Rijen. 6N5p

Transcriptie

1 Rije 6N5p 0-03

2 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka f ( x ) ook (bija) alle waarde aaeme. Als je x = 3,459 eemt, da is f (3,459) = 5 3, ,459 3 = 6, Ee fuctie of formule is cotiu, tusse twee waarde die igevuld kue worde, ka er steeds ee tusseliggede waarde uitgereked worde. Bij het rekee met rije is dit meestal iet zo. I ee rij kijke we aar het volgummer e de waarde die daarbij hoort. Bie éé rij kue maar bepaalde waarde voorkome. De waarde verlope met stapjes, ee rij is discreet. I de praktijk kome cotiue waarde vaak voor, dek bijvoorbeeld aa de temperatuur, die verloopt iet i stapjes maar ka elke waarde aaeme, atuurlijk wel bie bepaalde greze maar elke tusseliggede waarde is i pricipe mogelijk. Meer voorbeelde va cotiue groothede zij gewicht, selheid, legte, etc. Voorbeelde va discrete groothede zij bijvoorbeeld het aatal wolve i ee bos, het aatal bacterië i ee kweek, het bedrag op ee rekeig, etc. Al deze groothede verlope i stapjes, er zij gee tusseliggede waarde mogelijk. Immers 0,5 wolf bestaat iet, ee bedrag va 50,004 euro zul je ooit op ee bakrekeig zie, etc. Ee rij is dus ee discrete verzamelig getalle. De rije die voor de wiskude het meest iteressat zij, zij de rije waari ee bepaalde regelmaat zit. We kue deze rije da ook beschrijve met ee bepaalde formule e hiermee verder rekee e voorspellige doe over het verloop va de rij. Je kut hierbij deke aa de eerder geoemde voorbeelde zoals ee dierepopulatie, ee bedrag op ee rekeig, auïteite (hypotheke) e dergelijke. Ekele afsprake e otaties Ee rij bestaat uit getalle die je achter elkaar op kut schrijve. Het eerste getal geve we meestal het ummer 0, het volgede getal krijgt ummer ezovoorts. Elk idividueel getal oeme we ee term va de rij. De eerste term i de rij is dus term ummer 0, het tweede getal is term ummer, ezovoorts. De terme worde aagegeve met ee letter, vaak is dit de letter u of v. Het bijbehorede ummer wordt als idex aa de letter toegevoegd. u 3 is dus de vierde term i de rij u, e v 0 is dus de eerste term i de rij v. oefeig Gegeve is de rij u. Hieroder staa de eerste 5 terme i tabelvorm: u a Kijk of je ee regelmaat kut otdekke e geef de zesde term va de rij u. b Geef ook u 6 e u 7. c Bereke de 0 e term va deze rij. d Probeer ook ees de 00 e term va de rij de berekee.

3 oefeig Gegeve is de rij v :,,, 3, 5, 8, 3,. I deze rij ku je de volgede term berekee door de som va de twee voorgaade terme te eme. + = is de derde term, + = 3 is de vierde term, + 3 = 5 is de vijfde term, etc. I wiskudige otatie: v = v 0 + v, v 3 = v + v, v 4 = v + v 3, Deze rij wordt de rij va Fiboacci geoemd. a bereke u de zevede term va deze rij. b c bereke ook de 0 e term va deze rij. Ku je ook de 00 e term berekee? Zo ja, bereke da de 00 e term. Zo ee, leg uit waarom dit iet ka. Formules bij rije Bij de voorgaade oefeige heb je ee regelmaat i de rij getalle gezie, bij oefeig bereke je de volgede term door de voorgaade term te eme e er 5 bij te telle. Bij oefeig is de regelmaat al gegeve! recursieve formules Bij veel rije ku je ee term uitrekee door gebruik te make va de voorgaade term. eme we de rij u: 5,, 9, 6, 33, 40, Je kut da bijvoorbeeld u 5 uitrekee door u 4 te eme e er 7 bij te telle: u 5 = u u 6 = u : : De de term (u ) ku je dus uitrekee door de voorgaade term (u - ) te eme e er 7 bij te telle: u = u Dit is de formule die bij de gegeve rij hoort maar aa deze formule heb je iets als je iet weet wat de eerste term va de rij is. Je kut immers de tweede term iet berekee als je de eerste term iet weet! Deze soort va formules oeme we recursieve formules. Dit zij dus formules om ee willekeurige term va ee rij te berekee met behulp va éé of meerdere voorgaade terme. Bij ee recursieve formule moet altijd ee (of meerdere) begiterm(e) gegeve worde. De volledige recursieve formule is dus: u = u met u 0 = 5 oefeig 3 Gegeve is de rij u = u - + 0, met u o = a Geef de eerste drie terme va deze rij. b Bereke de 0 e term. oefeig 4 Gegeve is de rij u = u -, met u 0 = a Bereke de eerste drie terme va deze rij. b Bereke de 5 e term va deze rij. oefeig 5 Gegeve is de volgede rij:, 5, 8,, 4, 7, Geef de (recursieve) formule die bij deze rij hoort. oefeig 6 Gegeve is de volgede rij:, 6, 8, 54, 6, 486, Geef de recursie-formule die bij deze rij hoort.

4 directe formules Zoals je i het voorgaade wel otdekt hebt zij recursieve formules iet altijd eve hadig. Als je de 00 e term uit wilt rekee da moet je de voorgaade 99 terme eerst uitrekee. Het is vaak hadiger om met ee directe formule te werke als dat ka. Je kut da metee de term uitrekee. We kijke weer aar de rij u: 5,, 9, 6, 33, 40, De directe formule bij deze rij is: u = De 00 e term is sel uitgereked: u 99 = = 698 oefeig 7 Gegeve is de directe formule: u = + 4 a Geef de eerste 5 terme va deze rij. b Bereke de 0 e term, c Bereke de 00 e term. Formules make Het is iet altijd eevoudig om bij ee gegeve rij ee formule te bedeke. Dit geldt voor zowel recursieve formules als voor directe formules. oefeig 8 Probeer voor de volgede rije ee recursieve formule te vide: a 3, 6, 9,, 5,.... b, 6, 8, 54,.... c 3, 8, 8, 38, 78,..... oefeig 9 Probeer voor de volgede rije ee directe formule te vide: a 3, 6, 9,, 5, b 0, 07,, 7,.... c, 4, 9, 6, 5, d 4, 8, 6, 3, 64, Bij de voorgaade opdrachte heb je gezie dat het iet altijd eve makkelijk is om ee formule te vide. Bij sommige type va rije is er wel makkelijk ee formule te vide. We kijke daarom eerst aar twee type va rije; de rekekudige rij e de meetkudige rij.

5 Rekekudige rije. Bij ee rekekudige rij is het verschil tusse twee opeevolgede terme steeds gelijk. De volgede rije zij daarom rekekudige rije:, 4, 6, 8, , 44, 44, 434, 444,.... Als we dit verschil v oeme e de begiterm is b, da is recursieve formule va ee rekekudige rij: u = u - + v met u 0 = b e de directe formule bij ee rekekudige rij is da: u = b + v Voorbeeld Gegeve is de rij 404, 44, 44, 434, 444,.... Gevraagd zij de recursieve formule e de directe formule. De begiterm b = 404 e het verschil v = 0 De recursieve formule: u = u met u 0 = 404 De directe formule: u = oefeig 0 Gegeve is de rij 3, 8, 3, 8, 33,... a Leg uit waarom dit ee rekekudige rij is. b Geef ee recursieve formule bij deze rij. c Geef ook ee directe formule bij deze rij. d Bereke de 38 e term va deze rij. e Probeer te otdekke welke term 633 is. oefeig Gegeve is de rij u = 3 a Waarom is dit ee rekekudige rij? b Geef b e v. c Stel ee recursieve formule bij deze rij op. oefeig Gegeve is de rij met u = u - 4 met u 0 = 5 a Stel ee directe formule bij deze rij op. b Bereke u 8. c Bereke de e term va deze rij d Vaaf de hoeveelste term is u egatief?

6 Meetkudige rije Bij ee meetkudige rij is de factor waarmee vermeigvuldigd wordt steeds dezelfde. Elke term wordt steeds met hetzelfde getal vermeigvuldigd om de volgede term te berekee. De volgede terme zij daarom meetkudige rije:, 3, 6,, 4,...., 8, 3, 8, 5, 048,... De begiterm oeme we weer b, Het getal waarmee vermeigvuldigd wordt, de factor of rede duide we aa met de letter r. De recursieve formule bij ee meetkudige rij wordt da: u = r u - met u 0 = b De directe formule bij ee meetkudige rij wordt u: u = b r Voorbeeld Gegeve is de rij 3,, 48, 9,... Gevraagd zij de recursieve formule e de directe formule. De begiterm b = 3 e de factor (of rede) r = 4 De recursieve formule: u = 4 u - met u 0 = 3 De directe formule: u = 3 4 oefeig Gegeve is de rij 50, 500, 800, 60, 59,... a Waarom is dit ee meetkudige rij? b Geef de directe formule va de rij u. c bereke u 0 i gehele auwkeurig. d Berke de 3 e term. Rod af op hele. e Vaaf welke is u groter da 5000? oefeig 3 Gegeve is de rij u =,5 u - met u o = 500 a Waarom is dit ee meetkudige rij? b Stel de directe formule op. c Bereke de tiede term, rod af op twee decimale. d Vaaf welke is u groter da 00000? oefeig 4 Elk va de volgede rije is ee meetkudige of rekekudige rij. De gegeve terme zij (zoodig) afgerod op twee decimale. Geef va elke rij de recursieve formule e de directe formule. a 00, 07,5, 5,,5, 30,... b 00, 07,5, 5,56, 4,3,... c 00, 9,5, 85,56, 79,5, 73,,... d 00, 9,5, 85, 77,5, 70,...

7 oefeig 5 Stel de directe formule op va de volgede rije: a u = 0,5 u - met u 0 = 00 b u = 3,5 + u - met u 0 = 50 c u u = met u 0 = 4 oefeig 6 Rosalie opet ee spaarrekeig op jauari 003 e stort metee 00,- op haar rekeig. De bak geeft ee jaarlijks retepercetage va 5% per jaar. a Geef de recursieve e de directe formule va het bedrag op deze spaarrekeig. b I welk jaar is het bedrag verdubbeld? Het duurt Rosalie te lag voordat het bedrag is verdubbeld. Ze stort daarom vaaf jauari 004 jaarlijks ee bedrag va 50,- op haar spaarrekeig. c Geef bij deze situatie ee recursieve formule. d I welk jaar is i deze situatie het tegoed va 00,- verdubbeld? oefeig 7 Va ee rekekudige rij is u = 3 e u 5 = 8. Stel de directe formule op va deze rij. oefeig 8 Va ee meetkudige rij is u 6 = 600 e u = 500 Stel de directe formule va u op. oefeig 9 Gegeve is de recursieve formule u =,8 u - met u o = 00 a Bereke de vierde term va deze rij b Bereke u 50. oefeig 0 Va ee rij is u 3 = 6 e u 8 = 6384 a Als je aaeemt dat de rij u ee rekekudige rij is, wat is da de directe formule? b Als je aaeemt dat u ee meetkudige rij is, wat is da de directe formule?

8 Somrije Gegeve is de rij, 5, 9, 3, 7,,... Je kut u de somrij opschrijve:, 6, 5, 8, 45, 66,... Dit is de rij va getalle waarva de de term de som va de eerste '' terme uit de rij weergeeft. De somrij wordt meestal aagegeve met S Voorbeeld: De (recursieve) formule bij ee rij is gegeve: u = u met u o = 0 Gevraagd zij de eerste 5 terme va S. Eerst de eerste 5 terme va u opschrijve: 0, 3, 6, 9,,... Nu de terme va S berekee: S 0 = 0, S = = 3 S = = 39 S 3 = = 58 S 4 = = 80 oefeig Gegeve is de rij met directe formule u = 3 + a Bereke S. b Bereke ook S 4. oefeig Gegeve is de meetkudige rij u 3 = a Bereke S. b Bereke ook S 4. Directe formule va ee somrij Voor het opstelle va de directe formule va ee somrij moet je eerst wete of de rij ee rekekudige rij of ee meetkudige rij is. Voor ee rekekudige rij geldt: S = aatal terme (eerste term + laatste term) ofwel S ( )( ) = + u 0 + u Voor ee meetkudige rij geldt: u0 u+ S = r ofwel S b = r + ( r ) Voorbeeld: Gegeve is de rij met u = 5 +. Gevraagd is S 0 te berekee e daara de som va de eerste 40 terme. Het gaat hier om ee rekekudige rij dus u 0 = e u 0 = = 0 e dus is S 0 = (0+ )(+ 0) = 09 De som va de eerste 40 terme is S 39, u 39 = = 97 e S 39 = (39 + )( + 97) = 3980

9 Voorbeeld: Gegeve is de rij met u 3,5 = Gevraagd is S 6 e de som va de eerste 0 terme 7 3(,5 ) Het gaat hier om ee meetkudige rij dus S6 = = 09, 5,5 9 3(,5 ) De som va de eerste tie terme is S9 = = 365, 565,5 oefeig 3 Gegeve is de rij u = 0 + a Bereke S 0 b Bereke de som va de eerste 0 terme oefeig 4 Gegeve is u = 0,5 + 9 Bereke de som va de eerste terme oefeig 5 Gegeve is u = u met u 0 = 0 Bereke de som va de eerste 5 terme oefeig 6 Gegeve is u = u - 4 met u 0 = 5 Bereke S 5 oefeig 7 Gegeve is u 00, = Bereke S 5 oefeig 8 Gegeve is u 00 0,98 = Bereke de som va de eerste 5 terme oefeig 9 Gegeve is u =, 45 u met u 0 = 50 Bereke S oefeig 30 Gegeve is de rij met u = 0, u - met u 0 = 0000 Bereke de som va de eerste 5 terme oefeig 3 Bereke (e rod zoodig af op 3 decimale): , ,98696 oefeig 3 Bereke (e rod zoodig af op 3 decimale): oefeig 33 Bereke (e rod zoodig af op 3 decimale):,06 +,06 +,06 3 +, ,06

10 oefeig 34 Bereke (e rod zoodig af op 3 decimale): oefeig 35 I éé va de hoeke va ee voetbalstadio bevidt zich het bezoekersvak K. Op de oderste rij va dit vak zij er zitplaatse. Elke volgede rij heeft 4 zitplaatse meer da de rij daaroder. I totaal zij er rije. Er worde miimaal 500 supporters verwacht. Laat met ee berekeig zie of deze supporters allemaal i vak K kue zitte of iet.