Calculus.nb 1. Werk dit Mathematica notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Calculus.nb 1. Werk dit Mathematica notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!"

Transcriptie

1 Calculus.nb Calculus Andr Heck 00 AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk dit Mathematica notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie In dit Mathematica notebook behandelen we berekeningen uit de calculus zoals: - Complee getallen en functies - Differentiëren - Integreren - Limieten - Taylorreeksen - Reeksen Å Telkens opnieuw beginnen met In[]:= Clear "ë" Å Complee getallen en functies In[]:= Clear "ë" De complee eenheid De hoofdletter I staat voor de vierkantswortel van - i.p.v. de in wiskunde gebruikelijke kleine letter i (electrotechnisch ingenieurs gebruiken overigens het symbool j ). In standaardnotatie van Mathematica ziet de complee eenheid er uit als É. In[]:= I^ Out[]= - Basis operaties zijn: In[4]:= z = + * I * I Out[4]= É 4 + þ 4

2 Calculus.nb Reële en imaginaire deel In[5]:= Out[5]= In[6]:= Out[6]= Re z 4 Im z 4 Modulus of absolute waarde, argument en comple geconjugeerde: In[7]:= Out[7]= In[8]:= Abs z 4 Arg z Out[8]= ArcTan In[9]:= Out[9]= Conjugate z É 4 - þ 4 Poolcoördinaten Er bestaat geen ingebouwd commando in Mathematica om een comple getal in poolcoördinaten te schrijven, maar je kunt deze conversie gemakkelijk zelf doen. In[0]:= poolcoord z_ := Abs z * Ep Arg z * I In[]:= Out[]= poolcoord z 4 þþþ þþ ArcTanA ÈÉ E Gebruik het commando CompleEpand om het complee getal weer in Cartesische coördinaten te schrijven: In[]:= CompleEpand % Out[]= É 4 + þ 4 Het commando CompleEpand moet je sowieso gebruiken als je niet werkt met complee getallen met rationaal reëel en imaginair deel of wanneer symbolen voorkomen in complee uitdrukkingen. In het laatste geval neemt Mathematica meestal aan dat variabelen staan voor reële getallen. Een paar voorbeelden: In[]:= + * I 4 + Sqrt 5 * I Out[]= + É þ 4 + É 5 In[4]:= CompleEpand % Out[4]= þþ 7 + É 7 - þ

3 Calculus.nb In[5]:= - ^ Out[5]= - ƒ In[6]:= CompleEpand % Out[6]= É + þ In[7]:= z = + y * I ^ Out[7]= + É y In[8]:= CompleEpand z Out[8]= + É y - y Je kunt het laatste commando zodanig wijzigen dat en y comple verondersteld worden: In[9]:= CompleEpand z,, y Out[9]= -Im + Im y - Im y Re + Re - Im Re y - Re y + É - Im Im y + Im Re - Im y Re y + Re Re y Als je deze uitdrukking wilt vereenvoudigen onder de veronderstelling dat en y zuiver imaginair zijn kun je hetvolgende doen: In[0]:= Simplify %, Re == 0, Re y == 0 Out[0]= - Im + É Im y Je kunt ook vantevoren vastleggen dat het imaginaire deel van een symbool gelijk aan nul is en dan houdt Mathematica s commando CompleEpand hier rekening mee: In[]:= : Im = 0; y : Im y = 0; CompleEpand + I ^ + Ep I * y Out[]= Cos y + É + Sin y In[4]:= Clear "ë" Veel wiskundige functies die je in de contet van reële getallen kent zijn ook functies die je over de complee getallen kunt definiëren en die complee functiewaarden kunnen hebben. Voorbeelden zijn de eponentiële functie, logaritme en trigonometrische functies. In[5]:= Ep Pi * I Out[5]= - In[6]:= Log - Out[6]= É p In[7]:= Sin I Out[7]= É Sinh

4 Calculus.nb 4 Mathematica heeft de hulpfuncties EpToTrig en TrigToEp om complee e-machten in trigonometrische uitdrukkingen om te zetten en vice versa. In[8]:= Out[8]= Ep I * È É In[9]:= EpToTrig % Out[9]= Cos + É Sin In[0]:= TrigToEp % Out[0]= È É. Vermenigvuldiging van complee getallen We nemen de volgende twee complee getallen z = - i en w = + i. (i) Bereken het product z ûw in standaard gedaante (ii) Schrijf de complee getallen in poolcoördinaten en reken het product in deze vorm uit. Å Differentiëren In[]:= Clear "ë" Mathematica maakt strikt onderscheid tussen functies en uitdrukkingen. De volgende invoerregel In[]:= f _ := Sin definieert een functie, met de naam f, die aan elk argument, zeg z, toekent de uitdrukking sin z. In[]:= Out[]= f z Sin z De laatste uitdrukking heet ook wel een formule. Je kunt met het commando D de afgeleide van een formule berekenen; het resultaat is zelf weer een formule. In[4]:= Out[4]= D f, Cos Met het commando Derivative[] bereken je de eerste afgeleide functie; het resultaat is dus een functie. In[5]:= faccent = Derivative f Out[5]= Cos # & Deze korte notatie kun je in Mathematica laten uitwerken met het commando FullForm.

5 Calculus.nb 5 In[6]:= FullForm faccent Out[6]//FullForm= Function Cos Slot Met deze op het weerste gezicht rare notatie geeft Mathematica aan dat de afgeleide functie gelijk is aan de cosinusfunctie. Het ampersand symbool & duidt op een functie en # (Slot[]) geeft aan dat er slecht argument een rol speelt. Als je deze functie loslaat op, dan krijg je de formule cos. In[7]:= Out[7]= faccent Cos Voor de afgeleide functie kun je ook de gebruikelijke notatie f hanteren: In[8]:= Out[8]= f Cos In[9]:= FullForm f Out[9]//FullForm= Function Cos Slot Hogere afgeleiden en partiële afgeleiden kunnen berekend worden op de voor de hand liggende manier. Bijvoorbeeld, - derde afgeleide van een formule: In[40]:= D ^ * Log,, Out[40]= Log Log@D þþ - Log@D + þþ - Log þþ d H log L þ d + Log þþ Log þþ Log@D Log + Log + Log Log + Log + Log + - partiële afgeleide van een formule: þ y sin cos y In[4]:= D Sin * Cos y,, y, Out[4]= -Cos y Cos Cos y - Sin y Sin Cos y + Cos y - Cos Cos y Sin y + Cos y Sin Cos y - En nu hetzelfde als functies: In[4]:= f _ := ^ * Log In[4]:= f Out[4]= Log # + Log # + Log # Log # + Log # + Log # Log # + Log # þþ # - þ # - þ # # # Log@#D + Log # + Log # # + þþ þ + þ # # Log@#D & # # # Log@#D # +

6 Calculus.nb 6 In[44]:= Derivative f Out[44]= Log # + Log # + Log # Log # + Log # + Log # Log # + Log # þþ # - þ # - þ # # # Log@#D + Log # + Log # # + þþ þ + þ # # Log@#D & # # # Log@#D # + In[45]:= % Out[45]= Log Log@D þþ - Log@D + þþ - Log þþ + Log þþ Log þþ Log@D Log + Log + Log Log + Log + Log + In[46]:= f Out[46]= Log Log@D þþ - Log@D + þþ - Log þþ + Log þþ Log þþ Log@D Log + Log + Log Log + Log + Log + In[47]:= g _, y_ := Sin * Cos y In[48]:= Derivative, g Out[48]= -Cos Cos # # Cos # - Sin Cos # # Sin # # + Cos # Cos # Sin Cos # # # - Cos Cos # # Sin # # & In[49]:= %, y Out[49]= -Cos y Cos Cos y - Sin y Sin Cos y + Cos y - Cos Cos y Sin y + Cos y Sin Cos y. Afgeleiden Gegeven is de volgende formule f þ - a + y - b + z - c (i) Bereken f en y f. (ii) Toon aan dat geldt þ þ f + þþ þ y f + z f = 0. Å Integreren De omgekeerde operatie van differentiëren is integreren. We zeggen dat F de primitieve of onbepaalde integraal van f is als F = f. Mathematica bezit het commando Integrate om integralen uit te rekenen. Een eenvoudig voorbeeld: In[50]:= Integrate * ^, Out[50]=

7 Calculus.nb 7 Mathematica laat de integratieconstante achterwege (of laten we zegen, stelt deze gelijk aan 0). Dit doet het pakket omdat het vereenvoudigen van het resultaat anders lastiger wordt. Soms heeft dit opvallende consequenties. Kun je bijvoorbeeld niet uit het hoofd de primitieve van 6 + uitrekenen? Zie anders maar het volgende Mathematica commando. In[5]:= D + ^ ^, Out[5]= 6 + Inderdaad, + is een primitieve van 6 +. Integreren we het resultaat, dan krijgen we echter niet de verwachte formule: In[5]:= Integrate %, Out[5]= þþ + þþ + þþ 6 In[5]:= Factor % Out[5]= Het verschil zit in de integratieconstante: In[54]:= Factor % + Out[54]= + Om primitieven uit te rekenen gebruikt Mathematica eerst standaardtechnieken zoals je in Calculus II leert. Mochten die niets opleveren dan stapt het pakket op meer geavanceerde algoritmen over. Bepaalde integralen, oftewel integralen met integratiegrenzen, rekent Mathematica ook uit met Integrate. Een voorbeeld waarin nog een parameter voorkomt: In[55]:= Integrate Sin a *,, 0, Pi Out[55]= Cos a p a - þ þ a Mathematica vult niet klakkeloos integratiegrenzen in een primitieve in, maar houdt rekening met het gedrag van de functie op het integratiegebied. Het volgende voorbeedl illustreert dit: In[56]:= f = + a^ * Sin ^ Out[56]= þþþ + a Sin In[57]:= Integrate f,, 0, * Pi Out[57]= p + a In[58]:= F = Integrate f, Out[58]= ArcTan + a Tan þ + a De controle door differentiatie dat dit inderdaad een primitieve is verloopt moeizaam:

8 Calculus.nb 8 In[59]:= Out[59]= D F, Sec þþ + + a Tan In[60]:= Simplify % Out[60]= Sec þþ + + a Tan In[6]:= FullSimplify % Out[6]= þþ Cos + + a Sin In[6]:= Simplify %. Cos ^ - Sin ^ Out[6]= þþþ + a Sin Nu eens de intergratiegenzen invullen en nagaan wat het verschil is: In[6]:= F. Pi - F. 0 Out[6]= 0 Waarom kun je zonder te rekenen al zeggen dat dit tweede antwoord fout is?. Onbepaalde integralen Bereken de primitieven van de volgende functies en controleer het antwoord door differentiëren en vereenvoudiging È - H a - L ƒ - a Bepaalde integralen Bereken de volgende bepaalde en oneigenlijke integralen þþ!!!!!!!!!! 0 - Ç p -p sin t cos n t Ç t - È - Ç 0 þ Ç (wel graag een reëel antwoord!) +

9 Calculus.nb 9 Å Reeksontwikkelingen In[64]:= Clear "ë" Taylorreeksen en generalisaties hiervan reken je in Mathematica uit met het commando Series Lineaire benadering van sin rondom = 0 : In[65]:= Series Sin,, 0, Out[65]= + O Hogere orde Taylorreeks van sin om = 0 : In[66]:= Series Sin,, 0, 0 Out[66]= - þþ þþþ 0 - þ þþ 6880 O + Je raakt het orde-symbool O[] kwijt met het commando Normal: In[67]:= Normal % Out[67]= - þþ þþþ 0 - þ þþ 6880 Het commando Series rekent waar het niet anders kan gegeneraliseerde reeksontwikkelingen uit. Een voorbeeld: In[68]:= Series * + Sqrt,, 0, Out[68]= - þþ ƒ + - 5ƒ + + O 7ƒ 5. Taylorreeksen In deze opdracht zoek je uit hoe goed je de sinusfunctie op het segment -p, p met een veelterm kunt benaderen. (i) - Bereken de Taylorreeks van sin tot en met orde. - Zet de Tayllorreeks om in een veelterm. - Teken de grafiek van deze veelterm en van de sinus op het segment -p, p. - Vergelijk de twee grafieken met elkaar. (ii) Herhaal onderdeel (i) voor verschillende ordes. (iii) Zoek uit welke veelterm een goede benadering van de sinusfunctie op het segment -p, p is. Wat is je criterium? 6. Benadering van e met een rationale functie Vind de formule van de vorm a + b + c þþ + d + e

10 Calculus.nb 0 zodanig dat de Taylorreeks hiervan rondom = 0 tot en met orde 4 samenvalt met de Taylorreeks van e. Teken de grafiek van deze benadering samen met die van de eponentiële afbeelding en de 4-e orde Taylorbenadering op het segment -, in n figuur. Wat vind je van het resultaat? Als je jouw formule gebruikt om functiewaarden van e te benaderen voor tussen - en, hoeveel decimalen zijn dan correct? Å Limieten In[69]:= Clear "ë" Reeksontwikkelingen gebruikt Mathematica o.a. bij het uitrekenen van limieten via het commando Limit. We geven een voorbeeld: In[70]:= Limit Sin, -> 0 Out[70]= Mathematica is niet streng in de leer waar het gaat om het bestaan van limieten. In[7]:= Limit Sin ^, 0 Out[7]= In dit geval geeft Mathematica eigenlijk de rechterlimiet terug. De linkerlimiet is ook uit te rekenen: In[7]:= Limit Sin ^, 0, Direction Out[7]= - 7. Limieten Bereken met Mathematica de volgende limieten voor naderend naar 0. Zijn de antwoorden volgens jou correct? Of bestaat er verschil tussen linker- en rechterlimiet? þ þ - cos ƒ cos ƒ Å Reeksen Mathematica is een kei in het uitrekenen van reeksen. Een voorbeeld:

11 Calculus.nb In[7]:= Sum n^ + n ^, n,, Infinity Out[7]= -9 + p Soms zijn de antwoorden van Mathematica niet altijd even eenvoudig te begrijpen: In[74]:= n + n^ + Out[74]= + n þþ + n In[75]:= Sum %, n,, Infinity Out[75]= RootSum + + # PolyGamma 0, -# &, - þþ + # & + RootSum + + # PolyGamma 0, -# &, - + # þþ Hier staat dat de eacte oplossing gegeven wordt door de nulpunten van de veelterm + + in te vullen in de PolyGamma@0,-D PolyGamma@0,-D uitdrukking - þþ þþ - þþ þþ en de antwoorden op te tellen. Laten we eens kijken wat het antwoord bij H+L H+L benadering is. In[76]:= N % & Out[76]= É Het lijkt wel een reëel getal. Voor wie het interesseert, de eacte uitkomst is gelijk aan p TanhA!!!! p þ þ E þþ!!! þ. Uitwerking van eact antwoord (facultatief) In[77]:= Solve + + ^ ç 0, Out[77]= -, - - ƒ, - ƒ PolyGamma 0, - PolyGamma 0, - In[78]:= - þþ + - þþ +. % Out[78]= - EulerGamma þþ þþ PolyGamma 0, - - ƒ - þ + - EulerGamma, PolyGamma 0, - ƒ PolyGamma 0, - ƒ + - þþ þþ - - ƒ - þþ - - ƒ, PolyGamma 0, ƒ ƒ - ƒ þ In[79]:= Apply Plus, % Out[79]= - EulerGamma þþ þþ + - EulerGamma PolyGamma 0, - ƒ + - þþ þþ - - ƒ - PolyGamma 0, PolyGamma 0, - PolyGamma 0, - þþ - - ƒ - þ + - ƒ ƒ - ƒ - ƒ - ƒ þ In[80]:= FullSimplify % Out[80]= p Tanh!!!! p þþ þþ þþ

12 Calculus.nb In[8]:= N % Out[8]=.7985 Toch nog een mooie beloning voor het harde werk! 8. Reeksen Om enig idee te krijgen van de rekenkracht van Mathematica kun je de volgende reeksen laten uitrekenen: k= k=0 k= k=0 k=0 þþ k k! þþþ k! k þþ + k + k + k + 4 k k þ 4 k

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen GDV.nb Differentiaalvergelijkingen Andr Heck 00 AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Differentaalvergelijkingen beschrijven continue veranderende processen. In dergelijke vergelijkingen komen afgeleides

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer

Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Dag van de Wiskunde 003 de en 3 de graad Module 6: Eerste sessie Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Je kunt Derive het best vergelijken met een uitgebreid rekentoestel. Niet enkel numerieke,

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

Infi A oefententamen ψ

Infi A oefententamen ψ Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.

OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0. OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Colleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs

Colleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014, Semester 2 Avondonderwijs Versie vrijdag 21 februari 2014 Na ieder avondcollege wordt een klein verslag van het college in dit document opgenomen.

Nadere informatie

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen

Complexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1 Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier

Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat

Nadere informatie

5.1 Constructie van de complexe getallen

5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen

Hoofdstuk 8 : Complexe getallen 1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele

Nadere informatie

WolframAlpha gratis op internet

WolframAlpha gratis op internet WolframAlpha gratis op internet Jan van de Craats Nog steeds worden leerlingen op havo en vwo verplicht om voor de wiskundelessen een grafische rekenmachine aan te schaffen. Zo n apparaat is duur, zeer

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com

Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Vereiste voorkennis: limieten, reeksen, afgeleiden, goniometrische en exponentiële funkties, komplexe getallen Probleemstelling

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Bepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert

Bepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld

Nadere informatie

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele

Nadere informatie

Calculus, A Complete Course, Adams

Calculus, A Complete Course, Adams Inhoud Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2012-2013, Semester 2 Avondonderwijs Versie 8 januari 2013 De stof voor dit vak is te vinden in Calculus, A Complete Course, Adams, Essex, 7th Edition, Pearson Bij bijna

Nadere informatie

Functies. Huub de Beer. Eindhoven, 4 juni 2011

Functies. Huub de Beer. Eindhoven, 4 juni 2011 Functies Huub de Beer Eindhoven, 4 juni 2011 Functies: je kent ze al Je hebt al verschillende PHP functies gebruikt: pi() om het getal π uit te rekenen. sin( 0.453 ) om het de sinus van het getal 0.453

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten) 8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen

Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx

De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

Computerrekenpakket Maple zesde jaar

Computerrekenpakket Maple zesde jaar Computerrekenpakket Maple zesde jaar M CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

ProefToelatingstoets Wiskunde B

ProefToelatingstoets Wiskunde B Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan

Nadere informatie

Tentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen

Tentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen Tentamen Wiskundige Technieken Ma 6 nov 207 Uitwerkingen Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u == Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

Reeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x

Reeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

OPGAVEN

OPGAVEN www.resolf.nl OPGAVEN Principe Het spel RESOLF is een wiskunde- en rekenspel gebaseerd op de principes van een puzzel. Het ontwerp van het spel is in de vorm van een graaf. Een graaf bestaat uit knopen

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

4. Vereenvoudigen expressies

4. Vereenvoudigen expressies Computeralgebra met Maxima 4. Vereenvoudigen expressies 4.1. Vereenvoudigen ratsimp De grote kracht van een Computer-Algebra-Systeem als Maxima ligt daarin, dat niet alleen numerieke expressies vereenvoudigd/berekend

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft

Nadere informatie

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie