Rekenregels voor het differentiëren
|
|
- Joris Verstraeten
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Rekenregels voor het differentiëren Wisnet-HBO update febr Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er Maplets om de rekenregels mee te oefenen (zie bij Maplet openen). In deze les leer je alle rekenregels die er zijn voor het differentiëren. Voor eventuele voorkennis van standaardfuncties wordt verwezen naar het onderwerp Standaardfuncties in Wisnet. 2 Notatie-afspraken Voor de afgeleide van een functie f noteren we wel vaak als f ' (f-accent). We bedoelen dan dat we de functie f naar x differentiëren. Een paar manieren om de afgeleide naar x te noteren. f ' Dit zijn allemaal notaties om de afgeleide functie aan te geven. 2.1 voorbeeld De afgeleide van de functie weergegeven: naar x gedifferentiëerd wordt als volgt
2 In de praktijk komt het differentiëren naar de tijd t ook vaak voor. We spreken dan niet van f-accent maar van fluxie-f of ook wel f-stip. Het accent achter de f wordt dan vervangen door een stip boven de functie f. Zijn er meer letters in het spel, dan is het belangrijk om te vermelden waarnaar gedifferentiëerd wordt. Als je bijvoorbeeld naar x differentiëert, dan worden eventuele andere letters in de functie als constante verondersteld. Men gebruikt dan niet een rechte d om te differentiëren maar de notatie is dan als volgt met een zogenoemde "kromme d" betekent dat gedifferentiëerd moet worden naar x waarbij c constant verondersteld wordt. 2.2 voorbeeld Soms kan een functie opgevat worden als een functie van meer variabelen.de afgeleide van de functie naar x wordt als volgt genoteerd: De kromme d staat hier omdat er meer letters in de formule voorkomen. Bij differentiëren naar x worden de andere grootheden (L, en q) constant verondersteld. Zo kun je de functie van meer variabelen ook naar q of eventueel naar L differentiëren als die als variabele worden opgevat. 3 Rekenregels voor differentiëren In de volgende paragrafen worden de rekenregels voor differentiëren van functies van één variabele aannemelijk gemaakt. Deze rekenregels zie je ook terug bij het Maplet voor de training (zie bij Maplet openen). Eerst een kort overzicht:
3 SpreadSheet Constante functie (Constant) Een constante functie heeft als grafiek een horizontale rechte lijn. De afgeleide van een constante functie is dan ook altijd gelijk aan 0. Immers de raaklijn is dan ook altijd horizontaal en heeft richtingscoëfficiënt gelijk aan 0. of ook wel geschreven als c' = De afgeleide van de functie (Identity) De rechte lijn heeft steeds als richtingscoëfficiënt 1 (identiteit).
4 Deze richtingscoëfficiënt verandert niet voor deze lijn, dus de afgeleide van de functie is altijd 1. Het is ook wel logisch als variabele en functie dezelfde zijn. De verhouding is natuurlijk altijd 1. x' = Vermenigvuldigen met een constante (Constant Multiple) Als je de functie met een constante (noem deze c) vermenigvuldigt, wordt de grafiek van deze functie ten opzichte van de x-as opgerekt. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn (in ieder punt) ondergaat dan dezelfde oprekking. Met andere woorden, de constante mag ervoor. Met de onderstaande animatie wordt dit aannemelijk gemaakt. Klik op de grafiek en zet de animatie in werking. Als de grafiek ten opzichte van de x-as wordt opgerekt met factor c, (de functiewaarde wordt met c vermenigvuldigd) dan wordt de raaklijn mee opgerekt en dan wordt de richtingscoëfficiënt ook met diezelfde factor c vermenigvuldigd. Script van de figuur Je kunt de functie een beetje veranderen en het startpunt ook, de rest gaat dan
5 vanzelf mee. Je ziet dat de grafiek van de functie en de raaklijn (en daarmee ook de richtingscoëfficiënt) gelijk opgerekt worden Voorbeeld => => 3.4 Somregel en verschilregel (Sum/Difference) Wil je de afgeleide van de som van twee of meer functies bepalen, dan bepaal je van iedere functie apart de afgeleide en tel ze daarna op. of ook wel geschreven als: (f + g) ' = f ' + g ' voor het verschil geldt eigenlijk dezelfde regel. (f - g) ' = f ' - g ' Het heeft te maken met de toename van f en de toename van g. Als de functies worden opgeteld, dan worden de toenamen van de functies ook opgeteld. In de figuur hieronder worden de groene en de blauwe grafiek opgeteld. Het resultaat is de rode grafiek. De bijbehorende raaklijnen (het startpunt is ) worden ook opgeteld en dat geeft het resultaat van de som van de richtingscoëfficiënten. script van de figuur Je kunt de functies iets veranderen en het startpunt ook. De rest gaat dan vanzelf mee. 3.5 Machtregel (Power) Heb je een machtsfunctie, dan is de volgende regel handig om te onthouden. Deze regel geldt voor élke waarde van p. Nu volgen voorbeelden met uitleg:
6 voorbeeld 1 Bepaal de afgeleide naar x. voorbeeld 2 Bepaal de afgeleide naar x. voorbeeld 3 met negatieve macht Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de machtregel en schrijf de functie eerst op een andere manier met behulp van de rekenregels voor machten. Betekent: dus de afgeleide van =>. andere schrijfwijze kun je ook schrijven als De afgeleide herleid is f ' = = voorbeeld 4 met gebroken macht Bepaal de afgeleide naar x.
7 andere schrijfwijze kun je ook schrijven als aanwijzing De functie anders geschreven kan nu gemakkelijk met de rekenregel voor machten van het differentiëren gedaan worden. De afgeleide kan nog weer anders geschreven worden met behulp van de rekenregels voor machten. Maak gebruik van de machtregel dus de afgeleide van is f ' = Maak verder gebruik van de rekenregels voor machten f ' = = = voorbeeld 5 vermenigvuldigen met een constante Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de rekenregel: vermenigvuldigen met een constante. Als je eerst de afgeleide van met 5. Dus f ' = ) =. kun maken, vermenigvuldig daarna dan nog
8 voorbeeld 6 met somregel, vermenigvuldigen met een constante en een losse constante Bepaal de afgeleide naar x. toelichting In dit voorbeeld worden al een paar regels samengevoegd. De somregel: alle afzonderlijke termen kunnen allemaal apart gedifferentiëerd worden. De machtregel: bij de eerste twee termen: en kan zonder meer de machtregel gebruikt worden. Vermenigvuldigen met een constante en machtregel samen: => => => Vermenigvuldigen met een constante en identiteit samen: => => Constante functie => voorbeeld 7 met een constante andere letter Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de rekenregel: vermenigvuldigen met een constante. Als je eerst de afgeleide van met a. kun maken, vermenigvuldig daarna dan nog
9 Dus f ' = a ) =. voorbeeld 8 met somregel, vermenigvuldigen met een constante en negatieve machten Differentiëer naar x. Aanwijzing: Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel en de vermenigvuldiging met een constante en natuurlijk de somregel. 3.6 Oefeningen Met de regels tot nu toe kun je oefeningen doen. Bepaal de afgeleide van de volgende functies. Neem pen en papier en doe de volgende oefeningen. Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. Onder de knop is steeds het te vinden. (Ga weer op de rode invoer staan en druk op Enter.) Je kunt zelf eventueel iets aan de functie veranderen. Het wordt dan vanzelf aangepast als je op Enter drukt. LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. oefening 1 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. oefening 2 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x (alle andere letters zijn dan constant).
10 aanwijzing De afgeleide van is gelijk aan a. Immers de afgeleide van is gelijk aan 3. oefening 3 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x. aanwijzing => f ' = => f ' = verdere toelichting De afgeleide van Beter genoteerd: is met de machtregel De afgeleide van is met de machtregel en de regel van de vermenigvuldiging met een constante gelijk aan c =. Beter genoteerd als: = TIP Het valt misschien op dat er een "kromme d" gebruikt wordt. Dit houdt in dat als je naar x differentiëert dat dan de letter c constant gehouden moet worden! oefening 4 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x.
11 aanwijzing => f ' = => f ' = verdere aanwijzingen Als c een constante is, dan is ook 4 c een constante. De afgeleide van is dan de afgeleide van maal 4 c. Als a een constante is, dan is ook een constante. De afgeleide van is dus =. oefening 5 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Als a een constante is, dan is ook een constante. aanwijzing 2 De functie is ook te schrijven als Hierin kun je opvatten als een constante en verder is ook een constante en is ook een constante. aanwijzing 3 Let op dat er ook een losse a in de functie staat. De afgeleide van een losstaande constante functie is gelijk aan 0.
12 oefening 6 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante en afgeleide van een constante en afgeleide van x) Differentiëer naar a. LET OP, dus niet naar x differentiëren maar naar a!!!!! aanwijzing 1 Als je naar a differentieert, veronderstel dan x als constante. aanwijzing 2 Misschien is het handiger om de functie als volgt op te schrijven: Bij de eerste term is een constante en vervolgens bij de tweede term is een constante en ten slotte is de laatste x een constante. noot Je kunt nu niet meer het accent gebruiken voor f ' want het accent is gereserveerd voor het differentiëren naar x. oefening 7 (som/verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante en negatieve macht) Differentiëer naar x. aanwijzing: Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel. oefening 8 (machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Beschouw als constante en gebruik de rekenregel van vermenigvuldigen met een constante en de machtregel. Schrijf bijvoorbeeld de functie als.
13 aanwijzing 2 De afgeleide van is => Hierin kan vereenvoudigd worden door de 2 weg te strepen. = oefening 9 (verschilregel en vermenigvuldigen met een constante) differentiëer naar x. aanwijzing 1 Werk eventueel eerst de haakjes weg tot en eventueel nog twee breuken ervan maken: Dus de functie kan geschreven worden als: f = x aanwijzing 2 Vat als constante op en is natuurlijk ook een constante. De afgeleide van de losse constante is gelijk aan 0. De afgeleide van x is gelijk aan. oefening 10 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante)
14 aanwijzing 1 Werk eventueel eerst de haakjes weg en bekijk wat de constanten zijn. aanwijzing 2 Je kunt de functie ook schrijven als ( ) met als constante. Vervolgens de afgeleide van. is eenvoudig te bepalen namelijk: 3.7 Productregel (Product) We repeteren nog even de productregel. Korter geschreven: (f g) ' = f g' + g f ' Je kunt deze rekenregel gemakkelijk controleren met de volgende opdrachten. Voorbeeld 1 Differentieer de volgende functie naar x. eerst met de productregel Stel de functie is opgebouwd uit een vermenigvuldiging van twee functies: h = Stel en. aanwijzing f ' = en g ' =. productregel toepassen
15 aanwijzing in kleur De productregel is toegepast; (f g) ' = f g' + g f ' ( ) = + Herleiden: eerst herleiden Dus = Direct met de rekenregel voor machten is het gemakkelijk te bedenken. Dus Voorbeeld 2 Differentieer de volgende functie op twee manieren. eerst met de productregel Stel en aanwijzing f ' = 1 en g ' = De afgeleide van wordt dan: (f g) ' = f g' + g f ' Productregel toepassen: aanwijzing in kleur (f g) ' = f g' + g f '
16 ( ( ) ( ) ) = ( ) ( ) + ( ) 1 = Herleiden met haakjes wegwerken: tussenstap = = Dit is dus de afgeleide van de functie naar x gedifferentiëerd. eerst haakjeswegwerken Differentieer naar x waarbij a en b constanten zijn. 3.8 Quotientregel (Quotient) Voor deze regel moet je met breuken kunnen werken! We repeteren nog even de quotientregel Korter geschreven ( )' =
17 Om gemakkelijk te onthouden Gemakkelijk te onthouden is: De afgeleide van een breuk is gelijk aan in het kwadraat.) Je kunt deze rekenregel gemakkelijk controleren met de volgende opdracht Voorbeeld 1 Bepaal de afgeleide van de functie met de quotientregel Stel en f ' = en g ' = rekenregel toepassen Herleiden = De afgeleide is dus 1. eerst herleiden Met de rekenregels voor machten weten we dat = x. De afgeleide van x is dus 1. Voorbeeld 2 Differentiëer de volgende functie naar x.
18 tip Werk goed met haakjes en werk daarna pas de haakjes weg. Als je dat niet doet heb je meer kans op fouten en vergissingen vooral met het oog op het minteken. In de teller de haakjes wegwerken LET OP!!: tip Vergis je hier niet want =. Teller verder herleiden: Meestal werk je de haakjes in de noemer niet weg! Daar wordt het vaak niet mooier op. met de computer Voorbeeld 3 Bij het volgende voorbeeld hoef je de quotiëntregel NIET te gebruiken immers de noemer is helemaal niet een functie van x namelijk de noemer is gewoon een constante. tip De functie kun je ook schrijven als f = ( ) waarbij een constante is. Je kunt dan de regel vermenigvuldigen met een constante gebruiken. 3.9 Kettingregel (Chain Rule) De kettingregel is een heel belangrijke regel. Je kunt dan samengestelde functies eenvoudig differentiëren met de
19 bovengenoemde rekenregels. Stel Dan kun je de functie schrijven als De afgeleide van f naar P is De afgeleide van u naar x is 2. immers: => We willen echter de afgeleide van f naar x dus. Het is dus belangrijk dat je goed begrijpt waarnaar je wilt differentiëren met andere woorden wat is de variabele? dit is de kettingregel (Er wordt als in feite een ketting gevormd via dp.) (In gedachten kun je dp weer wegstrepen.) Invullen: Met ingevuld nu =... Voorbeeld 1 Stel dat het volume V is een functie van de straal en dat zelf is weer een functie is van de tijd. (Schrijf dan als je dus bedoelt dat r een functie is van de tijd t.) Dus als je het vulume V differentieert naar de tijd, kun je eerst naar de straal differentiëren en daarna de straal weer verder differentiëren naar de tijd. of anders ook wel schematisch geschreven als een ketting:
20 Dit noemt men ook wel de kettingregel en is handig in dit soort situaties. Als je met breuken hebt leren werken kun je in gedachten dr boven en onder wegstrepen. Volume is een bol Als het volume bolvormig is, dan kun je het volume schrijven als afgeleide van V naar r Dan is de afgeleide van V naar r De verandering van Volume per tijdseenheid is dan: tip De verandering van Volume V per tijdseenheid is: Hierin is. Volume is een cilinder Als het volume cilindervormig is met vaste hoogte h en met straal van het grondvlak r waarbij deze straal bijvoorbeeld afhankelijk is van de tijd, dan is de formule voor het Volume : De verandering van Volume per tijdseenheid: tip Met de kettingregel geldt: Hierin is
21 Deze formule voor V differentiëren naar r: 3.10 Oefeningen Neem pen en papier en doe de volgende oefeningen. Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. Onder de knop is steeds het te vinden. Je kunt zelf iets aan de functie veranderen. Het wordt dan vanzelf aangepast als je op Enter drukt. LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert, waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. In de volgende oefeningen staan aanwijzingen stap voor stap. oefening 10 (machtregel en kettingregel) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Stel De afgeleide. aanwijzing 2 De afgeleide van naar P is. oefening 11 (machtregel en kettingregel) Differentiëer naar x. aanwijzing Stel De afgeleide van P is. Dus
22 = oefening 12 (machtregel, kettingregel en constante vermenigvuldiging) Differentiëer naar x aanwijzing Stel De afgeleide. Zie ook oefening 11. oefening 13 (somregel, productregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x aanwijzing De afgeleide van kan eerst afgelhandeld worden. Pas vervolgens de productregel toe op het product. oefening 14 (quotiëntregel) Differentiëer naar x.
23 tussenstappen Na toepassing van de productregel moet je krijgen: LET OP!!! bij het haakjes wegwerken met het minteken dat voor de haakjes staat. Na haakjeswegwerken en herleiden komt er oefening 15 (quotiëntregel) Differentiëer naar x. tussenstappen Na toepassing van de productregel moet je krijgen: LET OP bij het haakjes wegwerken met het minteken dat voor de haakjes staat. Na haakjeswegwerken en herleiden komt er oefening 16 (quotiëntregel) Differentiëer naar x.
24 tussenstap LET OP! Werk secuur met de haakjes! Na toepassing van de productregel moet je krijgen: LET OP bij het haakjes wegwerken met het minteken dat voor de haakjes staat. Na haakjeswegwerken en herleiden komt er oefening 17 (quotiëntregel) Differentiëer naar x. oefening 18 (productregel ) Differentiëer naar x. oefening 19 (kettingregel en machtregel) Differentiëer de volgende functie naar x. aanwijzing 1 Stel. De afgeleide aanwijzing Schrijf de functie als
25 = en gebruik verder de machtregel en de kettingregel. 4 Gebruik van het Maplet Grafiek en Afgeleide Gebruik bij het nagaan van de standaard-afgeleiden het Maplet Grafiek en Afgeleide bij Wisnet in de cursus Differentiëren onder "Wat is Differentiëren" om het een en ander na te gaan. Je krijgt dan een maplet waarbij je bijvoorbeeld een standaardfunctie kunt intikken en je kunt bekijken wat de afgeleide is met de grafieken erbij. 5 Maplet openen voor training met hulp Een Maplet met ingebouwde instructie om te oefenen met differentiëren. Op wisnet staat dit Maplet ook en daarbij een filmpje om uit te leggen hoe het maplet werkt.
Rekenregels voor het differentiëren. deel 1
Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er
Nadere informatieStandaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011
Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de
Nadere informatieDifferentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het
Nadere informatiePrimitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)
Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.
Nadere informatieWisnet-HBO. update maart. 2010
Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieTraining integreren WISNET-HBO. update aug 2013
Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis
Nadere informatieBreuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)
Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieBasiskennis van machten WISNET-HBO. update juli 2007
Basiskennis van machten WISNET-HBO update juli 007 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieVergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
Nadere informatieWISNET-HBO. update aug. 2011
Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde
Nadere informatieLogaritmische functie
Logaritmische functie WISNET-HBO update aug 2013 1 Inleiding De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van logaritmen. Voorkennis van de rekenregels van machten is voor deze les beslist
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieWortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)
Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de
Nadere informatieEenvoudige breuken. update juli 2007 WISNET-HBO
Eenvoudige reuken update juli 2007 WISNET-HBO De edoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met reuken. Steeds wordt ij geruik van letters verondersteld dat de noemers van
Nadere informatieexponentiële standaardfunctie
9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is
Nadere informatieBreuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014
Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatiea x 2 b x c a x p 2 q a x r x s
Kwadraat afsplitsen WISNET-HBO update juli 007 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. Inleiding In sommige gevallen kan het voordeel hebben om een kwadratische uitdrukking
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.
5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige
Nadere informatielogaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.
Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieBepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert
Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatieWISNET-HBO NHL update jan. 2009
Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het
Nadere informatieEen checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
Nadere informatieDifferentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.
Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatieVoorkennis : Breuken en letters
Hoofdstuk 1 Getallen en Variabelen (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x = 12
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieK.1 De substitutiemethode [1]
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatie16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f() = Differentiequotiënt van f() op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 30 30 y 1 16.1
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieVoorkennis : Breuken en letters
Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatierekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar
Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van
Nadere informatieHandleiding. ict pilot Getal & Ruimte havo B algebraïsche vaardigheden
Handleiding ict pilot Getal & Ruimte havo B algebraïsche vaardigheden Inhoud: 1. Aanmelden 2. Hoe werk je met de applets? a. Navigatie b. Soorten applets c. Tips bij het gebruik 3. Hoe werkt het leerlingvolgsysteem?
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatie3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatieMeetkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013
Meetkundige rijen WISNET-HBO update aug. 2013 1 Inleiding Een rij (sequentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is gebruikelijk
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieParagraaf 12.1 : Exponentiële groei
Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Les 1 Exponentiële functies Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b =
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit
Nadere informatieGetal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)
Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd
Nadere informatieGetallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2
Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen.
13.0 Voorkennis Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen. Op het interval [-2; -0,94) is de grafiek dalend; Bij x =
Nadere informatieAlgemene informatie. Inhoudelijke informatie
Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieStoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieWiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele
Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = 2 2 1 =
Nadere informatieParagraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken
Hoofdstuk 5 Machten en Eponenten (V Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Les 1 : Wortelformules, Domein en Bereik Definities Domein = { alle -en die je mag invullen in de formule
Nadere informatieFormules in Maple T.A. voor studenten
Formules in Maple T.A. voor studenten Copyright Metha Kamminga jan. 2013 Formules in Maple T.A. voor studenten Contents 1 Formules met Maple T.A. voor studenten... 1 1.1 Inleiding... 1 1.2 De student tikt
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatie1. Optellen en aftrekken
1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter
Voorbereidende opgaven HAVO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieOm een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de vragen onderverdeeld in 4 categorieën.
Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag voor leerlingen van het vak wiskunde A vwo, tweede tijdvak (2018). In dit examenverslag proberen we een zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende
Nadere informatie5 FORMULES EN FUNCTIES
72 5 FORMULES EN FUNCTIES Dit hoofdstuk behandelt één van de belangrijkste aspecten van spreadsheet programma s: het rekenen met formules en functies. 5.1 Formules invoeren Bij dit onderwerp gebruikt u
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieParagraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide
Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =
Nadere informatie1 Continuïteit en differentieerbaarheid.
1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies
Nadere informatieOmwentelingslichamen
Toepassingen integraalrekening Omwentelingslichamen 1. Enkelvoudige integraal WISNET-HBO update april 9 Q We kennen het integreren als het optellen van allemaal infinitesimaal kleine stukjes. Q Het heeft
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieBreuken som en verschil
Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Monique Faken 18 december 2014 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/56142 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet.
Nadere informatieBerekeningen op het basisscherm
Berekeningen op het basisscherm Het basisscherm Zet de grafische rekenmachine (GR) aan met. Je komt op het basisscherm waarop je de cursor ziet knipperen. Berekeningen maak je op het basisscherm. Van een
Nadere informatieOntbinden in factoren. Wisnet-HBO update sept. 2008
Ontbinden in factoren 1 Voorbeeld Wisnet-HBO update sept. 2008 Je bestelt aan de bar 10 appelsap en 15 bier. Dit kun je kort weergeven met: Nu kun je hooguit 2 appelsap en 3 bier tegelijk dragen. Hoeveel
Nadere informatieStartrekenen Wiskit. Leerwerkboek deel 1 Functies. Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELTE FOLKERTSMA
Startrekenen Wiskit Leerwerkboek deel 1 Functies Basisvaardigheden wiskunde SANDER HEEBELS ROB LAGENDIJK JELE FOLKERSMA JASPER VAN ABSWOUDE CYRIEL KLUIERS RIEKE WYNIA Inhoudsopgave evagposduohni Deel 1
Nadere informatieMETACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen
METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen Beschrijf in eigen woorden: Waar gaat de opdracht over? Welke signaalwoorden staan in de tekst? Wijst een signaalwoord naar een strategie? Welke
Nadere informatieTips Wiskunde Kwadratische vergelijkingen: een uitgebreid stappenplan
Tips Wiskunde Kwadratische vergelijkingen: een uitgebreid stappenplan Tips door F. 738 woorden 18 januari 2013 5,9 25 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte Stappenplan voor oplossen van
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatieVergelijkingen met wortelvormen
Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen
Nadere informatieAlgecadabra is een programma voor de bevordering van rekenvaardigheid. Met name zonder rekenmachine.
Rekenen met Algecadabra Algecadabra is een programma voor de bevordering van rekenvaardigheid. Met name zonder rekenmachine. Het idee is dat de gebruiker (leerling) de rekenvaardigheden, die zijn aangeleerd
Nadere informatieGetallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2
Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep
Nadere informatie