Oefenexamen Wiskunde Semester

Transcriptie

1 Oefenexamen Wiskunde Semester De cursusdienst van de faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen aan de Universiteit Antwerpen. Op het Weduc forum vind je een groot aanbod van samenvattingen, examenvragen, voorbeeldexamens en veel meer, bijgehouden door je medestudenten.

2 FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste deel in januari, het tweede deel in juni. Elk deelexamen telt mee voor de helft van de punten, dit eerste deelexamen wordt bijgevolg gekwoteerd op 10. Let op: een eindscore zal enkel worden toegekend indien je beide deelexamens hebt afgelegd. De maximale tijd die je krijgt om elk deelexamen op te lossen is 3 uur. Het gedeelte theorie en het gedeelte oefeningen hebben hetzelfde gewicht in het eindresultaat. Gebruik van een rekenmachine is niet toegelaten; de vragen zijn hieraan aangepast. Veel succes! Prof. dr. A. De Schepper

3 Eerste Oefenexamen A. Theorie 1. Begrippen (a) Geef de definitie van de cyclometrische functies bgcos en Bgcos. Vermeld voor beide functies ook het domein en beeldgebied. Illustreer met een grafiek. (b) Geef de definitie van de inverse functie van een reë le functie f : R R. Welk verband geldt er tussen de grafieken van beide functies? Formuleer de eigenschap die beschrijft hoe en onder welke voorwaarden f en haar inverse elkaar opheffen. Illustreer deze eigenschap met een zelfgekozen voorbeeld. (c) Geef de definitie van een non-definiete symmetrische matrix (algemeen). Hoe kan je voor een matrix van orde 3 3 nagaan of hij non-definiet is? Illustreer met een voorbeeld (geen diagonaalmatrix kiezen). 2. Middelwaardestelling (a) Formuleer de middelwaardestelling voor een reë le functie f : R R. (b) Geef de formule voor een lineaire benadering voor een reë le functie f : R geef het verband met de middelwaardestelling. R, en (c) Formuleer de basisregel van de l Hôpital voor een onbepaaldheid 0/0 of /. Denk aan de voorwaarden. (d) Leg aan de hand van een zelfgekozen voorbeeld uit hoe je gebruik kan maken van de basisregel van de l Hôpital voor het oplossen van een onbepaaldheid. Werk volledig uit! 3. Homogene functies. (a) Wanneer is een functie f : R 2 R homogeen van graad m? Geef de definitie. (b) Geef de identiteit van Euler die een verband geeft tussen een dergelijke functie f en haar partië le afgeleiden. (c) Wanneer is een functie g : R n R homogeen van graad m? Geef de definitie. (d) Geef de identiteit van Euler voor een dergelijke functie g. Schrijf deze identiteit zowel zonder als met een somnotatie. (e) Toon het resultaat uit (b) aan. Verklaar alle tussenstappen.

4 B. Oefeningen 4. Bepaal de oplossing(en) van de logaritmische vergelijking ( \ x 1 3 ln(x + 2) ln(x + x 2) + ln = Bepaal alle asymptoten van de functie met voorschrift x 1 f (x) = 1 +. x 2 + 2x 3 Wanneer een bepaald soort asymptoot niet aanwezig is bij deze functie, leg dan uit waarom dit het geval is. 6. Gegeven is de kromme met impliciete vergelijking e 3x 6y + 4y x = 5. (a) Bepaal de afgeleide dy. dx Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. (b) Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt (2, 1) aan de grafiek van de kromme. Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. 7. In een bedrijf worden twee goederen geproduceerd; x en y staan voor de respectievelijke hoeveelheden (in 100 stuks) die per dag worden geproduceerd voor de twee goederen. Uit berekeningen van de financië le verantwoordelijke kan worden opgemaakt dat de winst per dag berekend kan worden (resultaat in 1000 euro) als W (x, y) = x 2 y + 3x x 2 y 2 + 4y + 1. Bepaal de hoeveelheden x en y waarvoor de winst wordt gemaximaliseerd, als je weet dat de totale productie 500 stuks moet bedragen, of x + y = 5. Gebruik daarvoor de Lagrange-methode, en vergeet niet om zowel eerste als tweede orde voorwaarden na te gaan. Formuleer je resultaat in economische termen.

5

6 Tweede Oefenexamen A. Theorie 1. Afgeleiden. (a) Geef de definitie voor de afgeleide van een functie f : R R in een punt. (b) Geef de definitie voor de partië le afgeleiden van een functie f : R 2 R in een punt. (c) Geef de definitie voor de partië le afgeleiden van een functie f : R n R in een punt. (d) Geef de definitie voor de Hessiaan voor een functie van n veranderlijken. (e) Geef de definitie voor de gerande Hessiaan voor een gebonden extremumprobleem met 2 veranderlijken en één nevenvoorwaarde. 2. Geef de definitie en berekeningsformules voor enkelvoudige en samengestelde interest toegepast op een startkapitaal K0. Denk eraan om te vermelden waarvoor alle gebruikte notaties precies staan (b.v. interestvoet, aantal jaren,...). (a) Situatie 1: indien éénmaal per jaar interest wordt uitgekeerd, en het aantal jaren geheel is. (b) Situatie 2: indien éénmaal per jaar interest wordt uitgekeerd, en het aantal jaren niet geheel is. (c) Situatie 3: indien meermaals per jaar interest wordt uitgekeerd, en het aantal jaren niet noodzakelijk geheel is. (d) Maak voor situatie 2 en 3 (enkel voor samengestelde interest) een schets waarop je laat zien hoe het startkapitaal aangroeit in de tijd, en leg uit wat de gelijkenis is en wat het verschil is tussen beide grafieken. 3. Samengestelde functies. (a) Als z = g(x, y) met x = f1(u, v) en y = f2(u, v), hoe bereken je dan z en z? u v (b) Als z = g(x1, x2,..., x n ) met x i = f i (t1, t2,..., t m ) voor i = 1,..., n, hoe bereken je dan z voor j = 1,..., m? t j (c) Illustreer het resultaat uit (a) met een zelfgekozen voorbeeld. (d) Toon het resultaat uit (a) aan. Verklaar alle tussenstappen.

7 B. Oefeningen 4. Beschouw de functie f (x) = 2 ln(x + 1) + 2 x 2. x + 1 (a) Bepaal het domein van f. (b) Bepaal de eerste afgeleide van f. Voor welke waarden van x is f een stijgende functie en voor welke waarden van x is f een dalende functie? Geef (indien van toepassing) alle stationaire punten en alle lokale extrema van f. (c) Bepaal de tweede afgeleide van f. Voor welke waarden van x is de functie f convex en voor welke waarden van f is de functie concaaf? Geef (indien van toepassing) alle buigpunten van f. 5. Bereken de limiet lim 1 + sin x x > 0 x 2 +2 x. 6. Beschouw het oppervlak waarvan het voorschrift impliciet gegeven wordt door 2x 2 z 2 cos(x + 2y + z) y = 1. Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt ( 1, 1, 1). Schrijf het resultaat zo eenvoudig mogelijk. 7. Beschouw de functie f : R 3 R met voorschrift Bepaal alle stationaire punten. f (x, y, z) = ye x y 4 4x z z. Ga voor elk stationair punt na of het zorgt voor een lokaal maximum, voor een lokaal minimum of voor geen van beide.

8