8. Differentiaal- en integraalrekening

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "8. Differentiaal- en integraalrekening"

Roeland Desmet
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie, index is de sommatie-index, laag is de ondergrens van index en hoog is de bovengrens van index. Voorbeeld 1: We berekenen de som van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 100. Voorbeeld 2: n k 3 We berekenen de som voor n = 1, 2, 10; k = 1 5 (dit is de de som van de eerste n termen van een meetkundige rij met reden r = 3/5). Het is handig om hier een lijst te gebruiken: Dit ziet er vanwege de breuken niet zo veelzeggend uit, daarom stappen we over op kommagetallen via CTRL-F U weet dat in dit geval de rij van de partiële sommen convergeert omdat r < 1. k 3 Laten we daarom proberen de som s = ( ) uit te rekenen met Maxima. 5 k= 1 1

is de bovengrens van index. Voorbeeld 1: We berekenen de som van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 100.

2 Differentiaal- en integraalrekening Dit wilde we Maxima inderdaad laten uitrekenen. Met de toevoeging simpsum (simplify sum) lukt dit inderdaad: Sommen kunnen ook via de menuopdracht Calculus Calculate sum.. berekend worden: 2

3 Computeralgebra met Maxima Voorbeeld 3: Voor de berekening/benadering van sin(π/6) willen we gebruik maken van de Taylorreeks van sin(x): 3 5 2n+ 1 n sin( x) = x x + x = ( 1) x 3! 5! (2n + 1)! n= 0 n 2k+ 1 k x We bepalen nu een benadering door middel van de partiële sommen 1). k= 0( (2 k + 1)! In Maxima definiëren we daartoe een functie van twee variabelen sin ben( x, n ) als volgt: We berekenen nu de benaderingen sinben(π/6,n) van sin(π/6) voor n = 0, 1,, 5 U ziet dat deze rij van partiële sommen vrij snel convergeert naar de waarde sin(π/6) (= 0.5)van de standaardfunctie sin van Maxima: Opmerking: Maxima heeft overigens een eigen opdracht voor Taylorbenaderingen. Willen we bijvoorbeeld een derde orde Taylorbenadering van sin(x) berekenen dan kan dat via de opdracht : taylor(sin(x), x, 0, 3) : 3

In Maxima definiëren we daartoe een functie van twee variabelen sin ben( x, n ) als volgt: We berekenen nu de benaderingen sinben(π/6,n) van sin(π/6) voor n = 0, 1,, 5 U ziet dat deze rij van

4 Differentiaal- en integraalrekening Vervolgens kunnen we hierin de waarde x=%pi/6 substitueren: 8.2. Berekening van limieten Voor de berekening van limieten kent Maxima de volgende mogelijkheden Via de opdracht : limit (expr, var, waarde,<plus/minus>) Deze opdracht bepaalt dus de limiet van de expressie expr als de reële variabele var nadert tot de gegeven waarde van rechts (plus) of van links (minus). Als u de optie plus/minus niet gebruikt dan zal Maxima proberen een tweezijdige limiet te bepalen. Via de menuopdracht Calculus Find limit.. Voorbeeld 1: We bepalen het differentiaalqoutiënt van de funktie f x 3 ( ) x 1 = voor x = 2. f (2) = lim f + h f h 0 (2 ) (2) h In kleine stapjes verloopt deze berekening als volgt: 4

limiet van de expressie expr als de reële variabele var nadert tot de gegeven waarde van rechts (plus) of van links (minus).

5 Computeralgebra met Maxima Maxima kan dit alles ook in één opdracht berekenen : Voorbeeld 2: n 1 Beschouw de rij u gedefinieerd door u( n) = 1+, voor n = 1, 2,. n We vragen ons af tot welke waarde u(n) nadert als n nadert tot oneindig? We berekenen nu de waarden van u(n) voor n = 1, 2,, 8 5

6 Differentiaal- en integraalrekening Hieruit valt nog moeilijk iets over een eventuele limietwaarde te zeggen; daarom kiezen we voor n een aantal grotere waarden: De rij lijkt te convergeren naar een waarde van ongeveer 2,71... De convergentie en limietwaarde kan Maxima berekenen via limit (u(n),n,inf): Het resultaat is het beroemde getal van Euler e. Opmerking: Oneindig wordt met inf aangegeven en minusoneindig met mininf. Een limietberekening kan bijzondere resultaten opleveren: und : ongedefinieerd ind : onbepaald maar begrensd infinity : complex oneindig Opgave 8.1 Bepaal de limiet van de rij u(n) = 2 n 3 voor n gaat naar oneindig 3n + 1 Opgave 8.2 Bereken de helling van de functie f(x) = abs(x 2-1) in het punt x = Differentiëren 6

Opmerking: Oneindig wordt met inf aangegeven en minusoneindig met mininf.

7 Computeralgebra met Maxima Symbolisch differentiëren Voor het symbolisch differentiëren kent Maxima de volgende mogelijkheden Via de opdracht : diff (expr, var) resp. diff (expr, var, orde) voor hogere afgeleiden Via de menuopdracht Calculus Differentiate kan met behulp van een dialoogvenster in wxmaxima gewerkt worden. Voorbeeld 1: Bepaal de afgeleide van de functie 1, 3, 5 en f : x x + x 2x + 3 en bepaal de afgeleide in de punten Een andere handiger methode om de afgeleide in een punt direct te bepalen verloopt via de opdracht at als volgt: Hint: Als we de afgeleide in meerdere punten moeten berekenen is het handiger om de afgeleide functie als een zelfstandige functie bijvoorbeeld f1(x) expliciet te definiëren. 7

Voorbeeld 1: Bepaal de afgeleide van de functie 1, 3, 5 en 7.

8 Differentiaal- en integraalrekening Opmerking: Een tweede mogelijkheid om een lijst van functiewaarden te produceren is via de opdracht map, bijvoorbeeld map(f1, [1,3,5,7]) Voorbeeld 2: Bepaal de buigpunten van de functie f x x x x 3 2 : Voor het bepalen van de buigpunten moeten we nagaan waar de tweede afgeleide 0 is en van teken verandert. Omdat f2 een lineaire functie is, zal er een tekenwisseling optreden in het nulpunt van f2. 8

functie f x x x x 3 2 : + 2 + 3 Voor het bepalen van de buigpunten moeten we nagaan waar de tweede afgeleide 0

9 Computeralgebra met Maxima Opgave Beschouw de functie: f : x x + 2x 5. Bepaal de nulpunten en extremen van f. Opgave Beschouw de schaar van functies : fa : x x + ax met a Plot de functieschaar voor a = -4,-3,.,2, 3, 4. Bepaal de nulpunten, extreme waarden en buigpunten in afhankelijkheid van de parameter a Toepassingen Bepalen raaklijn Uit de wiskunde van het VO weet u (misschien) nog dat de vergelijking van de raaklijn in het punt (a, f(a)) van de grafiek van de functie f te schrijven is als: y f ( a) = f ( a) ( x a) of als y = f ( a) + f ( a) ( x a) Bij gegeven functie f kunnen we in Maxima f ( a) bepalen via at(diff(f(x),x),x=a). De raaklijnfunctie behorend bij de functie f in het punt x=a kunnen we dan definiëren als: raakfunctie(f,a,x):= f(a)+ at(diff(f(x),x),x=a)*(x-a) Nemen we als voorbeeld de functie f(x) = sin(x), dan verloopt de berekening in Maxima als volgt: 9

vergelijking van de raaklijn in het punt (a, f(a)) van de grafiek van de functie f te schrijven is als: y f ( a) = f ( a) ( x a) of als y = f ( a) + f ( a) ( x a) Bij gegeven functie f kunnen we in

10 Differentiaal- en integraalrekening De raaklijnfunctie in het punt x = %pi/3 wordt dan: De vergelijking van de raaklijn in x = a aan de grafiek van f kunnen we dan in Maxima definiëren door de volgende functie: 10

11 Computeralgebra met Maxima Extremen en buigpunten Bij het bepalen van extremen en buigpunten van een functie is het handig als we kunnen beschikken over het tekenverloop van de eerste en tweede afgeleide van die functie. In Maxima kunnen we beschikken over de functie signum (x), welke als volgt gedefinieerd is : + 1 x > 0 signum( x) = 0 x = 0 1 x < 0 Voorbeeld : Beschouw de functie 3 2 f : x 3x 9x + 6. De nulpunten van f vinden we door het oplossen van de vergelijking f(x)=0 : Het tekenoverzicht van de functie f wordt dan verkregen via de opdracht signum(f(x)) : 11

In Maxima kunnen we beschikken over de functie signum (x), welke als volgt gedefinieerd is : + 1 x > 0 signum( x) = 0 x = 0 1 x < 0 Voorbeeld

12 Differentiaal- en integraalrekening Uit de resultaten (%o2) en (%o4) mogen we dus concluderen: positief 1 3 < x < 1 en x > 1+ 3 f ( x) = nul x = 1+ 3, x = 1, x = 1+ 3 negatief x < 1 3 en 1< x < 1+ 3 Voor het bepalen van de extremen van f bepalen we eerst de eerste afgeleide f1 : Eventuele lokale extremen treden op in de nulpunten van f1: Het tekenoverzicht van f1 geeft ons nadere informatie over de aard van de extremen van f : Uit het tekenverloop van de eerste afgeleide f1 mogen we dus concluderen dat: f heeft een lokaal maximum voor x=0 f heeft een lokaal minimum voor x=2 De grootte van het maximum/minimum vinden we als volgt: 12

de nulpunten van f1: Het tekenoverzicht van f1 geeft ons nadere informatie over de aard van de extremen van f : Uit het tekenverloop van de eerste afgeleide f1

13 Computeralgebra met Maxima Deze resultaten zijn volledig in overeenstemming met het onderstaande plaatje : Opgave Beschouw de functie f : x 3x 9x + 6 Bepaal de buigpunten van f en bepaal de vergelijking(en) van de buigraaklijn(en). Teken de grafiek van f en de buigraaklijnen van f in één figuur Integreren Voor het symbolisch integreren kent Maxima de volgende mogelijkheden Via de menuopdracht Calculus Integrate kan met behulp van een dialoogvenster in wxmaxima gewerkt worden. Via de opdracht: integrate (expr, var) Opmerking: Maxima geeft bij het integreren geen integratieconstante aan! Onbepaalde integraal Bepaal een stamfunctie (onbepaalde integraal) van de volgende functies : 2 x, 1 x, sin(2 x ), 1 2x, 2 x + x 13

Teken de grafiek van f en de buigraaklijnen van f in één figuur. 8.4.

14 Differentiaal- en integraalrekening 1 Misschien dat u niet meteen zelf een stamfunctie van had gevonden, maar passen we 2 x + x eerst breuksplitsing toe dan wordt de zaak plots eenvoudiger: 14

15 Computeralgebra met Maxima Bepaalde integraal Bij een bepaalde integraal integrate (expr, x, a, b) moeten we als derde en vierde argument ook de ondergrens resp. de bovengrens van het integratieinterval aangeven. Als Maxima een bepaalde integraal niet exact berekenen kan, dan wordt de invoer weer geretourneerd in een nette wiskundige notatie. Voor een benadering moeten we dan een numerieke methode gebruiken, bijv. romberg (expr,var,a,b) Toepassing 3 2 Gegeven is de derdegraadsfunctie f : x 3x 9x + 6, waarvan de grafiek de x-as een aantal malen snijdt. De opdracht is nu om de oppervlakte te berekenen van het gedeelte van het vlak dat ingesloten wordt door de grafiek van de functie f en de x-as. We beginnen uiteraard met de functie in te voeren en de grafiek te tekenen. 15

Voor een benadering moeten we dan een numerieke methode gebruiken, bijv. romberg (expr,var,a,b) 8.4.3.

16 Differentiaal- en integraalrekening We bepalen vervolgens de snijpunten van de grafiek van f met de x-as: De integraal van f op het interval [b, c] moet negatief genomen worden omdat de oppervlakte bepaald moet worden. De totale oppervlakte wordt dus b Opp_totaal = f ( x) dx f ( x) dx Vertaald naar Maxima: a c b Opgave 8.6 Bereken de oppervlakte van een cirkel via de integraal 4 r 2 2 r x dx. 0 16

Vergelijkbare documenten

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen