Tussentijdse evaluatie Analyse I

Transcriptie

1 1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan zodat f(x 1 ) = sup f f(x ) = inf f (ii) Veronderstel bovendien dat f(a).f(b) <. Toon aan dat het eveneens een nulpunt bereikt. Dus bewijs dat c ]a, b[: f(c) =. Veronderstel dat F = (f 1,..., f m ) : R n R m een vectoriele functie is, gedefinieerd op een omgeving van a R m. Toon aan dat: lim x F (x) = b = (b1,..., b m ) lim f a x i ( x ) = b i, i = 1,..., m a. Bestaat de volgende limiet? Indien ja bereken de waarde, indien nee leg uit. 4. Bereken de limiet van de volgende rij lim (x,y) (,) u n = 4xy x + 16y 4 ( ) n n 1 n 5 5. Bestaat de volgende limiet? Indien ja, bereken de waarde en indien nee leg uit waarom. [x] lim x x met [x] = max{z Z : z x} 6. Is de volgende functie continu? Indien nee, geef alle discontinuïteitspunten. tg(x), x < f : R R : x x, x < ln(x), 1 x 7. Bereken de afgeleide van de volgende functie: y = e sin(ex ) Tijd: u; vraag 1: punten; vraag : punten; vraag,4,5,6,7: 1 punten. Totaal: 1 punten.

2 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar 1-1 1ste semester, 15 januari 1 Analyse I 1. Gegeven is een numerieke functie f gedefinieerd tenminste op een omgeving van een stationair punt a. Onderstel ook dat f een eindige afgeleide van orde bezit op deze omgeving. Toon aan dat f een maximum bereikt in a als f (a) <.. Veronderstel dat F = (f 1,..., f m ) : R n R m een vectorwaardige functie is, gedefinieerd op een omgeving van a R m. Toon aan dat: lim x F (x) = b = (b1,..., b m ) lim f a x i ( x ) = b i, i = 1,..., m a. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g. 4. Beschouw een continue vectorwaardige functie F = (f 1,..., f n ) : [a, b] R n. Definieer de integraal b F (t)dt en toon aan dat b a b F (t)dt F (t) dt. a a 5. Beschouw een continue functie f : [a, b] R en c (a, b). Toon aan dat b f(x)dx = c f(x)dx + b a a c f(x)dx. Tijd: 9 minuten; alle vragen worden gekwoteerd op 8 punten. Totaal: 4 punten. Dit examen telt mee voor % van het eindcijfer voor het jaarvak Analyse (Eerste bachelor Ingenieurswetenschappen en Fysica, en voor 5 % van het eindcijfer voor het jaarvak Analyse (Eerste bachelor Wiskunde).

3 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar 1-1 1ste semester, 15 januari 1 Oefeningen Analyse I Volg nauwgezet de volgende instructies! Begin voor elke opgave een apart blad. Schrijf op elk blad je NAAM en VOORNAAM, in hoofdletters. Nummer de bladzijden die je afgeeft, en vermeld het totaal aantal bladzijden, bijvoorbeeld 1/6, /6,... Het gebruik van schrijfgerief, lat, papier, syllabus Analyse I (theorie) en formularium (wordt uitgedeeld) is toegelaten. 1. Ga na of de volgende limiet bestaat. Bepaal de limiet indien hij bestaat. lim (x,y) (,) x + y 4 x + y 4 + y 6.. Bereken de integraal (x + 1) + 4x 4x dx 1. Bewijs de formule b a < 1 b a 1 b < b a ( < a < b) a op twee manieren: rechtstreeks, en door gebruik te maken van de stelling van Lagrange.

4 4. Beschouw de parabool met vergelijking y = 4x x, en de tekening in de onderstaande figuur. (a) Geef een formule voor de oppervlakte S van de rechthoek in functie van de hoogte h. (b) Bepaal de dimensies van de rechthoek waarvoor de oppervlakte S maximaal is. Toon aan. (c) Bepaal de maximale oppervlakte van de rechthoek. 5. Bereken de booglengte van de astroïde: { x = a cos (t) y = a sin (t) waar a een positief reëel getal is. 6. Op een bepaald ogenblik neemt het volume van een bol toe met 5 cm /sec en de straal met cm/sec. Hoe snel verandert de oppervlakte van de bol op dat ogenblik? Tijd: 18 minuten; vragen 1,,, 5 en 6 : 8 punten; vraag 4: 1 punten. Totaal: 5 punten. Dit examen telt mee voor 5 % van het eindcijfer voor het jaarvak Analyse (Eerste bachelor Ingenieurswetenschappen en Fysica), en voor 5 % van het eindcijfer voor het jaarvak Analyse (Eerste bachelor Wiskunde).

5 Oplossingen 1. Indien de limiet bestaat, dan zijn de twee volgende limieten gelijk aan elkaar: lim (x,y) (,)x= lim (x,y) (,)y= x + y 4 x + y 4 + y 6 = lim y y 4 y 4 + y 6 = ; x + y 4 x + y 4 + y = lim x 6 x x = 1. We kunnen hieruit concluderen dat de limiet niet bestaat.. Substitutie: x 1 = sin t, dx = cos tdt. (x + 1) + 4x 4x dx = (x + 1) (x 1) dx 1 = π 1 (sin t + ) cos t dt [ ] π = cos t [ = cos t = + 4 π ] π + + π [ t 1 + cos t ] π + dt [ ] π sin t 4. a) Stel f(x) = 1. Dan voldoet f aan de voorwaarden van de stelling van Lagrange op het x interval [a, b]. Er bestaat dus een c ]a, b[ zodat f(b) f(a) = f (c)(b a). Of met andere woorden: 1 1 = 1 (b a). Aangezien < a < c < b volgt er dat 1 > 1 en 1 < 1. b a c c a c b En dus (b a) < 1 a b 1 (b a) <. a b De gezochte formule volgt dan door alle leden te vermenigvuldigen met 1.

6 b) b a b < 1 a 1 b = b a ab als en alleen als ab < b of a < b, en dit is gegeven. De andere ongelijkheid gaat op dezelfde manier. 4. a) Als x 1 en x de nulpunten zijn van 4x x = h dan is de basis van de rechthoek gelijk aan 16 4h 16 4h x x 1 = + + = 16 4h waar h < 4. De oppervlakte S van de rechthoek in functie van h is dan gegeven door: S(h) = 16 4h h b) Om de maximale oppervlakte te bepalen, zoeken we naar de nulpunten van S (h): S (h) = h + h 16 4h = 16 4h h 16 4h S (h) = h = 8 en x x 1 = = 4 Met behulp van de tekentabel, kunnen we controleren dat het maximum effectief bereikt wordt in h = 8: c) De maximale oppervlakte is dus h 8 S (h) + - S(h) max S max = 4 8 = 9

7 5. De afgeleides naar de tijd van de componentsfuncties zijn: { dx = a dt cos (t) sin(t) dy = a dt sin (t) cos(t) Of dus Hiermee vinden we dat { ( dx dt ) = 9a cos 4 (t) sin (t) ( dy dt ) = 9a sin 4 (t) cos (t) ( dx dt ) + ( dy dt ) = 9a (cos 4 (t) sin (t) + sin 4 (t) cos (t)) = 9a cos (t) sin (t) ( dx dt ) + ( dy dt ) = a cos(t) sin(t) Merk op dat cos(t) sin(t) indien t [, π/] en dat π s = ( dx dt ) + ( dy dt ) = 4 Hiermee vinden we de booglengte van de astroïde π/ ( dx dt ) + ( dy dt ) 6. en dus is s = 4 π/ a cos(t) sin(t) = 5 cm sec = dv dt ds dt = 8πRdR dt = 8π V = 4 πr = 4πR dr dt R = 5 8π cm S = 4πR 5 [ ] π/ 1 a sin (t) = 6a = 8πR cm sec cm cm 8π sec = 4 1π cm sec

8 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Groep A Academiejaar 1-1 de semester, 1 maart 1 Examen Analyse II: Matlab 1. Schrijf een functie check(x,a) die gegeven een rij x en een natuurlijk getal a nagaat of de rij x een deelrij bevat bestaande uit a of meer gelijke getallen. Als resultaat geef je de gevonden deelrij(en) terug in één rijvector of indien x zo n deelrij niet bevat. >>check([4,,,5,,1,,,,4,1,,,,,,1],) ans= [,,,,,,] >>check([1,,],) ans=. Schrijf een functie functie(a) die de kromme y = van.1 op de x-as, sin(x) cos(x) x plot in het interval [a, a + ] met een nauwkeurigheid de raaklijn aan de kromme in het punt met x-coördinaat a plot (zorg dat het onderscheid tussen de raaklijn en de kromme duidelijk zichtbaar is), het minimum binnen het interval [a, a + ] aanduidt met een sterretje. >>functie(4) Vermeld in elk bestand dat je aanmaakt bovenaan je naam, voornaam en groep. Geef een korte uitleg bovenaan je code. Wees zo efficiënt mogelijk. Beide vragen staan op 5 punten. Veel succes!

9 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Groep B Academiejaar 1-1 de semester, 15 maart 1 Examen Analyse II: Matlab 1. Beschouw een n n-matrix A over R, diagonaliseerbaar over R of C, waar de eigenwaarden voldoen aan: λ 1 > λ... λ n. Er geldt dus λ 1 R. De norm van een vector v bereken je met het commando norm(v). De machtmethode bepaalt een rij {µ i, i = 1,,...} die convergeert naar λ 1. De methode, voor m stappen, gaat als volgt: Beschouw een willekeurige vector x over R. q = x x Voor i = 1,,..., m: x i = Aq i 1, q i = x i x i, µ i = q T i Aq i. Schrijf nu een functie machtmethode(a,m,x ) die, gegeven de matrix A, een beginvector x en het natuurlijk getal m, het vorige algoritme uitvoert en µ m teruggeeft. De methode eig(a) bepaalt alle eigenwaarden van de matrix A. Bepaal de werkelijke waarde λ 1 van A en schrijf een functie plotmacht(a,m,x ) die λ 1 en µ i, i = 1,..., m, uitplot op het interval [1,..., m]. Controleer of je programma werkt door het toe te passen op volgende matrix 1 A = >>plotmacht(a,8,[1,,4]) ans= 5.

10 . Tijdens het examen matlab zitten alle studenten op een lange rij naast elkaar. Na het verbeteren van alle examens wil ik controleren of sommige studenten gespiekt hebben. Een student kan enkel spieken van een student die naast hem zit. Studenten die naast elkaar zitten en gelijkaardige punten hebben, kunnen van spieken worden verdacht. Aan het programma worden 4 rijvectoren gegeven. Elk rijvector bevat de punten van alle studenten van het examen van één groep volgens de plaats waar deze studenten zaten, dus eerst de punten van de student op plaats 1, dan de punten van de student op plaats, enz. Het programma spieken( G1, G, G, G4) moet als resultaat een 4 -matrix teruggeven, met voor elke groep de plaatsnummers waar het verschil tussen de punten van de studenten op die plaatsen het kleinst was, en nog een extra boodschap. Indien er meerdere paren plaatsen voorkomen met een kleinste verschil, moet je enkel het eerste paar uitschrijven (volgens de gegeven rangschikking). Als het verschil tussen twee opeenvolgende punten is, moet de boodschap zwaar verdacht uitgevoerd worden. Als het kleinste verschil niet is, dan moet enkel de boodschap verdacht uitgevoerd worden. Als het aantal studenten of 1 is, kan er niet worden gespiekt en moet er twee keer worden teruggegeven met de boodschap spieken kon niet. >>spieken([1],[1,11,16,8],[11,1,1,9,],[4,9,5,,5]) ans= spieken kon niet 1 verdacht zwaar verdacht 4 verdacht Vermeld in elk bestand dat je aanmaakt bovenaan je naam, voornaam en groep. Geef een korte uitleg bovenaan je code. Wees zo efficiënt mogelijk. Beide vragen staan op 5 punten. Veel succes!

11 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Groep C Academiejaar 1-1 de semester, 11 maart 1 Examen Analyse II: Matlab 1. Ik heb n mutant-konijnen in mijn konijnenhok. Als n even is, dan gaan de konijnen in hongerstaking tot er nog maar de helft over is. Als n oneven is, dan kweken ze bij tot ze aangegroeid zijn tot n + 1 konijnen. Dit proces herhaalt zich natuurlijk tot er nog maar 1 konijn over is (ze moeten immers met zijn om zich voor te planten). Kan je mij vertellen op welk maximale aantal konijnen mijn hok voorzien moet zijn? Schrijf een functie konijn(n), die gegeven n konijnen, het maximale aantal konijnen teruggeeft en bovendien het verloop van de konijnenpopulatie plot in een figuur. Teken een sterretje bij het maximale aantal. >>konijn(7) ans= 5 want we krijgen de volgende rij: 7,, 11, 4, 17, 5, 6, 1, 4,, 1, 5, 16, 8, 4,, 1.

12 . Schrijf een functie verwijderen(rij) die gegeven een n-dimensional rijvector rij die de getallen 1 tot en met n bevat (niet geordend) het volgende programma uitvoert. Loop door de vector en begin te tellen van 1 tot n. Telkens de vector op positie k ook waarde k heeft, verwijder je dit element uit de rijvector. Je begint dan opnieuw vanaf 1 te tellen vlak na de verwijderde positie. Als je bij het tellen de waarde n hebt bereikt, is de volgende waarde voor de teller terug 1. Je programma stopt als ofwel de vector volledig leeg is, dan geef je de boodschap alles is op terug, of als je niets meer kunt verwijderen, dan geef je de overblijvende rijvector terug. >>verwijderen([,, 1, 4]) ans= [,4] want [ 1 4] = 1 [ 1 4] = 1 [ 4] [ 4] [ 4] [ 4] [ >>verwijderen([1,4,,]) ans= alles is op want [1 4 ] = 1 [4 ] = 1 [4 ] [4 ] = 1 [4] [4] [4] [4] = [] 1 4 Vermeld in elk bestand dat je aanmaakt bovenaan je naam, voornaam en groep. Geef een korte uitleg bovenaan je code. Wees zo efficiënt mogelijk. Beide vragen staan op 5 punten. Veel succes!

13 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Groep D Academiejaar 1-1 de semester, 1 maart 1 Examen Analyse II: Matlab 1. Schrijf een functie delers(x) die alle delers van het natuurlijk getal x teruggeeft. >>delers(1) ans= [1,,, 4, 5, 6, 8, 1, 1, 15,, 4,, 4, 6, 1] Een a-crazy getal is een getal waarbij de som is van al zijn positieve delers gelijk is aan een veelvoud a van het getal zelf. Zo is 1 een -crazy getal, want = 6 = 1. Schrijf een functie zoekcrazy(b,c) die het kleinste a-crazy getal v zoekt gelegen tussen b en c (hierbij mag a elk natuurlijk getal zijn). Indien zo n getal bestaat, geef dan de vector [v, a] terug. Indien er geen a-crazy getal bestaat tussen deze twee grenzen, geef dan binnen dit interval bestaat geen crazy getal terug. >>zoekcrazy(5,1) ans= [6,] >>zoekcrazy(5,1) ans= binnen dit interval bestaat geen crazy getal

14 . Schrijf een functie minimum(a,b) die de functie x + x x < 1 f(x) = x x 8 x 4 x > 8 plot in het interval [a, b] met een nauwkeurigheid van.1 op de x-as en die de coordinaten van het minimum binnen dit interval teruggeeft en bovendien het minimum aanduidt met een sterretje op de grafiek. >>minimum(-5,1) ans= [-1, -1] Vermeld in elk bestand dat je aanmaakt bovenaan je naam, voornaam en groep. Geef een korte uitleg bovenaan je code. Wees zo efficiënt mogelijk. Beide vragen staan op 5 punten. Veel succes!

15 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Natuurkunde Academiejaar 1-1 ste semester, 18 juni 1 Oefeningen Analyse II 1. Ga na of het stelsel { u = v + e ln (w x) v = u w + x 4 u = g 1 (w, x) en v = g (w, x) als impliciete functies van w en x bepaalt op een omgeving van (e, ), met u(e, ) = e en v(e, ) =. Bereken vervolgens de partiële afgeleiden. Beschouw het vectorveld u x (e, ) en u x (e, ). v = 1 16 yx u (x + z) u yz u en het gedeelte S van de paraboloide z = 16 (x + y ) begrepen tussen de top en het xy vlak. Bereken beide leden van de stelling van Stokes.. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen. (a) y y y = 9x e x (b) yy y + y x = 4. Ga na voor welke waarden van a R + de volgende numerieke reeks convergent is. n=1 (an) n (n + 1) n 5. Bepaal het convergentiegebied van de volgende machtreeks. Bespreek ook het gedrag in de randpunten (divergent, absoluut of relatief convergent). n=1 n! (x ) n (n + )!! n Tijd: uur en minuten; vraag 1: 8 punten, vraag : 14 punten, vragen a en b: elk 8 punten; vragen 4 en 5: elk 6 punten. Dit examen telt mee voor 5 % van het eindcijfer.

16 1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 ste semester, 18 juni 1 Oefeningen Analyse II 1. Ga na of het stelsel { u = v + e ln (w x) v = u w + x 4 u = g 1 (w, x) en v = g (w, x) als impliciete functies van w en x bepaalt op een omgeving van (e, ), met u(e, ) = e en v(e, ) =. Bereken vervolgens de partiële afgeleiden. Beschouw het vectorveld u x (e, ) en u x (e, ). v = 1 16 yx u (x + z) u yz u en het gedeelte S van de paraboloide z = 16 (x + y ) begrepen tussen de top en het xy vlak. Bereken beide leden van de stelling van Stokes.. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen. (a) y y y = 9x e x (b) yy y + y x = 4. (a) Bepaal de extreme waarden (en hun aard) van de functie f : R + R R + R, gegeven door de formule die voldoen aan f(x, y, z) = x5 5 + y n 6 z 5 5, 4 n = 1 x + 1 y + 1 z (b) Het Erdös-Straus vermoeden stelt dat voor iedere n N de vergelijking (1) een oplossing (x, y, z) heeft bestaande uit natuurlijke getallen. Bewijs nu dit vermoeden als n van de vorm n = 4k + is voor een k N met behulp van de resultaten uit deel (a) van de vraag. (1) Tijd: uur en minuten; vraag 1: 8 punten, vraag : 14 punten, vragen a en b: elk 9 punten; vraag 4: 1 punten. Totaal: 5 punten. Dit examen telt mee voor 5 % van het eindcijfer voor Analyse.

17 Oplossingen 1. We beschouwen het stelsel { u = v + e ln (w x) v = u w + x 4 We herschrijven dit als { f1 (w, x, u, v) = v + e ln (w x) u = f (w, x, u, v) = u w + x 4 v = Zowel f 1 als f zijn continu op een omgeving van (e,, e, ). Daarnaast is f 1 (e,, e, ) = en f (e,, e, ) =. De partiële afgeleiden zijn: f 1 w = e (w x) : f 1 x = e (w x) : f 1 u = 1 : f 1 v = ; f w = f w : x = f 4x : u = u : f v = 1. Deze partiële afgeleiden zijn allemaal continu op een omgeving van (e,, e, ). Tot slot bekijken we nog de Jacobiaanse determinant: (f 1, f ) (u, v) (e,, e f 1, ) = u (e,, e f, ) 1 v (e,, e, ) f u (e,, e f, ) v (e,, e, ) = 1 e 1 = 1 4e. We bepalen nu eerst u x (e, ). Daarvoor zullen we ons stelsel afleiden naar x. { v + x e u (w x) u u x + 4x v x = x = Hieruit halen we achtereenvolgens: { u u + x 4x = v x (u u + x 4x ) + e u = (w x) x (4u 1) u x = e (w x) 8x u x = e (w x) 8x 4u 1 u x (e,, e, ) = e 8e.

18 Vervolgens bepalen we u x (e, ). u x = (4u 1)( e 4x ) ( e (w x) w x x ) u x (4u 1) e 8e u x (e,, e, ) = (4e 1) e e e 4 e = 16e6 1e + 1. (4e 1) e(4e 1). We kiezen de normaal op de paraboloide naar buiten, dan zal de kromme C in tegenwijzerzin worden doorlopen. Linkerlid: de oppervlakteintegraal Voor de parametrisatie zullen we gebruik maken van cilindercoördinaten: x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = 16 ρ We hebben dus r 1 (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 16 ρ ), waarbij ρ [, 4] en θ [, π]. Daarnaast vinden we dat r 1 ρ = (cos θ, sin θ, ρ) en r 1 = ( ρ sin θ, ρ cos θ, ), we berekenen θ dan het vectorieel product, Uit r 1 ρ r 1 θ = (ρ cos θ, ρ sin θ, ρ). n = ɛ r 1 r 1 ρ θ r 1 r 1 ρ θ en gegeven dat de normaal op de paraboloide naar buiten wijst, volgt dat ɛ = +1. Voor de rotatie hebben we: rot v = ( 9 16 z 5 16,, x ) dus rot v( r 1 (ρ, θ)) = ( 9 16 (16 ρ ) 5 16,, ρ cos θ). We krijgen voor de oppervlakteintegraal, 4 π (( 9 16 (16 ρ ) 5 ) ( 5 ρ cos θ ) ) 16 ρ cos θ ρ dθdρ 4 π ( 5 = 16 ρ 1 ( )) cos (θ) ρ dθdρ 4 ( 5 = π 16 ρ 1 ) ρ dρ ( 5 16 = π 16 1 ) 56 = π. 4

19 Rechterlid: de lijnintegraal Parametrisatie van C + : waarbij θ [, π]. We hebben dat, r (θ) = (4 cos θ, 4 sin θ, ), en d r dθ = ( 4 sin θ, 4 cos θ, ) v( r (θ)) = (4 sin θ cos θ, 5 cos θ, ). 4 Dus we krijgen voor de lijnintegraal: π ( 16 sin θ cos θ + 5 cos θ ) dθ = π = π ( 4 sin (θ) + 5 ( ( ) ( 1 cos (4θ) cos θ ( cos θ + 1 )) dθ )) π dθ = + 5 dθ = π. a. De karakteristieke veelterm van de geassocieerde homogene vergelijking is λ λ = (λ )(λ + 1). De integraal van de geassocieerde homogene vergelijking is dus y h = Ae x + Be x. Er bestaat een particuliere integraal van de volledige vergelijking van de vorm We rekenen dan gemakkelijk uit dat y p = (Cx + Dx + Ex)e x. y p = ( Cx Dx Ex)e x y p = (Cx + (D C)x + (E D)x E)e x y p = (Cx + (D 6C)x + (E 4D + 6C)x + (D E))e x y p y p y = ( 9Cx + (6C 6D)x + (D E))e x Hieruit volgt gemakkelijk dat y p een particuliere integraal is als en alleen als C = D = 1 en E = /. We krijgen dus y p = (x + x + x)e x en de algemene integraal van de volledige vergelijking is y = (x + x + x A)e x + Be x.

20 b. yy y + y x = Substitutie: De differentiaalvergelijking herleidt zich tot z = y y ; y = yz ; y = y z ; y = y z + yz = yz + yz ; yy = y z + y z. of y z + y z y z + y x = z + 1 x =. Deze integreren we via scheiding der veranderlijken: dz = dx x y y = z = 1 x + c dy y = ( 1 x + x ) dx ln y = ln x + cx + ln d y = dxe cx 4. We passen het wortelcriterium van Cauchy toe: lim n n (an) n = lim a n (n + 1) n n ( ) n n = n + 1 De reeks (an) n n=1 is dus convergent als en slechts als a 1. (n+1) n a < 1 1 voor a = 1 e a > 1 4

21 5. De convergentiestraal van de machtreeks n=1 R = lim n n! (n + )!! (n + 4)!! (n + 1)! n! (x ) n (n+)!! is gelijk aan n = lim (n + 4) n (n + 1) =. De reeks is dus absoluut convergent als x <, met andere woorden als 1 < x < 7 en divergent voor x (, 1) (7, ). In het randpunt x = 7 vinden we de positieve reeks n=1 n! (n + )!! n = n=1 (n)!! (n + )!! = 1 (n + 1), deze is divergent (vergelijk met de harmonische reeks). In het randpunt x = 1 vinden we de alternerende reeks n! n=1 (n+)!! ( )n = ( 1) n n=1. Deze is niet absoluut convergent, maar (n+1) 1 wel relatief convergent wegens het kenmerk van Leibniz. Immers, lim n = en de rij (n+1) 1 ( ) is dalend. (n+1) n=1 4. (Examen 1ste BA WIS). We berekenen de extrema van de functie f(x, y, z) = x5 5 + y z 5 n 6 5 met x, z > en nevenvoorwaarde 1 x + 1 y + 1 z 4 n =. Definieer de Lagrange functie φ: φ(x, y, z, λ) = x5 5 + y n 6 z 5 5 λ( 1 x + 1 y + 1 z 4 n ). De stationaire punten zijn de oplossingen van het volgend stelsel: φ x = x4 + λ x = φ y = y4 + λ y = Uit (), () en (4) vinden we: φ z = 6 n 6 z4 + λ z = 1 x + 1 y + 1 z 4 n = () () (4) (5) Of eerder aangezien x, z > : x 6 = λ, y 6 = λ, 6 n 6 z6 = λ (6) x = 6 λ, y = ± 6 λ, z = n 6 λ We onderscheiden de twee gevallen. 5

22 geval 1: Veronderstel dat y = 6 λ = x. Noteer l = 6 λ. Invullen in (5) geeft ons: 4 n = nl l = 1 In dit geval hebben we bijgevolg dat (x, y, z) = ( 1, 1, n ). Om de aard van dit stationair punt na 4 te gaan berekenen we de tweede differentiaal. Gebruikmakend van (6) vinden we: d φ = (4x λ )dx + (4y λ )dy + (4 6 z λ )dz x y n 6 z = 6x (dx) + 6y (dy) z (dz) n 6 Uit de nevenwaarde (5) volgt na differentiatie dat 1 x dx 1 y dy 1 dz =. z In het stationair punt krijgen we dx dy = 4 n dz. Dit samen met (x, y, z) = ( 1, 1, n ) levert ons de tweede differentiaal: 4 d φ = 6 8 dx 6 8 dy + 6 n z (dx + dy + dxdy) = ( n z )dx + ( n z )dy +.6 n z dxdy = ( n)dx + ( n)dy +. 6 n dx dy 4 We zien dat in dit geval s rt = ( 6 4 n) ( n)( n) = ( 6 8 ) >. In dit stationair punt wordt dus geen extremum bereikt. De coördinaten van dit stationair punt zijn geen natuurlijke getallen, en leveren dus geen oplossing voor het Erdös-Strauss conjectuur. geval : Dus veronderstel dat y = 6 λ = x. We gaan te werk als in geval 1. Noteer nog steeds l = 6 λ. Invullen in (5) geeft ons: 4 n = l + nl n + 1 = 1 l In dit geval hebben we bijgevolg het punt (x, y, z) = ( n+1 stationair punt na. Zoals eerder berekend is: l = n + 1, n+1, n(n+1) d φ = 6x dx + 6y dy n 6 z dz. 4 ). We gaan de aard van dit Differentieer de nevenwaarde (5) en vul het punt in en we krijgen alweer dat dx dy = 4 n dz. Dit samen met de vorm van het punt geeft: d φ = 6x [dx + dy ] + 6 n z [dx + dy + dxdy] = (6x + u)[dx + dy ] + u dxdy waar u = 6 n z. Aangezien 6x > zien we onmiddelijk dat s rt < en r >. In dit stationair punt wordt dus een minimum bereikt. Bovendien indien n = 4k + zijn de coordinaten van dit punt natuurlijke getallen, en dan is het stationair punt een oplossing voor het Erdös-Strauss conjectuur. 6