Ontbinden in factoren. Wisnet-HBO update sept. 2008

Transcriptie

1 Ontbinden in factoren 1 Voorbeeld Wisnet-HBO update sept Je bestelt aan de bar 10 appelsap en 15 bier. Dit kun je kort weergeven met: Nu kun je hooguit 2 appelsap en 3 bier tegelijk dragen. Hoeveel keer moet je dan lopen om je gezelschap van drankjes te voorzien? Je kunt het dus in 5 maal doen. Met haakjes weggewerkt wordt het dus: 5 2 a C3 b = 10 a C15 b 2 Begrippen De vorm heet de ontbonden vorm. Deze vorm bestaat uit twee factoren: Het zijn de factoren 5 en. De eerste factor is dus alleen het getal 5 en de tweede factor is een tweeterm De vorm heeft dus twee termen: namelijk en. De betekenis van deze eerste term is eigenlijk 2 maal a. Het maalteken wordt niet geschreven. De term bestaat dus eigenlijk uit twee factoren 2 en want er wordt bedoeld. 3 Ontbinden in factoren De bedoeling is dus om een tweeterm of drieterm te schrijven als een gelijkwaardige vorm, maar dan mét haakjes.

2 Immers mét haakjes krijg je een vermenigvuldiging. In formulevorm komt dit op het volgende neer: Dit is dus een vermenigvuldiging bestaande uit de factoren 5 en geschreven zonder stip:, meestal 4 Leer uit het hoofd Leer de volgende vormen uit het hoofd van links naar rechts maar ook van rechts naar links: Uitleg Van een paar van bovenstaande voorbeelden wordt de procedure voorgedaan. Let op de corresponderende kleuren. a Cb a Kb = a 2 Ka b Ca b Kb 2 Dit kan verder vereenvoudigd worden tot: a 2 K b 2

3 a C2 a C3 = a 2 C3 a C2 a C6 Dit kan verder vereenvoudigd worden tot: a 2 C 5 a C 6 5 Voorbeelden Als je van paragraaf 4 de vormen uit het hoofd geleerd hebt, kun je een aantal mogelijkheden herkennen om snel te kunnen ontbinden in factoren (de vorm met haakjes schrijven). Hieronder zien we voorbeelden van deze mogelijkheden. 5.1 Eerst altijd Zoveel mogelijk buiten haakjes halen Bekijk de veelterm (polynoom) of er in de termen gemeenschappelijke factoren zitten. Om ZOVEEL MOGELIJK factoren te krijgen, haal je altijd EERST zo veel mogelijk factoren buiten haakjes Voorbeeld Deze tweeterm bevat in elke term gemeenschappelijke factoren. Je kunt de factoren makkelijk zien als je de vorm anders schrijft: Je ziet dus dat beide termen de factor 2 én de factor a gemeenschappelijk hebben. Haal deze gemeenschappelijke factoren vóór de haakjes: Je hebt nu een vorm gekregen mét haakjes die bestaat uit wel drie factoren, namelijk de factoren 2 en a en (a - 5). Gebruikelijk is het om dit zonder stippen te schrijven: Voorbeeld Deze drieterm bevat in elke term gemeenschappelijke factoren. Je kunt de factoren makkelijk zien als je de vorm anders schrijft:

4 Je ziet dus dat alle termen de factor 2 én de a gemeenschappelijk hebben. Haal deze gemeenschappelijke factoren vóór de haakjes: Je hebt nu een vorm gekregen mét haakjes die bestaat uit wel drie factoren, namelijk de factoren 2 en a en (a - 5 b + 10 c). Gebruikelijk is het om dit zonder stippen te schrijven: Als je van achter naar voor de haakjes weer weg zou werken, zie je dat links en rechts gelijkwaardige vormen staan. 5.2 Het verschil van twee kwadraten Herken de vorm Deze tweeterm is het verschil van twee kwadraten: De eerste term is het kwadraat van a en de tweede term is het kwadraat van b en er staat een minteken tussen. Porbeer dan de haakjes eerst eens weg te werken van: Bij het wegwerken van de haakjes krijg je het volgende: De twee middelste termen van deze uitwerking vallen tegen elkaar weg als je ze samen neemt. De conclusie is dus dat: De ontbinding in factoren bestaat hier dan uit twee factoren namelijk de factor (a + b) en de factor (a - b) Voorbeeld Herken de vorm Deze tweeterm is het verschil van twee kwadraten: De eerste term is het kwadraat van a en de tweede term is het kwadraat van 5. Porbeer dan de haakjes eens weg te werken van: Bij het wegwerken van de haakjes krijg je het volgende: De twee middelste termen van deze uitwerking vallen tegen elkaar weg als je ze samen neemt. De conclusie is dus dat: De ontbinding in factoren bestaat hier dan uit twee factoren namelijk de factor (a + b) en de factor (a - b).

5 5.2.2 Voorbeeld Herken de vorm Deze tweeterm is het verschil van twee kwadraten: De eerste term is het kwadraat van 2 x en de tweede term is het kwadraat van 9. Porbeer dan de haakjes eens weg te werken van: Bij het wegwerken van de haakjes krijg je het volgende: De twee middelste termen van deze uitwerking vallen tegen elkaar weg als je ze samen neemt. De conclusie is dus dat: De ontbinding in factoren bestaat hier dan uit twee factoren namelijk de factor (2x + 9) en de factor (2x - 9) Voorbeeld Herken de vorm Deze tweeterm is het verschil van twee kwadraten: De eerste term is het kwadraat van 2 x en de tweede term is het kwadraat van 10. MAAR... om straks zoveel mogelijk factoren te krijgen, kun je eerst beter de factor 4 buiten haakjes halen.. Vervolgens herken je de vorm tussen haakjes weer als een verschil van twee kwadraten dus dat kan weer verder ontbonden worden.tot: Je hebt dus nu zelfs 3 factoren gekregen namelijk 4 en x - 5 en x + 5 De conclusie is dus dat: 5.3 Een drieterm met als eerste en laatste een kwadraat Herken dat de eerste term én de laatste term een kwadraat is. De eerste term is hier het kwadraat van a en de laatste term is het kwadraat van b. Als je goed kijkt is de middelste term het zogenoemde dubbele product (namelijk a maal b en dat dubbel). Probeer dan de ontbinding in een product van twee dezelfde factoren. Als je de volgende vorm bekijkt

6 is dit in feite een product van twee dezelfde factoren namelijk: Werk de haakjes weg op de bekende manier: Merk op dat de middelste twee termen bij elkaar genomen kunnen worden ter vereenvoudiging (het dubbele product). Herken de vorm nu achterstevoren en neem de factoren (a + b) die hetzelfde zijn bijelkaar. Hieronder nog enkele voorbeelden van ongeveer hetzelfde voorbeeld Herken de voorste term als het kwadraat van a en de achterste term het kwadraat van 5 en de middelste term het dubbele product van a maal 5 namelijk 10 a voorbeeld Herken de voorste term als het kwadraat van x en de achterste term het kwadraat van 4y en de middelste term het dubbele product van x maal 4y namelijk 18 xy. 5.4 Twee getallen zoeken Bij kwadratische drietermen waarop de bovenstaande methoden niet van toepassing zijn, ga je als volgt te werk. Op de plaatsen van de stippeltjes moeten getallen komen die samen 5 zijn en vermenigvuldigd 6 opleveren. Maak zo nodig een tabelletje De getallen die voldoen zijn dus 2 en 3 Als je de haakjes weer wegwerkt zie je dat het klopt: Voorbeeld Herken een kwadratische drieterm waarop de vorige methoden niet van

7 toepassing zijn: We zoeken dus twee getallen die samen -11 zijn en vermenigvuldigd 30 opleveren. De getallen zijn dus -5 en -6 en ter controle kun je altijd de haakjes wegwerken om te zien of het klopt Voorbeeld Herken een kwadratische drieterm waarop de vorige methoden niet van toepassing zijn: We zoeken dus twee getallen die samen -17 zijn en vermenigvuldigd 30 opleveren.

8 De getallen zijn dus -2 en -15 en ter controle kun je altijd de haakjes wegwerken om te zien of het klopt Voorbeeld Herken een kwadratische drieterm waarop de vorige methoden niet van toepassing zijn: We zoeken dus twee getallen die samen 13 zijn en vermenigvuldigd -30 opleveren. De getallen zijn dus -2 en 15 en ter controle kun je altijd de haakjes wegwerken om te zien of het klopt.