Meetkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013

Transcriptie

1 Meetkundige rijen WISNET-HBO update aug Inleiding Een rij (sequentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is gebruikelijk deze termen te nummeren.... De nummers 1, 2, 3, 4... worden de rangnummers van de termen van de rij genoemd. Soms kun je bepaalde systemen ontdekken in gegeven rijen en vaak is er sprake van een oneindig voortlopende rij. Als je het systeem van zo'n rij kunt ontdekken, kun je de ontbrekende termen aanvullen en net zo lang doorgaan als je wilt. Een bijzonder systeem is dat van de meetkundige rij. Daarbij is er steeds een constante factor r waarmee de ene term vermenigvuldigd moet worden om de volgende term te krijgen. Je kunt ook zeggen dat het quotiënt r van twee opeenvolgende termen constant is. Deze constant wordt wel "reden" genoemd, vandaar de letter r. 2 Voorbeelden van meetkundige rijen Rij I : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,... Rij II :,... Rij III :,... Rij IV: 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2,... Rij I is een meetkundige rij met als eerste term en het quotiënt van twee opeenvolgende termen is.

2 Rij II is een meetkundige rij met als eerste term en het quotiënt van twee opeenvolgende termen is. Rij III is een meetkundige rij met als eerste term en het quotiënt van twee opeenvolgende termen is. Rij IV is een meetkundige rij met als eerste term en het quotiënt van twee opeenvolgende termen is. Alle rijen kun je in gedachten verder aanvullen met nog meer termen door het betreffende systeem toe te passen. Je moet dus de beginterm weten en verder nog het quotiënt r van twee opeenvolgende termen. Als je dat weet, weet je genoeg om de rij (sequentie) te kunnen maken en net zolang voort te zetten als je zelf wilt 2.1 Algemene term De algemene term voor een meetkundige rij is: 2.2 Rijen maken met de computer 3 Oefeningen De volgende oefeningen zijn voorbereidingen voor de toets. Probeer handig te zijn en werk met pen en papier. 3.1 Oefening Gegeven is de meetkundige rij met en. Gevraagd worden de waarde van de reden r en de term Antwoord We weten dat, dus Hieruit volgt dat

3 Immers Met de rekenmachine Met de computer 3.2 Oefening Van een meetkundige rij met een positieve reden is gegeven dat, en Bereken en r Antwoord Op twee manieren kun je noteren: Gelijkstellen aan elkaar: Links en rechts door delen geeft: Omdat de reden r positief gesteld was, is er dus maar één mogelijkheid en dat is. Nu verder met het gegeven met Links en rechts door delen (met de rekenmachine) met de rekenmachine

4 3.3 Oefening Ga na of de volgende rijen meetkundig zijn of niet. Probeer de algemene term te vinden en maak de rij (sequentie) met de computer. Bedenk ook wat de volgende term zou kunnen zijn. Rij A:,... Rij B:,... Rij C: 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458,... Rij D:, Antwoord Rij A Rij A: Bedenk wat de beginterm is en wat de reden r is en vul dat in in de sequentie om de rij zichtbaar te maken. restart; rij_a:=seq(t[1]*(r)^i,i=0..6); t[1]:=1; r:=3/2; rij_a; Rij B Rij A: Bedenk wat de beginterm is en wat de reden r is en vul dat in in de sequentie om de rij zichtbaar te maken. restart; rij_b:=seq(t[1]*(r)^i,i=0..6); t[1]:=2; r:=sqrt(2); rij_b;

5 Rij C Rij C: Bedenk wat de beginterm is en wat de reden r is en vul dat in in de sequentie om de rij zichtbaar te maken. restart; rij_c:=seq(t[1]*(r)^i,i=0..6); t[1]:=2; r:=3; rij_c; Rij D Rij D: Bedenk wat de beginterm is en wat de reden r is en vul dat in in de sequentie om de rij zichtbaar te maken. restart; rij_d:=seq(t[1]*(r)^i,i=0..6); t[1]:=1; r:=1/2; rij_d; 3.4 Oefening Na een jaar is het kapitaal gegroeid. Als je dit gegroeide kapitaal weer uitzet tegen dezelfde rente en dat elk jaar weer doet, ga dan na hoeveel het kapitaal waard is na 10 jaar Antwoord Het kapitaal is na één jaar vermenigvuldigd met factor Na één jaar Na twee jaar: Na drie jaar: Na 10 jaar:

6 LET OP: als je hier een meetkundige rij in ziet dat je dan het beginkapitaal eerste term aanmerkt. De indices schuiven dus eentje op. is dus eigenlijk de 11-de term van de meetkundige rij. als met de rekenmachine 4 De som van een meetkundige rij Je kunt de (optel)som uitrekenen van een aantal termen van een meetkundige rij. 4.1 Uitleg (Kijk eventueel ook nog even naar een les over het -teken (het sommatie-teken).) Een bekende truc om de termen van een meetkundige reeks handig op te tellen is de volgende: Je hebt bijvoorbeeld 6 termen van een rekenkundige rij en die tel je allemaal bij elkaar op en noemt de som Vervolgens doe je links en rechts alles keer r. = = De twee vergelijkingen zijn links en rechts van elkaar afgetrokken en dit levert een eenvoudige vorm want het meeste valt weg! Als je de overeenkomstige termen mooi boven elkaar zet, zie je dat er inderdaad véél wegvalt! Vervolgens links en rechts ontbinden in factoren: = De uitdrukking voor is nu Mag natuurlijk ook teller en noemer keer -1 En meestal als dan neem je deze laatste:

7 Algemeen: De som van n termen van een meetkundige rij met beginterm en reden r is: of De algemene term van een meetkundige rij is: 4.2 Met de computer 5 Oefeningen De volgende oefeningen zijn voorbereidingen voor de toets. Probeer handig te zijn en werk met pen en papier. 5.1 Oefening Gegeven is een meetkundige rij met en reden. Bereken de som van de eerste 10 termen van deze meetkundige rij met behulp van de afgeleide formule en de rekenmachine Antwoord Eerst moet berekend worden: Gegevens invullen: vrijmaken:

8 Formule voor de som gebruiken: Gegevens invullen en met de rekenmachine uitrekenen: Met de rekenmachine Met de computer 5.2 Oefening Bereken de volgende som met behulp van de afgeleide formule en de rekenmachine: Antwoord De bovenstaande som is eigenlijk de som van 20 termen van een meetkundige reeks met beginterm en reden. Gegevens invullen: Met de rekenmachine Met de computer