Wiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele

Transcriptie

1 Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = = 3 Aan het getal 67, d.w.z. = 67, wordt het getal 133 toegevoegd, want f(67) = = 133 Aan het getal -2, d.w.z. = 2, wordt het getal -5 toegevoegd, want f 2 = = 5 In het spraakgebruik: f is een functie van f is de functiewaarde ; is het argument of de (onafhankelijke) variabele In de natuurkunde (en in andere vakgebieden) komen functies veel voor: bijv. : - De positie van een deeltje als functie van de tijd: (t) - Het volume V van een ballon als functie van de druk P in de ballon: V(P) - De dekkingsgraad D van een pensioenfonds als functie van de tijd t: D(t) Soms is de functie alleen als grafiek bekend (niet als formule). Soms is de functie alleen bekend voor een beperkte waarden van het argument.

2 Functies van meer variabelen Fysische grootheden worden vaak beschreven met functies van meer variabelen: Bijv.: De temperatuur op aarde T(θ, φ, h, t) T hangt af van: de breedtegraad θ de lengtegraad φ de hoogte boven het aardoppervlak h de tijd t

3 Weergave van functies Een functie kan worden weergegeven met behulp van een formule, met behulp van een grafiek, of met behulp van een tabel. bijv. f = f() f() ,5 1, ,1 2,493 1,2 3, Voor veel functies is geen formule te geven, maar wel een grafiek of een tabel. Bijv.: de benzineprijs P t is een functie van de tijd t. Voor de functie P t is geen formule te geven, wel een tabel of een grafiek voor die waarden van t die corresponderen met het verleden.

4 Helling van een rechte lijn (1) y Helling : klein stukje van de y as overeenkomstige stukje van as dy Helling : α = dy α = 1 (dy = ) α = 0 (dy = 0) α = ( = 0) y y y

5 Helling van een rechte lijn (2) α = 2 (dy = 2) α = 1 (dy = ) y y

6 Afgeleide f() De afgeleide van een functie f is de helling van de raaklijn aan de grafiek van die functie Die helling is bij verschillende in het algemeen verschillend. De afgeleide van f is dus ook weer een functie van. f () De afgeleide wordt aangeduid met f () of met:

7 Welke afgeleide? (1) f() Eén van blauwe functies is de afgeleide van f. Welke? (A, B of C) A B C

8 Welke afgeleide? (2) f() Eén van blauwe functies is de afgeleide van f. Welke? (A, B of C) A B C

9 Een formule voor de afgeleide f( + ) f() De helling van de rechte zwarte lijn wordt gegeven door: f + f() = We kiezen nu zeer klein ( oneindig klein ). Als oneindig klein is dan is de rechte lijn precies de raaklijn in het punt + De afgeleide van f wordt dus gegeven door: f + = f() waarbij oneindig klein is.

10 De afgeleide van f = 3 = f + f() = ( + ) 3 = = ( + )( ) ( + )( 2 + 2) = () = = = 32 = 3 2 f = 3 = 32 In het algemeen: f = n = nn 1

11 De afgeleide van f = 1 We zagen: f = n = nn 1 f = 1 = 1 = 1 2 = 1 2 f = 1 = 1 2

12 Kettingregel f is een functie van u: u is een functie van : f(u) u() De afgeleide van f naar is: = du du bijv: f = 5 4 f u = 5u u = 4 du = 5 du = 43 = 5 43 = 20 3

13 Wat is de afgeleide? f = 3 4 De afgeleide van f is: A 12 3 B 4 3 C 3 3

14 Een formule voor de afgeleide f( + ) De afgeleide van f wordt gegeven door: f + f() = f waarbij oneindig klein is. f() Bij benadering geldt: + f De benadering is hier dus niet zo goed, maar wordt beter naarmate je kleiner kiest.

15 De afgeleides van een functie van twee variabelen De functie f(, y) heeft twee afgeleides: y dy Dit is de afgeleide van f, y naar de variabele, terwijl we y constant houden Als je y constant houdt, is f, y in feite een functie van een enkele variabele, (nl. ) geworden. Dit is de afgeleide van f, y naar de variabele y, terwijl we constant houden Als je constant houdt, is f, y in feite alleen nog maar een functie van de variabele.

16 Functies van meer variabelen f, y = y f + y y dy f We schrijven meestal: f = f f + y y De druk P van een afgesloten hoeveelheid gas is een functie van het volume V en de temperatuur T: P = Nk BT V dp dt = Nk B V y dp dv = Nk BT V 2 Wat is de verandering P van de druk als V en T een klein beetje veranderen? P = Nk BT V 2 V + Nk B V T