Tussentijdse evaluatie Analyse I

Transcriptie

1 ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 6-7 ste semester november 6 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Toon aan dat een niet-stijgende begrensde rij convergent is.. Onderstel dat f : [a, b] R continu is over [a, b] en dat f(a) en f(b) een verschillend teken hebben. Bewijs dat er een punt c (a, b) bestaat zodat f(c) =.. Ga na of de rij (u n ) n convergent is. Indien ja bereken de iet, indien nee leg uit. u n = ( n + n + n + n )n / 4. Bestaat de volgende iet? Indien ja bereken de waarde, indien nee leg uit. x 5 + y 4 + x y (x,y) (,) x + y 4 5. Bespreek de continuïteit van de volgende functie: x + π als x kπ, k Z, f : R R : x sin x als x = kπ, k Z. 6. Bereken de afgeleide van de volgende functie: f(x) = x tan(sin x). 7. Bepaal de coëfficiënten a, b, c en d zodanig dat de kromme met vergelijking y = a sin(x) + b cos(x) + c sin(x) + d cos(x) in ( π, ) raakt aan de rechte y + x π = en in (π, ) raakt aan y x + π =. Tijd: u; vragen en : 5 punten; vraag -7: punten. Totaal: punten.

2 Oplossingen. 4. Er geldt dat u n = ( n + n + n + n )n / n n n + n + n n + = n n + n + + n + n n/ = 4» n + x 5 + y 4 + x y (x,y) (,) x + y 4 y= x 5 + y 4 + x y (x,y) (,) x + y 4 x= Deze waarden zijn verschillend dus de iet bestaat niet. 5. f is continu in elke x kπ, k Z. Omdat x + π x π sin x = t t sin t is f niet continu in π. Voor k Z \ { } is n + n +» + n n =. x 5 = x x = x x =, y 4 = y y =. 4 = f( π) x + π x kπ ± sin x plus of min oneindig dus verschillend van f(kπ). Bijgevolg is f niet continu in kπ, k Z. 6. tan(sin x) ln x f(x) = e Ç f (x) = e tan(sin x) ln x cos (sin x) (cos x)(ln x) + tan(sin x) å x Ç = x tan(sin x) cos (sin x) (cos x)(ln x) + tan(sin x) å. x 7. Er moet gelden dat y( π) =, y(π) =, y ( π) = en y (π) =. Er geldt dat y = a cos(x) b sin(x) + c cos(x) d sin(x) zodat a d = b + d = b c = a + c =. Hieruit volgt dat a =, b =, c = en d =.

3 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen ste Bachelor Natuurkunde/Wiskunde Academiejaar 6-7 ste semester, 7 januari 7 Theorie Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Geef de definitie van een verdichtingspunt. Toon aan dat elke oneindige begrensde deelverzameling van R minstens een verdichtingspunt heeft. Geef een voorbeeld van een oneindige verzameling zonder verdichtingspunt.. Formuleer en bewijs de stelling van het gemiddelde voor de integraal van een continue functie. Pas deze stelling toe om de afgeleide te berekenen van de functie g(x) = x a f(t)dt, waarbij x [a, b] en f : [a, b] R een continue functie. Bewijs dan de grondformule van de integraalrekening. 4. Geef de definitie van een rectificeerbare boog, en van de booglengte van een rectificeerbare boog. Toon aan dat een continu differentieerbare boog rectificeerbaar is, en stel de formule op die toelaat om de lengte van een kromme gegeven in parametervorm te berekenen. Tijd: 9 minuten; vraag : 6 punten; vraag : punten; vragen en 4: punten. Totaal: 4 punten. Dit examen telt mee voor % van het eindcijfer. Eerste bachelor wiskunde: 5 % van het eindcijfer.

4 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen ste Bachelor Natuurkunde/Wiskunde Academiejaar 6-7 ste semester, 7 januari 7 Oefeningen Analyse I. Ga na of de iet bestaat. sin(tan x + sin y) (x,y) (,) tan x sin y. Bepaal de tangens van de hoek waaronder de krommen met vergelijking elkaar in het eerste kwadrant snijden. y = x en y = x + x 4. Schrijf de Taylorveelterm P n van graad n in het punt a = op van de functie f(x) = x. 4. Een touw van meter lang wordt in drie geknipt. Met het eerste van de stukken touw wordt de omtrek van een vierkant gevormd, en met de twee andere wordt de omtrek van een cirkel gevormd. Welke lengte moet elk van de drie stukken touw hebben opdat de som van de oppervlaktes van het vierkant en de twee cirkels minimaal is? Ga na dat deze som minimaal is, en gebruik hiervoor de methode van de multiplicatoren van Lagrange. 5. Voor a > beschouwen we de functie f : [, ] R met als voorschrift f(x) = sin(bgtg (ax)). Voor welke waarde van de parameter a snijdt de grafiek van de functie f het vierkant met hoekpunten (, ), (, ), (, ) en (, ) in twee delen met gelijke oppervlakte? 6. Bereken de oneigenlijke integraal + dx ( x + ) 4 x. Tijd: uur; vragen en : 5 punten; vragen en 6: 7 punten; vragen 4 en 5: 8 punten. Totaal: 4 punten. Dit examen telt mee voor % van het eindcijfer. Het formularium horende bij de cursus Analyse mag gebruikt worden. Cursusnota s, zakrekenmachine, oefeningenboek en opgeloste oefeningen mogen niet gebruikt worden. Gelieve elke vraag op een apart blad te beantwoorden.

5 Oplossingen. Onderstel dat de iet sin(tan x + sin y) (x,y) (,) tan x sin y bestaat. Gebruik makende van het feit dat de functie sin u als u u f(u) = als u = continu is in vinden we dat en a = a = sin(tan x + sin y) (x,y) (,) tan x sin y y= sin(tan x + sin y) (x,y) (,) tan x sin y x= = a = x f(tg x) = f( x tg x) = f() = = y f(sin y) = f( y sin y) = f() =. Dit is een contradictie, en we concluderen dat de iet niet bestaat.. Stel f(x) = x en g(x) = x +x 4. De eerste component van de snijpunten van de grafieken van f en g voldoet aan de vergelijking f(x) = g(x), of x x x 8 = (x+)(x+)(x 4) =. Het enige snijpunt in het eerste kwadrant is dus het punt (4, ). f (x) = (x ) en g (x) = x +. De hoeken α en β tussen de raaklijnen aan de grafieken van f en g en de x-as worden gegeven door de formules tg α = f (4) = en tg β = g (4) =. De tangens van de gevraagde hoek is dus tg α tg β tg (α β) = + tg α tg β = 99.. We berekenen eerst de afgeleiden van f in het punt en f (i) (x) = ( )( ) ( (i + ))x i = ( )i (i + )! x i+ ; f (i) ( ) = (i + )!, P n (x) = n f (i) ( ) n (x + ) i = (i + )(x + ) i i= i! i= = + (x + ) + (x + ) + + (n + )(x + ) n.

6 4. Stel x, y en z de lengtes van de delen waarin het touw verdeeld wordt zodat er een vierkant met omtrek x, een cirkel met omtrek y en een cirkel met omtrek z worden gevormd. De zijde van het vierkant is dus x y en de stralen van de cirkels zijn en z. De som van de oppervlaktes is 4 π π dus f(x, y, z) = x 6 + y 4π + z 4π en de nevenvoorwaarde is x + y + z = zodat we de volgende functie invoeren: We lossen volgend stelsel op: f (x, y, z, α) = x 6 + y 4π + z α(x + y + z ). 4π f x = x 8 α = f y = y π α = f z = z π α = x + y + z =. Hieruit volgt dat x = 8α, y = πα en z = πα dus (8 + 4π)α = zodat α = stationaire punt is dus Å ã + π, π 4 + π, π. 4 + π Verder is Å x ã Å y ã Å z ã df = 8 α dx + π α dy + π α dz, d f = 8 dx + π dy + π dz 8+4π. Het enige In het stationaire punt is d f >, zodat een minimum bereikt wordt. De lengte van het eerste touw moet dus zijn, en de lengte van de twee anderen π opdat de som van de drie oppervlaktes minimaal +π 4+π is.

7 5. We vereenvoudigen eerst de functie f. Omdat x [, ] is ax [, a], u = Bgtg (ax) [, π/) en sin Bgtg (ax) [, ). Dan vinden we achtereenvolgens + (ax) = + tg u = sec u = sin u, en sin u = sin u = f(x) = sin u = + (ax), + (ax) = (ax) + (ax) ax» + (ax). Aangezien de totale oppervlakte van het gegeven vierkant gelijk is aan, moet de oppervlakte onder de grafiek gelijk zijn aan. We moeten dus de parameter a bepalen zodat = f(x)dx = ax» + (ax) dx. Om deze integraal te berekenen gebruiken we de substitutie t = +(ax), dt = a xdx, en vinden waaruit volgt dat a = 4/. = +a dt a t = a ( + a ), 6. Met behulp van de substitutie t = 4 x, x = t 4, dx = 4t dt = 4 4 x dt vinden we dx ( x + ) 4 x = 4 dt t + = 4Bgtg t + c = 4Bgtg 4 x + c. We berekenen dan gemakkelijk dat I = + dx b ( x + ) 4 x = a + a b + dx ( x + ) 4 x = a + (4Bgtg 4 b 4Bgtg 4 a) = 4 π = π. b +

8 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen ste Bachelor Natuurkunde Academiejaar 6-7 de semester, juni 7 Oefeningen Analyse II. Beschouw de boog ĀB gelegen in het deel van de ruimte waarvoor x op de doorsnede van de oppervlakken met vergelijking respectievelijk z = y en x + y = 4, die de punten A(,, 4) en B(,, 4) verbindt. Bepaal de lijnintegraal y dx x dy + z dz. ÂB. Bepaal de flux van het vectorveld v = yz u + x z u + z u (van binnen naar buiten), doorheen het gesloten oppervlak begrensd door de cilinders met vergelijking respectievelijk x + y = R en x + z = R.. Integreer de volgende differentiaalvergelijking: y + y = xe x + 8x 4. Integreer de volgende differentiaalvergelijking: yy y + y =. 5. Onderzoek de convergentie van de numerieke reeks 6. Voor welke x R is de machtreeks + n= + n= (n )!! (n + )!!. ( ) n x n absoluut convergent, relatief convergent, divergent? Ter herinnering: voor k n N: ( ) n n! = k k!(n k)! 7. De functie f heeft periode π en wordt gegeven door de formule f(x) = e x, x [ π, π[. (a) Bepaal de Fourierreeks van f. (b) Gebruik de stelling van Dirichlet om de volgende reekssom te bepalen: ( ) n n +. n= Tijd: uur en minuten; vragen,, 4: 7 punten, vragen, 7: 8 punten, vragen 5, 6: 4 punten Totaal: 45 punten. Dit examen telt mee voor, 5% van het eindcijfer. Het formularium horende bij de cursus Analyse mag gebruikt worden. Theorieboek, rekenmachine, oefeningenboek en opgeloste oefeningen mogen niet gebruikt worden. Gelieve elke vraag op een apart blad te beantwoorden.

9 ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 6-7 de semester, juni 7 Oefeningen Analyse II. Beschouw de boog ĀB gelegen in het deel van de ruimte waarvoor x op de doorsnede van de oppervlakken met vergelijking respectievelijk z = y en x + y = 4, die de punten A(,, 4) en B(,, 4) verbindt. Bepaal de lijnintegraal ÂB y dx x dy + z dz.. Bepaal de flux van het vectorveld v = yz u + x z u + z u (van binnen naar buiten), doorheen het gesloten oppervlak begrensd door de cilinders met vergelijking respectievelijk x + y = R en x + z = R.. Integreer de volgende differentiaalvergelijking: y + y = xe x + 8x 4. Integreer de volgende differentiaalvergelijking: yy y + y =. 5. Bereken het volume en het middelpunt van het ruimtestuk G gegeven door de ongelijkheden x + y 4z x, y z. Tijd: uur; vragen,,, 4, 5: 9 punten. Totaal: 45 punten. Dit examen telt mee voor, 5% van het eindcijfer. Het formularium horende bij de cursus Analyse mag gebruikt worden. Theorieboek, rekenmachine, oefeningenboek en opgeloste oefeningen mogen niet gebruikt worden. Gelieve elke vraag op een apart blad te beantwoorden.

10 Oplossingen. Een stel parametervergelijkingen van ĀB is x = 4 t y = t z = t Dan is d r = ( t dt 4 t,, t ). De lijnintegraal is dus t Alternatieve parametrizatie: 4 t + t 5 dt = 4 t waarbij t loopt van π/ tot π/. Dan is en ÂB x = cos t y = sin t z = 4 sin t ñ 4 Bgsin t ô + t6 = 4π. y dx x dy = ( 4 sin t 4 cos t)dt = 4π ÂB ñ z z dz = ô (,,4) (,,4) =.. We zien dat de div v =. Gebruikmakend van de stelling van Ostrogradsky vinden we dat de flux gegeven wordt door: Φ = R R dx R x R x dy R x R x dz = R R 4 Ä R x ä dx = 6R

11 . De karakteristieke vergelijking van de geassocieerde homogene vergelijking is λ + λ =. De integraal van de homogene vergelijking is dus y h = C + C e x. We bepalen eerst een particuliere integraal van de vergelijking y + y = xe x Dit is een bijzonder rechterlid, en er is een particuliere integraal van de vorm Substitutie in de vergelijking geeft y = (Ax + B)e x y = ( Ax B + A)e x y = (Ax + B A)e x y + y = ( Ax B)e x = xe x, waaruit volgt dat A = en B =, en y = xe x. We bepalen nu een particuliere integraal van de vergelijking y + y = 8x Dit is weer een bijzonder rechterlid, en er is een particuliere integraal van de vorm zodat y = Ax + Bx + Cx y = Ax + Bx + C y = 6Ax + B y + y = 6Ax + (4B + 6A)x + C + B = 6x. Hieruit volgt dat A = 4/, B = en C =, zodat y = 4 x x + x. De algemene integraal van de volledige vergelijking is dus y = C + C e x xe x + 4 x x + x. 4. We nemen x als onbekende functie en y als argument. Dan is y = en y = x x x yx x + x =. Stel z = x. Dan is yz z + z = zodat dz z z = dy y. zodat Hieruit volgt dat z z = c y zodat x = z = y y c. Bijgevolg is x = y + c ln y c + d.

12 5. Gebruik makende van de definitie van dubbele faculteit zien we dat (n )!! (n + )!! = (n + )(n + ) n. Deze laatste is de hyperharmonische reeks met α = en convergeert bijgevolg. Door de vergelijkingstest weten we dat dan ook de originele reeks convergeert. 6. Als we de definitie van de binomiaalcoefficient gebruiken zien we dat na vereenvoudiging ( ) n n(n )(n ) =. 6 We bepalen eerst de convergentiestraal voor de reeks Ä + n t n= ä n, waarbij t = x. Deze is a n R = n = (n + )n(n ) n n(n )(n ) =. a n+ Bijgevolg convergeert de reeks absoluut als t < of dus x <, wat uiteraard equivalent is met x <. Ten slotte zien we na toepassing van de ietvergelijkingstest met de hyperharmonische reeks met α =, dat in de randpunten x = ±, de reeks (absoluut) convergeert. 7. (a) De Fourierreeks is waarbij en a n = π a + a n cos nx + b n sin nx. n= π π e x cos nxdx = π [ex cos nx] π π + n π π π e x sin nxdx = eπ e π ( ) n + n π π [ex sin nx] π π n a n = eπ e π π( + n ) ( )n, b n = π π π e x sin nxdx = π [ex sin nx] π π n π π π e x cos nxdx = n π (eπ e π )( ) n n b n = e π e π π( + n ) n( )n.

13 De Fourierreeks van f is dus e π e π π + eπ e π π n= ( ) n cos nx n( ) n sin nx + n. (b) Stel nu x =. Met behulp van de stelling van Dirichlet vinden we dat = eπ e π π + eπ e π π n= ( ) n n + zodat n= ( ) n n + = π e π e π. 5. (Wiskunde) We werken in cilindercoördinaten. V = x = V = 8 π G dxdydz = dz G xdxdydz = π π/ z dz [sin ϕ] π/ = π y = x = π z = zdxdydz = V G π = 6 π z dz = π 4 dz zdz z dϕ π/ π/ rdr = π cos ϕdϕ z z dϕ rdr z dz = π r dr 4

14 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 6-7 e zittijd, augustus 7 Examen Oefeningen Analyse I. Ga na of de volgende iet bestaat. Bepaal deze iet indien hij bestaat, en toon anders aan dat hij niet bestaat. xy (x,y) (,) x + y 4. Verdeel in positieve getallen x, y en z zodanig dat f(x, y, z) = x + y + z xz extreem wordt. Bepaal of de gevonden extrema minima of maxima zijn. Gebruik de methode van de multiplicatoren van Lagrange.. Bereken de volgende iet met behulp van de stelling van Taylor. 4. Bereken de oneigenlijke integraal x 6x 5 x 9 6x sin x. x (e x ) + x 4 dx. Tijd: 4u; studenten die enkel Analyse I of II moeten afleggen: u. Puntenverdeling Analyse I: vraag : punten, vragen en 4: punten, vraag : 5 punten; totaal: 5 punten. Puntenverdeling Analyse II: vraag 5: 8 punten, vraag 6: punten, vraag 7: punten, vraag 8: 5 punten; totaal: 55 punten. Het formularium horende bij de cursus Analyse mag gebruikt worden. Cursusnota s, zakrekenmachine, oefeningenboeken en opgeloste oefeningen mogen niet gebruikt worden. Gelieve elke vraag op een apart blad te beantwoorden.

15 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 6-7 e zittijd, augustus 7 Examen Oefeningen Analyse II 5.. Voor welke a R \ {} is de volgende numerieke reeks convergent? n= (n + )(n + ) a n. Bepaal de reekssom s = n= (n + )(n + 4). 6. Bepaal de algemene integraal van het differentiaalstelsel 7. Beschouw het vectorveld z + z + 4y = e x z + y + y = F = (xz + y) u + (yz + yx) u + (x + y + z ) u. C is de eenheidscirkel in het xy-vlak. C is de ruimtekromme met vergelijking x + y = z = f(x, y) waarbij f : R R + een continu differentieerbare functie is. S is het deel van de cilinder x + y = gelegen tussen de krommen C en C.. Bereken C F d r. Hierbij wordt C in tegenwijzerzin doorlopen.. Bereken rot F.. Bereken S rot F ndo. Hierbij is n de naar buiten gerichte normaal op het oppervlak S. 4. Pas de stelling van Stokes toe op het oppervlak S, en bepaal dan C F d r. Hierbij wordt C in tegenwijzerzin doorlopen. 8. Bereken de inhoud van het ruimtestuk begrensd door de paraboloide z = x + y en het vlak z = 4.

16 ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 6-7 e zittijd, augustus 7 Examen Oefeningen Analyse I. Ga na of de volgende iet bestaat. Bepaal deze iet indien hij bestaat, en toon anders aan dat hij niet bestaat. xy (x,y) (,) x + y. 4. Verdeel in positieve getallen x, y en z zodanig dat f(x, y, z) = x + y + z xz extreem wordt. Bepaal of de gevonden extrema minima of maxima zijn. Gebruik de methode van de multiplicatoren van Lagrange.. Bereken de volgende iet met behulp van de stelling van Taylor. 4. Bereken de oneigenlijke integraal x 6x 5 x 9 6x sin x. x (e x ) + x 4 dx. Tijd: 4u; studenten die enkel Analyse I of II moeten afleggen: u. Puntenverdeling Analyse I: vraag : punten, vragen en 4: 4 punten, vraag : 5 punten; totaal: 55 punten. Puntenverdeling Analyse II: vraag 5: 6 punten, vraag 6: 5 punten, vragen 7 en 8: punten; totaal: 55 punten. Het formularium horende bij de cursus Analyse mag gebruikt worden. Cursusnota s, zakrekenmachine, oefeningenboeken en opgeloste oefeningen mogen niet gebruikt worden. Gelieve elke vraag op een apart blad te beantwoorden.

17 ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 6-7 e zittijd, augustus 7 Examen Oefeningen Analyse II 5. Bepaal de algemene integraal van de volgende differentiaalvergelijking. De oplossing mag in parametervorm gegeven worden. y 4 y + xy 4 = 6. Bepaal de algemene integraal van het differentiaalstelsel 7. Beschouw het vectorveld z + z + 4y = e x z + y + y = F = (xz + y) u + (yz + yx) u + (x + y + z ) u. C is de eenheidscirkel in het xy-vlak. C is de ruimtekromme met vergelijking x + y = z = f(x, y) waarbij f : R R + een continu differentieerbare functie is. S is het deel van de cilinder x + y = gelegen tussen de krommen C en C.. Bereken C F d r. Hierbij wordt C in tegenwijzerzin doorlopen.. Bereken rot F.. Bereken S rot F ndo. Hierbij is n de naar buiten gerichte normaal op het oppervlak S. 4. Pas de stelling van Stokes toe op het oppervlak S, en bepaal dan C F d r. Hierbij wordt C in tegenwijzerzin doorlopen. 8. Bereken de inhoud van het ruimtestuk begrensd door de paraboloide z = x + y en het vlak z = 4.

18 Oplossingen Analyse I. De gegeven iet bestaat niet in het punt (, ). Immers: indien we naar de oorsprong komen volgens de rechte y = x, dan krijgen we x xx x + x 4 = x x x + x 4 = x x + x =. Echter, indien we de oorsprong naderen volgens de parabool x = y, dan wordt de iet y y y y 4 + y 4 = y y 4 y 4 =. Aangezien deze ieten verschillend zijn, bestaat de gegeven iet niet in (, ).. We passen de methode van multiplicatoren van Lagrange toe. De nieuwe functie wordt dan f (x, y, z, α) = x + y + z xz + α(x + y + z ). Deze partieel afleiden naar zijn vier argumenten geeft het stelsel x z + α = y + α = z x + α = x + y + z =. Dit stelsel van lineaire vergelijkingen in 4 veranderlijken kunnen we oplossen om zo de waarden voor x, y, z en α te vinden: x = 6, y =, z = 4, α =. We kunnen de tweede partiële afgeleiden van de originele functie f(x, y, z) berekenen om zo de tweede totale differentiaal te vinden. df = dx dxdz + dy. Uit de randvoorwaarde x + y + z = volgt dat dx + dy + dz =, waarmee we dz kunnen substitueren in de laatste vergelijking om zo te komen tot df = dx + 5 dy. Dan is r =, s = en t = 5/, waaruit volgt dat het stationaire punt (6/, /, /) een minimum is.

19 . De iet is gelijk aan x 6x 5 x 9 6x (x x6 + x + x! 5! x (( + x + x µ(x)) ) waarbij x λ(x) = = x µ(x). Dit vereenvoudigt tot λ(x)) 5!, 4. x x ( λ(x)) x ( + µ(x)) =. + + x dx = 4 ( x )( + x ) dx Ç å + = (x + ) + 4(x + ) dx 4(x ) ñ = A + Bgtan x + 4 ln x + ô A x = Å π π ã + 4 ln = π 4 ln We passen het wortelcriterium van Cauchy toe: n n (n + )(n + ) = a n a n» n (n + )(n + ) = a = < a > voor a = > a < Voor a = of a = is de reeks n= (n + )(n + ) duidelijk niet convergent vermits n (n + )(n + ) = +. De reeks (n+)(n+) n= is dus convergent als en slechts als a ], [ ], + [. a n 5.. We berekenen eerst de partieelsom s m = = De reekssom is dus m n= m n= = + m (n + )(n + 4) = m (n + ) m n= n= n= (n + 4) = m (n + ) + (n + 4) n= m+ (n + ) n= (n + ) m (n + ) (n + ) m + 4 = m + 4. n= s = m s m = m m + 4 =.

20 5. WIS Dit is een vergelijking van Lagrange. De methode van afleiding en einatie geeft dat p = of (p )x + 4p x = 4p met p = y. De eerste vergelijking geeft y = C, wat enkel een oplossing is voor C =, dus y =. De tweede is een lineaire differentiaalvergelijking met als oplossing x = C(p ) 4/ zodat { x = C(p ) 4/ y = p 4 + xp We gebruiken de methode van afleiding en einatie. We kunnen bijvoorbeeld beginnen met de tweede vergelijking af te leiden, dit geeft ons y = z y. Nu substitueren we z met behulp van de eerste vergelijking (einatie): y = e x + z + 8y y = e x y y + 8y y, waarbij we in de laatste stap z gesubstitueerd hebben met behulp van de tweede vergelijking. Dit geeft ons de volgende differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficienten in y: y + 4y 5y = e x. Als homogene oplossing vinden we y h = c e x + c e 5x. Voor de particuliere oplossing kunnen we niet y p = Ae x stellen aangezien e x een oplossing is van de homogene vergelijking. Bijgevolg moeten we y p = Axe x stellen en kunnen we A = / vinden na y p in te vullen in de vergelijking. De oplossing voor y is dan y = c e x + c e 5x xex. Door y hieruit te berekenen en samen met y te substitueren in de tweede vergelijking vinden we dan ook de oplossing voor z: z = Ç å 6 c e x + c e 5x + xex.

21 7.. C + π π F d r = sin tdt + sin t cos tdt = π π cos td cos t = π î cos t ó π = π 7.. rot F = (y ) e. 7.. Aangezien rot F = (y ) e n = x e + y e, is 7.4. Uit de stelling van Stokes volgt dat S S rot F ndo = rot F ndo = F d r C C F d r Uit. en. volgt dan dat C F d r = π. 8. Het volume wordt gegeven door 4 z z» z x» z x dydxdz = = = z z π π z x dxdz z cos ududz ñ sin u z + u 4 ô π π dz = 4π. 4