Algebra. Dr. Caroline Danneels

Transcriptie

1 Algebr Dr. Crolie Deels

2 1 Reële getlle 1.1 Mchte v ee reëel getl met gehele expoet IR e IN :... ( fctore) IR : ( ) ( ) 1 1 IR 0 e IN : Eigeschppe:, b IR e m, Z m m + m m ( ) b b b m ( ) b m ( ) ( ) b b 5 b b 5 Tekeregel: ls eve is, d is ( ) ls oeve is, d is ( ) Algebr

3 1. Ee -de mchtswortel uit ee reëel getl ( ) Ee -de IN 0 mchtswortel uit ee reëel getl is elk reëel getl x wrv de -de mcht gelijk is het gegeve getl. of x, IR, IN : x is de -de mchtswortel uit x 0 Is oeve e IR d heeft i IR éé -de mchtswortel, geoteerd ls: Voorbeelde: wt wt ( ) 3 8 Is eve e : IR 0 + d heeft i IR twee -de mchtswortels die elkrs tegegestelde zij e geoteerd worde ls e. We mke hier de fsprk dt 4 voorstelt; zo is 16 > 0. ee positief geheel getl 4 heeft vierktswortels 4 e 4 0 d heeft i IR éé -de mchtswortel l. 0 IR 0 d heeft i IR gee -de mchtswortel. Afsprk: We beperke os u tot de vorm wr IR +, wt iet schdt de lgemeeheid v < 0 e eve d bestt de regels, wt ls iet < 0 e oeve d schrijve we ls - met IR + Algebr 3

4 1.3 Mchte met rtiole expoet + Defiitie: IR 0, m Z, IN 0 : Toepssige: m m m 1 m 3. p mp mp m p m Rekeregels: + 0, b IR e q, q' Q : q q ' q q ' + q q ' q q ' ( ) q q q b b b q b q q q q ( ) ' q q ' Algebr 4

5 1.4 Eigeschppe v de worteltrekkig Vermeigvuldigig e delig +, b IR, IN : b b IR, b IR 0 ; IN 0 : b b Voorbeelde: Mchtsverheffig e worteltrekkig + 0 ( ) IR, IN, m IN: m m + IR ; m, IN : m m m Voorbeelde: 3 ( ) Optellig e ftrekkig + 0 ( ) IR, IR, p, q, r IR : p + q r p + q r Algebr 5

6 1.5 Het wortelvrij mke v de oemer b b b 1 b b ± b b + b ± b ± b 1.6 Logritme v ee reëel getl Lt het grodtl v ee logritmestelsel zij ( > 0, 1), x IR + 0, y IR d y log x x y We oeme y de logritme v x t.o.v. het grodtl ( of met bsis ). Bemige: Idie e (getl v Euler), d spreke we v tuurlijke logritme, ottie l x. l 1 0 l e 1 Idie 10, d spreke we v de Briggse logritme, ottie log x. Eigeschppe: log 1 0 log log bewrt de orde ls > 1 e keert de orde om ls 0 < < 1. log 1 log 1 0 Bewerkige: x,y IR 0 + :log xy log x + log y x, y IR 0 + : log x y log x log y x IR + 0 : log ( x 1 ) log x x IR + 0 ; z : log ( x z ) z. log x x IR 0 + ; IN 0 : log x 1. log x Algebr 6

7 1.7 Oefeige Vereevoudig (,b,c IR 0 ) ( b c ) ( bc ) ( b c ) ( ) + ( ) 9 16 opl.: b c 6 1 opl.: ( b ) ( 4) 4 4 ( ) ( )( b ) 6 opl.: b b c d opl.:b b b b opl.: 4 3 cd c 6. 4 ( 5 ) b, b IR 1.7. Bereke b 4 opl.: b. 8 7 opl.: , opl.: opl.: 6 3 opl.:8 1 opl.: Algebr 7

8 1.7.3 Mk de oemer wortelvrij b Bereke, ook ls de bsis iet gegeve is log 4 log log + log 3log + log opl.: 6 opl.: 0 Algebr 8

9 Veelterme met reële coëfficiëte i 1 obeplde x.1 Defiitie x + 1 x x + 0 met ottie V(x)., 1,..., 1, 0 IR IN, 0 is ee veelterm v de grd i x,. Nulput IR is ee ulput v de gessocieerde veeltermfuctie f: IR IR: x V(x) ls de getlwrde v deze veelterm i gelijk is ul. I symbole: is ee ulput v V(x) V() 0. 1 is ee ulput v V(x) 6x3 7x 7x wt V Merkwrdige producte A, B e C stelle veelterme voor. ( A + B) ( A B) A B ( A + B) A + AB + B ( A B) A AB + B ( A + B+ C) A + B + C + AB+ BC + AC ( A + B) 3 A 3 + 3A B+ 3AB + B 3 ( A B) 3 A 3 3A B+ 3AB B 3 A 3 B 3 ( A B) ( A + AB+ B ) A 3 + B 3 ( A+ B) ( A AB+ B ) Algebr 9

10 .4 Delig Bij twee gegeve veelterme A(x) e B(x) ( B(x) 0, grd A(x) grd B(x) ) bestt juist éé veelterm Q(x) e juist éé veelterm R(x), wrvoor A(x) B(x)Q(x) + R(x) e grd R(x) < grd B(x)..4.1 Werkwijze A(x)(Deeltl) B(x)(Deler) Q(x)(Quotiët) R(x)(Rest) Als R(x) 0 spreekt me v ee opgde delig. 6x4 - x3 + 9x - x - x + -6x4-1x 6x - x x 3-3x - x - x 3 + 4x - 3x + x - 3x + 6 x + 4 Algebr 10

11 .4. Delig v ee veelterm door ee tweeterm v de vorm x-d met d IR: regel v Horer ( 4x 3 5x + 6): ( x + ) Q(x) 4 x² - 8x + 11 R(x) Deelbrheid door x-d met d IR Reststellig De rest v de delig v V(x) door x - d is gelijk de getlwrde V(d). Gevolg: V(x) is deelbr door x-d R V( d) 0 Voorbeelde: V( x) 3x 5x + 7 is iet deelbr door x wt V( ) 9 0 V( x) x 3 + 3x 5x +1 is deelbr door x + 3 wt V( 3) Otbidig i fctore v veelterme Idie ee veelterm i x deelbr is door x - d geldt dt 0 -d.q 0. Idie V(x) ee veelterm is met gehele coëfficiëte is d bijgevolg ee gehele deler v 0 (let op: dit is ee odige voorwrde, gee voldoede voorwrde!) Om ee veelterm met gehele coëfficiëte te otbide zoek je eerst de evetuele delers v de vorm x d met d Z. G ls volgt te werk: 1. zoek de gehele delers v 0. cotroleer voor welke delers de fuctiewrde v V(x) 0 is. 3. vervolges, idie zo ee deler v 0 wordt gevode, wordt het quotiët bereked met de regel v Horer. Zo g je verder tot de veelterm mximl otbode is. Algebr 11

12 Otbid x 3 4x 17x + 60 Oplossig: We berekee de fuctiewrde v de correspoderede veeltermfuctie V(x) voor de opeevolgede delers v 60: f( 1) 40 0 f( 1) 7 0 f( ) 18 0 f( ) 70 0 f( 3) 0 De gegeve veelterm is dus deelbr door x - 3. Het quotiët berekee we met de regel v Horer d We vide x 3 4x 17x + 60 ( x 3) ( x x 0) We oderzoeke u de deelbrheid v x x 0 door x-d, wrbij d ee deler v 0 moet zij die i bsolute wrde te miste 3 is. We vide V(-4) 0. Bijgevolg is x x 0 ( x + 4) ( x 5) e dus is x 3 4x 17x + 60 ( x 3) ( x + 4) ( x 5) Coëfficiëteregels 1. Ee veelterm v grd is deelbr door x-1 ls de som v de coëfficiëte (iclusief de costte term) gelijk is ul. x 5 x 3 + x 1 is deelbr door ( x 1) (cotroleer!). Als de som v de coëfficiëte die bij de oeve mchte v x st gelijk is de som v de coëfficiëte die bij de eve mchte v x st (iclusief de kostte term), d is de veelterm deelbr door (x + 1). x 5 + x 4 x 3 + x x 3 is deelbr door ( x +1) (cotroleer!) Algebr 1

13 .5 Oefeige Werk uit (werk zo efficiët mogelijk): 1. ( x + )( x )( x + 4). ( 3x + )( 9x 6x + 4) 3. ( 9x 4 + x ) : ( x + x + 1) 4. ( x x 3 + x ) ( x ) : 3 met Horer 3 5. ( x ) ( ) 8-0x +x- : x-1 met Horer 4 opl.: 16 x 3 opl.: 7 8 x + opl.: Q -9x -10x -19, R 9x + 0 opl.: Q -7 x x, R opl.: Q 4x 8x 3, R Voor welke IR is 3x + x 5x + 10 deelbr door x + 1? Bepl dr, voor de gevode, het quotiët. opl.: 1, Q 3x 5x Otbid i fctore: opl.: ( x-1)( x 1) 3 8x 0x 18x 7x 1 Algebr 13

14 3 Vergelijkige e ogelijkhede 3.1 Vergelijkige i IR Defiitie Ee vergelijkig is ee uitsprkvorm v de gedte A B. Hierbij zij A e B twee uitdrukkige wrv er temiste éé ee verderlijke (de obekede geoemd) bevt Oplosse v vergelijkige Ee vergelijkig i IR oplosse beteket lle reële getlle beple wrvoor de uitsprkvorm ee wre uitsprk wordt. ( ) 1, 7 opl 7x 5x Twee vergelijkige zij gelijkwrdig ls hu oplossigeverzmelig dezelfde is x 4 ( x ) wt 9 3 opl(4x + 3 0) opl 3x 4 4 Stellige over gelijkwrdige vergelijkige: 5. ( A B) ( A + C B + C) de overbregigsregel. 6. ( A B) ( ma mb) met m IR 0 7. Is V de oplossigsverzmelig v A.B.C 0; V1, V e V3 de oplossigeverzmelig resp. v A0, B0, C0 d is V V 1 V V 3 8. ( A.C B.C) ( A B C 0) Algebr 14

15 Belgrijke gevolge: ) eemt me A B A.C. B.C d loopt me gevr oplossige i te voere. x x +1 4 x + x x + ( x ) 4 + x( x ) x 5x ( x 3) ( x ) 0 ( x 3 x ) igevoerd dus los op ls volgt: x + ( x ) 4 + x( x ) x x 3 dus opl { 3} Othoud: voor we ee oemer verdrijve die de obekede bevt, moete we voorf ls voorwrde stelle dt deze oemer verschilt v ul. b) Neemt me A.C B.C A B d loopt me gevr oplossige te verduistere. ( x 1) ( x + ) ( 3x + ) ( x + ) x 1 3x + x x 3 : 1 oplossig verlore dus los op ls volgt: ( x + ) ( x + 3) 0 x + 0 x x x 3 dus opl 3, Algebr 15

16 3.1.3 Besprekig v de lieire vergelijkig x+b 0;,b IR ( e b hge f v ee prmeter) 1. 0 x + b 0 x b ( eige oplossig) ( eigelijke oplossig). 0 0x + b 0 0x b ls b 0 d is opl ls b 0 d is opl IR ( ee vlse vergelijkig) ( ee idetieke vergelijkig) px m 3x 9 p e m prmeters; p, m IR (p - 3)x m p 3 x m 9 p 3. p 3 0x m 9 ls m 3 m -3 d is 0x 0 opl IR ls m 3 m -3 d is opl Oplosse v de tweedegrdsvergelijkig i 1 obekede Stdrdvorm x + bx + c 0 met IR 0 ; b,c IR De discrimit opzoeke b 4c Als > 0 d heeft x² + bx + c 0 twee verschillede wortels b b + x 1 e x 0 d heeft x² + bx + c 0 twee gelijke wortels -b x 1 x < 0 d heeft x² + bx + c 0 gee reële wortels Algebr 16

17 Is b ee eve getl d k me gebruik mke v de vereevoudigde formules. Als b b' d is 4b' 4c 4( b' c) 4 ' e ' wordt de vereevoudigde discrimit geoemd. De wortels zij d x 1 b' ', x b' + ' 3. Ogelijkhede i IR 3..1 Defiitie Ee ogelijkheid is ee uitsprkvorm v de gedte A < B (of A B, A > B, A B). Hierbij zij A e B twee uitdrukkige wrv er temiste éé ee verderlijke bevt. 3.. Oplosse v ogelijkhede Ee ogelijkheid i IR oplosse beteket lle reële getlle beple wrvoor de uitsprkvorm ee wre uitsprk wordt. opl ( x( x 1) > 0) ], 0[ ] 1, + [ Twee ogelijkhede zij gelijkwrdig ls hu oplossigeverzmelig dezelfde is. Stellige over gelijkwrdige ogelijkhede. 1. ( A < B) ( A + C < B + C). ( A < B) ma < mb ls m IR ma > mb ls m IR 0 I ee ogelijkheid verdrijve we de obekede ooit uit de oemer. Algebr 17

18 3..3 Besprekig v de lieire ogelijkheid x + b > 0;,b IR ( e b hge f v ee prmeter) x + b > 0 x > - b 1. > 0 x > b x > b opl x IR x > b. < 0 x > b x < b opl x IR x < b b > 0 opl IR 3. 0 x > b 0x > b is b 0 opl px m + 3 < x p ( p, m IR) ( p )x < m p 3 Besprekig: 1. p > opl x IR x < m p 3 p. p < opl x IR x > m p 3 p ) m 5 > 0 opl IR 3. p 0x < m 5 b) m 5 0 opl Algebr 18

19 3..4 Oplosse v kwdrtische ogelijkhede i 1 obekede x + bx + c 0 met IR 0 ; b,c IR We oderzoeke eerst het teke v het likerlid e leide druit de gepste itervlle f wrtoe x moet behore. Drtoe bespreke we de grfiek v de fuctie y x + bx + c. Deze stelt ee prbool voor met s v symmetrie // y-s. y x + bx + c De sijpute v de prbool met y-s worde verkrege door het stelsel: x 0 te losse. Oplossig( S) ( 0,c) { } op y x + bx + c De sijpute met de x-s door y 0 op te losse: > 0 de prbool sijdt de x-s i de pute b, 0 e b +, 0 0 de prbool rkt de x-s i b,0 < 0 de prbool sijdt of rkt de x-s iet. Verder wete we dt ls > 0, de prbool met hr holle zijde r bove gericht ligt e ls < 0 de holle zijde r oder gericht ligt. Algebr 19

20 Smevttig: D > 0 D 0 D < 0 > 0 x x 1 x x 1 x x 1 < 0 x x 1 Uit deze tbel leide we gemkkelijk het tekeverloop v y x + bx + c f: x x 1 x teke v teke v 0 tegegesteld 0 teke v x + bx + c teke v 1. Als > 0. Als < 0 opl(x + bx + c 0) ], x ] [ x, + [ opl(x + bx + c³ 0) [ x, x ] 1 1 x x 3 0 ulpute zij 1, 3 tekeoderzoek: x x x 1 x x Opl [-1,3] Algebr 0

21 3..5 Oplosse v gebroke ogelijkhede Voorbeeld 1: Tekeoderzoek v ee mcht, ee product of ee quotiet v lieire fctore. f( x) x( 1 x) ( x + 3)3 ( 3 x) ( x + 3) > 0 tekeoderzoek: x x x ( x + 3) ( 3 x) ( x + 3) f( x) opl( f(x)>0) 3, ] 0,1[ Voorbeeld : Tekeoderzoek v ee mcht, ee product of ee quotiët v lieire e kwdrtische fctore. ( ) f( x) ( x 1) x + x +1 x + x 6 0 ulpute teller: 1; ulpute oemer: -3, tekeoderzoek: x -3 1 x x + x x + x f( x) opl(f(x) 0) ], 3[ ] 1, [ Voorbeeld 3: Tekeoderzoek v ee product of ee quotiët v veelterme. Algebr 1

22 f( x) x4 + x 3 x +1 < 0 x 3 + x + x ( ) ( ) otbide ( x 1) ( x +1) x + x 1 x x + x +1 tekeoderzoek: x x x x x + x x + x f( x) opl(f(x) < 0) ]-1,0[ ] 1, + [ Voorbeeld 4: x + x +1 x + 3 x 1 tekeoderzoek: x + x +1 x + 3 x 1 0 3x 5 ( x +1) ( x 1) 0 x x x x f (x) opl(f(x) 0) -, 1 1, + 3 ] [ Algebr

23 3.3 Oefeige Los op 1. ( x 5)( 3x + 7) ( x 5)( 5x + 3) opl.: {,5 }. ( x 5) 9 0 opl.: {,8 } x x x x x x + 3 1x x x ( x) x + 7x + 3(11 x) ls Z e er gelijke wortels zij 3x 3 4x 3 > 5 4 x 3 x + 1 x 5 > 5 8 ( 3x +1) ( 3x + ) < x x 3 opl.: opl.: {-1,4} 17 opl.: 3, 6 opl.: -1, x -5 4 opl.: x > 5 71 opl.: x > opl.:,, x 1 + x 3 x ( x )( x x )( x x ) opl.: ], 1[ [ 1,[ ] 3, + [ > 0 3 opl.:, ] 1, [ 1. x 1 x + 1 < x + 1 x 1 opl.: ] 1,0[ ] 1, + [ 3.3. Los op e bespreek 1. m x 4x m. x p + m + x p m 0 Algebr 3

24 3. ( ) p p x x mp 4. mx - 1 x + m 5. x + 4 > mx m ( x 4) < 4 x 7. px 5m + m < mx mp Algebr 4

25 4 Absolute wrde v ee reëel getl 4.1 Defiitie De bsolute wrde (of modulus) x v ee reëel getl x defiiëre we ls volgt: x IR : x x ls x 0 x ls x 0 Merk op: 1) voor elk v 0 verschilled reëel getl is éé v de dele v de defiitie v toepssig. Allee voor 0 zij beide dele toe te psse mr ze levere hetzelfde resultt wt 0 0 ) x IR + Grfiek: Me bekomt de grfiek v y x door het deel v de grfiek v y x dt oder de x-s ligt te spiegele rod de x-s. Algebr 5

26 4. Eigeschp x IR, IR + : x x 4.3 Bewerkige x,y IR: xy x. y x 1 x 1,x 0 x y x y,y 0 x + y x + y 4.4 Toepssig: verloop v ee fuctie gedefiieerd met modulus-tekes Gegeve: f ( x) x 3 Gevrgd: schets de grfiek v f Oplossig: Methode 1: uitgde v de defiitie v f zoder modulusstrepe f ( x) x 3 ls x 3 0 ( x 3) ls x 3 0 f ( x) x 3 ls x 3 ( 1) 3 x ls x 3 ( ) (1) wordt grfisch ee hlfrechte (3, 0), (4, 1) () wordt grfisch ee hlfrechte (3, 0), (, 1) Algebr 6

27 Methode : uitgde v de grfiek v y x - 3 y x - 3 wordt voorgesteld door ee rechte (0, - 3), (3, 0) om de grfiek v y x 3 te vide, spiegele we het deel v de grfiek v y x - 3 dt oder de x-s ligt, rod de x-s. Algebr 7

28 4.5 Oefeige Teke de volgede grfieke i ee rechthoekig ssekruis: 1. y x + 1. y x y x 4 4. y 3x + 4x y x y x + x + 7. y x 1 x 4 Algebr 8

29 5 Mtrices e determite 5.1 Mtrices Defiitie Ee m x mtrix A is ee rechthoekige tbel v m reële (of complexe) getlle, bestde uit m rije e kolomme. Algemee: ( ij ) A mx m1 m m3... m De elemete ij worde voorzie v dubbele idices. De eerste idex wijst het rgummer v de rij v het beschouwd elemet, de tweede het rgummer v de kolom. Aldus stt 3 op de tweede rij e i de derde kolom. De verzmelig v lle m mtrices wordt voorgesteld door IR m x of door C m x l rgelg de elemete ij reële of complexe getlle zij. m e worde de dimesies v de mtrix geoemd Gelijke mtrices Twee mtrices A e B hete gelijk ls e slechts ls: ze gelijke dimesies hebbe, hu gelijkstdige elemete gelijk zij. A ( ij )e B b ij ( ) d is A B ij b ij met i 1,, 3,...m j 1,, 3,... ( ij ) ( b ij ) ij b ij Algebr 9

30 5.1.3 Optellig v mtrices met gelijke dimesies Gelijkstdige elemete worde opgeteld. ( ij )+ ( b ij ) ( ij + b ij ) Eigeschppe: 1. ee iwedige bewerkig A, B IR m x : A + B IR m x. commuttiviteit: A + B B + A 3. ssocitiviteit: (A + B) + C A + (B + C) 4. de ulmtrix 0 ( lle ij 0) is eutrl elemet. A + 0 A 5. bij iedere mtrix A ( ij ) hoort ee tegegestelde mtrix A ( ij ) mx IR,+ is ee commuttieve groep Vermeigvuldigig v ee reëel getl e ee mtrix r IR: r( ij ) ( r. ij ) Het reëel getl wordt sclir geoemd e de bewerkig heet sclire vermeigvuldigig Algebr 30

31 Eigeschppe: 1. iwedige bewerkig: r IR, A IR m x : r A IR m x. de sclir 1 is eutrl elemet: A IR m x :1.A A 3. ssocitiviteit: r, s IR, A IR m x : ( rs)a r( sa) 4. distributiviteit t.o.v. de optellig i IR m x : r( A + B) ra + rb 5. distributiviteit t.o.v. de optellig i IR : ( r + s)a ra + sa Bovedie is IR m x, + ee commutieve groep; Besluit: mx IR, IR,+ is ee reële vectorruimte Getrspoeerde mtrix Schrijft me de rije v ee mtrix A ls kolomme, zoder de volgorde v die rije of v de elemete i iedere rij te wijzige, d otstt de getrspoeerde mtrix A T v A. De overgg v de ee r de dere mtrix heet trspositie. Merk op: ls A IR m x A T IR x m m T 1... m A A m1 m m 1 m Mtrixvermeigvuldigig Zij A ( ij ) ee m p-mtrix e B ( b ij ) m -mtrix C ( c ij ) wrbij ij i1 1 j i j ip pj ik kj k 1 ee p -mtrix, d is het product v A e B ee p c b + b b b, i 1... m, j Opgelet: ee mtrix product A.B bestt dus d e llee d, ls het tl rije v B gelijk is het tl kolomme v A. Algebr 31

32 Voorbeeld c c c b11 b1 b 13 c1 c c b1 b b 3 c31 c3 c c41 c4 c43 4 x x 3 4 x 3 met c b b 1 c 3 1 b 13 + b 3 Eigeschppe: 1. ssocitiviteit: (A.B).C A.(B.C). distributiviteit: A.(B + C) A.B + A.C (A + B).C A.C + B.C 3. Niet-commuttiviteit terwijl [ ] [ ] [ ] Vierkte mtrices Ee vierkte mtrix is ee mtrix met eveveel rije ls kolomme. Het is ee mtrix v orde. De elemete ii met i 1,, 3,..., vorme de hoofddigol. Algebr 3

33 Bijzodere vierkte mtrices: Eeheidsmtrix v de orde : i, j 1,,..., : ii 1 ij 0 ls i j E E De eeheidsmtrix v de orde speelt de rol v eutrl elemet voor de mtrixvermeigvuldigig v mtrices v de orde : A.E E.A A. b 1 0 b c d 0 1 c d 1 0 b b 0 1 c d c d Nulmtrix 0 is ee opslorped elemet voor de mtrixvermeigvuldigig A.0 0.A 0 b c d Opmerkig: er best mtrices A e B wrvoor A.B 0 e A 0 e B 0. Deze mtrices oemt me uldelers Algebr 33

34 5. Determite 5..1 Defiities De determit v ee vierkte -mtrix door oeme we het reële getl gegeve Nottie: det A of A of ij determit v de de orde. Stel i wt volgt A Rg v ee elemet: De rije v ee determit (of bijhorede mtrix) worde geummerd v bove r oder, de kolomme v liks r rechts. Stt ee elemet i de rij met rgummer i e i de kolom met rgummer j, d oemt me i + j de rg v dt elemet. Cofctor v ee elemet: Schrpt me i ee determit v orde 3 de rij e de kolom v ee elemet, d otstt ee determit v orde. Deze determit, voorfgeg v het teke + of -, l r gelg de rg v het beschouwde elemet eve of oeve is, wordt cofctor v dit elemet geoemd. (mior ls de determit zoder teke beschouwd wordt.) Nottie: α ij : hgt dus iet f v de getlle uit de rij e kolom wri het elemet zich bevidt α 1 1 ( ) Algebr 34

35 Defiitie: De determit v ee 3 3-mtrix is het reële getl dt me vidt door de elemete v ee rij of ee kolom te vermeigvuldige elk met hu cofctor e de bekome producte bij elkr op te telle. Kiest me bv. de 1 ste rij, d zegt me dt me de determit r de eerste rij otwikkelt. 3 1 A α 11 ( 1) α 1 ( 1) ( 8 6) α 13 ( 1) det A (-). + (-7) k ook gemkkelijk teruggevode worde met de Regel v Srrus. 5.. Eigeschppe v determite 1. Ee vierkte mtrix A e zij getrspoeerde A T hebbe gelijke determite. det A det A T. Worde twee rije (kolomme) v ee determit verwisseld d verdert die determit v teke. Gevolge: ee determit met gelijke rije (kolomme) is ul. de som v de producte v de elemete v ee rij (kolom) met de overeekomstige cofctore v ee dere rij (kolom) is ul. Zie voorbeeld hierbove: 1 α 11 + α α ( )+. ( 7) 0 Algebr 35

36 3. Splitst me ee rij (kolom) i ee som v twee rije (kolomme) d is de determit op overeekomstige wijze te beschouwe ls de som v twee determite ' b 1 c 1 1 b 1 c 1 1 ' b 1 c 1 + ' b c b c ' b c ' b 3 c 3 3 b 3 c 3 3 ' b 3 c Vermeigvuldigt me ee rij (kolom) met ee reëel getl k, d wordt ook de determit met k vermeigvuldigd. k 1 kb 1 c 1 1 b 1 c 1 kb c b c 3 kb 3 c 3 3 b 3 c 3 Gevolge: bevtte lle elemete v ee rij (kolom) eezelfde fctor, d k die fctor voor de determit worde gepltst. ee determit met everedige rije (kolomme) is ul. 5. Als me bij ee rij (kolom) ee veelvoud v ee dere rij (kolom) optelt, d blijft de determit gelijk. 1 b 1 c 1 b c 3 b 3 c kb 1 b 1 c 1 + kb b c 3 + kb 3 b 3 c 3 6. Det (A.B) det A. det B Algebr 36

37 7. Ee determit berekee door verlgig v de orde. Elke determit k door toepssig v de eigeschppe herleid worde tot ee determit wri ee rij of ee kolom op éé elemet llee ulle bevt r 1 r r 3 r ( ) 1 Algebr 37

38 5.3 Oefeige 1. Bereke x, y, z ls 4 x x y+5z y 0 x+5 x+y+z Atwoord: x, y -3, z 1. Vul de door ee put geduide pltse i: Als A ee p q-mtrix is e B ee r s-mtrix, oder welke voorwrde best d de beide producte A.B e B.A? Atwoord: q r e s p 4. Me geeft de mtrices: A 1 0 B C Bereke chtereevolges A.B, (A.B).C, B.C, A.(B.C) e verifieer ldus de ssocitieve eigeschp. 5. Bewijs dt (A.B) T B T.A T ls g h b c A, B i j d e f k l 6. Bepl l de mtrices B wrvoor A.B B.A. ls A Atwoord: x z 3 z x + z 7. Welk verbd bestt er tusse de mtrices B (v de orde 3) e A.B ls A 0 k A Algebr 38

39 8. Bereke de volgede determite (ps ordeverlgig toe): opl.: 49 opl.: -5 opl.: b c c b b c 9. Too dt: opl.: 10 opl.: 0 opl.: 3 +b 3 +c 3-3bc b ck p q rk x y z b c p q r xk yk z Algebr 39

40 6 Stelsels 6.1 Stelsels v vergelijkige e obekede Mtrixottie 11x 1 + 1x x b1 x + x x b... x + x x b ij IR, b i IR Stel A IR x x1 b1 x b X IR, B IR x b x 1 x 1 Mtrixottie: A.X B -x + 5y - z x 1 x + z 0 A 1 0 1, X y, B 0 -y + 3z z - Algebr 40

41 6.1. Oplosse v ee stelsel door elimitie Door opeevolgede elimities wordt het gegeve stelsel vervge door ee gelijkwrdig stelsel wri de eerste vergelijkig obekede bevt, de tweede - 1, de derde -,... de voorltste e de ltste 1. Uit de ltste vergelijkig wordt de wrde v de obekede fgeleid. Door substituties i de vergelijkige met, 3, 4,..., obekede worde chtereevolges de dere obekede bereked. x + y z x y 3z 1 1 3x + 6y + z 37 1 x + y z 9 3y + z 8 1 3y + 4z 10 1 x + y z 9 3y + z 8 z x + y y 8 z 1 x 10 y z 1 x 8 y z Oplosse v ee stelsel met de methode v Crmer. Zij gegeve ee x stelsel: Het stelsel A.X B heeft ee uieke oplossig A 0; de oplossig wordt gegeve door x i A i A wrbij de x-mtrix Ai ls volgt gedefiieerd wordt: A i i-1 b1 1 i i-1 b i i-1 b i+1... We hereme het vb. v A A - 6 A A Algebr 41

42 A A A - 1 A 3-6 x A 1 A 8, y A A, z A 3 A 1 6. Stelsels lieire ogelijkhede met 1 obekede Me lost ieder der ogelijkhede fzoderlijk op e de oplossig v het stelsel wordt gevormd door de wrde die l de ogelijkhede voldoe. (S) x < x 3 3 < x 9 x x 1 < x < opl (S) x IR 3 9 <x< 5-3/9 5 Algebr 4

43 6.3 Oefeige Los volgede stelsels op x + y 3z x + y + 3z 1 4x + 7y + 3z 7 y + 3z 1 x + y + z 4x + 5y z 5 3x y + z 16 x + 3y + 4z 7 x y + z 8 x + y 1 3y 5z 11 z 3x x y y z z x 9 3 opl.: k,1 + k, k 5 5 opl.: opl.: {(1,0,0)} opl.: {(5,-,1)} 4 4 opl.: 4,, Los volgede stelsels ogelijkhede op 1.. x 4 0 ( x 3)( x + 5) < < 3x- x 1 < 0 (4 x - 1)(x + 3) opl.: ]-5,-[ [,3[ 1 opl.: 0, x < < opl.: ] 4,9[ Algebr 43