Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x Igor Voulis. 9 december De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Transcriptie

1 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De tweede afgeleide 4 6 Besluit 5 1

2 1 De functie en haar definitiegebied We gaan de verschillende eigenschappen van een functie (tekenverloop, extrema, enz.) bespreken. De functie die we gaan bespreken is f(x) = x2 4 x We kunnen onmiddellijk opmerken dat dit een rationale functie is, de graad van de teller is twee en de graad van de noemer is vier. Aangezien de veelterm die in de noemer staat geen (reële) nulpunten heeft, is de functie overal gedefinieerd. Het definitiegebied is dus R. We zien op de grafiek (figuur 1) dat deze functie symmetrisch is ten opzichte van de verticale as. Men kan echter ook aan het functievoorschrift zien dat de functie even is, omdat alleen even machten van x voorkomen. Figuur 1: De grafiek van de functie f(x) = x2 4 x Het tekenverloop van de functie De functie is gelijk aan nul wanneer x gelijk is aan -2 of 2. Alleen tussen deze nulpunten is de functie negatief, elders is de functie positief. Men kan dit ook schematisch weergeven in een tekentabel: x -2 2 f(x)

3 3 De asymptoten De functie kan geen verticale asymptoten hebben omdat de functie in heel R gedefinieerd is. De functie heeft wel een horizontale asymptoot. Er geldt f(x) = 0, dus is de lim x ± x-as de horizontale asymptoot van de functie, zowel voor x gaande naar + als voor x gaande naar. Uit het tekenverloop van de functie weten we dat de functie buiten het interval [ 2, 2] positief is, dus ligt de functie boven haar horizontale asymptoot. 4 De eerste afgeleide De eerste afgeleide van een functie leert ons waar de functie stijgt, daalt of een extremum bereikt. De eerste afgeleide van onze functie is f (x) = 2x5 + 16x 3 + 4x (x 4 + 2) 2. De eerste afgeleide van onze functie heeft drie nulpunten, de afgeleide wordt namelijk nul voor x gelijk aan , 0 of (in het vervolg zullen we exacte waarden vervangen door numerieke benaderingen). In de volgende tabel zien we het tekenverloop van de eerste afgeleide en de informatie over de functie zelf die we daaruit kunnen putten. x f (x) f(x) max min max Uit deze tabel kunnen we besluiten dat de functie twee absolute maxima en een absoluut minimum heeft. Figuur 2: De grafiek van de eerste afgeleide 3

4 5 De tweede afgeleide Uit het gedrag van de tweede afgeleide van de functie kunnen we te weten komen of de holle zijde van de functiekromme naar boven of naar beneden gericht is. Het voorschrift van de tweede afgeleide is f (x) = 6x8 80x 6 48x x (x 4 + 2) 3. Deze functie vier heeft vier nulpunten, de oorspronkelijke functie f(x) heeft dus vier buigpunten (BP) en dan wel voor de volgende x-waarden: -3.72, -0.95, 0.95 en We kunnen ook een tekentabel opstellen en daaruit eigenschappen van de oorspronkelijke functie halen. x f (x) f(x) BP BP BP BP We zien dat de holle zijde van de functie afwisselend naar boven en naar beneden gericht is, en dat bij elke verandering er een buigpunt is. Er zijn twee intervallen waarin de holle zijde van de functie naar beneden gericht is, namelijk [ 3.72, 0.95] en [0.95, 3.72]. In de drie andere intervallen is de holle zijde van de functie naar boven gericht. Figuur 3: De grafiek van de tweede afgeleide 4

5 6 Besluit We kunnen nu een algemeen besluit formuleren over het gedrag van onze functie. Door de functiewaarden in de bijzondere punten na te rekenen, kunnen we de volgende samenvattende tabel opstellen: x f (x) f (x) f(x) Deze tabel leert ons waar de functie stijgend en dalend is en tegelijk ook waar de holle kant van de functie naar boven en waar naar beneden gericht is. Aan de hand van deze tabel kunnen we het gedrag van de functie in elk interval onderzoeken. Men kan bijvoorbeeld aflezen dat in het interval [2.87, 3.72] de functie dalend is en dat haar holle kant naar beneden gericht is. We zien dat de functie niet periodiek is. We kunnen ook vaststellen dat de functie alleen waarde bereikt in het interval [ 2, 0.06] en dat ze elke waarde in dit interval minstens één keer bereikt. De tabel maakt het mogelijk om te onderzoeken welke waarden hoeveel keer bereikt worden. In het interval ] 2, 0] worden alle waarden twee keer bereikt. Alle waarden in het interval ]0, 0.06[ worden vier keer bereikt. En tot slot bereikt de functie kaar absolute maximum (0.06) twee keer en haar absolute minimum (-2) één keer. 5