x - stelsels)
32 6 Veeltermfuncties 6. Eerstegraadsfuncties Definitie: Een lineaire of eerstegraadsfunctie in R is een functie bepaald door het voorschrift: R R x a f (x) ax + b met a,b R f(x) noemt men het functievoorschrift. Voor elke x vindt men een bijbehorende f(x) y. Men noemt deze functie een lineaire of eerstegraadsfunctie omdat in ax + b, x hoogstens in de eerste graad voorkomt. Nulpunt: Belangrijke punten voor elke functie zijn die punten waarvoor de functie nul wordt. b Voor een lineaire functie, die punten waarvoor f(x) ax + b 0 of x, dit is a hier duidelijk maar punt: het nulpunt genaamd. Vb: f(x) x + met f(). + 7; f(-).(-) + en f (nulpunt!) Grafiek: Bekijkt men f (x) {(x, y) y ax + b} als de verzameling coördinaten van punten in R, en tekent men deze punten, verkrijgt men de grafiek van deze functie. In module hebben we al gevonden dat y ax + b de vergelijking van een rechte voorstelt. De grafiek zal dan ook een rechte zijn. Voor een rechte heeft men met punten genoeg, maar ter controle berekent men punten Voorbeelden: f(x) x + f(x) x We merken op dat het nulpunt het snijpunt van de rechte met de grafiek is!
33 f(x) x f(x) - x + een rechte door de oorsprong! f(x) - x f(x) - x
34 We merken op dat bij f(x) ax + b de rechte stijgend is als a > 0 en de rechte is dalend als a < 0. Speciaal geval: a 0 f(x) b men noemt dit een constante functie. vb: f(x) Grafiek: Deze functie heeft geen nulpunt! Tekenverloop: Als je naar de voorbeeldfuncties kijkt kunnen we daar een algemeen tekenverloop uit afleiden: a > 0 stijgende rechte: b a x b a f(x) a < 0 dalende rechte: b a x b a f(x) Oefeningen. Maak de grafiek van volgende functies, bereken ook telkens de nulpunten. a. f(x) x b. f(x) - c. f(x) x. (-x + ) + x + ( - x) + 4
35 7 Inhoudsopgave SOORTEN GETALLEN.... Natuurlijke getallen.... Gehele getallen.... Rationale getallen....4 Reële getallen....5 Complexe getallen....6 Opmerkingen Interessante sites... 4 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN Inleiding Hoofdbewerkingen Terminologie Eigenschappen van breuken Rekenen met breuken Wetenschappelijke notatie Absolute waarde van een getal Tekenregels Tekenregel voor twee tekens na elkaar Optellen en aftrekken van twee getallen Opmerkingen: Tekenregel voor vermenigvuldigen Product van twee getallen Product van meerdere getallen Tekenregel voor de deling Quotiënt van twee getallen: Volgorde van bewerkingen Oefeningen Volgorde van bewerkingen....7 Oplossingen van oefeningen....8 Interessante sites... 4 LINEAIRE VERGELIJKINGEN Gelijkheden Definitie Werken met gelijkheden Vergelijking Lineaire vergelijking. 6.. Definitie Werkwijze om een vergelijking op te lossen: Voorbeelden: Evenredigheden Speciale vergelijkingen Oefeningen
36 .5 Oplossingen van de oefeningen Interessante sites KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 4. Definitie Kwadratische vergelijkingen oplossen in R Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren Algemene oplossingsmethode Voorbeelden Speciale gevallen Oefeningen Oplossingen van de oefeningen Interessante sites STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN Stelsels van lineaire vergelijkingen met onbekenden ( x stelsels) Voorbeeld: Algemeen Oplossingsmethoden Combinatiemethode Substitutiemethode Gelijkstellingsmethode Speciale gevallen Oefeningen Oplossingen van de oefeningen Interessante sites... 6 Veeltermfuncties Eerstegraadsfuncties. 6.. Oefeningen Inhoudsopgave
1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatie3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieHoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN
1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieHoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN
1 H9. Negatieve getallen Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 53 57) 9.1 Getallen onder 0 Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen. Weten dat we 0 zowel
Nadere informatieProefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.
bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5
INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieHoofdstuk 1 : REKENEN
1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen
Nadere informatieVergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieRekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO
Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieVAKANTIEWERK WISKUNDE
A -> Hn 0 / 06 / 06 VAKANTIEWERK WISKUNDE NEEM UW MAP WISKUNDE!! Herhalingsoefening : Optellen in Q (60 ptn) gevallen : - voor twee rationale getallen met hetzelfde teken * behoud dit teken * maak de som
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieINLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN
INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatieKameel 1 basiskennis algebra
A. Cooreman & M. Bringmans Kameel 1 basiskennis algebra 1ste graad SO Secundair onderwijs havo 1 1 2 3 2 3 4 4 5 6 5 6 digitaal Naam: Klas: ISBN 9 789 i.s.m Versie 201 Eureka Onderwijs Innovatief kennis-
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatiekwadratische vergelijkingen
kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking
Nadere informatieOP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl
OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieLESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.
Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatie= (antwoord )
Rekenkunde Nadruk verboden 1 Opgaven 1. 2. 3. 4. = (antwoord 10.) 10 10 10 = (antwoord: 10.) 10 10 = (antwoord: 10.).,,, = (antwoord 15. 10.),,, 5. 7 7 7 7 7 = (antwoord: 7.) 6. 10 10 10 10 10 10 = 7.
Nadere informatieVoorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214
Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieNiveauproef wiskunde voor AAV
Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet
Nadere informatieBijlage 11 - Toetsenmateriaal
Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatiePARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...
PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatie2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13
REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.
Nadere informatieVergelijkingen en hun oplossingen
Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele
Nadere informatieR.T. (fonsvendrik.nl 2017)
Inhoud Rekenkunde. Nadruk verboden 1.1 Inleiding blz. 1 2.1 Positieve en negatieve getallen 3 2.2 Het gebruik van haakjes, accoladen, blokhaken, enz. 4 3.1 Vermenigvuldigen 7 3.2 Het vermenigvuldigen zowel
Nadere informatie2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt
Nadere informatieHoofdstuk 11 - formules en vergelijkingen. HAVO wiskunde A hoofdstuk 11
Hoofdstuk - formules en vergelijkingen HAVO wiskunde A hoofdstuk 0 voorkennis Soorten van stijgen en dalen Je ziet hier de verschillende soorten van stijgen en dalen Voorbeeld Gegegeven is de de formule:
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatieKernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel breuken
Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel breuken De omschreven begrippen worden expliciet genoemd in de Kennisbasis. De begrippen zijn in alfabetische volgorde opgenomen. Breuk Een breuk is een getal
Nadere informatieR.T. (fonsvendrik.nl. 2017)
Inhoud Algebra. Nadruk verboden 1.1 inleiding blz. 1 2.1 volgorde van de bewerkingen 3 2.2 Positieve en negatieve getallen 3 2.3 Optelling en aftrekking 3 3.1 Vermenigvuldiging 5 3.2 Vermenigvuldiging
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieBasiskennis van machten WISNET-HBO. update juli 2007
Basiskennis van machten WISNET-HBO update juli 007 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieWERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek
WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken
Nadere informatieDomeinbeschrijving rekenen
Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Eigenschappen
Wiskunde Leerjaar 2 - periode 2 Rekenen met letters Hoofdstuk - Eigenschappen De commutatieve eigenschap. Tel de volgende getallen bij elkaar op: Maakt het uit in welke volgorde je twee getallen bij elkaar
Nadere informatie2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16
Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieStelsels van vergelijkingen
Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel
Nadere informatieHoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R
- 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieVergelijkingen met één onbekende
- 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatie1. Optellen en aftrekken
1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieWISNET-HBO. update aug. 2011
Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde
Nadere informatieGoed aan wiskunde doen
Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave
Nadere informatiebreuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen
1 Natuurlijke getallen, breuken 1.0 Inleiding Dit hoofdstuk begint in paragraaf 1.1 met het rekenen met de getallen 0, 1, 2,, enzovoort. Dat heb je op de lagere school ook geleerd, alleen wordt er nu wat
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieDifferentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het
Nadere informatieAfspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar
24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Eigenschappen
Wiskunde Leerjaar 2 - periode 2 Rekenen met letters Hoofdstuk 1 - Eigenschappen De commutatieve eigenschap 1. Tel de volgende getallen bij elkaar op: Maakt het uit in welke volgorde je twee getallen bij
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieNoorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatie