Naam: Studierichting: Naam assistent:

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Naam: Studierichting: Naam assistent:"

Adriana Vermeiren
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november 3, 8:3-: uur in auditoria K..7 en L..7 Studierichting: Naam assistent: (Assistenten zijn: Emmanuel Bultot, Sander Devriendt, Maciej Haneczok, Hilde Hoegaerts, Jonas Kaerts, Tristan Kuijpers, Nele Lejon, Berdien Peeters, Céline Pringels, Jasper Van Hirtum en Sofie Van Thielen). Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het examen en om te testen of u de stof die tot nu toe behandeld is voldoende beheerst. Alle vragen tellen even zwaar mee. U mag gebruik maken van de cursus Wiskunde I en van een rekenmachine (grafisch is toegestaan, een symbolisch niet). Schrijf de antwoorden duidelijk leesbaar op in goede Nederlandse zinnen. Begin het antwoord op elke vraag op een nieuw blad. Vermeld uw naam op elk blad. Vermeld op dit blad ook de naam van uw assistent. Succes!

2 Naam: Studierichting: Vraag Neem p R met p > en f(x) = ( + x) p voor x. 3pt (a) Bereken de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f(a)) als a. Bereken ook de snijpunten van de raaklijn met de coördinaatassen. 4pt (b) Het volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van f te wentelen rond de x-as is [f(x)] dx. Voor welke p > is de oneigenlijke integraal convergent? Bereken het volume voor die waarden van p. 3pt (c) Stel een integraal op voor het volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van f rond de y-as te wentelen. U hoeft deze integraal niet uit te rekenen. (a) Antwoord: De afgeleide is f p (x) =. Voor x = a geldt ( + x) p+ f(a) = en f p (a) = ( + a) p ( + a). p+ De vergelijking van de raaklijn is in het algemeen en dat wordt dus in dit geval y = y = f(a) + f (a)(x a) ( + a) p (x a). () p ( + a) p+ Het snijpunt met de y-as krijgen we door x = in te vullen. Dit levert y = ( + a) p + a + ap ( a) = p ( + a) p+ ( + a). p+

3 Het snijpunt met de y-as is dus (, +a+ap ) (+a) p+ Het snijpunt met de x-as krijgen we door y = in te vullen in (). Dan is = ( + a) p (x a) p ( + a) p+ oftewel p ( + a) (x a) = p+ ( + a). p Als we dit oplossen naar x vinden we x = a + ( + a)p+ p ( + a) = a + + a p p Het snijpunt met de x-as is bijgevolg ( +a+ap p, ) = + a + ap. p (b) De integraal wordt dx () ( + x) p hetgeen een oneigenlijke integraal is. We nemen b > en berekenen eerst de integraal over het interval [, b]. De onbepaalde integraal is { ( + x) p p dx = ( + x) p + C als p, ln( + x) + C als p =. Bijgevolg is b [ ] b dx = ( + x) p ( + x) p p = ( ( + b) p ) als p p en b ( + x) p dx = [ln( + x)]b (3) = ln( + b) als p =. (4) 3

4 Voor de oneigenlijke integraal moeten we de limiet nemen voor b +. Er geldt lim ln( + b) = + en dus volgt uit (4) dat de integraal divergent b + is voor p =. Verder geldt lim ( + b b) p = { + als p >, d.w.z. als p <, als p <, d.w.z. als p >. Uit (3) volgt dus dat de integraal divergent is voor p < en convergent is voor p > met waarde ( dx = lim ( + x) p ( + b) p ) b p = ( ) p = p als p >. Merk op dat dit strikt positief is omdat p >. In () is er nog een factor, zodat het eindantwoord is dx = ( + x) p p en de integraal is divergent als p. als p > (c) Als y = f(x) = dan is = ( + (+x) p y x)p en = + x. Dit betekent y /p dat x =. y/p Als x varieert van tot, dan daalt y van naar. De grafiek van f wordt dus ook beschreven door x =, < y. y/p Als we de grafiek wentelen rond de y-as bekomen we de inhoud [ ] y dy /p hetgeen dezelfde formule is als gegeven in de opgave, maar nu met de rollen van x en y verwisseld. 4

5 Vraag Naam aan dat a, a, a, een rij van getallen is waarvoor geldt a = en a n = ( a n + ) (5) a n voor n. Bewijs met volledige inductie dat a n geldt voor elke n N. Zoals elk bewijs met volledige inductie moet het bewijs bestaan uit (3pt) Basisstap (6pt) Inductiestap (pt) Conclusie Antwoord: Basisstap: Voor n = is gegeven dat a = en het is dan duidelijk dat a n juist is voor n =. Inductiestap: Neem k N en veronderstel dat de bewering juist is voor n = k. Dus we veronderstellen dat a k juist is. We bekijken k +. De formule (5) is geldig voor n = k + want k +. Dus a k+ = ) (a k + ak = a k + (6) a k Omdat a k, geldt a k en a k. Dus beide getallen a k en a k liggen tussen en. Dan ligt hun som tussen en. Met andere woorden a k + a k. Vanwege (6) kunnen we concluderen dat a k+ en we hebben laten zien dat de bewering juist is voor n = k +. 5

6 Conclusie: Omdat de basisstap en de inductiestap allebei bewezen zijn is de bewering juist voor elke n N, vanwege het principe van volledige inductie. 6

7 Vraag 3 Beschouw de functie f(x) = x ( t) + t cos(t) dt 4pt (a) Toon aan dat f een lokaal minimum aanneemt in x =. 3pt (b) Benader de waarde van het lokale minimum met behulp van de trapeziumregel T 4. 3pt (c) Bereken de tweedegraads Taylorveelterm van f(x) rond het punt x =. Antwoord: (a) Vanwege de hoofdstelling van de integraalrekening geldt f (x) = x + x cos(x). Het is duidelijk dat f () =. De afgeleide is ook als cos(x) en dit gebeurt voor x = en x = 3 (en ook voor elk getal van de vorm x = +k met k Z, maar we zijn nu alleen geïnteresseerd in het gedrag rond x = ) Door geschikte waarden voor x in te vullen vinden we het volgende tekenverloop voor f (x) tussen x = en x = 3. 3 x f (x) + De afgeleide is negatief op het interval [, ] en bijgevolg daalt f op dat interval. De afgeleide is positief op het interval [, 3 ], zodat f stijgt op dat interval. In x = gaat de functie over van dalen naar stijgen en f bereikt bijgevolg in x = een lokaal minimum. Opmerking: Je mag dit ook doen met de tweede afgeleide test. De tweede afgeleide is f (x) = ( + x) cos(x) x + x sin(x) en voor x = is dit (want cos() = en sin() = ) f () = 4 ( ) =. De tweede afgeleide is strikt positief en bijgevolg is er in x = een lokaal minimum. 7

8 (b) We willen de volgende integraal benaderen t cos(t) dt. + t We stellen g(t) = t + t cos(t). De benadering met de trapeziumregel T 4 wordt dan We berekenen T 4 = 8 [ g() + g( 4 ) + g( ) + g( 3 4 ) + g()]. (7) g() = cos() = g( 4 ) = cos( 4 ) = 3 5 g( ) = + cos( ) = 3 = g( 3) = cos( 3) = g() = 3 = ( ) = 4 Dit gebruiken we in (7) en er volgt T 4 = [ + 3 ] = [ + 6 ] 8 35 = Opmerking: De benadering T 4 is gelijk aan T 4 =.58, hetgeen een redelijke benadering is voor de echte waarde van de integraal t cos(t) dt = t 8

9 (c) In (a) hadden we al gezien dat f (x) = x cos(x) (8) + x De tweede afgeleide kunnen we dan ook uitrekenen. We gebruiken de productregel en de quotiëntregel voor afgeleiden en we bekomen na enig rekenwerk f (x) = ( + x) cos(x) x sin(x) (9) + x Nu gaan we x = invullen. Als we x = invullen in de functie f(x) zelf, dan krijgen we een integraal van naar, die gelijk is aan. Dus f() =. Als we x = invullen in (8) en (9) dan volgt omdat cos() = en sin() = dat f () = en f () = De gevraagde Taylorveelterm van graad wordt nu f() + f ()x + f () x = + x + x = x x. 9

Vergelijkbare documenten

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur