1. Symmetrische Functies

Transcriptie

1 Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele. De hoofdstellig va de symmetrische fucties is het belagrijkste resultaat e zal i het vervolg vaak gebruikt worde. Laat R ee commutatieve rig met 1 zij. De symmetrische groep S werkt op R[X 1,..., X ] door permutatie va de variabele: f(x 1,..., X ) f(x σ(1),..., X σ() ). Ee polyoom f R[X 1,..., X ] heet symmetrisch als f ivariat is oder alle σ S. Te duidelijkste zij alle elemete uit R ivariat, maar iteressatere voorbeelde va symmetrische polyome zij gemakkelijk te geve; zo zij X i e voor alle k Z 0 te duidelijkste symmetrische polyome. Adere voorbeelde worde gegeve door de zogeaamde elemetaire symmetrische polyome σ 1 = X 1 + X X, X k i σ 2 = X 1 X 2 + X 1 X X 1 X, σ 3 = X i X j X k,. i<j<k σ = X 1 X 2 X. Dus voor 1 r is het r-de elemetaire symmetrische polyoom (soms ook wel symmetrische fuctie geoemd) σ r = X i1 X i2 X ir. 1 i 1 <i 2 <...<i r Ee belagrijke opmerkig is dat deze σ r op teke a de coëfficiëte va het polyoom (Y X 1 )(Y X 2 ) (Y X ) = Y σ 1 Y 1 + σ 2 Y ( 1) 1 σ 1 Y + ( 1) σ zij. Maar er zij ook adere stadaard symmetrische polyome, zoals de Newtopolyome p k = Xi k (k = 1, 2,...). * Luigi Lagrage, , Fras-Italiaas wiskudige.

2 Algebra 3 2 De volgede stellig die i essetie op Warig* (1762) teruggaat beschrijft alle symmetrische polyome. (1.1) Hoofdstellig va de symmetrische fucties. Ieder symmetrisch polyoom i R[X 1,..., X ] ka op ee ééduidige maier geschreve worde als polyoom i de elemetaire symmetrische polyome. Bewijs. Gegeve ee symmetrisch polyoom f R[X 1,..., X ] zulle we ee polyoom i de σ 1,..., σ costruere dat gelijk is aa f. We doe dit met iductie aar de totale graad va f. De stellig geldt voor polyome va graad 0. We schrijve f als som va moome e ordee de moome lexicografisch. Dus ee mooom ax r 1 1 Xr komt eerder da bx s 1 1 Xs als r i > s i voor de kleiste i waarvoor r i ogelijk is aa s i. Beschouw u de kopterm va f i deze schrijfwijze: f = cx a 1 1 Xa +... Omdat f symmetrisch is geldt u a 1 a 2... a, aders zou ee verwisselig va twee variabele ee term geve die eerder komt i deze ordeig. Het symmetrische polyoom cσ a 1 a 2 1 σ a 2 a 3 heeft dezelfde kopterm cx a 1 1 Xa 2 σ a 1 a f 1 = f cσ a 1 a 2 1 σ a 2 a 3 1 σ a (ga dit zelf a). Defiieer u 2 σ a 1 a 1 σ a. Als f 1 = 0 da zij we klaar. Zo iet, da is f 1 ee symmetrisch polyoom waari alle moome i de lexicografische ordeig later kome da de kopterm va f. We herhale da het proces voor f 1. Dat geeft ee f 2 = f 1 c 1 σ a 1 a 2 1 X a 2 a 3 Omdat er maar eidig veel moome X d 1 1 Xd 2 X a 1 a 1 X a. mogelijk zij met vaste totale graad d = d d, gaat a eidig veel stappe de totale graad va os polyoom omlaag. Da kue we de iductiehypothese toepasse e hebbe we aagetood dat de gevraagde schrijfwijze bestaat. We moete og late zie dat de schrijfwijze eeduidig is. Als dat iet zo is, da is er ee symmetrisch polyoom f dat op twee verschillede maiere ka worde geschreve. Dat beteket dat de afbeeldig va polyoomrige φ : R[Y 1,..., Y ] R[X 1,..., X ], g(y 1,..., Y ) g(σ 1,..., σ ) ee iet-triviale ker heeft. We late u met iductie zie dat dit iet zo is. De lezer mag het geval = 1 direct cotrolere. Als g i de ker va φ met > 1 zit, da krijge we door substitutie va X = 0 (i de σ i ) e Y = 0 i g ee elemet g va de ker va φ 1, e per iductieaaame is dat elemet ul. Dus g wordt ul bij substitutie Y = 0 e dus is g deelbaar door Y, zeg g = g 1 Y e g 1 (σ 1,..., σ )σ = 0. * Edward Warig, , Egels wiskudige liet i zij Miscellaea Aalytica zie dat alle ratioale symmetrische fucties va de wortels va ee polyoom als ratioale fuctie va de coëfficiëte uitgedrukt kue worde

3 Algebra III 3 Maar σ is gee uldeler i R[X 1,..., X ], dus g 1 zit i de ker va φ, e is va lagere totale graad. Met iductie aar de graad volgt u de stellig. Dit beëidigt het bewijs va de hoofdstellig. De symmetrische groep S werkt ook op het lichaam K(X 1,..., X ) va ratioale fucties. We kue dus ook spreke va symmetrische ratioale fucties. (1.2) Gevolg. Laat K ee lichaam zij e laat K(X 1,..., X ) het quotiëtelichaam va K[X 1,..., X ] zij. Da is iedere symmetrische ratioale fuctie φ i het lichaam K(X 1,..., X ) ee ratioale fuctie i σ 1,..., σ. Bewijs. Laat φ = f/g ee ratioale fuctie zij die symmetrisch is. Hierbij zij f e g elemete va K[X 1,..., X ]. We make u eerst de oemer symmetrisch: het polyoom h := σ S σ(g) is te duidelijkste symmetrisch. We zie dat h φ symmetrisch is, maar ook ee polyoom i K[X 1,..., X ], dus volges de hoofdstellig ee polyoom i de elemetaire symmetrische polyome σ i. Maar ook h is volges de hoofdstellig ee polyoom i de σ i e daarom is φ da ee ratioale fuctie i de σ i. Q.e.d. Opmerkig. De bovestaade hoofdstellig wordt vaak de hoofdstellig va de symmetrische fucties geoemd, alhoewel hier gee sprake is va fucties maar va polyome. Het bewijs geeft zelfs ee algoritme (=recept) voor het verkrijge va de schrijfwijze va ee symmetrisch polyoom als polyoom i de σ r. We geve u ee voorbeeld va de bepalig va de schrijfwijze zoals gegeve i de hoofdstellig. We eme = 3 e beschouwe het symmetrische polyoom (X 1 X 2 ) 2 (X 1 X 3 ) 2 (X 2 X 3 ) 2. Dit is te duidelijkste ee symmetrisch polyoom. Als we het uitschrijve da is de eerste term i de lexicografische ordeig de term X1 4X2 2. Volges het algoritme moete we σ1 2σ2 2 aftrekke va f; het resultaat is (gebruik Maple, Mathematica of iets dergelijks) 4(X 4 1 X 2X 3 + X 1 X 3 2 X 3 + X 1 X 2 X 4 3 ) 4(X3 1 X3 2 + X3 1 X3 3 + X3 2 X3 3 )+ 6(X 3 1X 2 2X 3 + X 3 1X 2 X X 2 1X 2 2X 3 + X 1 X X X 2 1X 2 X X 1 X 2 2X 3 3) e we zie dat de eerste term i de lexicografische ordeig u 4X 4 1 X 2X 3 is. We telle er daarom u 4σ 3 1 σ 3 bij op e krijge 4(X 3 1 X3 2 + X3 1 X3 3 + x3 2 X3 3 )+ 6(X 3 1 X2 2 X 3 + X 3 1 X 2X X2 1 X3 2 X 3 + X 1 X 3 2 X2 3 + X2 1 X 2X X 1X 2 2 X3 3 ) e vide u als eerste term 4X 3 1 X3 2. Daarom telle we er 4σ3 2 bij op e vide 18(X 3 1 X2 2 X 3 + X 3 1 X 2X X2 1 X3 2 X 3 + X 2 1 X 2X X 1X 3 2 X 3 + X 1 X 2 2 X3 3 )

4 Algebra 3 4 met als eerste term 18X 3 1 X2 2 X 3. We trekke er u weer 18σ 1 σ 2 σ 3 va af e krijge da 27X 2 1X 2 2X 2 3 e herkee dit als 27σ 2 3. I totaal vide we dus (X 1 X 2 ) 2 (X 1 X 3 ) 2 (X 2 X 3 ) 2 = σ 2 1 σ2 2 4σ3 1 σ 3 4σ σ 1σ 2 σ 3 27σ 2 3. We zie ook dat het ogal ee bewerkelijk proces ka zij om ee gegeve symmetrisch polyoom i de stadaardgedaate te brege. Merk op dat de uitdrukkig (X 1 X 2 )(X 1 X 3 ) (X 1 X ) iet ivariat is oder de hele symmetrische groep S, maar allee oder de groep A va de eve permutaties. Het kwadraat hierva is wel ivariat oder de symmetrische groep e deze symmetrische fuctie heet de discrimiat va het polyoom met wortels X i. Zo is de discrimiat va gelijk aa (Y X 1 )(Y X 2 ) (Y X ) Y 2 (X 1 + X 2 )Y + X 1 X 2 = Y 2 σ 1 Y + σ 2 (X 1 X 2 ) 2 = σ 2 1 4σ 2. De discrimiat va ee derdegraads polyoom Y 3 a 1 Y 2 +a 2 Y a 3 hebbe we zojuist uitgereked: D = a 2 1 a2 2 4a3 1 a 3 4a a 1a 2 a 3 27a 2 3. I het bizoder heeft het derdegraadspolyoom X 3 +ax+b als discrimiat 4a 3 27b 2. Opgave 1) Schrijf X1 4 + X4 2 + X4 3 Z[X 1, X 2, X 3 ] als polyoom i de elemetaire symmetrische polyome. 2) Schrijf X2 i e X3 i als polyoom i de elemetaire symmetrische fucties. 3) Schrijf de volgede symmetrische ratioale fuctie i terme va de elemetaire symmetrische fucties: X 1 /X 2 + X 1 /X 3 + X 2 /X 1 + X 2 /X 3 + X 3 /X 1 + X 3 /X 2. 4) Laat K ee lichaam zij e laat f K[X] ee moisch polyoom zij. Da geldt graad(ggd(f, f )) > 0 de discrimiat va f is ul. Bewijs dit. 5) Laat p k = Xk i de k-de machtssom zij voor k 1. Bewijs de volgede formules va Newto: p r p r 1 σ 1 + p r 2 σ ( 1) r 1 p 1 σ r 1 + ( 1) r rσ r = 0 voor r p r p r 1 σ 1 + p r 2 σ ( 1) p r σ = 0 voor r >.

5 Algebra III 5 6) Laat E(t) = j=0 σ jt j. Bewijs de idetiteit E(t) = (1 + X i t). Laat verder P(t) = j=1 p jt j 1. Bewijs de idetiteit P( t) = E (t)/e(t). 7) Laat α 1, α 2 e α 3 de drie ulpute va X 3 2X 2 + 3X 1 i C zij. Bereke de coëfficiëte va het moisch polyoom va de derde graad i Q[X] met ulpute α 2 1, α 2 2 e α ) Laat f = (X a 1 )(X a 2 ) (X a ) K[X] ee polyoom zij. Bewijs dat de discrimiat va f op teke a gegeve wordt door D = ± f (a i ). 9) Laat R 1 R 2 ee deelrig met 1 R 1 va de commutatieve rig R 2 met 1 zij. Laat f ee moisch polyoom i R 1 [X] zij dat i R 2 [X] otbode ka worde als f = (X a 1 ) (X a ) met a i R 2 voor i = 1,...,. Laat zie dat voor elk symmetrisch polyoom g R 1 [X 1,..., X ] geldt dat g(a 1,..., a ) R 1. 10) Stel dat X 3 X 1 Z[X] zich laat otbide als (X a 1 )(X a 2 )(X a 3 ) i C[X]. Laat p k = a k 1 + ak 2 + ak 3 voor k Z. Laat zie dat i) p k = p k 2 + p k 3 voor alle k Z. ii) p k Z voor alle k Z. 11) Laat p r de r-de machtssom zij i de variabele X 1,..., X. Bewijs voor 5 de volgede formule va Warig: p r = r λ ( 1) λ 2+λ (λ 1 + λ λ 1)! σ λ 1 1 λ 1!λ 1! λ! σλ 2 2 σλ, waar de som loopt over de -talle λ = (λ 1,..., λ ) met λ i Z 0 die voldoe aa λ 1 + 2λ λ = r.