ANTWOORDEN blz. 1. d = 1013; = ; = ; =

Transcriptie

1 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI, XCIX, CMXCIX, MCM, bijv. 996: MCMXCVI 333, namelijk 9 tekens: CCCXXXIII MCCXIV: = 4 MMXLV: = 045 LXXXVI: 9 43 = 86 CXII: 999 = d. Je vervangt elk symbool door een symbool van een orde hoger, dus I wordt X, V wordt L, X wordt C, L wordt D, C wordt M, et e. X keer XVII is CLXX ( keer), en I keer XVII is XVII, dus optellen van CLXX + CLXX + XVII geeft het antwoord CCCLVII; x 7 = a. 999, namelijk 7 tekens: 5 a. d = 03; = ; = 7 6; = Je vervangt elk symbool door een symbool van een orde hoger 6 a. Na de e verdubbeling en uitgave van dinarii heeft hij nog x Na de e verdubbeling en uitgave van dinarii heeft hij (x ) = 4x 36 Uiteindelijk geldt dus (4x 36) = 0, ofwel 8x 84 = 0. Dit geeft x = 0,5 dinarii dus hij vertrok met 0 en een halve dinarii. Op de laatste dag klimt de leeuw wel omhoog, maar glijdt niet meer omlaag (want hij is er dan uit!). Na x dagen klimmen is hij dus / 7 x voet geklommen en / 9 (x ) voet gedaald; in totaal zit hij na x dagen dus op hoogte / 7 x / 9 (x ) voet. Dat kun je vereenvoudigen tot / 63 x + / 9, dus moet gelden / 63 x + / Oplossen geeft x 57,5 dus na 57 dagen is de leeuw uit de kuil. De afstand tot de toren van 40 m is x, dan is de afstand tot de andere toren 50 x. De vergelijking 40 x 30 (50 x) geeft x = 8, dus de fontein bevindt zich 8 meter van de toren van 40 m hoogte en 3 meter van de toren van 30 m hoogte. 7 a. 7 x = = 63 x x = x 8 3 = 5 d. x x x = = a d e. Je zet er een nul achter

2 9 a. ANTWOORDEN blz. f., 3, 5, 7,, 3, 5, 7,, 3, 5, 7, (telkens erbij), 4, 6, 0,, 4, 6, 0,, 4, 6, (telkens erbij), 4, 0, 0, 40, 00, 00, 400, 000, 000, 4000, (telkens verdubbelen),,, 3, 5, 0, 5, 5, 4, 67, 3, 0, 35, (telkens de voorgangers optellen) g. Het laatste cijfer rechts weghalen (het cijfer dat je weghaalt is de rest) x x a d. 0 0 e x 0 a , 0, 00, 000, 0000, 00000,.; er komt telkens een nul bij Je zet er een nul rechts achter d , , , , , , 00000, 0000, 000, 00, 0, e. Je hebt dan rest ; je kunt delen door twee, door het meest rechter cijfer weg te halen; (het cijfer dat je weghaalt is de rest) Er worden wel twee datums genoemd: 8 oktober 0 of op december 0; ze staan beide ter discussie 3 a. 3 x x x = x x x x = 73.5 x x x x 3 + x = a. Je hebt 9 0-tallen en één 0-tal, dus twintig 0-tallen; dat geeft normaal gesproken één 400-tal, maar bij de Maya s geeft dat dus één 3-tal en twee 0-tallen. Voor het aftrekken van de 0-tallen moet je lenen van de 3-tallen; dat geeft dus 8 0-tallen. Daar haal je er één van af, dus hou je 7 0-tallen over (en nog een 3-tal). d. 5 a. Je zet er een nul achter

3 ANTWOORDEN blz. 3 (achtereenvolgens 3,, 00, 4.000, , ) d. Plaats alles een rij omhoog en zet er een nul onder; bij het nieuwe aantal 0-tallen moet je het dubbele van het oude aantal 0-tallen bij optellen; komt het aantal 0-tallen daarbij boven de 9, haal er dan 8 van af en tel eentje bij de 3-tallen bij e. Pas bovenstaande rekenregel toe:, ofwel (decimaal: x 0 = ) 6 7 Het getal 70 schrijf je als: ( x + 0) en als je dit omdraait krijg je (0 + ) en dat is. 8 a. 48 uur, minuten en 33 seconden Ja: 48 uur, min, 33 sec is hetzelfde als 48::33 bij de Babyloniërs, ofwel 99 = x + 39, dus : = 6 x + 39, dus 6: = x + 46 x + 39, dus :46: = 7 x + 46 x + 39, dus 7:46: = 4 x x + 46 x + 39, dus 4:37:46:39 d. :: = x + x + = = :59:59 = 59 x + 59 x + 59 = a. 6:00, 38:3, ::0 9:08, 5:49 37:5, :46, 50:6 0 a. In transcriptie :05, :00:05, :05:00; in spijkerschrift allemaal als: In transcriptie:, :00, :00:00; in spijkerschrift allemaal als: a. 3::00 en :34:56:00 De schrijfwijzen zijn gelijk! Conclusie: je kunt bij getallen in spijkerschrift niet zien dat een getal met wordt vermenigvuldigd. Het resultaat is gelijk aan het oorspronkelijke getal. a. A: tafel van 6; recht evenredig verband; y = 6x B: kwadraten; kwadratisch verband (of machtsverband); y = x C: machten van twee; exponentieel verband; y = x

4 ANTWOORDEN blz. 4 3 a. 0,5 : ( 0, ) , : 48 ( 0, 33...) 0,59 :59 ( 0, ) 0, ,5 4 dus 0,06 : 40 0,3 : ,36 ; , 37 : , 3: , 0: 5 : 30 4 a. Het product is telkens ; omgekeerd evenredig (of hyperbolisch) verband; x y = of y x Decimale waarden achtereenvolgens: 7½ 6 / ¾ 3 / 3 3 ½ / 5 / 9 In transcriptie achtereenvolgens 7,30 6, ,45 3,0 3,30,4,3:0 Dan zijn de eerste 5 waarden die in de tabel staan ½ / 3 ¼ / 5 / 6 ; dat schrijf je in transcriptie achtereenvolgens als 0,30 0,0 0,5 0, 0,0 en dat komt overeen met de kleitablet; Decimale waarden van de lege plekken: / 8 / 9 / 0 / / 5 / 6 / 8 / 0 / 4 / 5 / 7 In transcriptie is dat achtereenvolgens 0,07:30 0,06:40 0,06 0,05 0,04 0,03:45 0,03:30 0,03 0,0:30 0,0:4 0,0:3:0 d. De twee tabellen zijn gelijk! y x x, dus de waarden van de eerste tabel met y x krijg je door de waarden van de tweede tabel bij y x met te vermenigvuldigen; met vermenigvuldigen is niet te zien bij de Babyloniërs (zie vraag ) 5 a. d = = = 800, dus d = 800 = 30 4, ,4 0,4 5 / + 35 / 30, dus 4,4 is in transcriptie 4,5:35 en dat komt overeen met het Babylonische getal,4:5:0 = + 4 / + 5 / / 00,443 d. 30 x,443 4,4 dus het klopt e. 30 / 30 = Extra opgave op het kleitablet

5 ANTWOORDEN blz. 5 a. rest rest rest rest rest rest enzovoort; de resten herhalen zich (5, 3, 4, 9,, 5, 3, 4, 9,, 5, ), dus 0,05 : 7 :6 : : 49 : 05 : 7 :6 : : 49 :... 6 a. 000 = = en dat zijn precies de getallen uit de eerste kolom Elke volgende rij is het dubbele van de rij ervoor; het begint met 54 en bij 6 is het 4 keer verdubbeld, dus 54 x x x x = 54 x 4 = 54 x 6 Voor de andere rijen geldt dat net zo: achter 3 staat bijv. 3 x x 54 = ( ) x 54 = x54 + 6x54 + x54 + x54 en dat zijn precies de getallen in de rechter kolom in die rijen bij elkaar opgeteld waarvan de som in de linkerrij gelijk is aan 83 d. Ja (?) / 7 / 4 7 a dus 9 x 7 = = / = , dus binair 00; 9 38 / 4 76 / 8 5 je moet de rijen achter 4, 8, 6, 3, en 8 optellen: / / 3 8 / 6 / 8 43 Dus 5 x 9 = = 4788 / 5 / = : 4 008, dus 5 x 9 = = / 6 403

6 ANTWOORDEN blz. 6 d. 8 a. 33 / / 8 / / / / 3968 / / / 6 3 / 05 / / / / 3 33 dus 6 x 33 = = 858 dus 74 x 6 = = 4588 dus 85 x = x 85 = = 785 dus 05 x 59 = 59 x 05 = = 695 / 8 / 6 / / / 8 96 / / / 34 / 4 68 / 8 36 / / / = , dus 84 : 8 = = = , dus 056 : = = = , dus 38 : 7 = = 4 4 = , dus 4 : = = 405 = , dus 405 : 9 = = 45 7 / / 6 7 / / 8 68 / / 9 8 / 4 36 / / 3 88 dus 35 : 7 = + 6 = 8 rest ( =) 9 dus 530 : = = 5 rest ( =) a Verdeel 4 broden elk half doormidden (je krijgt 8 halfjes); verdeel de twee overige 3 broden in kwarten; iedereen krijgt dan 4 4 brood Verdeel 4 van de 5 broden in halfjes, zodat je 8 halfjes hebt; iedereen krijgt een halve brood en er blijft een halfje over: verdeel deze in 7 gelijke delen tot / 4 brood; het hele brood dat over is verdeel je in 7 gelijke delen; Iedereen krijgt dan brood a. 4 8 ; 9 ; ; 4 5;

7 ANTWOORDEN blz ; 0 90 ; ; 4 8; a , dus klopt Bij een even noemer kan de breuk vereenvoudigd worden door teller en noemer te delen door ; bijvoorbeeld :8 is gelijk aan :9 ; 6 tabel 3 a a. 6 3 en 6 3 ; , dus het dubbele van is 3 9 ; De getallen zijn gehalveerd: dat geldt altijd bij even noemers (zie vorige vraag)! dubbele dubbele dubbele dubbele d. Er is 4 keer verdubbeld, dus vermenigvuldigd met 6, dus de uitkomst is / dus gedeeld door 5 is a , dus het oog komt tekort ; het verschil is ( 0, 005) 35 a. Omdat 3 x 4 = 4 x 3 hoef je maar iets meer dan de helft te kennen; Je moet er ½ x 0 x = 55 kennen fout is 36 x 36 = 96, maar slechts ½ x 36 x = 666 stuks 3 = 9 vermenigvuldigingen; 4 = 6 vermenigvuldigingen 36 a euro 5 kratjes (of vaatjes?) bier 55 euro 37 Het eerste getal is 0:7, dus decimale waarde x + 7 = 47; 47 = 9 = 6:00:09, dus in het antwoord moet tussen de 6 en de 9 een nul staan: 38 a. (, 3, 6, 0,) 5,, 8, 36, 45, 55 (namelijk regelmaat +, +3, +4, +5, +6, et) 00; 5050; ½ n (n + ) vierkante getallen: (, 4, 9, 6,) 5, 36, 49,, 8, 00; 0 = 400; 00 = 0 000; n d. vijfhoekige getallen: (, 5,,,) 35, 5, 70, 9, 7, 45, 76, 0, 47, 87 (nl. +4, +7, +0, +3, +6, +9, et); zeshoekige getallen: (, 6, 5, 8,) 45, 66, 9, 0, 53, 90, 3, 76, 35, 378 (nl. +5, +9, +3, +7, +, +5, et) e. driehoekige getallen k = 3 invullen: n (3 )( n ) n (( n ) ) n ( n ) n (4 )( n ) n(( n ) ) n( n) n vierkante getallen k = 4 invullen: n (5 )( n ) n (3( n ) ) n (3 n ) f. vijfhoekig, k = 5 invullen: zeshoekig, k = 6 invullen: n (6 )( n ) (4( ) ) (4 ) ( ) n n n n n n 39 a. (, 6,, 0,) 30, 4, 56, 7, 90, 0 (, 4, 9, 6,) 5, 36, 49,, 8, 00 (, 4, 7,,) 6,, 9, 37, 46, 56

8 ANTWOORDEN blz. 8 n (n + ) (de hoogte van het rechthoekje is n en de breedte is n + ) n (het zijn de vierkantige getallen) ½n (n + ) + (het is telkens één stipje meer dan de driehoekige getallen) 40 a. (, 3, 5, 7,,) 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97; 5 stuks 5 = = 3 7; 77 = Perfecte getallen zijn positieve gehele getallen waarvan de som van de delers (uitgezonderd zichzelf, wel inclusief de ) gelijk is aan het getal zelf 6 = + + 3, 8 = , 496 = , 88 = d. Twee natuurlijke getallen zijn bevriend als de som van de delers van het getal A (behalve A zelf, maar inclusief ) gelijk is aan getal B, terwijl de delers van B (behalve B zelf, maar inclusief ) samen het getal A opleveren. 0: = 84 84: = 0 4 a. Voor het maken van rechte, ofwel haakse hoeken, want bij een driehoek met zijden die voldoen aan de vergelijking is de hoek recht; bijvoorbeeld met een touw met knopen (3, 4, 5) (5,, 3) (6, 8, 0) (7, 4, 5) (8, 5, 7) (9,, 5) (9, 40, 4) a = (m n ) = m 4 m n + n 4 ; b = (mn) = 4m n ; c = (m + n ) = m 4 + m n + n 4 ; Hieruit volgt: a + b = m 4 m n + n 4 + 4m n = m 4 + m n + n 4 = c, dus klopt 4 a.,,,, 6, -775 en a. zie hiernaast In het midden van de voorlaatste rij moet twee keer 35 naast elkaar staan, maar er staat 34 en keer 5 44 a. 3 x 4 x 4x 3x 5 7x 5 x ( x x x x) x ( x) x ( ) x x deel ( door 0) x 400 x x 36 x 36 7 x y, ofwel y 5 x en tweede vergelijking xy = x + y 7 7 Combineren van de twee formules geeft: x x x x 5 7 delen door x keer x x ; invullen geeft y x a. Als a / 0 = a, dan is dus a 0 = a, maar dat klopt niet, want a 0 = 0 voor élke waarde van a. (Je zou kunnen zeggen: a 0 = a klopt wél als a = 0, dus dan geldt 0 / 0 = 0. Is Brahmagupta daardoor misschien op deze foute rekenregel gekomen?) Als je de vergelijking 6 x 0 = 7 x 0 links en rechts deelt door 0, dan zou je krijgen 6 = 7 46 a. Allemaal gelijk aan 0 Dan geldt 0 0 = want een getal gedeeld door zichzelf is, dus 3 0 = 8 3 d. Allemaal gelijk aan e. Dan geldt 0 0 = f. Geen van beide, dus 0 0 bestaat niet 47 a. Alle stappen lijken te kloppen Er wordt gedeeld door (x x), ofwel: er wordt gedeeld door 0 en dat is en geeft flauwekul! 48 a. De delers van 4 zijn,, 3, 4, 6, 8,, 4; de delers van 00 zijn,, 4, 5, 0, 0, 5, 50, 00; dus ggd(4, 00) = x

9 ANTWOORDEN blz. 9 De delers van 48 zijn,, 3, 4, 6, 8,, 6, 4, 48; de delers van 0 zijn,, 5, 0,,, 55, 0; dus ggd(48, 330) = De delers van 07 zijn en 07 (priemgetal); de delers van 39 zijn en 39 (priemgetal); dus ggd(07, 39) = 49 a. ggd(4, 4) = 6 ggd(05, 5) = ggd(, 800) = a. Met de stelling van Pythagoras: AC = AB + BC = + =, dus AC = a Stel dat b met a en b zonder gemeenschappelijke delers. Hieruit volgt: b a. Kwadrateren links en rechts van het gelijkteken geeft: b = a, dus a is even. Omdat het kwadraat van een oneven geheel getal altijd oneven is, kan a niet oneven zijn en dus is a zelf even. Zeg a = p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer: b = a = (p) = 4p, dus (deel links en rechts door ) b = p. We zien dat b even is, en op dezelfde manier als hierboven bij a, trekken we de conclusie dat b ook even is. Zowel a als b zijn dus even en bijgevolg beide deelbaar door. Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van a en b, die geen gemeenschappelijke deler hebben. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat er geen a gehele getallen a en b bestaan zodat b. Met Pythagoras: AC , dus AB : AC = 8 : 7 d. Als de zijden van de rechthoek samen met de diagonaal een Pythagoreïsche drietal vormen 5 a. (lijnstuk met lengte cm) (lijnstuk met lengte 3 cm) ggd(6, 4) = ggd( 3, 7) =, dus de gemeenschappelijke maat heeft lengte ggd(6, 5) = ggd( 3, 3 5) = 3, dus de gemeenschappelijke maat heeft lengte 3 5 a. AC : AB = 8 : 3; CB : AB = 5 : 3 5/8 = 0,65; 8/3 0,65; 5/3 0,385; ja: AC : CB AC : AB AC : AB = 6 : 3; CB : AB = 7 : 3 6/7 0,857; 6/3 0,46; 7/3 0,538; nee 53 a. ; (Punt C ligt 8 cm van A af; AC : CB = 8 : 3 0,65 0,69 3 : = CB : AB) Ja, bij x = 8 zijn de uitkomsten bijna gelijk x 34x Invoeren op GR: AC : CB 34 x en CB : AB 34 ; verschillen het minst als x = 3; AC : CB = 3 : 0,69 0,68 : 34 = CB : AB d. Met Intersect: bij AB = geeft dat x 8,09 en verhouding 0,6803 Met Intersect: bij AB = 34 geeft dat x,98684 en verhouding 0, a. Door kruislings te vermenigvuldigen krijg je x = + x en dat geeft x x = 0 ( ) 4 ( ) 4 5 x ( 5) ; ½( 5) is negatief en vervalt daardoor, dus blijft over x = ½( 5), a. AD = ½ AB = ; met de stelling van Pythagoras: BD AB AD 5 DE is gelijk aan AD, dus DE = ; BE = BD DE = 5 AB, 6803 CB 5 58 a. Door bij φ φ 0 links en rechts op te tellen krijg je: φ φ links en rechts delen door φ geeft φ φ φ φ, dus φ φ 59 a. Het 7 e getal, namelijk 597 (en het 6 e is 987) = = 3 ; eerste 6 geeft het 8 e getal min ; eerste 7 geeft het 9 e getal min ; algemeen: de eerste n getallen uit de rij optellen geeft het (n+) e getal min

10 ANTWOORDEN blz. 0 Afwisselend is het product van de buitenste twee getallen van elk drietal opeenvolgende getallen uit de rij telkens meer of minder dan het kwadraat van het middelste getal d. Het quotiënt van twee opeenvolgende getallen gaat steeds meer lijken op φ,6803 a.