2.6 De Fourierintegraal

Transcriptie

1 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f : [ l, l] C. We herleide deze tot ee fuctie gedefiieerd op het iterval [ π,π]: stel We krijge da met t πx l, dt π l dx, e g(t) f (lt π ). f (x) g(t) α e iπx l, α 1 Z l f (x)e iπx π l 2π l l dx 1 Z l 2l l f (x)e iπx l dx. De Fourierreeks ka diee om periodische verschijsele (golve) te beschrijve. Om ee sigaal, of puls, zoder periode te beschrijve gaa we als volgt te werk: we zulle i de Fourierreeks formeel de periode l aar oeidig late gaa. Bovestaade formules kue als volgt herschreve worde: Als we p π l f (x) 1 (Z l 2l l ) f (t)e iπt l dt e iπx l. stelle, e (p ) p p 1 π/l, da krijge we f (x) Z 1 l f (x)e ip(x t) dt (p ). 2π l Als we stelle F l (x, p) 1 Z l f (x)e ip(x t) dt, 2π l 1

2 da krijge we f (x) Dit is ee Riemasom va de itegraal F l (x, p) (p ). Hoe groter l, hoe kleier (p ), e hoe beter F l (x, p)dp. de itegraal beaderd wordt door de Riemasom; F l (x, p) beaderd wordt door Z 1 f (x)e ip(x t) dt. 2π Daarom lijkt de volgede formule plausibel, voor f : R C: of We oeme f (x) 1 dp f (t)e ip(x t) dt, 2π f (x) 1 2π ( F(p) F { f }(p) ) f (t)e ipt dt e ipx dp. (1) f (t)e ipt dt (2) de Fouriergetrasformeerde va f. f ka terug bereked worde uit F via de formule f (t) 1 F(p)e ipt dp. (3) 2π De argumete die we gave make de formules plausibel, maar zij uiteraard helemaal gee bewijs. We gaa u iets preciezer tewerk. Voor ee fuctie f u + iv : R C defiiëre we Z b a f (t)dt Z b De oeigelijke itegraal wordt gedefiieerd door a Z b u(t)dt + i v(t)dt. a Z S f (t)dt lim f (t)dt. R + R S + Idie deze limiet bestaat i C, da oeme we de itegraal coverget. De volgede eigeschap is ee cotiue versie va de eigeschap dat ee absoluut covergete reeks coverget is. Stellig 7.1 Neem f : R C stuksgewijs cotiu. Als R + f (t) dt covergeert, da covergeert ook R + f (t)dt. 2

3 Bewijs. We heriere eraa dat f (t) u(t) 2 + v(t) 2 ; merk ook op u(t) f (t) e v(t) f (t). Stel f (t) dt I. Da hebbe we, uit de defiitie va limiet: ε >, T : T > T : I Da volgt ook, voor alle S > T > T : Z S f (t) dt We beschouwe u de rij Voor m > T hebbe we T u m u Z m Z S u u(t)dt f (t) dt < ε 2. f (t) dt f (t) dt < ε. Z Z m u(t)dt. u(t) dt e bijgevolg is (u ) ee Cauchy rij, e ee covergete rij. Stel Z m f (t) dt < ε, Da hebbe we lim u I 1. ε >, N : > N : u I 1 < ε 2. Als T > max{n + 1,T + 1}, da is [T ] > N, e,t > T, zodat Z u(t)dt I 1 u(t)dt I 1 + u(t)dt u I 1 + u I 1 + We cocludere dat u(t)dt I 1 u(t) dt f (t) dt < ε 2 + ε 2 ε. covergeert. Op dezelfde wijze kue we aatoe dat R + v(t)dt covergeert. Het bewijs voor de itegraal va tot verloopt geheel aaloog. Aagezie e ipt 1 cocludere we: 3

4 Gevolg 7.2 Neem f : R C stuksgewijs cotiu. Als R + i fty f (t) dt covergeert, da covergeert ook R + f (t)e ipt dt. De Fouriergetrasformeerde va f bestaat dus i elk put p R. Zoder bewijs formulere we volgede stellig: Stellig 7.3 Oderstel dat f : R C stuksgewijs cotiu is, e i elk put voldoet aa de likere rechtervoorwaarde va Lipschitz. Oderstel ook dat R + f (t) dt coverget is. Da geldt formule (1) i elk put x waari f cotiu is. Als f discotiu is i x, da is het rechterlid va (1) gelijk aa f (x+) + f (x ). 2 Opmerkige 7.4 1) Als f : R R ee reële fuctie is, da is F(p) F( p). 2) Als f : R R ee eve reële fuctie is (m.a.w. ( f ( x) f (x)), da is F(p) R, e F(p) 2 Z f (t)e ipt dt + f (u)e ipu du + f (t)cos ptdt. f (t)e ipt dt f (t)e ipt dt 3) Stel zelf ee aaloge formule op i het geval dat f : R R ee oeve reële fuctie is. Voorbeeld 7.5 We berekee de Fouriergetrasformeerde va ee sigaal dat costat is gedurede het tijdsiterval [ R,R], e ul erbuite: { 1 als R t R f 1 (t) als t > R F 1 (p) 2 [ si pt 2 De sic-fuctie wordt gegeve door de formule p Z R f (t)cos ptdt 2 ] + 2 si pr. p cos ptdt We krijge da sic(x) six x. F 1 (p) 2Rsic(pR). 4

5 Merk op: hoe groter R (dus hoe breder het sigaal), hoe smaller de grafiek va het getrasformeerde sigaal: de afstad va de oorsprog tot het eerste ulput va F 1 (p) is π/r. Als we de formule (3) toepasse i het geval t e R 1, da vide we of si p 2π p dp, si p dp π. p Merk op dat de klassieke methodes (substitutie, partiële itegratie,...) iet toelate om ee primitieve fuctie va de sic fuctie te bepale !.2!.4!25!2!15!1! Figuur 1: De Fouriergetrasformeerde va ee rechthoekige puls (R 1) Voorbeeld 7.6 I plaats va ee rechthoekig sigaal eme we u ee driehoekig sigaal, beschreve door de formule 1 R t als t R f 2 (t) 1 + R t als R t als t > R We vide u, a partiële itegratie F 2 (p) 2 Z R f (t)cos ptdt 2 [ 2 p (1 t )si pt R ] R + 2 pr (1 t )cos ptdt R Z R si(pt)dt 5

6 2 2(1 cos pr) p 2 R [cos(pt)]r p 2 R 4si2 (pr/2) p 2 Rsic 2 pr R 2. Merk op dat F 2 () R. Het kleiste positieve ulput va F 2 (p) is p 2π R. Ook hier zie we het verschijsel dat de breedte va het sigaal omgekeerd everedig is met de breedte va het getrasformeerde sigaal. We passe weer (3) toe, i het geval t e R 2. We hebbe da F 2 (p) 2sic 2 p, e of 1 f () 1 2π 2sic 2 pdp, si 2 p p 2 dp π. (4) !25!2!15!1! Figuur 2: De Fouriergetrasformeerde va ee driehoekige puls (R 1) We geve u ee aatal elemetaire eigeschappe va de Fourieritegraal. I de volgede stellige is f : R C ee fuctie die aa de voorwaarde va stellig 7.3 voldoet. We otere F { f } F. Stellig 7.7 Neem a R, e defiieer f a : R C door de formule f a (t) f (t a). De grafiek va f a is da dezelfde als die va f, maar over ee afstad a verschove. We hebbe da F { f a }(p) e ipa F(p). (5) 6

7 Bewijs. F { f a }(p) f (t a)e ipt dt f (u)e ipu e ipa du e ipa F(p). We voerde hierbij de substitutie u t a uit. Stellig 7.8 Neem a >. Da is F { f (at)}(p) 1 a F( p ). (6) a Bewijs. F { f (at)}(p) 1 a 1 a F( p a ). f (at)e ipt dt f (u)e ipu a du Ditmaal gebruikte we de substitutie u at. Als a > 1 i stellig 7.8, da is het sigaal f (at) breder da het sigaal f (t). Het getrasformeerde sigaal wordt da smaller. Dit is het feomee dat we reeds opmerkte i de voorbeelde 7.5 e 7.6. Stellig 7.9 F {t f (t)}(p) i d F (p). (7) dp Bewijs. F {t f (t)}(p) t f (t)e ipt dt i e ipt d e ipt dp dt i d F dp (p). Stellig 7.1 F { f () (t)}(p) (ip) F(p). (8) 7

8 Bewijs. F { f (t)}(p) f (t)e ipt dt [ f (t)e ipt] + + ip f (t)e ipt dt ipf(p), waarbij we partiële itegratie gebruikte. We passe deze formule keer toe. Beschouw twee fucties f, g : R C. Het covolutieproduct f g va f e g wordt gedefiieerd door de formule ( f g)(t) f (t x)g(x)dx. Merk op dat f g g f : dit volgt als we de substitutie u t x uitvoere. De Fouriergetrasformeerde va het covolutieproduct is het product va de Fouriergetrasformeerde. Stellig 7.11 F { f g}(p) F(p)G(p). (9) Bewijs. F { f g}(p) dt dx dx ( ( f (t x)g(x)e ipt dx ) f (t x)e ip(t x) dt g(x)e ipx ) f (s)e ips ds g(x)e ipx dxf(p)g(x)e ipx F(p)G(p). We verwisselde eerst de itegratievolgorde, e voerde da de substitutie s t x uit. Beschouw weer twee fucties f, g : R C. Het iwedig product f, g wordt gedefiieerd door de formule f,g f (t)g(t)dt. (1) Me ka aatoe dat de itegraal (1) covergeert als f e g kwadratisch itegreerbaar zij, dit beteket dat f (t) 2 dt, g(t) 2 dt < +. De orm f va f wordt da gedefiieerd als volgt: f 2 f, f f (t) 2 dt. 8

9 Stellig 7.12 Oderstel f, G : R C kwadratisch itegreerbaar. Bewijs. F { f },G 2π f,f 1 {G}. (11) 2π f,f 1 {G} f (t)dt f (t)dt F(p)G(p)dp. G(p)e ipt dp G(p)e ipt dp Ee omiddellijk gevolg va stellig 7.12 is het feit dat de Fouriertrasformatie het iwedig product e de orm beware (op ee factor 2π a). Gevolg 7.13 (Formule va Placherel) Oderstel f, g : R C kwadratisch itegreerbaar. F,G 2π f,g, F 2π f. Bewijs. F { f },F {g} (1) 2π f,f 1 {F {g}} 2π f,g. Voorbeeld 7.14 We passe de formule va Placherel toe op voorbeelde 7.5 e 7.6. Neem eerst R 1 i voorbeeld 7.5. We vide formule (4) terug: si 2 p p 2 dp 2π Nu eme we R 2 i voorbeeld 7.6. We krijge zodat 4 f 1 (t) 2 dt 2π Z 1 si 4 Z p + Z 2 p 4 dp 2π f 2 (t) 2 dt 4π (1 t 2 )3 dt Uit de formule va Placherel volgt ook dat F 1,F 2 4 si 4 p p 4 dp 2π 3. si 3 p p 3 dp 2π f 1, f 2 4π Z 1 [ ] 1 4π t t2 3π, 4 1 (1 t 2 )dt dp π. [ 8π 3 ( t ] 2 2 1)3 8π 3. 9

10 e hieruit volgt dat si 3 p p 3 dp 3π 4. We beschouwe teslotte de costate fuctie g(t) 1 2π De Fouriergetrasformeerde bestaat iet, omdat de itegraal Z 1 costdt π divergeert. We oderstelle - tege beter wete i - dat de Fouriergetrasformeerde wel bestaat, e schrijve F { 1 }(p) δ(p). 2π We kue da (1) toepasse. Neem f : R C, ad stel F F { f }. We vide da F(p)δ(p)dp F { f },δ 2π f, 1 2π δ heeft dus de volgede eigeschap, die me de zifteigeschap oemt: f (t)dt F(). F(p)δ(p)dp F(). (12) Er is gee ekele fuctie δ die de zifteigeschap heeft; dit wekt atuurlijk gee verwoderig, wat de Fouriergetrasformeerde die we bekijke bestaat iet. Wel bestaa er fucties die i beaderig de zifteigeschap hebbe: voor elke R > bekijke we de fuctie δ R : R C gegeve door δ R (p) { R als R 2 p R 2 als p > R 2 Met behulp va de stellig va het gemiddelde berekee we, voor elke (cotiue) fuctie F : R C dat Z R/2 F(p)δ R (p)dp R F(p)dp F(ξ), R/2 waarbij ξ ( R/2,R/2). Louter formeel kue we dus stelle: δ(p) lim R δ R (p). Ee meer correcte iterpretatie is de volgede. Neem ee deelruimte V va de vectorruimte bestaade uit alle absoluut itegreerbare fucties g : R C. Ee veralgemeede fuctie of distributie is per defiitie ee lieaire afbeeldig ϕ : V C. 1

11 Aa ee fuctie f : R C kue we ee distributie associëre, amelijk ϕ f : V C, ϕ f (g) f (x)g(x)dx. Maar iet elke distributie is afkomstig va ee fuctie; bekijk bijvoorbeeld δ : V C, δ(g) g(). Deze distributie oemt me de Dirac distributie. De formule voor de distributie geassocieerd aa ee fuctie wordt uitgebreid aar willekeurige distributies: me schrijft ϕ(g) ϕ(x)g(x)dx. 11