WPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten

Transcriptie

1 WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte

2

3 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je de grafiek va de rij u. Wat stel je vast? u Naarmate groter e groter wordt, wordt u kleier e kleier. De rij (u ) divergeert aar. Ispireer je op het bovestaad voorbeeld om op strikt wiskudige wijze aa te toe dat deze rij u divergeert aar, of og, lim u. + We kieze ee willekeurig strikt egatief getal p. We gaa a of er ee termummer N ka gevode worde zo dat voor N geldt : u < p. Vermits u kue we de ogelijkheid u < p omvorme tot ee ogelijkheid tusse e p. u < p < p > p > p > Neme we ee atuurlijk getal N met N p, da geldt : IN 0 : N u < p.

4 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 7 Covergetie/divergetie va de rij (q ) met q R Oderzoek met PC / GRT de covergetie / divergetie va de rij met algemee term u. lim Wat besluit je voor lim q met q >? + u Naarmate groter e groter wordt, wordt u + + De rij u divergeert aar. lim. + > + Algemee : lim q met q is gelijk aa. + groter e groter. Wat besluit je voor lim q met q <? + Oderzoek de covergetie / divergetie va de rij met algemee term u. Pas dezelfde werkwijze toe als hierbove. u 4

5 Naarmate groter e groter wordt, schommelt u steeds meer e meer. ( ) De rij u is diverget. lim bestaat iet. + Algemee : lim q met q < bestaat iet. + Oderzoek de covergetie / divergetie va de rij met algemee term u q met q. Wat besluit je voor lim q met q? + < We wete reeds : lim q 0 met 0 q <. + Als q 0, da is de rij 0, 0, 0,.... Deze rij covergeert aar ul. lim q 0 met q 0. + Als q, da is de rij,,,.... Deze rij covergeert aar éé. lim q met q. + Alsq,daisderij,,,,,,.... Deze rij is diverget. lim q bestaat iet met q. + Stel q. We make ee tabel va de rij. Deze rij covergeert aar ul. lim q 0 met q. + Algemee : lim q 0 met < q < 0. + Besluit lim q bestaat iet als q ; + lim q 0 als < q < ; + lim q als q. + 5

6 Formuleer u ee algemee besluit i verbad met de covergetie / divergetie voor de rij met algemee term u q met q lr. lim q bestaat iet als < q ; + De rij u lim q 0 als < q < ; + lim q als q ; + lim q + als < q <+ ; + is diverget. De rij u covergeert aar 0. De rij u covergeert aar. De rij u divergeert aar +. 6

7 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 9 Covergetie va de rij ( u ):, +, + +,... Beschouw de vorige rij u :, +, + +,.... De recursieve formule voor de algemee term va deze rij is u + u met > e u. Neem de limiet va beide lede, voor gaade aar +. Welke vergelijkig bekom je als je stelt : lim u + Los deze vergelijkig op. Wat bekom je voor lim u? Naar welk getal covergeert de rij u + a met a lr?? Ga deze vaststellig a met je PC / GRT. + u + u lim u lim + u + lim u lim + u + + lim u lim + u + lim u + lim u + We wete reeds dat de rij u () covergeert. Stel lim u a met a R. Da is ook lim u a. a a a a 0 + l + Vergelijkig () wordt : a + a. We bekome ee irratioale vergelijkig i a. a + a BV : + a 0 a KV : a 0 + a of a voldoet aa BV e KV, maar voldoet iet aa KV. Besluit lim u. De rij u covergeert aar. 7

8 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 48 Covergetie/divergetie va de quotiëtrij Beschouw de rije u e v met algemee terme u e v 0. Oderzoek de covergetie / divergetie va de rije u, v e. v Maak gebruik va PC / GRT. u v Too aa dat de rij covergeert aar 0. u We stelle vast : De rije u e v divergere beide aar +. u v De rij covergeert aar 0. We toe aa dat de quotiëtrij covergeert aar 0. u + v lim lim lim 0 < < 5 u Zoek twee rije ( u) e ( v) die beide aar + divergere zo dat de rij ook v aar + divergeert. + Is het zivol om i lr te defiiere? + Beschouw de rije u e v met algemee terme u 0 e v. Beide rije divergere aar +. 8

9 u 0 lim lim lim v + + u v De rij divergeert aar. + ( < 5 <+ ) + + I vorig geval was gelijk aa 0 e u is gelijk aa Hierdoor is het iet zivol om te defiiere i lr. + 9

10 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 57 Covergetie/divergetie va ee rekekudige rij Beschouw ee RR rij met verschil v. Bepaal lim u ( ) Maak hierbij oderscheid tusse v 0 e v 0. Waeer covergeert / divergeert ee RR?. v 0 lim u lim u + v lim u + lim v u + lim v Alsv> 0,daislim v +.Bijgevolgislimu +. De RR divergeert aar +. + Als v < 0, da is lim v. Bijgevolg is lim u De RR divergeert aar.. v 0 DeRRisu,u,u,... + limu limu u. + De RR covergeert aar u. +. Bepaal lim s. + Maak hierbij eveees oderscheid tusse v 0 e v 0. Waeer covergeert / divergeert de somrij?. v 0 u + u lim s lim + + u + u + v lim + 0

11 u + v lim + + lim u v v + + lim v u v + lim v + u v + lim lim v + u v lim lim v u v + + lim lim v lim u v v lim + Als v > 0 da is v lim +. Als v < 0 da is v lim. + + Als v > 0 da divergeert de somrij aar +. Als v < 0 da divergeert de somrij aar.. v 0 DeRRisu,u,u,... lim s + lim u + Als u > 0, da is lim s +. De somrij divergeert aar +. + Als u < 0, da is lim s. De somrij divergeert aar. + Als u 0, da is lim s lim u lim 0 lim De somrij covergeert aar 0. Besluit Voor ee rekekudige rij (u ) geldt: - De rij covergeert aar u als v 0. - De rij divergeert aar + of aar als v 0. - Als iet alle terme 0 zij, da divergeert de somrij aar + of aar. - De somrij va de ulrij covergeert aar 0.

12 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 59 Covergetie/divergetie va ee meetkudige rij Oderzoek de covergetie / divergetie va ee MR achtereevolges voor < q <, q,q > e q.. < q < lim u lim u q u lim q u De MR covergeert aar 0.. q DeMRisu,u,u,... lim u lim u u. + De MR covergeert aar u.. q > + + lim u lim u q Als u u lim q + u + 0, da is lim u +. De MR divergeert aar +. > + Als u < 0, da is lim u. De MR divergeert aar q lim u + bestaat iet. De MR is diverget. Oderzoek telkes op dezelfde wijze de covergetie / divergetie va de somrij.

13 . < q < q lim s lim u + q + u q lim [ 0] ( q ) + u q lim + + u q u q lim q De somrij covergeert aar. u q. q DeMRisu,u,u,... + lim s lim u. + () Als u 0, da is lim s > De somrij divergeert aar +. Als u < 0, da is lim s. De somrij divergeert aar. Als u 0, da is lim s lim u lim 0 lim De somrij covergeert aar 0.. q > q lim s lim u + q + u q lim ( q ) + u q lim + + u q + u q u + lim q ( < ) q 0

14 Als u > 0, da divergeert de somrij aar +. Als u < 0, da divergeert de somrij aar. 4. q Als u 0, da geldt : lim s bestaat iet. De somrij is diverget. + Als u 0, da geldt : lim s 0. De somrij covergeert aar 0. + Besluit Ee meetkudige rij covergeert aar 0 als < q <. Ee meetkudige rij covergeert aar u als q. De ulrij covergeert aar 0. I alle adere gevalle divergeert de meetkudige rij. Als iet alle terme ul zij, da covergeert de somrij va de meetkudige rij aar q als < q <. De somrij va de ulrij covergeert aar 0. I alle adere gevalle divergeert de somrij. u 4

15 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 6 Toepassig : km lope i ee welbepaalde tijd Als hulp ka je ook bordjes plaatse met de reeds afgelegde afstade (i km) : 7, +, + +,..., of og,,,, Dit is de somrij va de meetkudige rij,,,, Welk getal beadere de terme va de somrij als de termummers groter e groter worde? Verklaar. Uit de situatie leide we omiddellijk af dat de terme va de somrij adere tot. Wille we dit og ader verklare, da merke we op dat de rij,,,,... ee MR is met u e q. ] [ u Omdat q, is lim s. + q De somrij ( s ) covergeert aar. 5

16 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 87 Liker- e rechterlimiet va ee fuctie i a met a R Bepaal lim idie mogelijk. ( ) Teke eerst de grafiek va f. ( ) Oderzoek lim e lim. ( ) ( ) > < Wat is je besluit voor lim? ( ) Too deze resultate aa met behulp va de defiitie. We tekee de grafiek va f i het vester, 4 op, 6. ( ) [ ] [ ] Uit de grafiek leide we af : lim + e lim +. Bijgevolg is lim +. ( ) ( ) ( ) > < We oderzoeke lim ( ) met behulp va rije. Kies ee willekeurige rij met lim. + Als we de rekeregels toepasse, leidt lim tot de obepaalde vorm. + 0 ( ) Neem de rij ( ) met algemee term +. Deze rij covergeert lags de rechterkat aar. 6

17 Voor de beeldrij ( f ( )) geldt : lim f ( ) lim > ( ) ( ) + + lim + lim + + Hetzelfde resultaat bekome we voor elke rij die lags de rechterkat aar covergeert. Besluit : lim +. + Neem de rij ( ) met algemee term +. Deze rij covergeert lags de likerkat aar. Voor de beeldrij ( f ( )) geldt : lim f ( ) lim ( ) + + lim + + lim + + Hetzelfde resultaat bekome we voor elke rij die lags de likerkat aar covergeert. Besluit : lim +. < ( ) Uit lim + e lim + volgt dat lim +. ( ) ( ) ( ) < > 7

18 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 88 Limiet va ee fuctie i + of i Too aa met behulp va rije dat lim +, lim + e lim. + Je ka het grafisch reketoestel als hulpmiddel gebruike. [ ] [ ] We tekee de grafiek va f i het vester 4, 4 op, 0. Uit de grafiek leide we af : lim +. We toe met behulp va rije dat lim +. Besluit : lim +. Kies ee willekeurige rij met lim. + ( ) Voor de beeldrij f geldt : lim f lim + + ( lim ) + + [ ] [ ] We tekee de grafiek va f i het vester 4, 4 op 6, 6. 8

19 Uit de grafiek leide we af : lim + e lim. + We toe met behulp va rije dat lim +. + Besluit : lim +. + Kies ee willekeurige rij met lim +. + ( ) Voor de beeldrij f geldt : lim f lim + + ( lim ) We toe met behulp va rije dat lim. Besluit : lim. Kies ee willekeurige rij met lim. + ( ) Voor de beeldrij f geldt : lim f lim + + ( lim ) + 9

20 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 9 Isluitstellig bij limiete va fucties si Too aa met behulp va de isluitstellig dat lim 0. + lr : si si lr 0 : lim lim ( isluitstellig) si lim 0 + 0

21 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee ratioale fuctie i + e i Vergelijkig va het gedrag va f e g ( ) + + i + e i leert : lim f lim g e lim f lim g. Algemee + + De limiet va ee ratioale fuctie i + of i is gelijk aa de limiet va het quotiët va de hoogstegraadsterm va de teller e de hoogstegraadsterm va de oemer i + of i. Bewijs deze veralgemeig door ee aaloge redeerig toe te passe als bij limiete va veeltermfucties. Stel f We toe : lim f ( ) lim. + + m bm + g h +. Hierbij zij g e h veeltermfucties met h verschilled va de ulfuctie. g a + a a + a Dus f ( ). h b b... b b lim f lim g lim + h a 0 m m m + m a + a a + a 0 m m m + m b b... b b a a a0 a a a a lim + m bm b b0 bm m m bm bm bm a a a a a a a lim + b 0 m b m m b b m m bm bm bm ( beide limiete bestaa e het product is steeds gedefiieerd) a a a a a a a lim + b 0 lim m + b m m b b m m bm bm bm

22 a lim + m bm a lim + m bm a lim + b m m a Aaloog : lim f ( ) lim. m bm

23 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 05 r De obepaaldheid met r lr 0 Bereke lim Cotroleer je resultaat met PC / GRT., idie mogelijk. Stel f lim f ( ) lim lim ( )( ) 4 lim ( )( )( + ) 4 lim ( ) ( + ) lim lim 4 4 ( ) ( + ) + ( ) < < 4 lim lim < + < lim lim 4 4 ( ) ( + ) + ( ) > > 4 lim lim > + >

24 Besluit < > lim f lim f + lim f + + Cotrole met TI-8 Plus De fuctiewaardetabel toot duidelijk dat lim f +. We tekee de grafiek va f i het vester [, 5] op [ 5, 5]. De grafiek toot duidelijk dat lim f +. Cotrole met Derive 5 4

25 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiete va goiometrische fucties si ta I de theorie toode we reeds aa : lim e lim. 0 0 Too u verder aa : lim 0 ta lim ta ta ta lim 0 lim lim si r lim met r l R 0 r Stel r t. Als 0 da t 0. si r si t Bijgevolg is lim lim. 0 r t 0 t ta r lim met r l R 0 r Stel r t. Als 0 da t 0. ta r ta t Bijgevolg is lim lim. 0 r t 0 t r lim met r l R 0 ta r

26 r lim ta r ta r ta r lim r 0 r lim lim a si lim met a l R a a a Stel t. Als a da t 0. a si si t Bijgevolg is lim lim. a a t 0 t 6

27 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 5 Verticale asymptoot Bepaal de verticale asymptote va f ( ) ta e f ( ) cot. π π + kπ + kπ < > We bepale de verticale asymptote va f ta. si ta cos π cos 0 + kπ met k Er geldt : lim ta + e lim ta. π Voor elke k is de rechte met vergelijkig + kπee verticale asymptoot va f. De tagesfuctie heeft oeidig veel verticale asymptote. kπ kπ < > We bepale de verticale asymptote va f cot. cos cot si si 0 kπ met k Er geldt : lim cot e lim cot +. Voor elke k is de rechte met vergelijkig kπee verticale asymptoot va f. De cotagesfuctie heeft oeidig veel verticale asymptote. 7

28 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 7 Horizotale asymptoot si Teke de grafiek va f ( ). Wat stel je vast voor gaade aar + e voor gaade aar? Bepaal de evetuele horizotale asymptote. si si We stelle vast dat lim 0 e lim 0. + De -as is de horizotale asymptoot va f (i + e i ). 8

29 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 4 Schuie asymptoot Bepaal de evetuele schuie asymptote va f si si. Hoeveel schuie asymptote heeft ee iet-costate periodieke fuctie? f si si dom f lr + f si si a lim lim + + Voor gaade aar + blijft si si variere met positieve e egatieve waarde [ ] i het iterval,76... ;, si si Bijgevolg is lim 0. + fheeftgeeschuie asymptoot i +. f si si a lim lim Voor gaade aar blijft si si variere met positieve e egatieve waarde [ ] i het iterval,76... ;, si si Bijgevolg is lim 0. fheeftgeeschuie asymptoot i. De fuctie f ( ) si si heeft gee ekele schuie asymptoot. Algemee Elke iet-costate periodieke fuctie heeft gee ekele schuie asymptoot. 9

30 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 69 Afgeleide va ee fuctie i ee put Gegeve :f 5 Bereke de afgeleide va de fuctie f i, i, i e i 0. We berekee de afgeleide va f i. f ( ) f ( ) ( )( + + ) lim lim 5 5 lim 5 lim( + + ) 5 5 Dus f (). 5 We berekee de afgeleide va f i. 7 f ( ) f ( ) ( )( + + 9) lim lim lim lim( + + 9) Dus f ( ). 5 We berekee de afgeleide va f i. 8 f f ( + )( + 4) lim lim lim lim ( + 4) ( ) Dus f ( ). 5 We berekee de afgeleide va f i 0. f f 0 lim 0 0 lim 5 lim Dus f 0 0. ( ( )) ( ()) Bepaal de vergelijkig va de raaklij aa de grafiek va f i de pute, f,, f,, f e 0, f 0. ( ) ( ) ( Stel co( A), f ( ), co B, f, co C, f e co D 0, f 0 ). 0

31 We bepale de vergelijkig va de raaklij i A. () () t A :y f f t A :y ( ) 5 5 t A :y 5 5 We bepale de vergelijkig va de raaklij i B. t B :y f f 7 7 t B :y ( ) t B :y 5 5 We bepale de vergelijkig va de raaklij i C. C D t :y f f 8 t C :y t C :y We bepale de vergelijkig va de raaklij i D. t D :y f 0 f 0 0 t D :y 0 0 t :y 0

32 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 7 Ogeblikkelijke versellig Va ee beweged voorwerp wordt de selheid v als ee fuctie va de tijd t gegeve door het voorschrift v( t) t + 5 e wordt uitgedrukt i m / s. Oderzoek op ee aaloge wijze als bij de gemiddelde selheid i ee gegeve tijdsiterval, de gemiddelde versellig i ee gegeve tijdsiterval. Oderzoek op ee aaloge wijze als bij de ogeblikkelijke selheid op het tijdstip t, de ogeblikkelijke versellig op het tijdstip t. [ ] [ ] Als tijdsiterval eme we t, of, t. [ ] [ ] De gemiddelde versellig i t, of, t is bepaald door het differetiequotiet q va v i. t t v( t) v( ) t q( t ). t t t t De bijbehorede fuctiewaarde va het differetiequotiet q va v i beadere de versellig va het voorwerp op het tijdstip t steeds meer e meer. De versellig va het voorwerp op het tijdstip t wordt da bepaald door ( t )( t + t+ ) v t v t lim q ( t) lim lim lim lim( t + t + ) t t t Besluit De ogeblikkelijke versellig op het tijdtip t is m / s.

33 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 7 Margiale kost Bij de productie va koffie geldt voor de kostprijs K voor kg : K 0, , Bepaal de margiale kost va de koffieproductie i 000 e i 500. Vergelijk de resultate. We bepale de margiale kost va de koffieproductie i 000. K K 000 Hiertoe berekee we lim lim K K 000 0, , lim Besluit lim ( 000)( 0, , 004 +, 6) 000 lim 0, , 004 +, 6, 5 De margiale kost va de koffieproductie i 000 is,5. We bepale de margiale kost va de koffieproductie i 500. K K 500 Hiertoe berekee we lim lim K K 500 0, , ,5 + lim ( 500) ( 0, , 005 +,5) lim Besluit 500 lim 0, , 005 +,5 0,95 De margiale kost va de koffieproductie i 500 is 0,95. De margiale kost va de koffieproductie i 500 is heel wat kleier da de margiale kost va deze productie i 000.

34 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 77 Fuctie die iet afleidbaar is i ee elemet va haar domei Gegeve : de fuctie f Tekedegrafiekvadefuctief. f als < 0 Het meervoudig voorschrift va de fuctie f ( ) is. f als 0 Grafiek va f Teke de grafiek va het differetiequotiet q va f i 0. f f 0 0 Het differetiequotiet va f i 0 is q ( ). 0 q als < 0 Het meervoudig voorschrift va de fuctie q is. q als > 0 Grafiek va q 4

35 Too aa dat de fuctie f iet afleidbaar is i 0 e verklaar dit grafisch. We berekee de likerlimiet va het differetiequotiet va f i 0. f f 0 0 lim lim lim lim lim < < < < < < 0 f is liksafleidbaar i 0 e f 0. We berekee de rechterlimiet va het differetiequotiet va f i 0. f f 0 0 lim lim lim lim lim > > > > > < 0 > 0 > 0 f is rechtsafleidbaar i 0 e f 0. Uit f 0 f 0 volgt dat f iet afleidbaar is i 0. Dit resultaat is i overeestemmig met de grafiek. I de oorsprog ka me gee uieke raaklij aa de grafiek va f tekee. Er is daar wel ee likerraaklij met vergelijkig y e ee rechterraaklij met vergelijkig y. Dit is i overeestemmig met de eigeschap dat de raaklij i ee put va ee rechte de rechte zelf is. 5

36 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 87 De afgeleide va de cosiusfuctie : f() cos Bewijs dat cos si. Het bewijs is aaloog als bij de afgeleide va de siusfuctie. f cos met dom f lr f f a cos cos a a lr:lim lim a a a a ( formule va Simpso) + a a si si lim a a + a a si si lim a a a si + a lim si a a a si + a lim si lim a a a si a si a Vermits si a l R geldt : f a si a. Door herletterig bekome we f si. Besluit De afgeleide va de cosiusfuctie is het tegegestelde va de siusfuctie. I symbole : cos si 6

37 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 89 Afgeleide va de som va fucties Rekeregel : g h g h ( + ) + ( ) De bovestaade stellig ka je uitbreide voor de afgeleide va de som va meer da twee fucties. De rekeregel voor de afgeleide va de som va drie fucties wordt da: g( ) + h( ) + k( ) g ( ) + h ( ) + k ( ). Bewijs deze rekeregel. + + ( + ) + g h k g h k ( afgeleide va de som va twee fucties) g( ) + h( ) + k ( ) ( afgeleide va de som va twee fucties) + + ( g ( ) h ( ) ) k ( ) g + h + k 7

38 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 9 Afgeleide va het product va fucties Rekeregel : g h g h + g h ( ) De bovestaade stellig ka je uitbreide voor de afgeleide va het product va meer da twee fucties. De rekeregel voor de afgeleide va het product va drie fucties wordt da: g( ) h( ) k( ) g ( ) h( ) k( ) + g( ) h ( ) k( ) + g( ) h( ) k ( ). Bewijs deze rekeregel. g( ) h( ) k( ) g( ) h( ) k ( afgeleide va het product va twee fucties) g( ) h( ) k( ) + g( ) h( ) k ( afgeleide va het product va twee fucties) ( g ( ) h( ) g( ) h ( ) ) k( ) g( ) h( ) k ( ) + + ( ) g h k + g h k + g h k g ( ) h( ) k( ) + g( ) h ( ) k( ) + g( ) h( ) k ( ) 8

39 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 95 Afgeleide va ee machtsfuctie ( z ) z z met z \{ 0,} Too zelf aa dat de bovestaade formule specifiek geldt voor z. We moete aatoe dat lr 0 : ( ) () ( ) ( beide lede afleide aar ) ( lr ) 0 9

40 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 99 Afgeleide va de tagesfuctie e de cotagesfuctie cos si ( ta ) ( cot ) Bewijs de bovestaade formules. si cos Je weet dat ta e cot. cos si ( ta ) si cos ( si ) cos si ( cos ) cos cos cos cos cos cos si si cos + si Besluit : ta cos ( cot ) cos si ( cos) si cos ( si) si si si si si cos cos si si cos Besluit : cot si 40

41 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Hogere afgeleide Gegeve :f Bereke f, f " e f ( ) zoder gebruik te make va PC / GRT. f f f" 4 f Bereke f, f,..., f met PC / GRT. 4

42 ( ) Uit wat voorafgaat ka je ee algemee formule opstelle voor f met,,..., 0. Bepaal deze formule. ( ) ( )! f met,,..., 0 ( ) + Too met behulp va volledige iductie aa dat deze formule algemee geldt voor f met IN. 0 () Basisstap De gelijkheid geldt voor de begiwaarde va, amelijk. ( ) ()! Iderdaad, f ( ) f ( ) + 4

43 () Iductiestap Als de gelijkheid geldt voor k, da geldt de gelijkheid ook voor k +. ( k+ ) ( k) ( ) k+ k k (( ) k! ) k k ( + ) k+ ( k ) k! k k+! We moete aatoe : als f ( ) da is f. k+ k+ Iderdaad, f f k k! k! k k ( ) k! ( )( k+ ) k+ k+ ( ) ( + ) k! k+ k () Besluit ( ) IN :f ( )! 0 + 4

44 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 9 Stijgede, dalede e costate fuctie Gegeve :f Too aa dat dom f : f ( ) 0. dom f lr. 0 + lr 0 :f( ) e lr 0 :f( ) Bijgevolg : lr : f 0 e : R : f 0 0 Besluit : lr : f 0 l Is f ee costate fuctie i dom f? Verklaar. ] [ ] + [ f als,0 f als 0, ] [ ] + [ f is costat i, 0 e f is costat i 0,, maar f is iet costat i l R. Uit f is afleidbaar i dom f met f dat f costat is i dom f. 0, voor alle va dom f, volgt dus iet oodzakelijk 0 44

45 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 4 Absolute e relatieve etrema Oderzoek het strikt stijge e het strikt dale va f. Is f afleidbaar i 0? Bereikt f ee relatief etremum i 0? Bereikt f ee absoluut etremum i 0? We tekee de grafiek va f i het vester [ 5, 5] op [, 5]. Uit de grafiek leide we af : f is strikt daled i ] ] [ + [, 0 e f is strikt stijged i 0,. f is iet afleidbaar i 0, f bereikt ee relatief miimum i 0, f bereikt ee absoluut miimum i 0. Nog eve dit! Het iet-afleidbaar zij va f i 0 ka getood worde met limietrekee. f f 0 lim lim lim lim lim f f 0 lim lim. f is iet liksafleidbaar i < < f f 0 lim lim +. f is iet rechtsafleidbaar i > > f f 0 Besluit : lim 0 0 bestaat iet. f is iet afleidbaar i 0. 45

46 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 7 Grafiek va ee fuctie Bereke de hoek tusse de liker- e de rechterraaklij i 0 va f ( ) +. We tekee de grafiek va f i het vester [ 5, 5] op [, 5]. Uit de grafiek leide we af dat f iet afleidbaar is i 0. Om ee vergelijkig va de liker- e de rechterraaklij i (0, 0) aa de grafiek va f op te stelle, bepale we eerst de liker- e de rechterafgeleide va f i 0. f f 0 + f f 0 + lim lim lim lim < < > > ( + ) ( + ) lim lim 0 0 < > + + lim lim 0 0 < > lim + lim < > f is liksafleidbaar i 0 e f 0. f is rechtsafleidbaar i 0 e f 0. < 0 > 0 We bepale de vergelijkig va de likerraaklij LR e de rechterraaklij RR i 0, 0. LR : y f 0 f 0 0 RR : y f 0 f 0 0 < 0 > 0 LR:y RR:y De richtigscoefficiet va LR is de tages va de helligshoek α va LR. Dus ta α. Hieruit volgt : α 60 + k 80 met k. De figuur toot dat α 0 ( k ). 46

47 De richtigscoefficiet va RR is de tages va de helligshoek β va RR. Dus taβ. Hieruit volgt : β 60 + k 80 met k. De figuur toot dat β 60 ( k 0). Besluit : De hoek tusse LR e RR is Bepaal de grafiek va de kromme met vergelijkig + y 0. + y 0 y + y + of y + De grafiek va de kromme met vergelijkig y 0 is de uie va de grafiek va f e de grafiek va g. Hierbij is de grafiek va g het spiegelbeeld va de grafiek va f om de-as. 47

48 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 9 Regel va de lhospital Gegeve : f cos cos Is f gedefiieerd i ee vermiderde basisomgevig va 0? cos cos Ga a of 0 de vergelijkig is va ee VA. Bereke daartoe lim. 0 We tekee de grafiek va g( ) i het trigoometrisch vester. cos Uit de grafiek va g leide we af dat er ee basisomgevig va 0 bestaat waari g gedefiieerd is. Bijgevolg bestaat er ee vermiderde basisomgevig va 0 waari f gedefiieerd is. cos cos Om a te gaa of 0 de vergelijkig is va ee VA berekee we lim. 0 si cos cos H lim lim cos si si si lim cos 0 si cos cos si cos cos H lim cos 0 cos cos + cos lim cos 0 si cos 48

49 Besluit 0 + De rechte met vergelijkig 0 is gee VA voor de grafiek va f. We tekee de grafiek va f. De grafiek is duidelijk i overeestemmig met de gevode resultate. 49

50 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 94 Verselde e vertraagde rechtlijige bewegig Als v e a hetzelfde teke hebbe, da is de bewegig verseld e als v e a ee tegegesteld teke hebbe, da is de bewegig vertraagd. Bewijs deze eigeschap.. v > 0 e a > 0 Uit v > 0 volgt dat de grafiek va v bove de t-as ligt. Uit a v t > 0 volgt dat v strikt stijged is. De grafiek va v heeft dus oderstaad model : De grafiek va v is teves de grafiek va v. Daar de absolute waarde va de selheid toeeemt met de tijd, is de bewegig verseld.. v < 0 e a < 0 Uit v < 0 volgt dat de grafiek va v oder de t-as ligt. Uit a v t < 0 volgt dat v strikt daled is. De grafiek va v heeft dus oderstaad model : 50

51 Door spiegelig om de t-as otstaat de grafiek va v. Daar de absolute waarde va de selheid toeeemt met de tijd, is de bewegig verseld.. v > 0 e a < 0 Uit v > 0 volgt dat de grafiek va v bove de t-as ligt. Uita v t < 0volgtdatvstriktdaledis. De grafiek va v heeft dus oderstaad model : De grafiek va v is teves de grafiek va v. Daar de absolute waarde va de selheid afeemt met de tijd, is de bewegig vertraagd. 4. v < 0 e a > 0 Uit v < 0 volgt dat de grafiek va v oder de t-as ligt. Uit a v t > 0 volgt dat v strikt stijged is. De grafiek va v heeft dus oderstaad model : Door spiegelig om de t-as otstaat de grafiek va v. Daar de absolute waarde va de selheid afeemt met de tijd, is de bewegig vertraagd. Besluit Als v e a hetzelfde teke hebbe, da is de bewegig verseld e als v e a ee tegegesteld teke hebbe, da is de bewegig vertraagd. 5

52 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 98 Toepassig i de ecoomie Na ee marktstudie e oderhadelige volgt ee wijhadelaar de volgede strategie bij de jaarlijkse aa- e verkoop va ee kwalitatieve rode bordeau (de prijs is uitgedrukt i euro). Voor de kostefuctie geldt: - de vaste koste zij 000 euro, - de variabele koste zij euro per fles. De otvagstefuctie is O( ) met O( ) 0, 0 +. De theorie leert dat de maimale wist bekome wordt bij verkoop va 75 flesse. O(75) 8,5. A Too aa dat de raaklij t i het put A met co A 75 ; 8,5 aa de grafiek va de omzetfuctie evewijdig is met de grafiek va de kostefuctie. De kostefuctie is K De grafiek va de kostefuctie is ee rechte met richtigscoefficiet. + O 0, 0 O 0,04 + O 75 0, O 75 is de richtigscoefficiet va de raaklij t i 75 ; 8,5 aa de grafiek va O. A A A () ( ) De richtigscoefficiet va de raaklij t i 75 ; 8,5 is dus gelijk aa. Uit () e () volgt dat de raaklij t evewijdig is met de grafiek va de kostefuctie. i 75 ; 8,5 aa de grafiek va O 5

53 Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 08 Beadere va ulwaarde : methode va Newto-Raphso Too aa dat de iteratieformule va Newto-Raphso voor f aa. + gelijk is ( ) f De iteratieformule va Newto-Raphso voor ee fuctie f is +. f f f () Ivulle i () levert : + + ( ) Los op : cos met 5 eacte decimale. Stel f ( ) cos. We tekee de grafiek va f i het stadaardvester. 5

54 Uit de grafiek leide we af dat er éé ulwaarde is tusse 0 e. f ( ) cos f ( ) si We werke de iteratieformule va Newto-Raphso verder uit voor de fuctie f. + ( ) + si Stel 0. f f cos cos + si + ( si + ) + cos si + si + cos + si We berekee,, 4, met behulp va het reketoestel. Besluit 0,7908 is de oplossig va de vergelijkig cos met vijf eacte decimale. 54