Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : f 3 : en f 4 : 4 waarbij f() een quotiënt is van twee veeltermen noemen we rationale functies. De functies f 5 :, f 6 : sin en f 7 : 2 + zijn geen rationale functies omdat, sin en 2 geen veeltermen zijn. Opmerking : De rationale functie f 3 : kan ook geschreven worden als een 4 veeltermfunctie f 3 : Veeltermfuncties zijn dus bijzondere gevallen van 4 rationale functies. Opmerking 2: Rationale functies zijn niet gedefinieerd in de eventuele nulpunten van de noemer, ze hebben daar dus geen functiewaarde.

2 2 Limieten en asymptoten van rationale functies.2 De functie f : Eén van de eenvoudigste rationale functies is f :. We bestuderen deze functie van naderbij: - In 0 is er geen functiewaarde omdat de noemer dan nul wordt. Het domein van de functie is dus R 0 en de grafiek heeft geen snijpunt met de Y-as. - Er is ook geen snijpunt met de X-as. Dit komt omdat functie heeft dus geen nulpunten. 0 voor elke. De - Het tekenverloop is : 0 f() + - Nadert langs rechts naar 0, d.w.z. langs waarden die groter zijn dan 0, dan worden de functiewaarden onbegrensd groot in de positieve zin. We zeggen dat f() naar plus oneindig nadert als langs rechts naar 0 nadert > f() Notatie : + als > 0 of : 0 > = + Analoog zien we dat als < 0 of 0 < =. Merk op dat niet bestaat omdat de linker- en rechteriet verschillend zijn. 0 De rechte = 0 (de Y-as) noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek van) f. - Als we kijken naar de functiewaarden voor zeer grote waarden van, in positieve en negatieve zin, dan zien we dat 0 als + of + = 0 0 als of = 0 De rechte y = 0 (de X-as) noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f.

3 2. Limieten 3 2 Limieten We gaan hier niet in op de eacte definitie van iet, maar beperken ons tot het berekenen van ieten. Het berekenen van de iet van een rationale functie in een punt c R dat geen nulpunt van de noemer is levert weinig problemen. De iet is dan immers gelijk aan de functiewaarde. We geven enkele voorbeelden: 2 ( ) = = = = 0 43 Het berekenen van de iet van een rationale functie in een punt c R dat wel een nulpunt van de noemer is wordt behandeld in paragraaf 2.3. Voor het zoeken van horizontale en schuine asymptoten is het ook nodig de iet van een functie te bepalen voor + of. Hierover gaat paragraaf 2.2. Voor we deze gevallen behandelen kijken we eerst naar de rekenregels van ieten, in paragraaf 2.. Maar eerst nog een grafische oefening: Oefening Welke ieten hebben de volgende functies in en + als de pijlen op de grafiek aangeven hoe de functies verder verlopen?

4 4 Limieten en asymptoten van rationale functies 2. Rekenregels voor ieten voor c met c R of c = ± Deze rekenregels gelden voor willekeurige functies f en g maar in de voorbeelden en oefeningen gebruiken we steeds rationale functies. Deze rekenregels gelden voor c met c R of c = ±. - Als f() = a R en g() = b R dan is : [f() + g()] = f() + g() = a + b [f() g()] = f() g() = a b [f() g()] = f() g() = a b f() f() g() = g() = a b als b 0 - Als f() = g() = + dan is : [f() + g()] = + [f() g()] = +

5 2. Limieten 5 Deze laatste twee regels kunnen we ook symbolisch schrijven als : (+ ) + (+ ) = + (+ ) (+ ) = + - Met dezelfde symbolische schrijfwijze gelden ook de volgende regels: ( ) + ( ) = (+ ) ( ) = ( ) (+ ) = ( ) ( ) = + a + (+ ) = (+ ) + a = + voor elke a R a + ( ) = ( ) + a = voor elke a R a (+ ) = (+ ) a = + als a > 0 a (+ ) = (+ ) a = als a < 0 a ( ) = ( ) a = als a > 0 a ( ) = ( ) a = + als a < 0 a + = a = 0 Voor volgende uitdrukkingen kan er echter geen regel geformuleerd worden, men noemt dit onbepaalde vormen : (+ ) + ( ) ( ) + (+ ) 0 (+ ) en (+ ) 0 0 ( ) en ( ) 0 0 en 0 De reden hiervoor is dat in die gevallen, afhankelijk van welke functies f en g precies zijn, verschillende waarden voor de iet kunnen voorkomen. Voor de onbepaalde vorm 0 (+ ) geven we enkele voorbeelden: 2 0 > = = 0 en > 0 > > = 0 (+ ) 0 > = = en > > > = 0 (+ ) 0 > = = + en 2 0 > 0 0 > > = 0 (+ ) 2 0 = = bestaat niet en = 0 (+ ) 2

6 6 Limieten en asymptoten van rationale functies Dus als f() = 0 en g() = + dan kunnen we niet schrijven dat [f() g()] = f() g() Samenvattend kunnen we zeggen dat de iet van een som de som is van de ieten, de iet van een product is het product van de ieten en de iet van een quotiënt is het quotiënt van de ieten, tenzij je daardoor een onbepaalde vorm krijgt. 2.2 Limiet in c = ± Hoe kunnen we volgende iet uitrekenen? We kunnen niet schrijven dat + ( ) + ( ) = want dan krijgen we de onbepaalde vorm (+ ) (+ ). Om deze iet uit te rekenen gaan we volgende regel gebruiken: (+ ) a = + als a > 0 We schrijven deze eerst terug volledig en nemen c = +, dan krijgen we: Als f() = + en g() = a met a > 0 dan is + + We beginnen de berekening met: [f() g()] = + + We weten dat + ( ) = + [2 ( )] + 2 = + ( ) = 3 dus als we de iet van dit product van functies schrijven als het product van de ieten krijgen we geen onbepaalde vorm: + ( ) = + [2 ( )] = ( ) = (+ ) 3 = +

7 2. Limieten 7 - Nog enkele voorbeelden van gelijkheden die we niet mogen schrijven omdat we zo onbepaalde vormen krijgen: 3 ± = ± ± 3 ± = ± ± We kunnen deze ieten wel gemakkelijk uitrekenen: Oefeningen I Juist of fout? 3 ± = ± 2 = + ± = = ± ( ) = II Bereken met behulp van voorgaande rekenregels (a) (b) ± ( ) ± Door het toepassen van de rekenregels zie je dat de iet voor ± gelijk is aan de iet van de hoogstegraadsterm voor een veeltermfunctie, en gelijk is aan het quotiënt van de hoogstegraadstermen in teller en noemer voor een rationale functie. III Bereken nu (a) (b) ± ( ) ± 3 7 (c) ±

8 8 Limieten en asymptoten van rationale functies (d) (e) 3 ± ± Limiet in een nulpunt van de noemer Als f(a) = 0 voor a R, dan zal oneindig groot worden in positieve of negatieve f() zin als naar a nadert. We noemen a dan een pool van de functie. f() Als f(a) = 0 dan geldt: Als f() > 0 in een omgeving van a dan is a f() = +. Als f() < 0 in een omgeving van a dan is a f() =. Als f() > 0 voor > a en f() < 0 voor < a dan is = + en > af() a < f() = Als f() < 0 voor > a en f() > 0 voor < a dan is = en > af() a < f() = + Opmerking : Als de linker- en rechteriet verschillen bestaat a f() niet. Oefeningen Bereken : (a) ( ) (b) > 2 + (c) <

9 2. Limieten 9 3 (d) > 2 3 (e) < 2 (f) (Dit is geen rationale functie) < πsin In de vorige oefeningen (behalve in de laatste) werd telkens gevraagd om de (linker of rechter) iet in te berekenen, en was een nulpunt van de noemer maar geen nulpunt van de teller. Om de iet te berekenen in een nulpunt van teller en noemer moet je eerst teller en noemer ontbinden in factoren en dan vereenvoudigen. We illustreren dit met een voorbeeld: = 2 ( 2)( + 2) 2 = 2 ( + 2) = 4 Dus als a een nulpunt van de noemer is en we kunnen door ontbinden in factoren en vereenvoudigen de factor a wegdelen in de noemer, dan is de iet voor a eindig. Teken de grafiek van f : 2 4 om dit te verduidelijken! 2 Oefening Bereken : 3 (a) < (b) < ( ) 3

10 0 Limieten en asymptoten van rationale functies 3 Asymptoten 3. Voorbeeld We gaan na hoe we een schets kunnen maken voor de grafiek van f : 3 5. (a) Wat is het domein van f? (b) Zoek de nulpunten van f. (c) Om het tekenverloop van een rationale functie te vinden, bepaal je eerst het tekenverloop van de teller en noemer afzonderlijk f() = (d) Bereken en. + Voor + en zal de grafiek steeds meer naderen tot de rechte met als vergelijking y = 3. De rechte y = 3 noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f. (e) Omdat 0 een nulpunt is van de noemer en niet van de teller zal 3 5 groot worden als naar 0 nadert. Uit het tekenverloop weten we dat oneindig < 3 5 = + en > 0 =. De rechte = 0 noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek van) f.

11 3. Asymptoten 3.2 Verticale asymptoten Definitie: De rechte met vergelijking = a is een verticale asymptoot van (de grafiek van) f f() = + of f() = a a < < of f() = + of f() = a a > > Ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot

12 2 Limieten en asymptoten van rationale functies Oefeningen Ga na waar de volgende functies een verticale asymptoot hebben. Schets ook de ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot. 3.3 Horizontale asymptoten f : 2 + f : Definitie De rechte met vergelijking y = a is een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f f() = a of f() = a + Oefeningen Ga na of de volgende functies een horizontale asymptoot hebben : f : 2 f : f : 2 2 Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een horizontale asymptoot bij een rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?

13 3. Asymptoten Schuine asymptoten We gaan het gedrag onderzoeken van de functie f : 2 voor zeer grote waarden 2 van. 2 2 = + en = Als we de euclidische deling uitvoeren krijgen we : 2 2 = deeltal deler = quotiënt + rest deler = Dus 2 2 Vermits ( + 2) = 3 2. ± 3 2 = 0, is ook ± [2 ( + 2)] = 0. 2 Grafisch betekent dit dat voor + en de grafiek van f : 2 2 steeds meer nadert tot de rechte met als vergelijking y = + 2. De rechte y = + 2 noemen we een schuine asymptoot van (de grafiek van) f. Definitie : De rechte met vergelijking y = a + b (a 0) is een schuine asymptoot van (de grafiek van) f [f() (a + b)] = 0 of [f() (a + b)] = 0 + Voor een willekeurige functie f kunnen we de parameters a en b bepalen door de volgende ieten uit te rekenen: f() a = ± en b = (f() a). ±

14 4 Limieten en asymptoten van rationale functies Indien deze ieten niet bestaan of geen reële getallen zijn heeft f geen schuine asymptoot. Voor rationale functies kunnen we op een eenvoudigere wijze de schuine asymptoot vinden als deze bestaat, door de euclidische deling uit te voeren, zoals in bovenstaand voorbeeld. Oefeningen (a) Laat zien dat (f() (a + b)) = 0 niet hetzelfde is als f() = + + (a + b). + (b) Ga na of de volgende functies een schuine asymptoot hebben. f : f : 4 2 Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een schuine asymptoot bij een rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer? 3.5 Samenvatting Is f() = amm +...+a +a 0 b n n +...+b +b 0 (m,n N 0 ;a m 0,b n 0) dan geldt : - Is m < n, dan is de X-as een horizontale asymptoot van de grafiek van f. - Is m = n, dan is de rechte met vergelijking y = am b n van de grafiek van f. een horizontale asymptoot - Is m = n +, dan heeft de grafiek van f een schuine asymptoot. - Is m > n +, dan heeft de grafiek van f geen horizontale en geen schuine asymptoot. - Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren en vereenvoudigen de factor a niet volledig wegdelen in de noemer, dan is de (linker-, rechter-) iet voor a oneindig. De grafiek heeft een verticale asymptoot met vergelijking = a.

15 3. Asymptoten 5 - Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren en vereenvoudigen de factor a volledig wegdelen in de noemer, dan is de iet voor a eindig. De grafiek van de functie vertoont een opening voor = a. - Is a geen nulpunt van de noemer van f, dan is de iet voor a gelijk aan de functiewaarde. Oefeningen Geef de asymptoten van de volgende functies : 3 f : 2 9 f 2 : + f 3 : f 4 : 2 +