Oefeningen Analyse II

Transcriptie

1 ste Bachelor Igeieursweteschappe ste Bachelor Natuurkude/Wiskude Academiejaar jui 28 Oefeige Aalyse II. Ee lichaam bove het xy-vlak met willekeurige hoogte wordt lags oder begresd door de cirkel x 2 + y 2 = op hoogte z =. Het volume va dit lichaam is 5π. Beschouw het vectorveld F = grad(φ) + µ rot( G), waar φ = x 2 y 2 + z 2, G = 3 ( y3, x 3, z 3 ) e µ ee willekeurige costate. Bepaal de totale flux va het vectorveld F doorhee het geslote lichaam (va bie aar buite). Zie figuur op de achterkat ter illustratie. (Hit: oor de flux doorhee S maak je best gebruik va ee itegraalstellig!) 2. Itegreer de volgede differetiaalvergelijkig: y 2y + y = ex x. 3. Itegreer de volgede differetiaalvergelijkig: y 2 2xy + y =. 4. Oderzoek de covergetie va volgede reeks: +,9 l 5. Is de volgede altererede reeks diverget, absoluut of relatief coverget? + ( ) l 6. De fuctie f heeft periode 2π e wordt gegeve door de formule f(x) = x 2, x [, π[. (a) Bepaal de Fourierreeks va f. (b) Gebruik u deze Fourierreeks om de volgede reekssom te bepale. Motiveer je atwoord! ( ) +. 2 Tijd: 4 uur; vrage 2, 3, 5: 7 pute, vrage, 4, 6: 8 pute. Totaal: 45 pute. Het formularium horede bij de cursus Aalyse mag gebruikt worde. Theorie-cursus, rekemachie, oefeigeboek e opgeloste oefeige moge iet gebruikt worde. Gelieve elke vraag op ee apart blad te beatwoorde. ergeet je aam e groep iet op elk blad te vermelde!

2

3 Oplossige. De flux Φ door het geslote lichaam wordt gegeve door Φ = Φ S + Φ D, waar Φ S de flux door S is e Φ D de flux door de cirkelschijf D. oor de flux door S gebruike we de stellig va Ostrogradski: Φ S = F do = div( F )dv S Aagezie div(rot( v)) =, voor elk vectorveld vide we dat div( F ) = div(2x, 2y, 2z) = = 2. Dus Φ S = 2dv = 2 dv = π De flux door de cirkelschijf bepale we door de oppervlakte itegraal. parametrisatie va D wordt gegeve door r : [, 2π] [, ] R 3 : (θ, ρ) (ρ cos(θ), ρ si(θ), ) De ormaal wordt da gegeve door ɛ (,, ρ) met ɛ =, wat aar buite gericht. (,, ρ) Ee mogelijke erder is rot( G) = (,, (x 2 + y 2 ), zodat F = (2x, 2y, 2z + µ(x 2 + y 2 )). We bekome Φ D = D F do = De totale flux is dus π 3π 2 µ. ˆ 2π ˆ F ( r) dρdθ = ˆ 2π ˆ 2. Dit is ee differetiaalvergelijkig met costate coëfficiëte. µρ 3 dρdθ = π 2 µ y h : De karakteristieke vergelijkig is λ 2 2λ + =. Deze heeft λ = als oplossig met multipliciteit 2. Dus y h = c e x + c 2 xe x. y p : Beschouw het stelsel: { c e x + c 2e x x =. c e x + c 2e x x + c 2e x = ex x Als oplossige vide we c = e c 2 = /x. Na itegratie vide we c = x e c 2 = l x. Dus y p = xe x + xe x l x. De oplossig is y = c e x + c 2 xe x + xe x l x. 3. Dit is ee differetiaalvergelijkig va Lagrage. We stelle p = y e leide af aar x: y = 2xy y 2 y = 2xp p 2 p = 2p + 2xp 2pp We kere de rolle va x e p om (p = /x ). Merk op dat als p =, da p =, dit geeft de siguliere oplossig y =. p + 2x 2p = x x px + 2x = 2p

4 x h : x h = 2x h p x h = c p 2 x p : Stel x p = c(p). Dit ivulle i de vergelijkig geeft: c (p) = 2p 2, e dus c(p) = p 2 2p 2 dp = 2p3. Dus x 3 p = 2p. 3 Als oplossig vide we u { x = c p 2 + 2p 3 y = 2c + p2 p 3 met als siguliere oplossig y =. 4. We herschrijve de reeksterm als l. We wete dat de reeks met algemee term covergeert als α > e divergeert aders. We vermoede bijgevolg dat de reeks covergeert,9 α aagezie l asymptotisch i het iet valt te opzicht va,9. We kue echter iet de afschattig l < make, omdat we da de afschattig l < vide, wat os,9,9 iets zegt. Bijgevolg moete we l afschatte door ee kleiere macht va, bijvoorbeeld,5 =. Deze afschattig is geldig vaaf > e 2 aagezie > l e > e t > t 2, t =, e deze laatste is geldig voor t > e, aagezie e > 2. Bijgevolg is l < voor > e 2 e deze laatste covergeert. Door het vergelijkigskemerk wete we dat da ook de origiele,9,4 covergeert. 5. De term ka herschreve worde als ( ) aagezie > l voor alle. De term l i absolute waarde is groter da e bijgevolg covergeert hij iet absoluut. We passe het kemerk va Leibiz toe om te zie dat deze reeks wel relatief coverget is. De limiet aar oeidig is duidelijk : [ lim l = lim ( l ) = ervolges berekee we de afgeleide va de term aar : ( l ( ) ] =. ) = < zodra >. ( l ) 2 Bijgevolg is de rij va terme iet-stijged vaaf 2. We besluite dat de reeks relatief coverget is. 6. (a) De Fourierreeks is Hierbij is e voor is a 2 + a cos x + b si x. a = π b = π a = π x 2 dx = 2 3 π2 x 2 cos xdx = 4 2 ( ), x 2 si xdx =. 2

5 De Fourierreeks va f is dus π ( ) cos x. (b) Stel u x =. Met behulp va de stellig va Dirichlet vide we dat 2 = π ( ) zodat ( ) + 2 = π2 2. 3