3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen

Transcriptie

1 3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig omdat we met afstade e hoeke gaa werke De reële getalle vorme de deelverzamelig va pute va de vorm a= ( a,0) = a+ 0i zodat elk reëel getal ee put voorstelt op de reële as va het complexe vlak of vlak va Gauss ( ) 3 Goiometrische of polaire vorm va ee complexe getal Ieder complex getal z = a+ bi is volledig bepaald door het koppel reële getalle ( ab, ) Met ieder complex getal komt éé put va het vlak overee e omgekeerd De liggig va ieder complex getal z, verschillede va ul, is ook odubbelziig bepaald door: de afstad va z tot de oorsprog (Notatie: z ) e de hoek α tusse de halfrechte oz e het positieve bee va de reële as z oeme we de modulus va het complex getal z Volges de stellig va Pythagoras geldt: z = a + b De hoek α met als begibee het positieve deel va de reële as e als eidbee oz bepaalt het argumet va het complex getal z Deze hoek α heeft oeidig veel waarde, l α + kπ met k De waarde oeme we de argumete va z e otere we als volgt : arg z = α + kπ, k De hoofdwaarde va z, Arg z, is het argumet waarvoor geldt : 0 Arg z < π a = z cosα b Voor ee argumet α va z geldt zodat ta α = b= z siα a Defiitie: Voor ee complex getal z 0 met modulus r e argumet ϕ geldt dat z = r(cosϕ + isi ϕ) Deze schrijfwijze oemt met de goiometrische of polaire vorm va ee complex getal Het koppel (, ) r ϕ oemt me de poolcoördiate va het put z Voorbeeld π Voor z = 1 i geldt z = e ta α = 1 α = + kπ met k 4 Merk op dat z gelege is i het derde kwadrat zodat de goiometrische vorm va 3π 3π z gelijk is aa: z = 1 i= (cos + isi ) 4 4 Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 1

2 33 De formule va Euler Het getal e, geoemd aar Leoard Euler ( ), defiiëre we als het reële getal waarvoor geldt: l e = 1 Er geldt dat e irratioaal is e e =, Bovedie geldt: 1 e = lim 1+ iϕ Me ka bewijze dat e = cosϕ + isiϕ Vazelfspreked valt dit bewijs buite de leerstof va het secudair oderwijs Maar deze eigeschap ka beschouwd worde als ee ieuwe, derde otatie va ee complex getal Voor z = r(cosϕ + isi ϕ) geldt i z = re ϕ De maier va otere oeme we de formule va Euler 34 Complexe getalle e de TI-83/84 Plus De TI-83/84 Plus heeft voor complexe getalle twee modi: a+bi cartesische coördiate re^θi poolcoördiate Ee complex getal wordt steeds bewaard i de cartesische mode maar ka altijd i de polaire vorm igevoerd worde Voor de twee oderstaade voorbeelde stelle we de drijvede komma-mode (FLOAT) i op 3 I wat volgt vermelde we iet meer i welke FLOAT-mode de grafische rekemachie staat Mode Real of a+bi Mode re^θi Het MATH-meu bevat ee deelmeu CPX met de volgede fucties specifiek voor complexe getalle 1:coj( complex toegevoegde :real( reële deel 3:imag( imagiaire deel 4:agle( argumet 5:abs( modulus 6: Rect omzettig i cartesische vorm 7: Polar omzettig i polaire vorm Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle

3 Ekele voorbeelde: 35 Bewerkige met complexe getalle i goiometrische vorm Beschouw de complexe getalle z 1 = r 1 (cosϕ 1 + isi ϕ 1 ) e z = r (cosϕ + isi ϕ ) 351 Vermeigvuldigig Er geldt : z1 z = r1(cosϕ1+ isi ϕ1) r(cos ϕ + isi ϕ) = rr 1 (cosϕ1cosϕ + i siϕ1siϕ + icosϕ1siϕ + isiϕ1cos ϕ) = rr (cos( ϕ + ϕ ) + isi( ϕ + ϕ )) Modulus va het produkt = produkt va de moduli Argumet va het produkt = som va de argumete 35 Delig Na wat rekewerk volgt: z z r = (cos( ϕ1 ϕ) + i si( ϕ1 ϕ)) r 1 1 Modulus va het quotiët = quotiët va de moduli Argumet va het quotiët = verschil va de argumete 353 -de macht Voor z = r(cosϕ + isi ϕ) geldt z = r (cos ϕ + isi ϕ ) 354 De formule va de Moivre Voor ee complex z met modulus gelijk aa 1 geldt: z = cos ϕ + isi ϕ Met de formule va de Moivre ka me zeer vlug de volgede goiometrische formules bewijze (cosϕ isi ϕ) cos ϕ si ϕ i(siϕcos ϕ) + = + e volges de Moivre geldt: (cos isi ) cos isi ϕ + ϕ = ϕ+ ϕ Hieruit volgt dat cos ϕ = cos ϕ si ϕ e si ϕ = siϕcosϕ 355 De formule va Euler i 1 Het rekewerk wordt met deze otatie weer vereevoudigd Voor z = r e ϕ e z i re ϕ iϕ1 iϕ i( ϕ1+ ϕ) = geldt: z1 z rr 1 e e rr 1 e 1 iϕ = = e ( 1) ( 1 ) i 1 z ϕ = r e = e r 1 Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 3

4 356 -de machtswortels DEFINITIE Voor ieder complex getal a defiiëre we ee -de machtswortel ( 0 ) als ee complex getal b waarvoor geldt dat b = a VOORBEELD Welke complexe getalle zij ee vierkatswortel (-de machtswortel) va 16? Het is duidelijk dat deze vraag weer iet is op te losse i Maar i heeft 16 = 16i twee vierkatswortels l 4i e 4i EIGENSCHAP Elk complex getal z 0 heeft -de machtswortels Voor a= r(cosα + isi α) is z = ρ(cosϕ+ isi ϕ) ee -de machtswortel va a idie: z = r(cosα + isi α) ( ρ(cosϕ+ isi ϕ)) = r(cosα + isi α) ρ (cos ϕ+ isi ϕ) = r(cosα + isi α) ρ = r e ϕ = α + kπ met k k ρ = r e α + ϕ = π = α + k π met k De -de machts wortels va ee complex getal a= r(cosα + isi α) zij: α π α π r(cos + k + isi + k ), k Merk op dat we voor k {0,1,, 1} verschillede complexe getalle bekome Maar voor k = krijge we hetzelfde complex getal als voor k = 0 e voor k = + 1 hetzelfde als voor k = 1, OPMERKING De moduli va de -de machtswortels va ee complex getal zij gelijk Maw i het complexe vlak ligge de bijbehorede pute op ee cirkel De argumete bepale de liggig op deze cirkel, telkes ee hoek π va mekaar Hieruit volgt dat de pute die de -de machtswortels bepale va ee complex getal steeds ee regelmatige -hoek vorme Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 4

5 VOORBEELD De vierde machtswortels va 4 4π 4π z = i= 16(cos + isi ) zij: 3 3 4π 4π + kπ k 16(cos 3 + π isi 3 + ), k 4 4 Uitgereked geeft dit: 3 z0 (cos π π = + isi ) =1+ 3 i z1 (cos π π = + isi ) = 3 + i z (cos π π = + isi ) = 1 3 i z3 (cos π π = + isi ) = 3 i 6 6 z 1 z z 0 3 z Biomiaalvergelijkige Ee biomiaalvergelijkig i is ee vergelijkig va de vorm az + b= 0 met ab,, 0 a e \{ 0} Het oplosse va zo vergelijkig az + b= 0 komt eer op het berekee va de b -de machtswortels va i a VOORBEELD 3 π π De oplossige va z = 8i= 8(cos + isi ) zij: π π 5 5 z0 = (cos + isi ) = 3 + i, z1 (cos π π = + isi ) = 3 + i e z (cos π π = + isi ) = i 6 6 π i 3 3 3iϕ 3 π π Of og: z = 8i r e = 8e r = 8 e ϕ = + k, k de machtswortels e biomiaalvergelijkige met de TI-83/84 Plus We bekijke eve wat de resultate zij va ( 4) 1 i de verschillede modes: Real a+bi re^θi Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 5

6 Om beide vierkatswortels va 4 te berekee make we gebruik va de Flashapplicatie Polyomial Root Fider ad Simultaeous Equatio Solver (gratis te dowloade via educatioticom) Ee hadleidig va deze applicatie ka gedowload worde via educatioticom/guides Hiermee losse we de vergelijkig x = 4 op Na het opstarte va de applicatie kieze we de optie 1:Poly Root Fider Ook hier kue we dezelfde drie modi istelle We voere de graad e de coëficiete va de vergelijkig i (bevestige door op [ENTER] te drukke) De grafische toetse zij i deze applicatie fuctietoetse Druk op [GRAPH] (= SOLVE) om de vergelijkig op te losse Ook hier kue we de vergelijkig oplosse i de verschillede modi Real a+bi re^θi We bekijke als tweede voorbeeld de vergelijkig 3 x 8= 0 Real a+bi re^θi De oplossige kue bewaard worde i ee lege lijst met STOx om a het sluite va de applicatie mee verder te rekee Real of a+bi re^θi Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 6

7 4 Grafische voorstellig va bewerkige 41 Som De som va z1 = a+ bi e z = c+ di, z1+ z, bekomt me door ee traslatie (verschuivig) va z 1 over (, cd ) of ee verschuivig va z over ( ab, ) z + z 1 z 1 z 4 Scalaire vermeigvuldigig De scalaire vermeigvuldigig va z = a+ bimet r, rz, is het beeld va z voor ee homothetie met als cetrum de oorsprog e als factor r 43 Vermeigvuldigig va i e z Stel z = r(cosϕ + isi ϕ) π π Er geldt i = cos + isi zodat π π i z = r(cos ϕ + + isi ϕ + ) Vertrekkede va z bekomt me iz door ee rotatie (draaiig) va z over 90 rod de oorsprog i tegewijzerzi Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 7

8 44 Vermeigvuldigig De vermeigvuldigig va z 1 = a+ bi e z = c+ di ka als volgt bekeke worde: z1 z = ( a + bi) ( c + di) = a ( c + di) + bi ( c + di) 1 E STAP : a ( c+ di) is het beeld va z voor de homothetie met als factor a e als cetrum de oorsprog Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 8

9 E STAP: Voor het bepale va i ( c+ di) rotere we z over 90, tov de oorsprog i tegeuurwijzerzi 3 E STAP: bi ( c + di) is het beeld va iz voor de homothetie met als factor b e als cetrum de oorsprog Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 9

10 4 E STAP: z1 z is de diagoaal va het parallellogram met als zijde az e bi z Geboeid door wiskude e weteschappe Complexe getalle 10