PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

Transcriptie

1 PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer fugeert als getal e dat i de ordeig va de reële getalle kleier is da ieder positief reëel getal, maar toch groter is da ul Me gebruikt hiervoor de volgede otatie: d, waarbij 0 met 0 bedoeld wordt dat oeidig dicht aar ul adert, maar i feite toch iet gelijk is aa ul Het rekee met ifiitesimale volges welbepaalde regels zou de basis vorme va de hededaagse wiskude via de theorie va afgeleide e itegrale Dit was de grote verdieste va Isaac Newto (64 77) e Gottfried Wilhelm Leibiz (646 76) Ze otwikkelde hiermee de differetiaal- e itegraalrekeig, die daarom ook wel de ifiitesimaalrekeig wordt geoemd Het oorsprokelijke idee va ifiitesimale vide we reeds terug i het werk va Archimedes (87 - vchr) Ee merkwaardig resultaat uit de differetiaal- e itegraalrekeig is het volgede: voor ee cirkel met straal r geldt: de oppervlakte S πr² e de omtrek P πr ds e P dwz ( πr²)' πr ; dr voor ee bol met straal r geldt: 4 het volume V πr³ e de oppervlakt e S 4πr ² 3 ' dv 4 e S maw πr³ 4πr² dr 3 We toe het resultaat aa voor ee cirkel Voor ee bol ka me op ee aaloge maier te werk gaa We eme aa dat de formule voor de oppervlakte va ee cirkel geked is : S πr² We toe aa dat de formule voor de omtrek hieruit ka worde afgeleid Beschouw ee cirkel met straal r e ee tweede cirkel met hetzelfde middelput, maar met ee iets grotere straal: r De oppervlakte va de smalle rig tusse beide cirkels is da gelijk aa S π(r )² - πr² Kippe we deze rig door, loodrecht op de rad e aar het middelput toe, da krijge we bij beaderig ee rechthoek waarva de legte gelijk is aa de cirkelomtrek P e waarva de breedte is De oppervlakte va deze rechthoek is dus gelijk aa P Paradoe 9 dr Luc Gheyses

2 Hieruit volgt dat P π(r )² - πr² We vide hieruit ee beaderig voor P : π(r )² πr² P Naarmate kleier wordt, zal de beaderig voor P steeds auwkeuriger worde e i iet zelfs perfect, maw π(r )² πr² π( )² πr P 0 0 ( π πr) πr 0 Merk op dat π(r )² πr² S P 0 0 ds dr e dit is precies de afgeleide S (r) De formule voor de omtrek va ee cirkel bekome we door de formule voor de oppervlakte af te leide aar r ds Als we vertrekke va πr, dr da hebbe we hier i feite ee differetiaalvergelijkig ds πrdr met de begivoorwaarde S(0) 0 (omdat de oppervlakte va ee cirkel met straal 0 gelijk is aa 0) Da is ds π r dr zodat S πr² c Weges de begivoorwaarde is c 0 De formule voor de oppervlakte va ee cirkel bekome we door de formule voor de omtrek te itegrere aar r Paradoe 9 dr Luc Gheyses

3 De trompet va Torricelli (of: de hoor va Gabriël) De trompet va Torricelli ( ) is ee omweteligslichaam met ee eidige ihoud, maar met ee oeidige oppervlakte Ka ee schilder die trompet ooit helemaal geverfd krijge? Waeer hij ze vol giet, komt hij blijkbaar toe met ee eidig aatal liter verf, maar om ze te schildere heeft hij ee oeidig aatal liter verf odig Laat de fuctie y f () wetele rod de -as i het iterval [, [ De ihoud va de otstae trompet is da gelijk aa t I π d π π π (0 ) π ² t t t De ihoud va de trompet is dus eidig Paradoe 9 dr Luc Gheyses 3

4 Om de mateloppervlakte va de trompet te berekee, kue we die verdele i rige met straal r f () e breedte d De oppervlakte S is da gelijk aa S πrd π d π [ l ] π( 0) maw de mateloppervlakte S is oeidig groot, Paradoale schelpe Laat de hyperbool ² y² wetele om de -as e bereke de ihoud va de schelp aa de rechterkat i het iterval [,]: I π y² d π (² )d ³ π 3 8 4π π Met behulp va ee bepaalde itegraal berekee we u de ihoud va twee eve grote schelpe door de ihoud va het omweteligslichaam te berekee i het iterval Paradoe 9 dr Luc Gheyses 4

5 [-,] Op die maier telle we i feite bij I de ihoud op va de schelp die symmetrisch ligt tov de y-as I π y² d π (² )d ³ π π π π De dubbele schelp heeft dus ee eve grote ihoud als elk va beide schelpe afzoderlijk Ee paradoale ietberekeig Bereke ta 0 ³ Eerste methode ta ³ ta ta 0 ³ ³ ² ² ² ² 0 ² ² Tweede methode ta ³ si cos 0 ³ cos si cos ² cos 0 ³cos cos ² cos 0 ² cos cos ² cos si ² ² cos si ² 4 cos 4 0 si cos 4 Derde methode Hierbij make we gebruik va de regel va de l Hôpital (H) ( aar de Frase wiskudige Guillaume de l'hôpital ) ta ³ H 0 cos² 3² H si cos ³ 6 si 6 0 cos³ 6 3 Paradoe 9 dr Luc Gheyses 5

6 k (ee som va k terme ) Aaloog is da (ee som va terme ) e dus We leide u beide lede af aar : ² (ee som va terme ) (ee som va keer ) maw I het bijzoder geldt da voor dat Ee oeidige selheid? Ee ladder met ee legte va 3 meter staat op ee horizotale bodem e steut tege ee verticale muur Op ee ogeblik t ligt het steuput A op de muur op ee hoogte y e de afstad va het steuput B va de ladder op de grod ligt op ee afstad va de muur verwijderd We berekee de selheid waarmee het put A aar beede beweegt, waeer de ladder gaat schuive zodat het put B met ee selheid v aar rechts beweegt over de grod Weges de stellig va Pythagoras is y 9 ² We leide beide lede af aar t: Paradoe 9 dr Luc Gheyses 6

7 Hierbij is d dy dt dt 9 ² d v de selheid waarmee het put B aar rechts verschuift, zodat dt dy v dt 9 ² dy I deze uitdrukkig stelt de selheid voor waarmee het put A aar beede beweegt dt Waeer adert tot 3, dwz waeer het put A de grod adert, wordt dy dt v 3 9 ², maw de top va de ladder zal oeidig sel omlaag bewege 0 We berekee de obepaalde itegraal d met behulp va partiële itegratie Stel Stel u, da is du d ² dv d, da is v Bijgevolg is d d d ² Hieruit volgt da dat d d, e bijgevolg is 0 si² cos² 0 si cos d si cos d si dsi cos d cos si ² c cos ² c si² cos² 0 Paradoe 9 dr Luc Gheyses 7

8 ta ² 0 cos² si si d( cos ) si 3 0 d d d cos cos³ cos ³ cos³ cos cos² d cos ta d ta cos ta ² c c cos ² ta ² Bijgevolg is ta ² 0 cos² Ee merkwaardige iet Bereke Eerste pogig Als adert aar, da adert aar 0 Bijgevolg is e voor alle reële waarde va is De gezochte iet is daarom gelijk aa Tweede pogig Voor alle strikt positieve waarde va is a > e omdat a > is, zal a De gezochte iet is bijgevolg Derde pogig Met behulp va ee grafische rekemachie cotrolere we dat,78 Dit blijkt het getal va Euler te zij: e,788 Paradoe 9 dr Luc Gheyses 8

9 Paradoe 9 dr Luc Gheyses 9 Nog ee merkwaardige iet Bereke 3 Eerste pogig Als adert aar, da adert k aar 0, voor alle reële waarde va k Omdat de iet va ee som va terme gelijk is aa de som va de iet va deze terme afzoderlijk is de uiteidelijke ietwaarde va deze uitdrukkig gelijk aa 0 Tweede pogig Beschouw de fuctie () f e bereke de odersom over het iterval [0,], waabij dit iterval wordt oderverdeeld i gelijke deelitervalle We bepale hiervoor de oppervlakte va de rechthoeke O, O, O 3,, O (zie oderstaade figuur) f O f O

10 O 3, e 3 O (telkes via aaloog rekewerk) Volges de defiitie va de bepaalde itegraal is da 3 d [ l( ) ] 0 l 0 Merk op dat dit wel de correcte waarde is va deze iet Bij de eerste pogig werd er immers gee rekeig gehoude met het feit dat i het geval dat aar adert er metee ook oeidig veel terme opduike i de som Paradoe 9 dr Luc Gheyses 0