4 Differentierekening en reeksen

Transcriptie

1 WIS4 4 Differetierekeig e reekse 4. Delt Differeties Differetierekeig bestudeert de differetie-opertor, gedefiieerd door f(x) = f(x + ) f(x) Vergelijk dit met differetilrekeig: de fgeleide-opertor D is gedefiieerd door De belgrijkste eigeschp v D is Df(x) = lim h f(x + h) f(x) h D(λx x m ) = λx mx m Er is ee loge eigeschp voor differeties: wri (λx x m ) = λx mx m m x m = (x j) voor m (Dit is ee geerlistie v de fculteitfuctie, wt! =.) j= Differeties Afleidig v de differetieformule voor x m : voor m is (λx x m ) = {defiitie v } λx ((x + ) m x m ) = {defiitie ( v x m } m λx j= (x + j) ) m j= (x j) = {dummytrsformtie ( j j + } m λx j= (x j) ) m j= (x j) = {fsplitse j = i eerste product, j = m i tweede} λx ((x + ) (x m + )) m j= (x j) = {rekee; defiitie v x m } λx mx m Voor m = is x m =, zodt de formule ook d opgt. Slordigheidshlve wordt de λx uit dit soort berekeige wel ees weggelte, mr eigelijk is dt iet goed: werkt op fucties, iet op getlwrdige expressies.

2 WIS4 4. Differetie-sommtiestellig Verbd met sommtie De formule heeft ee logo b g(x)dx = f(b) f() ls g(x) = Df(x) Differetie-sommtiestellig b g(x)δx = f(b) f() ls g(x) = f(x) Hieri is Toepssig: b b g(x)δx = g(k) k= x m δx = xm+ m + = m+ m + Somme v mchte k= k = {ottie} x δx = {differetie-sommtiestellig} = {defiitie m } ( ) e k= k = { x = x(x ) + x = x + x } (x + x )δx = {differetie-sommtiestellig} = {defiitie m } ( )( ) 3 + ( )

3 WIS4 3 Negtieve expoete We hebbe x 3 = x(x )(x ) x = x(x ) x = x x = Als we de opeevolgede quotiëte bekijke, lijkt het redelijk om verder te g met x = x + x = (x + )(x + ) x 3 = (x + )(x + )(x + 3) dus lgemee x m = m j= x + j Vermeigvuldigigswet Algemee regel: Bewijs igevl m + < m : x m+ = x m (x m) x m (x m) = {defiitie; m > e < } m j= (x j) k= x m+k = {dummytrsformtie k m j } m j= (x j) m j=m+ x j = {domeisplitsig; termsplitsig} m+ j= (x j) = {defiitie; m + } x m+ e loog i de dere gevlle. 4.3 Alog Hrmoische getlle We kue verifiëre dt b x m δx = xm+ m + b voor m

4 WIS4 4 ook geldt voor egtieve m. Mr wt ls m =? Voor de correspoderede itegrl is b x dx = l x b Hrmoische getlle Er geldt (λx H x ) = {defiitie v } λx (H x+ H x ) = {defiitie ( v H x } x+ λx j= j ) x j= j = {splits f j = x + } λx x+ = {defiitie v x } λx x dus volges de differetie-sommtiestellig is b x δx = H x b Kort gezegd: H x is het discrete logo v l x. De expoetiële fuctie De fuctie exp = (λx e x ) heeft de kemerkede eigeschp D exp = exp. Is er ee discreet logo, m..w. is er ee fuctie dexp wrvoor dexp = dexp? dexp(x) = dexp(x) {defiitie v } dexp(x + ) dexp(x) = dexp(x) {rekee} dexp(x + ) = dexp(x) E v die recurrete betrekkig is eevoudig ee oplossig te vide: dexp(x) = x. Differetie v ee product Is er ee logo v D(uv) = udv + vdu? (uv)(x) = {defiitie v } u(x + )v(x + ) u(x)v(x) = {op weg r fctor u(x + ) u(x) }

5 WIS4 5 u(x + )v(x + ) u(x)v(x + ) + u(x)v(x + ) u(x)v(x) = {fctore buite hkjes hle} v(x + )(u(x + ) u(x)) + u(x)(v(x + ) v(x)) = {defiitie v } v(x + ) u(x) + u(x) v(x) dus wri (uv) = u v + Ev u Ev(x) = v(x + ) Prtiële sommtie Uit de formule voor de differetie v ee product leide we f Prtiële sommtie u v = uv Ev u Dit k worde gebruikt om ee som te trsformere r ee gemkkelijker te berekee som. Voorbeeld: Prtiële sommtie k= kk = {ottie} + x x δx = {expoetiële fuctie dexp(x) = x ; dexp = dexp } + x dexp(x)δx = {prtiële sommtie} x dexp(x) + + Edexp(x) (λx x)(x)δx = {substitutie v greze; defiitie v E ; (λx x) = (λx ) } ( + )dexp( + ) + dexp(x + )δx = {differetie-sommtiestellig} ( + )dexp( + ) dexp(x + ) + = {defiitie dexp ; substitutie v greze} ( + ) + ( + ) = {rekee} ( ) + + Prtiële sommtie k= kh k = {ottie} xh xδx

6 WIS4 6 = { (λx x ) = (λx x) ; prtiële sommtie} x H x (x+) (λx H x )(x)δx = { (λx H x ) = (λx x ) } H (x+) x δx = {vermeigvuldigigswet: x + = x (x ( )) } H x δx = {differetie-sommtiestellig} H Reekse Reekse Gegeve ee oeidige rij,,,... kue we de rij v prtiële somme, +, + +,... beschouwe. Dit oeme we ee reeks. De reeks heet coverget ls de prtiële somme ee limiet hebbe, e we schrijve d k = lim k= k k= Meetkudige reekse Voorbeeld: voor x < is k= xk = {per defiitie} lim k= xk = {meetkudige rij, zie college 3} lim x+ x = {eigeschppe v lim } x ( lim x + ) = { x < } x De koste v telle Bij het verzette v ee teller, bijvoorbeeld de kilometerteller v ee uto, versprige steeds ee of meer cijfers. Meestl mr éé, mr soms (bijvoorbeeld bij de overgg v 7999 r 73) meer. Hoeveel cijfers versprige gemiddeld? De eehedeteller versprigt bij elke overgg, e drgt dus bij het gemiddelde. De tietlleteller versprigt ee op de keer, e drgt dus bij. De hoderdtlleteller

7 WIS4 7 drgt op dezelfde mier is dus bij, ezovoort. Het gemiddelde tl cijfers dt versprigt, k= k = = 9 Absolute covergetie Absolute covergetie Als k= k covergeert, d covergeert ook k= k. Bovedie geldt i dt gevl voor elke permuttie p v N k = k= k= p(k) I het gevl v bsoluut covergete reekse kue we dezelfde regels voor het mipulere v somme gebruike die we voor eidige somme geleerd hebbe. Voor ietbsoluut covergete reekse geldt dt iet: ee iet-bsoluut covergete reeks k elke geweste som krijge door de volgorde v de terme te verdere, e zo zelfs diverget worde. Terme v ee covergete reeks Terme v ee covergete reeks Als k= k covergeert, geldt lim k = k De voorwrde lim k k = is iet voldoede voor covergetie. Bekijk de reeks De prtiële somme zij k= wruit volgt dt de reeks iet covergeert. k= k k = H l Mchtreekse Ee reeks v de vorm heet ee mchtreeks i x. k x k k= Covergetiestrl

8 WIS4 8 Bij elke mchtreeks is ee ρ [.. ] zodig dt de reeks bsoluut covergeert voor elke x met x < ρ. De grootste ρ met deze eigeschp heet de covergetiestrl. Igevl bestt e eidig is, geldt R = lim k+ k k ρ = ls R = ρ = R ls R Differetiëre v ee mchtreeks Differetiëre v ee mchtreeks Lt de mchtreeks k= kx k covergetiestrl ρ > hebbe. Voor lle x met x < ρ is d de fuctie f(x) = k= kx k differetieerbr, e Df(x) = (k + ) k+ x k k= Differetiëre v ee mchtreeks Voorbeeld: de mchtreeks geldt k= xk Df(x) = {differetiëre v ee mchtreeks} (k+)x k k= (k+)! = {rekee} k= xk k! = {per defiitie} f(x) I feite geldt f(x) = exp x. k! heeft covergetiestrl, e voor de som f(x) Tylorreeks Ee fuctie die door ee mchtreeks k worde voorgesteld heet lytisch i. Herhld differetiëre geeft: Tylor-McLuri Voor elke fuctie f die lytisch i is, geldt f(x) = k= D k f() x k k!

9 WIS4 9 Deze reeks heet de Tylorreeks v de fuctie. Bederige v fucties zols exp e si die we vuit ee progrmmeertl roepe, worde meestl bereked met behulp v de Tylorreeks. Fourierreeks I ee mchtreeks probeer je ee fuctie te schrijve ls som v terme, x, x, x 3,.... I ee Fourierreeks probeer je dt i terme v, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x,... op het segmet [ π, π]. Ee Fourierreeks heeft dus de vorm + ( k cos kx + b k si kx) k= Vrijwel lle iteresste fucties blijke ls Fourierreeks te schrijve te zij, bijvoorbeeld ( ) e x = eπ e π ( ) k+ π k (cos kx k si kx) + k= Fourierreeks Als ee fuctie f ee Fourierreeksotwikkelig heeft, d zij de coëfficiëte te beple ls k = π b k = π π π π π f(x) cos kxdx f(x) si kxdx Bederige v f worde weer gevode door ee begistuk v de Fourierreeks te gebruike. Als de fuctie ee beeld (bijvoorbeeld.jpg) of geluid (bijvoorbeeld.mp3) voorstelt, heeft dt het voordeel dt de hogere frequeties door het meselijk oog e oor iet goed kue worde wrgeome. Het verschil tusse de bederig e het origieel is d iet merkbr.