Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Transcriptie

1 Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te hebbe op ee foto waarop iemad zij oge dicht heeft. Zij hebbe bij hu berekeige de volgede aaames gemaakt: Het kippere met de oge gebeurt met oregelmatige tussepoze; Mese kippere gemiddeld tie keer per miuut met de oge; Als iemad kippert, zij de oge gedurede 0,25 secode dicht. Op ee willekeurig momet wordt éé foto geome va éé persoo. Op basis va de aaames va Sveso e Bares kue we de kas berekee dat deze persoo iet met geslote oge op de foto staat. 3p 1 Bereke deze kas i vier decimale auwkeurig. I de rest va de opgave gaa we erva uit dat de kas dat iemad met ope oge op de foto staat gelijk is aa 0,96. Bij ee groepsfoto spreke we va ee geslaagde foto als alle persoe op de foto hu oge ope hebbe. Ee fotograaf eemt éé groepsfoto va ee groep va 20 persoe. 3p 2 Bereke de kas op ee geslaagde groepsfoto. Ee fotograaf eemt 5 groepsfoto s va ee groep va 25 persoe. De kas dat er mistes éé geslaagde foto bij zit is ogeveer 0,89. 5p 3 Too dat met ee berekeig aa. Als me F groepsfoto s maakt va ee groep va 30 persoe, wordt de kas P op mistes éé geslaagde groepsfoto gegeve door de formule: P = 1 0,7061 F Ee fotograaf wil dat bij ee groep va 30 persoe de kas op mistes éé geslaagde groepsfoto groter is da 98%. 3p 4 Bereke hoeveel foto s hij da mistes moet make. www

2 Sveso e Bares wilde og meer zekerheid. Ze hebbe het aatal foto s bereked dat je va ee groep moet make om mistes 99% kas te hebbe op te miste éé geslaagde foto. Voor ee groep va persoe ka dat aatal foto s worde bereked met de formule: 2 F = log 1 0,96 ( ) Waeer je F aar bove afrodt op ee geheel getal, krijg je het aatal foto s dat je da moet make. Uit de formule volgt dat je va ee groep va twee persoe twee foto s moet make e va ee groep va drie persoe drie foto s. Ook voor ee grote groep ka het beodigde aatal foto s et zo groot zij als het aatal persoe i de groep. 3p 5 Bereke uit hoeveel persoe de groep da moet bestaa. www

3 Tadpasta Drogisterijkete Haarsma verkoopt Hagelwit tadpasta. Aa het eid va elke maad koopt Haarsma deze tadpasta i bij de groothadel. Haarsma moet daarvoor elke maad ee schattig make va het aatal tubes dat hij de volgede maad zal verkope. I de bedrijfskude worde verschillede methode gebruikt om zo schattig te make. Ee va die methode komt i deze opgave aa de orde. I zeker jaar heeft Haarsma i jauari 5200 tubes verkocht e i februari Ee eevoudig model om de verkoop voor de komede maade te schatte is het volgede: eem het gemiddelde va de verkoop i de twee voorafgaade maade. I ee formule: V = V + V, met V 1 = 5200 e V 2 = Hierbij is V het aatal verkochte tubes tadpasta i maad, waarbij = 1 overeekomt met jauari. Volges dit model verwacht Haarsma i maart 4600 tubes te verkope. Als we aaeme dat de schattig steeds de werkelijke verkoop i die maad is, kue we met dit model ook de verkoop va de volgede maade uitrekee. Dat beteket hier dat er i maart iderdaad 4600 tubes tadpasta verkocht worde. E met de getalle 4000 va februari e 4600 va maart ku je met de formule weer de verkoop va april berekee, ezovoort. 3p 6 Bereke het aatal tubes tadpasta dat volges dit model i jui wordt verkocht. Soms besluit me de laatste maad zwaarder te late meetelle da de voorlaatste maad. Bij de schattig voor de maad maart telt me bijvoorbeeld februari voor 60% mee e jauari voor 40%. De formule wordt da: V = 0,6V + 0, 4V, met V 1 = 5200 e V 2 = Als met dit model ee groot aatal maade wordt doorgereked, kome de waarde va V steeds dichter bij de evewichtswaarde 4343 te ligge. Dat beteket dat a ee aatal maade de schattige mider da 1% va 4343 zulle afwijke. 4p 7 Bereke i welke maad de schattig voor het eerst mider da 1% va 4343 afwijkt. www

4 Ee algemee vorm va het model ziet er als volgt uit: V + 2 = a V (1 a ) V, met V 1 = 5200 e V 2 = 4000 Hierbij is a ee getal tusse 0 e 1. Waeer we a = 1 kieze, krijge we het model uit het begi va deze opgave. 2 Als a = 0,6 hebbe we het model va de vorige vraag. De schattig va de verkoop voor de maade a februari hagt u af va de waarde va a. Zo kue we bijvoorbeeld V 4, de schattig voor april, uitdrukke i a. Dat levert de volgede formule op: 2 V4 = 1200a a p 8 Laat zie hoe deze formule uit de gegeves ka worde afgeleid. 4p 9 Bereke voor welke waarde va a de schattig voor april groter is da Als we a = 1 ivulle i de formule va V 4, levert dat als uitkomst V 4 = p 10 Too aa dat dit aatal va 4000 ook uit de recursieve formule volgt. www

5 Geius Geius is ee bordspel voor 1 tot e met 4 spelers. Tijdes het spel moete de spelers tegels op het speelveld plaatse. Ee tegel heeft de vorm va twee zeshoeke die met ee zijde aa elkaar vast zitte. Deze tegels zitte i ee zak. Op elke tegel staa twee symbole. Dat kue twee dezelfde symbole of twee verschillede symbole zij. Er zij zes verschillede symbole: 12-putige ster, cirkel, 6-putige ster, zo, gevulde cirkel e zeshoek. I figuur 1 zij vier tegels afgebeeld. figuur 1 A B C D Elke mogelijke tegel met twee dezelfde symbole komt 5 keer voor. Tegel A i figuur 1 komt dus 5 keer voor. Elke mogelijke tegel met twee verschillede symbole komt 6 keer voor. Dus bijvoorbeeld de tegel met ee cirkel e ee 12-putige ster (tegel B i figuur 1) komt 6 keer voor. 5p 11 Bereke het totale aatal tegels dat bij Geius wordt gebruikt. Elke speler heeft ee scorekaart. Daarop wordt voor elk symbool de score, het behaalde aatal pute, bijgehoude. Hoe de pute worde behaald doet hier verder iet ter zake. I figuur 2 staa drie scorekaarte. Bij Geius moet ee speler probere met alle symbole zo veel mogelijk pute te hale. De eidscore is het aatal pute va het symbool waarmee de speler de miste pute heeft behaald. Wiaar is degee met de hoogste eidscore. Als twee spelers dezelfde eidscore hebbe, wordt gekeke aar de op ee a laagste score, ezovoort. www

6 figuur Speler A Speler B Speler C I figuur 2 heeft speler A ee eidscore va 10 pute e de spelers B e C ieder 9 pute. Speler A wit dus va de spelers B e C. Speler C wit va speler B omdat de op ee a laagste score bij speler C 11 pute is e bij speler B 10. Op de scorekaarte is ook te zie dat voor elk symbool maximaal 18 pute behaald kue worde. Het spel werd gespeeld door vier spelers. De scorekaart va speler D is iet afgebeeld. Wel wete we dat de gemiddelde score va speler D voor de zes symbole i dit spel precies 16 pute is. 4p 12 Leg met ee getallevoorbeeld uit dat het mogelijk is dat speler D iet de wiaar is. Edwi speelt Geius vaak met twee vriede. Als iederee eve goed is i dit spel mag je verwachte dat de kas dat Edwi ee spel Geius wit elke keer gelijk is aa 1 3. Edwi heeft zelf het idee dat hij zo goed is dat zij wistkas bij elk spel groter is da 1 3. Na 25 keer spele met de twee vriede heeft Edwi 12 keer gewoe. 6p 13 Oderzoek of er gecocludeerd mag worde dat de kas dat Edwi wit va zij twee vriede groter is da 1. Neem als sigificatieiveau 5%. 3 www

7 Cotrole bij ieuwbouw Bij de bouw va woige e gebouwe cotroleert de overheid of de costructie veilig is. Deze cotrole kost tijd. Hoe duurder het gebouw, hoe meer cotroletijd me dekt odig te hebbe. Het verbad tusse de beodigde cotroletijd e de bouwkoste is weergegeve i figuur 3. figuur 3 cotroletijd i ure A bouwkoste i miljoee euro s Va ee gebouw A zij de bouwkoste 1 miljoe euro. I figuur 3 is af te leze dat de cotroletijd va gebouw A 50 ure is. Als ee gebouw B 100% duurder is da gebouw A, is de cotroletijd va gebouw B iet 100% groter da die va gebouw A. 3p 14 Bereke hoeveel procet de cotroletijd va gebouw B groter is te opzichte va de cotroletijd va gebouw A. Volges igeieur Va Overveld ka de grafiek i figuur 3 goed worde beaderd door de volgede formule: ( 1,544 0,245 log K) 9 C = + Hieri is C de beodigde cotroletijd i ure e K de geraamde bouwkoste i miljoee euro s. Deze formule is gebaseerd op het prijspeil va het jaar We gaa erva uit dat de formule ook geldig is voor gebouwe die meer da 5 miljoe euro koste. I 2003 werd het otwerp va het Nieuwe Rijksmuseum goedgekeurd. Volges de formule zou de beodigde cotroletijd zo 950 uur bedrage. 3p 15 Bereke hoeveel miljoe euro de geraamde bouwkoste va het Nieuwe Rijksmuseum ware. www

8 De formule ka ook gebruikt worde voor de jare a Maar da moet voor de bouwkoste wel het bedrag geome worde dat dit gebouw i 2003 zou hebbe gekost. We wille de cotroletijd berekee va ee gebouw waarva i 2007 de bouwkoste 62,7 miljoe euro bedrage. De bouwkoste zij i de periode jaarlijks met 4% gestege. 5p 16 Bereke de cotroletijd va dit gebouw. Kostbare gebouwe verge meer cotroletijd da mider kostbare gebouwe. Dat is te zie i de grafiek va figuur 3: die grafiek is stijged. Het ka ook worde aagetood met de afgeleide va C = ( 1, ,245 log K) 9. 4p 17 Geef de formule voor de afgeleide d C e verklaar daarmee dat de fuctie C dk stijged is. De grafiek e de formule geve de verwachte cotroletijd. De werkelijke cotroletijd bij gebouwe va 1 miljoe euro is ormaal verdeeld met ee gemiddelde va 50 uur. Het blijkt dat bij 25% va deze gebouwe de cotroletijd meer da 60 uur bedraagt. 6p 18 Bereke bij hoeveel procet va deze gebouwe de cotroletijd mider da 35 uur bedraagt. www

9 Zes gooie Bij sommige spelletjes moet ee speler eerst met ee dobbelstee ee zes gooie voordat hij verder mag spele. Soms gooit zo speler al i de eerste worp ee zes, maar soms gooit hij bijvoorbeeld pas i de 10e worp ee zes. I oderstaade tabel zie je ee begi va ee overzicht va de kase om pas a ee bepaald aatal worpe de eerste zes te gooie. Deze kase zij afgerod op vier decimale. tabel 1 Aatal worpe P(1e keer zes bij -de worp) 0,1667 0,1389 0,1157 0,0965 I de tabel zie je bijvoorbeeld dat de kas om pas i de 4e worp de eerste zes te gooie afgerod 0,0965 is. 4p 19 Bereke de kas om pas i de 7e worp de eerste zes te gooie. Er bestaat ee recursief verbad tusse de kase om bij de -de worp voor de eerste keer zes te gooie. I dat recursieve verbad wordt P uitgedrukt i P 1. Hierbij is P de kas om de eerste zes te gooie bij de -de worp. 3p 20 Geef dat recursieve verbad. De verwachtigswaarde E va het aatal worpe dat odig is om de eerste zes te gooie ka worde bereked met de formule: E = 1 P + 2 P + 3 P + 4 P Deze berekeig gaat oeidig ver door. Je kut de waarde va E beadere door de berekeig a ee aatal terme te stoppe. De uitkomst die je krijgt door te stoppe a terme, oeme we S. Hiervoor geldt dus de formule: S = 1 P + 2 P + 3 P P Bereked ka worde dat S30 5,8483. S 31 ku je berekee met behulp va de waarde va S 30. 4p 21 Bereke S 31. www