18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)

Transcriptie

1 8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste bladzijde, uw naam familienaam in drukletters), studierichting en het Romeinse cijfer van de vraag. Stop de dubbele geruite bladen vanaf II in het dubbele geruite blad I. De ongeruite bladen dienen voor het klad en moeten niet ingediend worden, evenmin als het blad met de opgaven. De bewijzen moeten niet langer of explicieter zijn dan in de cursus, en alles wat er in de cursus aan voorafgaat mag zonder meer gebruikt worden. Staat er in de cursus analoog of wegens de stelling van X, dan mag u dat ook zo schrijven. Als een vraag u niet helemaal duidelijk is, vraag dan toelichting. Geen rekenmachine toegestaan. Vraag I.. Geef zonder bewijs) het kenmerk van Darboux voor integreerbaarheid. Cursus blz. 69. Formuleer en bewijs de hulpstelling van Riemann limiet van een zekere integraal, essentieel in de context van de Fourierreeksen). Cursus blz. 66. Zoals in de les uitgelegd: wie majoreert tot x k x k sin λx dx i.p.v. x k x k sin λx dx zit met een primitieve die niet te berekenen is, en in elk geval niet cos λx λ is. Velen majoreren onder absolute-waardetekens, alsof uit A B zou volgen dat A B. Sommigen majoreren de integraal zonder absolute-waardestrepen, en verkrijgen dan iets als b fx) sin λx dx < ε, maar die conclusie is onbruikbaar! Wat we a nodig hebben is b a fx) sin λx dx < ε. Vraag II.. Gegeven f : D R. Geef de correcte logische formule, met alle kwantoren, voor a) f is continu in elk punt van A Cursus formule 4.6), met A i.p.v. ]a, b[. b) f is continu over de verzameling A Idem 4.5), of 4.7). c) f is gelijkmatig continu over de verzameling A Cursus formule 4.8).. Formuleer en bewijs de stelling van Heine. Cursus Er zijn er nogal wat die de deelrij x n k als onafhankelijk van k zien hetzelfde nog eens ), terwijl zij echt dezelfde indices moet hebben. Bolzano-Weierstrass levert een deelrij op die naar een punt van het interval convergeert. De meesten letten daar niet op, zodat hun bewijs ook voor een open interval ]a, b[ opgaat. Vraag III.. Formuleer GEEN BEWIJS) de Taylorformule met restterm in twee gedaanten. Cursus 0... Velen noteren f n) onterecht als een macht f n.. Toon hoe de restterm van Lagrange volgt uit de integraalgedaante. Cursus blz. 59, punt.. In het bewijs van punt. worden twee grote stellingen gebruikt. Formuleer ze allebei. Weierstrass: cursus 4..; Bolzano: Beide zijn toegepast op f n), niet op f. 4. Geef de Taylorformule met integraalgedaante voor een f C U), met U een open interval. fx) f ) x )f ) x x t)f t) dt, cursus formule 0.0). 5. Als f C 0 U), en gx) : x ) t f dt, geef dan g x), g ), g x) en g ). In de cursus is I {} fx) de notatie voor wat hier gx) x f.) Geef de naam van de stelling die hierbij gebruikt wordt gewoon de naam, niets uitleggen). g x) x f en g x) fx) wegens Eerste Hoofdstelling; g ) 0 en g ) f ). De functie I {} moet hier nergens genoemd worden.

2 6. Schrijf op wat de formule uit punt 4. wordt voor de g uit punt 5. gx) x x t)ft) dt, cursus laatste formule van blz. 78. Hierin is g ) g ) 0 gebruikt, maar g ) f ) niet. Vraag IV.. Schrijf een Griekse hoofdletter ksi. Ξ, zie blz. 6 Beantwoord met JA of NEEN enkel J of N, niets anders):. Een machtreeks met convergentiestraal nul is in geen enkel punt absoluut convergent. N, elke machtreeks n a n convergeert voor x 0 absoluut, want de reeks is dan a , en a convergeert natuurlijk.. Een primitieve kan een sprongpunt hebben. N, elke primitieve is afleidbaar, dus zeker continu. 4. Het grootste element van een verzameling is er ook het supremum van. J 5. lim t t ) t /e. J, zie formule n0 in / i). N, wegens i is de reeks niet convergent. EINDE THEORIE Tijd tot.0. Oefeningen: 4.00.

3 8.I.00 Wiskundige Analyse I, oefeningen 40% van de punten) Beantwoord elk van de oefeningen I,II en III op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste bladzijde, uw naam familienaam in drukletters), studierichting en het Romeinse cijfer van de oefening. De ongeruite bladen dienen voor het klad en moeten niet ingediend worden, evenmin als het blad met de opgaven. Als een vraag u niet helemaal duidelijk is, vraag dan toelichting. Geen rekenmachine toegestaan. Vraag I. Gegeven het beginwaardenvraagstuk { y t) yt) sin ωt y0) 0, y 0) ) met ω > 0 constant.. Los ) op voor ω, door onbepaalde coëfficiënten.. Los ) op voor ω, door variatie van de constanten. Identieke gedeelten niet herhalen.). Voorspel de gedaante niets uitrekenen!) van de oplossing van ) als ω. 4. Bereken de limiet ω van de in. en. gevonden oplossing.. Kenmerkende drieterm λ heeft nulpunten ±i en homogene vergelijking heeft als lineair onafhankelijke oplossingen cos t en sin t. Rechterlid heeft gedaante e 0t 0 cos ωt sin ωt) en 0 iω is geen nulpunt van de kenmerkende drieterm als ω. Niet-homogene vergelijking heeft dus een oplossing t) A cos ωt B sin ωt. Het zal blijken dat A 0, maar dat is toeval. Men mag niet uitgaan van een oplossing t) B sin ωt.) Substitutie geeft Aω cos ωt Bω sin ωt) A cos ωt B sin ωt) sin ωt { Aω A 0 waaruit, dus A 0, B en t) Bω ω B ) heeft gedaante sin ωt φt) c cos t c sin t ω. Hierin en in φ cos ωt t) c sin t c cos t ω ω de beginvoorwaarden invullen geeft c 0 en c ω ω φx) ω ω ) sin t sin ωt ω. sin ωt. Gezochte oplossing van ω, dus c 0, c ω ω, zodat ω

4 . Wegens W cos t, sin t) cos t sin sin t cos t is Rx)φ t) Rx)φ t) t) φ t) dt φ t) dt W t) W t) sin t sin ωt cos t dt cos t sin ωt sin t dt sin t sinω )t sinω )t) dt cos t cosω )t cosω )t) dt ) sin t cosω )t cosω )t ω ω ) cos t sinω )t sinω )t ω ω sinω )t cos t sin t cosω )t ω ) sin t cosω )t cos t sinω )t ω ) sin ωt ω ) sin ωt sin ωt ω ) ω. Opmerking. Oplossing is begrensd: ω ω ) sin t sin ωt ω ω ω. ω. Kenmerkende drieterm λ heeft nulpunten ±i en homogene vergelijking heeft als lineair onafhankelijke oplossingen cos t en sin t. Rechterlid heeft gedaante e 0t 0 cos t sin t) en 0 i is een enkelvoudig nulpunt van de kenmerkende drieterm. Niet-homogene vergelijking heeft dus een oplossing t) ta cos t B sin t). Gezochte oplossing van ) heeft gedaante φt) c cos t c sin t ta cos t B sin t). 4. Voor elke t R is ω ω ) sin t sin ωt lim ω ω 0 ) ω) sin t t cos ωt lim 0 ω ω sin t t cos t

5 Opmerking. Oplossing is onbegrensd: de term is onbegrensd wegens de factor t. Vraag II. sin t t cos t is begrensd, maar de term. Geef de Taylorbenadering centraal punt x 0) van sin x tot en met x 4.. Bepaal voor welke waarden van x de Taylorreeks die NIET gevraagd wordt) convergeert. ) /. x x!... ) ) x x!... ) x x!!... ) ) ) ) ) ) x x!! ! ) x x 6... x ) 8! x4... x 8 x ) x x x 8 x 48 x ) 4 x x!......! x... ) 5 4! 4 x 4... ) ) x Deze binomiaalreeks met α x > 0 convergeert zeker als x..., d.i.! sin x, dus voor alle x R. Vraag III. Gegeven: de reeks n is convergent, en voor elke n is 0 <.. Bewijs dat n ) eveneens convergent is.. Bewijs dat n convergeert of bewijs dat ze niet convergeert. ) 0 algemene term van een convergente reeks). Uit volgt dat n convergent is. Een van de vele andere manieren: uit 0 volgt < en dus ) < als n groot genoeg is. De reeks n ) met positieve termen wordt dus gemajoreerd door de convergente n. Men mag niét uitgaan van wegens d Alembert is lim n <, want d Alembert is maar een voldoende voorwaarde, geen nodige, en bovendien is er soms ook convergentie als λ. x ) Uit 0 volgt n xn positieve termen n xn. Omdat n convergeert is de reeks met eveneens convergent quotiëntregel). EINDE EXAMEN Tijd tot 8.00.