Les 1 De formule van Euler

Transcriptie

1 Aatekeig VWO 6 Wis D Hfst 12 : Complee getalle gebruike Les 1 De formule va Euler Je kut complee getalle op 3 maiere schrijve : z = a + bi z = z (cosφ + i si φ) z = r e iφ = e p e iφ = e p+iφ met e iφ = cosφ + i si φ e r = e p = z = 2 a + 2 b VB1 Schrijf als z = a + bi a. e i1/2π { = e 0+i1/2 π = e 0 (cos ½ π + i si ½ π) = 1 (0 + i) = i } b. 5e 1-1/3iπ { = 5e 1 e -1/3iπ = 5e (cos -1/3 π + i si -1/3 π) = 5e ( ½ - ½ 3) } VB2 Schrijf als z = r e iφ 2 2 a. 2-2i { r = = 8 e φ = -5 = - ¼π dus z = 8 e - ¼πi } b. (2-2i) { ( 8 e - ¼πi ) = ( 8) (e - ¼πi ) = 6 e - πi } ( c. 2 2i ) 2 2i = 6e 8e πi πi 6 e 8 e πi 1 πi + πi = = 16 2 e = πi e 3 πi Les 2 Vergelijkige oplosse met de formule va Euler VB1 Los op z 3 = 2-2i mbv formule va Euler. I het vorige voorbeeld hebbe we al gezie dat : z = 2 2i = 8 e - ¼πi+k2π. Het herhaalt zich iedere 2π vadaar deze algemee oplossig. Dus z 3 = 8 e - ¼πi+k2π (3 e machtswortel) z = ( 8 e - ¼πi+k2π ) 1/3 = ((8) ½ ) 1/3 (e - ¼πi+k2π ) 1/3 = z = (8) 1/6 e - 1/12πi+k2/3π Aagezie er 3 oplossige zij geldt : z 1 = (8) 1/6 e - 1/12πi z 1 = (8) 1/6 e 3/12πi z 1 = (8) 1/6 e 7/12πi

2 Les 3 f(z) = l(z) VB1. Bereke eact : a. f(-2e) b. f( ½i) a1. l(-2e) = l(-2) + l(e) = l(-2) + 1 a2. Omdat l(-2) iet bestaat gaa we dit omzette i ee comple getal L(-2) = l(2 e πi ) = l(2) + l(e πi ) = l(2) + πi a3. l(-2e) = l(-2) + 1 = l(2) + πi + 1 = (1 + l(2)) + πi b1. l( ½ i) = l( ½ ) + l(i) b2. Omdat l(i) iet bestaat gaa we dit omzette i ee comple getal L(i) = l(e ½πi ) = ½ πi b3. l(-2e) = l( ½ ) + l(i) = l( ½ ) + ½ πi

3 Les De factorstellig De factorstellig is te gebruike bij allerlei 3e graadsvergelijkige, dus ook bij complee. VB1. Los op = 0.. Stappepla 3 e graads met staartdelig 1. Gebruik de GR om de eerste oplossig te vide, dus Y Y2 = 0 Itersect geeft = Voer ee staartdelig uit + 1 / \ Dus = 0 (+1)( ) = 0 3. Nu oplosse = = = 0 (+2) = 0 (+2) 2 = -5 = 5i 2 (!!!!) +2= (5) i v +2= - (5) i = -2 + (5) i v = -2 - (5) i De oplossige zij dus = -1 ; = -2 + (5) i ; = -2 - (5) i Les 5 De formule va Cardao voor 3 e graads vergelijkige op te losse

4 Om iedere 3e graadsvergelijkig op te losse ku je gebruik make va de formule va Cardao. Stappepla : De formule va Cardao voor 3 e graadsvergelijkige z 3 + pz = q 1. Stel z = u + v e p = -3uv. 2. Herleid de oorsprokelijke vergelijkig z 3 + pz tot u 3 + v 3 = q. 3. Gebruik p = -3uv om te herleide tot u 6 qu 3 r = 0.. Bereke u 3 e v 3 e daarmee éé oplossig va z. 5. Gebruik ee staartdelig (factorstellig) voor de adere 2 oplossige. VB1. Los op i C : 3 9 = Stel z = u + v e -9 = -3uv. 2. Da is z 3 = (u+v) 3 = u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 +v 3. Da is pz = -3uv (u+v) = - 3u 2 v - 3uv 2 Dus is z 3 + pz = u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 +v 3 + (- 3u 2 v - 3uv 2 ) = u 3 + v 3 = 80 (=q) 3. Uit -9 = -3uv volgt dat uv = 3 dus v = 3 / u. Da is u 3 + v 3 = u 3 + (3 / u) 3 = u / (u 3 ) = 80 Dit geeft u = 80u 3 Dit geeft u 6-80u = 0. Met abc is u 3 = ( )/2 v u 3 = ( )/2 Omdat u 3 + v 3 = 80 is u= (( )/2)^(1/3) e v = (80 - ( )/2))^(1/3) Omdat z = u + v e is z =(( )/2)^(1/3) + (80 - ( )/2))^(1/3) Dit geeft z = 5

5 5. Voer ee staartdelig uit - 5 / \ Dus = 0 ( - 5)( ) = 0 Dit verder oplosse met abc comple. Algemee Stappepla voor 3 e graadsvergelijkige z 3 + az 2 + bz + c = 0 1. Substitueer z 1/3 a i z 3 + az 2 + bz + c = 0. Je krijgt da ee vergelijkig va de vorm 3 + p - q = 0 oftewel 3 + p = q. 2. Gebruik u de formule va Cardao (zie bove). VB2. Los op i C : z z 2 9z +5 = 0 1. Neem z 1/3 12. Je krijgt da (-) (-) 2 9(-) +5 = 0 Je krijgt da ( ) = 0 Je krijgt da = 0 Je krijgt da = 0 Je krijgt da 3 57 = E u Cardao

6 Les 6 Directe formule bij recursievergelijkige u(-1) e u(-2) Gegeve is de recursievergelijkig : u() = a u(-1) + b u(-2). Hoe bereke je de oplossige va deze vergelijkig?. Door middel va de karakteristieke vergelijkig op te stelle!! Stel dat u() = g. Er geldt da g = a g -1 + b g -2 (: g 2 = a g + b g 2 - a g - b = 0 (dit heet ook wel de karakteristieke vergelijkig) Deze ku je oplosse (bie C) met de abc-formule!!! Samegevat Algemee Stappepla voor oplosse u() = a u(-1) + b u(-2). 1. Stel dat u() = g. Er otstaat da de karakteristieke vergelijkig : g 2 - a g - b = 0 2. Gebruik u de abc-formule (evt. comple) voor de twee oplossige g 1 e g D > 0 : u() = A (g 1 ) + B (g 2 ) D = 0 : u() = (A + B) (g 1 ) { g 1 = g 2 } D < 0 : u() = (A cos(φ 1 ) + B si (φ 1 )) (g) {met φ 1 = arg (g 1 ) e g = g 1 of g 2 }. Bereke A e B met behulp va de twee startwaarde. VB. Los op u() = u(-1) - 5 u(-2) e u(0) = 2 e u(1) = Neem u() = g. Je krijgt da : g 2 - g + 5 = 0 2. Los op : (g-2) = 0 (g-2) 2 = -1 = i 2 g-2 = i v g-2 = -i g = 2 + i v g = 2 i 3. φ 1 = arg (2+i) = 26,6 e 2+i = 5. Dit geeft u() = (A cos(26,6) + B si (26,6)) ( 5)

7 . u(0) = (A cos(26,6 0) + B si (26,6 0)) ( 5) 0 = A (cos(0) + B si (0)) 1 = A = 2 u(1) = (2 cos(26,6 1) + B si (26,6 1)) ( 5) 1 = 6 u(1) = (1,79 + B 0,5) ( 5) = 6 + 1,01B = 6 1,01B = 2 B = 1,99 Dus de oplossig is : u() = (2 cos(26,6) + 1,99 si (26,6)) ( 5) Les 7 Stelsels bij recursievergelijkige u(-1) e u(-2) VB1. Los op y = y + y 1 1 ( 1) ( 2) met 0 = 3 e y 0 = Schrijf éé va de twee i de -1 vorm, da ku je de twee combiere y y = y 1 2. Combiere geeft y + 1 = + ( ) = Nu moet y -1 og weg. Uit (1) volgt dat : 3y 1 1 Dus y ( 1) = Schrijf ee weer i de vorm terug = y Deze vergelijkig ku je oplosse met de karakteristieke vergelijkig e 0 = 3 e y 0 = = 2 { vergelijkig (1) }