Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink ( )

Transcriptie

1 Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink ( ) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd aan eindtermen van de basisvorming en/of eindtermen van de examenprogramma s van havo en vwo. Beschrijving Lesstof Leerlingen leren in deze lessenserie vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen. De rekenregels worden opgehaald (eerst haakjes, dan vermenigvuldigen, tot slot optellen) en er wordt geleerd breuken te vereenvoudigen. Daarna worden algebraïsche formules geïntroduceerd. Eerst aan de hand van woordformules, later met letters in de plaats van de woorden. Verbindingen met andere lesstof In het voorgaande hoofdstuk hebben leerlingen geleerd wat negatieve getallen zijn en dat je deze kunt optellen en aftrekken. Daarnaast hebben de leerlingen geleerd te rekenen met breuken. Dit wordt herhaald en uitgebreid met het vereenvoudigen van breuken. Deze vaardigheden komen later ook van pas bij het oplossen van vergelijkingen. De formules houden verband met de in het vorige hoofdstuk aan bod gekomen grafieken. In de voorgaande hoofdstukken hebben de leerlingen geleerd een grafiek te tekenen op basis van een tabel. In dit hoofdstuk leren ze zelf zo n tabel maken aan de hand van een lineaire formule. Dit wordt later uitgebreid naar verschillende andere functies. Ook komt het opstellen van een formule en het rekenen ermee aan bod in verschillende andere schoolvakken als biologie, scheikunde, natuurkunde en economie.

2 Operationele en concrete lesdoelen. Aan het eind van de lessenserie kunnen leerlingen: Negatieve getallen delen en vermenigvuldigen Aangeven of een vermenigvuldiging of deling een positieve of negatieve uitkomst zal hebben Breuken vereenvoudigen tot de kleinst deelbare natuurlijke getallen Formules opstellen bij een lineair verband Lineaire functies lezen, begrijpen en kunnen ermee rekenen Een grafiek opstellen bij een lineaire formule De doelen van dit hoofdstuk zijn in grote mate te relateren aan kerndoel 22 van het SLO. Geciteerd van de website: Bij dit kerndoel gaat het erom dat leerlingen vertrouwd raken met de rol die getallen vervullen in de wereld om hen heen. Zij brengen getallen in verband met de achterliggende situaties, kunnen daarmee relevante bewerkingen uitvoeren en ervaren dat zij daarmee meer grip hebben op de wereld om hen heen. Binnen havo vwo is daarnaast aandacht voor de getallenwereld als formeel systeem. Dit levert een basis voor verder te ontwikkelen algebraïsche vaardigheden. Doel is om vat te krijgen op de interne logica van het getalsysteem. Beheersing van de formele rekenregels staat in dienst daarvan en is geen doel op zich. Onder dit kerndoel valt namelijk het rekenen met negatieve getallen en breuken, maar ook het opschrijven van een verband in de vorm van een formule. De stof is ook te relateren tot kerndoel 25, het visualiseren en formaliseren van verbanden. Er wordt immers gewerkt aan een begrip van lineaire formules en het opstellen van een grafiek hierbij. Tot slot is er ook een verband met kerndoel 19, gezien de leerling leert door middel van een lineaire formule te abstraheren van de context. Daarnaast leren leerlingen enkele conventies uit de wiskunde over het opschrijven van breuken.

3 Vermenigvuldigingspunt Het wordt medegedeeld Met behulp van voorbeelden wordt uitgelegd dat het vermenigvuldigingspunt het maalteken vervangt Ophalen van voorkennis (wat is vermenigvuldigen). Laten zien hoe de theorie wordt toegepast. Er wordt hier een afspraak medegedeeld. Valt weinig over te vertellen In plaats van het maalteken x gebruiken we vaak een vermenigvuldigingspunt. Vermenigvuldigen met 0 Het wordt medegedeeld In de voorkennis is opgehaald wat vermenigvuldigen precies was. Daarna wordt direct het voorbeeld 0*-3 = 0 gegeven. Uitleg dat iets het geval is Door middel van een voorbeeld wordt de constatering gedaan Het ontbreekt hier enigszins aan uitleg of kweken van intuïtie. Er staat ineens een afspraak op papier Als je een getal met 0 vermenigvuldigt, is de uitkomst altijd 0 Negatieve getallen vermenigvuldigen Door middel van de verschilrij van de producten van -3 en 3 t/m -2 Aan de hand van een verschilrij van de producten van -3 wordt duidelijk gemaakt wat de regels voor vermenigvuldigen zijn Uit het voorbeeld kan de leerling zelf de rekenregels afleiden. Ook geeft het voorbeeld inzicht in de werking van de regels. De uitleg is vrij duidelijk. Het voorbeeld maakt het geheel inzichtelijk. Wel opvallend is dat hier weer het maal teken wordt gebruikt Positief x positief = positief Positief x negatief = negatief Negatief x positief = negatief Negatief x negatief = positief Rekenvolgorde

4 Eerst wordt opgehaald dat vermenigvuldigen voor optellen en aftrekken gaat. Daarna wordt verteld dat alles binnen haakjes eerst moet. Tot slot wordt aandacht gevestigd op de betekenis van verschillende mintekens Uitleg hoe je iets moet doen. Uitleg met behulp van synthese. Aan de hand van voorbeelden wordt de stof gevisualiseerd. De voorbeelden laten zien hoe er gerekend moet worden in opgaven met zowel optellen als haakjes en vermenigvuldigen. De uitleg is redelijk duidelijk. Wel mist een stukje inzichtelijk maken. Ik zou hier een voorbeeld gebruiken die het effect van haakjes op een som laat zien (zelfde som mét en zonder haakjes) 1. Binnen de haakjes 2. Vermenigvuldigen en delen vlnr 3. Optellen en aftrekken vlnr Vermenigvuldigingspunt Het wordt medegedeeld Met behulp van voorbeelden wordt uitgelegd dat het vermenigvuldigingspunt het maalteken vervangt Ophalen van voorkennis (wat is vermenigvuldigen). Laten zien hoe de theorie wordt toegepast. Er wordt hier een afspraak medegedeeld. Valt weinig over te vertellen In plaats van het maalteken x gebruiken we vaak een vermenigvuldigingspunt. Negatieve getallen delen Door middel van een opgave waarbij producten aan quotiënten gekoppeld worden. In een opgave voert de leerling zelf al de delingen uit. Vervolgens constateert het boek dat de regels lijken op die van vermenigvuldigen De voorbeelden helpen illustreren hoe de regels in de praktijk worden toegepast. De moeilijkheid zit hem in de oriënterende opgave. Als de leerling deze goed doet, zal hij de theorie direct snappen. Als dit fout gaat kan dit problemen opleveren voor de leerling Positief : positief = positief Positief : negatief = negatief Negatief : positief = negatief Negatief : negatief = positief Vereenvoudigen van breuken

5 Door middel van een opgave waarbij de leerling drie gelijkwaardige breuken moet uitrekenen In een opgave voert de leerling zelf al de delingen uit. Vervolgens constateert het boek dat de uitkomsten gelijk zijn. Door middel van deze analogie wordt een afspraak geformuleerd Uitleg met behulp van synthese. De voorbeelden dienen om leerlingen die de voorgaande opgave niet hebben kunnen uitvoeren toch de theorie te laten begrijpen. Ze illustreren de regel en laten zien hoe hij wordt toegepast. Het gaat hier over een regel. Het is vrij duidelijk wat de regel is en hoe deze wordt toegepast Laat in een breuk geen minteken in de teller of de noemer staan Optellen en aftrekken van breuken Allereerst wordt de regel medegedeeld. Door middel van een voorbeeld met gelijke noemers op te tellen en van elkaar af te trekken wordt de regel uitgelegd. Het gelijknamig maken wordt in een regel verteld Door middel van 2 voorbeelden met gelijke noemers en 2 voorbeelden met ongelijke noemers wordt de leerling getoond hoe de regel in zijn werk gaat. De voorbeelden laten zien hoe de regel werkt Ik vind de opbouw van de uitleg wat kort door de bocht. Er wordt alleen verteld dat de breuken gelijknamig gemaakt moeten worden, niet hoe. Bij het optellen en aftrekken van breuken verandert de noemer niet. Niet-gelijknamige breuken kan je niet optellen totdat je ze gelijknamig maakt.

6 Woordformules gebruiken In een oriënterende opgave wordt een regelmaat gecreëerd door het bijleggen van lucifers. Vervolgens wordt de leerling gevraagd de regelmaat uit te drukken in een formule In een oriënterende opgave maakt de leerling kennis met het fenomeen. Vervolgens wordt met een uitwerking ervan getoond wat een woordformule is. Tot slot wordt getoond hoe met een woordformule gerekend kan worden Uitleg dat iets het geval is. Uitleg wat het geval is. Uitleg met behulp van generaliserende analogie Met het voorbeeld wordt het fenomeen uitgelegd en toegepast. De uitleg zelf is redelijk goed te volgen. Vooral de explicitering laat de wensen over. Hier had ik graag iets gezien in de richting van: een (woord)formule laat wat de regelmaat is. In een woordformule staat op een korte en handige manier hoe je iets moet berekenen. Woordformules met mintekens Door middel van een vraagstuk over een brandende kaars Aan de hand van een voorbeeld wordt getoond dat woordformules ook mintekens kunnen bevatten Uitleg waarom iets het geval is. Uitleg met behulp van genetische analyse. Uitleg met behulp van non-voorbeeld Aan de hand van het voorbeeld wordt de theorie uitgelegd De uitleg is redelijk duidelijk. Wat mij betreft had de opgave iet meer nadruk kunnen leggen op het feit dat het minteken staat voor afnemende lengt In woordformules met mintekens kan je niet elk getal invullen. Een lengte kan bijvoorbeeld niet negatief zijn Letters in formules In de oriënterende opgave wordt het probleem van woordformules geschetst. In de theorie wordt vervolgens aan de hand van een voorbeeld de nieuwe theorie getoond Er wordt een voorbeeld gegeven van een formule met aantal dagen als variabele. Dit wordt vervolgens vervangen door de d van dagen Uitleg hoe je iets moet doen. Uitleg met behulp van analogie. Uitleg met behulp van synthese. Aan de hand van het voorbeeld wordt de theorie uitgelegd en toegepast De uitleg is behoorlijk helder. Enige wat ik zou veranderen is ook gelijk de andere variabele vervangen door een letter Je kunt woordformules korter maken door de woorden te vervangen door letters

7 Weglaten vermenigvuldigingspunt Er wordt medegedeeld dat 5*d korter gemaakt gaat worden door te schrijven 5d. Er wordt een voorbeeld gegeven van een formule met aantal dagen als variabele. Dit wordt vervolgens vervangen door de d van dagen Uitleg hoe je iets moet doen. Aan de hand van het voorbeeld wordt de theorie uitgelegd en toegepast De uitleg is helder 5d betekent 5*d De grafiek van een formule tekenen In een oriënterende opgave wordt stap voor stap een grafiek getekend. Door middel van het uitwerken van een voorbeeldopgave wordt het stappenplan duidelijk gemaakt Uitleg hoe je iets moet doen. Uitleg met behulp van synthese. Aan de hand van het voorbeeld wordt het stappenplan opgebouwd en uitgevoerd. De uitleg is helder. Ik mis wel een uitleg over hoe de lengte van de assen bepaald kan worden. 1. Maak een tabel 2. Teken een horizontale as en zet er getallen bij 3. Teken een verticale as en zet er getallen bij 4. Schrijf bij de assen waar het over gaat 5. Teken de punten die uit de tabel volgen en teken de grafiek

8 Schema van de opgaven Opgaven Onderwerp Datum 1-9 Negatieve getallen vermenigvuldigen Negatieve getallen vermenigvuldigen Negatieve getallen delen Vereenvoudigen breuken Optellen en aftrekken breuken Woordformules Woordformules (met minteken) Letterformules (lineaire vergelijking) Letterformules Formules en grafieken D-toets 1-3 Negatieve getallen vermenigvuldigen D-toets 4-7 Negatieve getallen delen D-toets 8 Woordformules D-toets 9-11 Formules met letters D-toets 12 Formules en grafieken Geschrapte opgaven: 18: Opgave met rekenslang. Omdat alleen gevraagd wordt naar de uitkomst van een tussenstap heeft deze opgave geen toegevoegde waarde. 20: Maak zelf berekeningen met -2, 5 en 8 met als uitkomst:. Deze vraag is te ruim gesteld om fatsoenlijk antwoord op te kunnen geven. 28: Pittige puzzel die wiskundig inzicht vraagt. Niet voor alle leerlingen geschikt. Kan als uitdaging worden gebruikt voor snelle leerlingen. 29: Spelvorm. 57: Opgave die uitblinkt door het grote aantal deelvragen. In feite wordt hier 8 keer het zelfde gevraagd. Overbodig werk dus. Paragraaf 4.6 Paragraaf over het tekenen van grafieken met behulp van VU-grafiek. Er wordt in de rest van de leerlijn geen gebruik gemaakt van dit programma. Dit hoofdstuk gaat vooral over het leren omgaan met dit programma en is dus niet interessant om door te werken.