Appendix A: De rij van Fibonacci

Transcriptie

1 ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd op het artikel Ekele eevoudige toepassige va groepe e rige va Prof dr Foy Ooms (LUC) Beschouw de matrix = 0 Je ka met de grafische rekemachie agaa dat: = 0 = = = 0 = = 0 = = 0 = = 0 Zo otdek je dat de machte va als volgt opgebouwd worde met de getalle va Fiboacci: F+ F = F F voor We bepale de oplossige va de karakteristieke veelterm va, de eigewaarde, als volgt: λ ( λ) = 0 det( λ ) = 0 = 0 λ λ = 0 P I De discrimiat is zodat de eigewaarde va gelijk zij aa: λ λ = + e λ = OPMERKING ϕ + = oemt met ook het goude getal of de gulde sede e F lim F + = ϕ oáàéå=j=n

2 De Euclidische delig va λ door P ( λ ) geeft ee quotiët Q( λ) e ee rest R( λ) zodat λ = P ( λ) Q( λ) + R( λ) Uit de berekeig voor P ( λ ) volgt dat de graad va R( λ ) kleier moet zij da twee, R( λ) = b λ + c, zodat λ = P ( λ) Q( λ) + b λ+ c (*) Uit de stellig va Hamilto-Cayley, die zegt dat iedere matrix voldoet aa zij karakteristieke veelterm ( P ( ) = 0) volgt voor uitdrukkig (*) : 0 b+ c b = P ( ) Q( ) + b + c I = b + c= b c 0 + = 0 b c F+ F E vermits = F F geldt dat b= F Het ivulle va de eigewaarde λ e λ i vergelijkig (*) geeft het volgede stelsel: Uit dit stelsel berekee we b: λ = 0 Q( λ) + b λ+ c λ = b λ+ c λ = 0 Q( λ) + b λ + c λ = b λ + c λ λ b = λ λ Ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci is: F + = Merk op dat uit dit expliciet voorschrift volgt dat + : De gulde sede + Het getal ϕ = wordt vaak ook de gulde sede geoemd Dit getal speelde al sids de Grieke ee belagrijke rol i de kust e bouwkust Het is de ideale verhoudig tusse de lijstukke va ee verdelig va ee lijstuk i twee dele l x = = ϕ x l x x l-x oáàéå=j=o

3 Me ka aatoe dat de gulde sede ook gevode wordt via de kettigbreuk ϕ = Wil je ϕ beadere met deze kettigbreuk, da bekom je telkes het quotiet va twee opeevolgede getalle uit de rij va Fiboacci: ϕ = + = ϕ = + = + ϕ = + = + = + + Maw geldt dat F lim F + ϕ = De rij va Fiboacci i de kust De bouwkust + Het getal ϕ = duikt regelmatig op i de bouwkust oa bij de Egypteare - de hoogte e de breedte va de verschillede piramides va Gizeh verhoude zich telkes volges het getal ϕ Grieke - de hoogte e de breedte va de verschillede Griekse tempels verhoude zich telkes volges het getal ϕ Bijvoorbeeld de voorgevel va het Partheo i de cropolis va thee, lijkt volledig geïspireerd te zij op de gulde sede,6,6 oáàéå=j=p

4 Romeie - bij de costructie va de triomfboog va Septimus Severus duikt het goude getal = op ϕ De schilderkust Het getal ϕ duikt ook op i de schilderkust Tekeaars e schilders make gebruik va de gulde sede om mooi gevormde mese te costruere De hoogte e breedte va de beschilderde oppervlakte verhoude zich vaak zoals de gulde sede,6,6,6 Heel wat schilders gebruike bij de compositie de regel dat je object beter iet i het cetrum va het doek staat, maar beter ee beetje op zij Ze gebruike daarbij lije die het schilderij i drie verdeelt Deze compositie zou aageamer zij om aar te kijke Het idee is gebaseerd op de gulde sede die de ideale verhoudig zou zij, iet allee bij de afmetige va het kader, maar ook bij de compositie oáàéå=j=q

5 4 De rij va Fiboacci i de atuur 4 De zaadjes i ee bloemehart Meestal is het bloemehart opgebouwd uit kleie zaadjes Ze worde geproduceerd i het midde e migrere systematisch aar de buitekat va het bloemehart Doordat ee ieuw zaadje telkes oder ee bepaalde hoek te opzichte va het vorige zaadje otstaat, wordt de hele ruimte gevuld De grootte va die hoek bepaalt de maier waarop de ruimte gevuld wordt Betreft het ee hoek die te beschouwe is als ee geheel deel va 60 (= ee breuk va 60 ) da zulle de zaadjes geschikt worde op rechte lije Op de hieraast afgebeelde figuur zie je de schikkig voor ee draaiigshoek va 60 4, i 7 tegewijzerzi agezie de oemer 7 is, bekom je 7 rechte lije Merk op dat a elk derde (=teller) zaadje ee volledige omwetelig is gemaakt Idie de draaiigshoek iet op te vatte is als ee breuk, zulle de zaadjes zich iet schikke i rechte lije Ze vorme da spiraalvormige arme die i het cetrum va het bloemehart vertrekke (zie figuur hieroder) Om het rechtlijig patroo i de schikkig va zaadjes te vermijde, zul je dus ee gedeelte va ee volledige draai moete kieze dat bepaald is door ee irratioaal getal ls dit irratioaal getal goed beaderd wordt door ee breuk, krijg je ee reeks geboge lije die de ruimte iet perfect opvulle ls de draaiigshoek bepaald wordt door ee irratioaal getal, dat moeilijk te beadere is door ee breuk, zal de spiraalvormig sterk aawezig zij e aaleidig geve tot ee goed gevuld bloemehart De gulde sede is zo ee irratioaal getal Idie de draaiigshoek bepaald wordt door deze gulde sede, zal het bloemehart optimaal gevuld zij Dat is ook wat me experimeteel vaststelt i de atuur Me ziet ee draaiigshoek va 7, Dit is de hoek ( ϕ )60 =, i tegegestelde zi Voor adere irratioale getalle, vid je beduided mider goede schikkige Het decimaal gedeelte va e is iets groter da 7 e dat va pi iets kleier da 7 Het volstaat om het decimaal gedeelte te eme va ϕ (=,60 ), omdat de voor de komma ekel voor ee bijkomede rotatie va 60 zorgt, die iet bijdraagt tot de schikkig Het eme va de hoek i tegegestelde draaiigszi heeft gee ivloed heeft op de schikkig oáàéå=j=r

6 I beide gevalle tref je zeve arme aa, die va e draaie i wijzerzi, die va π adersom () (B) (C) (D) de schikkige voor verschillede irratioale getalle () getal e (B) getal pi (C) wortel (D) ϕ De gulde sede is het eige irratioaal getal waarbij i de twee draairichtige spirale te zie zij De aatalle worde bepaald door twee opeevolgede Fiboaccigetalle De rij va verhoudige va opeevolgede Fiboaccigetalle heeft als limiet,60 (=ϕ ) of 0,60 ( ), al aargelag het ϕ grootste getal i teller of oemer wordt geplaatst Beide limietwaarde bepale dezelfde rotatiehoek omdat het decimaal gedeelte hetzelfde is Verhoudig Decimaal,,6667,6,6,64,690,676 Verhoudig Decimaal 0, 0,6667 0,6 0,6 0,64 0,690 0,676 0,6 Beschouw bijvoorbeeld de breuk Het decimaal gedeelte va ϕ is iets kleier da dat va deze beaderig Dit resulteert i arme i tegewijzerzi E beschouw de breuk Deze geeft eveees ee beaderig va het decimaal gedeelte va ϕ, dat i dit geval iets groter is da de beaderig Dit resulteert i arme i wijzerzi oáàéå=j=s

7 De spirale zij i de twee richtige aageduid Je vidt e spirale Het feit dat de beaderede breuk het aatal spiraalarme i de zoebloem verklaart, beteket iet dat de bijhorede beaderede rotatiehoek ee eve goede opvullig oplevert I de oderstaade figuur merk je dat ee lichte afwijkig va het goude getal i ee heel ader patroo resulteert () (B) ( C) opvulpatroo voor (B),6 (= ϕ ) e twee beaderige (),67 e (C),69 Het feit dat de gulde sede de draaiigshoek bepaalt va de zaadjes e daardoor ook het aatal spirale, is iet toevallig Het is ee gevolg va het feit dat celle va leved materiaal (vb plate) spiraalsgewijs aagroeie i het cetrum De rotatiehoek is iderdaad ook 7, oáàéå=j=t

8 4 Bloemblaadjes agezie de bloemblaadjes gevormd worde op het eide va éé va de reekse spirale, vid je de Fiboaccigetalle ook terug bij de aatalle va bloemblaadjes Voor verschillede bloeme lijkt dit te kloppe, hoewel er vaker afwijkige voorkome da bij het aatal spirale i het bloemehart atal bloemblaadjes bloem lelie, iris (lelies hebbe vaak 6 bloemblaadjes, gevormd door twee sets va drie blaadjes) boterbloem, wilde roos, aquilegia ridderspoor jacobskruiskruid, cieraria aster, chicorij weegbree, pyrethrum 4 Deeappels Bij deappels zij de spirale heel duidelijk zichtbaar Je vidt acht spirale i de ee richtig e dertie i de adere Ook hier duike de Fiboacci getalle op 44 Schelpe ls je i ee rechthoek waarva de legte e de breedte zich verhoude als ϕ ee spiraal teket zoals hieroder aagegeve, bekom je ee spiraal die je bij beaderig terugvidt bij schelpe Je costrueert i de goude rechthoek het grootst mogelijke vierkat, waari je ee cirkelboog teket Het overblijvede stuk is opieuw ee goude rechthoek, waari je de costructie telkes herhaalt oáàéå=j=u