VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert"

Transcriptie

1 VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

2 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid De populatieproportie Beroulli of 0 1 populatie Kemerke va ee 0 1 populatie De steekproefproportie Het gemiddelde va de steekproefproportie De stadaardfout va de steekproefproportie De vorm va het kasmodel Overzicht Ee kasmodel beadere met ee ader kasmodel De ormale beaderig Criterium voor de ormale beaderig...13 Cetrum voor Statistiek 1

3 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid I de krat lees je dat er bij de geboorte i Vlaadere 48.7 % meisjes zij, dat 54 % va de allochtoe leerlige thuis gee Nederlads spreekt, e dat 10 % va wie hersevliesotstekig (meigitis krijgt eraa sterft. Heel veel iformatie komt tot jou i de vorm va verhoudige of proporties. We gaa daar u uitgebreid aadacht aa bestede. Werke met proporties is eigelijk eevoudig. Je kijkt aar ee bepaalde eigeschap e de eige vraag die je da stelt is: Heeft iemad (of iets die eigeschap, ja of ee?. Die vraag herhaal je bij elk elemet va de groep die je bestudeert. Zo vid je de proportie va die groep die de eigeschap heeft. Als er bijvoorbeeld i ee groep va 2000 baby s 974 meisjes zij, da is de proportie meisjes i die groep gelijk aa 974 = wat ook gelijk is aa 48.7 % I de statistiek gebruik je als klassieke beamig het woord succes als de eigeschap er wel is e het woord mislukkig als die eigeschap er iet is. De woorde succes e mislukkig mag je hierbij iet iterpretere als iets wat goed of slecht is. Bij ee oderzoek aar de proportie meisjes bij de geboorte va kidere spreek je over succes als de baby ee meisje is e over mislukkig als het ee joge is. Om over te stappe va woorde op getalle vervag je succes door het cijfer 1 e mislukkig door het cijfer 0. Dat is gemakkelijk te othoude, wat 1 beteket de eigeschap WEL hebbe e 0 beteket de eigeschap NIET hebbe. Dat je met de cijfers 0 e 1 werkt is iet zomaar ee willekeurige keuze. Zij zorge ervoor dat je ee proportie ka uitrekee juist zoals je ee gemiddelde bereket. Dat zie je i volged voorbeeld. Aa ee groep va 12 allochtoe leerlige vraag je of zij thuis ee adere taal da het Nederlads spreke. Bij 7 is het atwoord ja e 5 zegge ee. Voor deze groep is de proportie leerlige die thuis ee adere taal spreekt gelijk aa wat je ook ka schrijve als 58 %. 12 Om deze proportie te berekee heb je vooraf het aatal ja atwoorde samegeteld. Dat hoefde iet. Je ka gewoo bij elke leerlig otere wat het atwoord is. Als de eerste leerlig ja zegt schrijf je 1. Zegt de tweede ook ja da schrijf je terug 1. Zegt de derde ee da schrijf je 0 ez.. Het resultaat va die 12 leerlige zou dus als volgt kue zij: Wat gebeurt er u als je de som maakt va al die ee e ulle? Je krijgt da gewoo het totaal aatal ee, wat ulle erbij telle veradert toch iets. som = aatal ee = aatal dat de eigeschap wel bezit Cetrum voor Statistiek 2

4 Als je u het aatal dat de eigeschap wel bezit deelt door het totale aatal da krijg je de proportie die de eigeschap wel bezit. Als formule is dat juist hetzelfde als het gemiddelde va getalle. xi = som aatal ee = = = totaal aatal totaal aatal i 1 proportie die de eigeschap wel bezit Juist zoals bij het gemiddelde ka je u ook de proportie op verschillede maiere bekijke. Je ka kijke aar de proportie i ee totale populatie of aar ee proportie i jouw steekproef of zelfs aar ee kasmodel waarbij je vooraf zegt welke proportie je i je steekproef ka vide e met welke kas. Dit leer je i de volgede paragrafe. 2. De populatieproportie I 2003 zij er i Vlaadere meer da kidere gebore e daarva ware er 48.7 % meisjes. Deze uitspraak gaat over de totale populatie va alle kidere die i 2003 i Vlaadere gebore werde. Als eigeschap eem je meisje zij zodat je met ee ee of ee ja ka atwoorde op de vraag: Is de baby ee meisje? Op die maier heb je hier te make met ee 0 1 populatie. Zo 0 1 populatie wordt ook ee Beroulli populatie geoemd e je ka ze op verschillede maiere voorstelle 2.1. Beroulli of 0 1 populatie Als je werkt met ee vaasmodel da ka je ee vaas vulle met heel veel kaartjes waarop ee 1 staat voor ee meisje e ee 0 voor ee joge. Je moet er da voor zorge dat je de juiste verhoudig gebruikt, bijvoorbeeld 3000 kaartjes waarbij er op 1461 ee 1 staat (voor ee meisje e op de adere 1539 kaartjes ee 0 (voor ee joge. Je ka ook ee staafdiagram gebruike om de populatie va deze baby s voor te stelle. Dat ziet er zo uit. Kasmodel voor de 0 1 populatie X met succeskas (0=joge, 1=meisje Figuur 1 Cetrum voor Statistiek 3

5 Je ka de populatie ook met ee tabel voorstelle. De kas op succes (e dat is i dit voorbeeld ee meisje, voorgesteld door het cijfer 1 is hier gelijk aa x 0 1 P(X=x Kasmodel voor de 0 1 populatie X met succeskas (0=joge, 1=meisje Tabel 1 Ee adere 0 1 populatie ziet er als volgt uit. Bemerk dat de kas op succes hier gelijk is aa 3 %. x 0 1 P(X=x Kasmodel voor de 0 1 populatie X met succeskas 0.03 (0=mislukkig, 1=succes Tabel 2 Over het algemee stel je bij ee 0 1 populatie de kas op succes voor door π (de Griekse letter pi. De kas op mislukkig is da gelijk aa 1 π. Ee algemee kasmodel voor ee 0 1 populatie ziet er als volgt uit. x 0 1 P(X=x 1 π π Kasmodel voor ee 0 1 populatie X met succeskas π (0 = mislukkig, 1 = succes Tabel 3 Z oals vroeger μ e σ oem je ook π ee populatieparameter. Het is ee vast getal dat ee bepaalde eigeschap va de populatie beschrijft. De letter π is eigelijk ee Griekse letter p e dat is de eerste letter va het woord proportie. De letter π duidt aa dat de proportie meisjes i de totale populatie gelijk is aa Dat zij 487 meisjes per duized baby s. Dit beteket ook dat, als je lukraak ee baby uit die databak va meer da baby s eemt, de kas op succes (kas op ee meisje gelijk is aa Cetrum voor Statistiek 4

6 I het algemee stelt π de proportie successe i de populatie voor, wat ook de populatieproportie wordt geoemd. π is ook de succeskas die je hebt als je uit die populatie trekt. Die succeskas ka je ook schrijve als PX= ( 1 wat succes wordt door het cijfer 1 voorgesteld. Bemerk dat i deze cotext π iets te make heeft met het getal Kemerke va ee 0 1 populatie Voor elk kasmodel ka je het gemiddelde e de stadaardafwijkig berekee. Ee 0 1 populatie heeft maar twee mogelijke uitkomste, amelijk 0 e 1. Het is ee discreet kasmodel. Je moet dus de formules voor discrete kasmodelle gebruike. Het gemiddelde va ee discreet kasmodel ke je al. Maak de gewoge som va de uitkomste. Voor de baby s va 2003 volgt uit tabel 1 dat EX ( = 0 ( (0.487 = x 0 1 P(X=x e voor de algemee 0 1 populatie X va tabel 3 vid je EX ( = 0 (1 π + 1 π = π x 0 1 P(X=x 1 π π Het gemiddelde va ee 0 1 populatie is gelijk aa haar succeskas π. Het is da ook logisch dat je voor 0 1 populaties de Griekse letter π gebruikt om het populatiegemiddelde aa te duide e iet de Griekse letter μ. Zodra je het gemiddelde ket ka je ook de spreidig rod dit gemiddelde kemerke. Dat doe je met de stadaardafwijkig. Je gebruikt daarbij de algemee formule voor discrete kasmodelle. Zo krijg je voor de 0 1 populatie va tabel 3 dat zodat 2 2 var( X = (0 π (1 π + (1 π π = π(1 π sd( X = π (1 π. Voor de 0 1 populatie va de baby s va het jaar 2003 (tabel 1 is de stadaardafwijkig gelijk aa sd( X = π(1 π = 0.487( Cetrum voor Statistiek 5

7 Ee 0 1 populatie X met succeskas π heeft: - als kasverdelig: x 0 1 P(X=x 1 π π - als gemiddelde: EX ( = π - als stadaardafwijkig: sd( X = π (1 π Opdracht 1 Hoe groot is de stadaardafwijkig va de 0 1 populatie i tabel 2? x 0 1 P(X=x De steekproefproportie Als je ee steekproef trekt uit ee 0 1 populatie da heb je ee steekproefresultaat ( x 1, x 2,..x i,.., x waarbij elke gevode x ofwel ee 0 ofwel ee 1 is. Als je da va al die getalle het gemiddelde maakt da vid je: xi 1 i= som aatal ee = = totaal aatal totaal aatal = = proportie elemete i de steekproef die de eigeschap wel bezit proportie successe i de steekproef De proportie successe die jij i je steekproef vidt stel je voor door ee kleie letter p met ee 1 hoedje erop: ˆp. Je spreekt dat uit als p hoed e de formule is dus pˆ = xi. = i 1 Cetrum voor Statistiek 6

8 Bij ee steekproef va grootte = 5 zou je bijvoorbeeld ( 1, 0, 1, 0, 0 kue gevode hebbe. 2 Da is voor jou p ˆ = = 0.4. Maar je had atuurlijk ook iets helemaal aders kue vide zoals 5 4 ( 1, 0, 1, 1, 1. Da zou jij p ˆ = = 0.8 gevode hebbe. 5 Nu komt de klassieke vraag. Ka jij vooraf zegge wat je als steekproefproportie zou vide als je uit ee 0 1 populatie zou trekke? Met het woord steekproefproportie wordt de proportie successe i de steekproef bedoeld. Je weet dat je op deze vraag allee maar ka atwoorde met ee kasmodel. Je hebt hier het kasmodel va de steekproefproportie odig, e dat stel je voor met ee hoofdletter, dus met ˆP. 1 s pˆ = x ˆ 1 1 i P = i i = Al da is X. De formule i 1 i = X herke je. Het is juist dezelfde formule 1 i = 1 die je gebruikt hebt voor het kasmodel va het steekproefgemiddelde. Alle eigeschappe die je daar geleerd hebt blijve ook hier gelde. Je ka ze gewoo herhale, met de aagepaste beamig Het gemiddelde va de steekproefproportie Werk met ee 0 1 populatie X waarbij de kas op succes gelijk is aa π, of aders gezegd, waarbij de proportie successe i de populatie gelijk is aa π. Trek uit zo populatie ee steekproef va grootte e bereke de proportie successe i jouw steekproef. Als je dat heel veel kere zou herhale da zou het gemiddelde va al die gevode steekproefproporties ( i the log ru samevalle met de populatieproportie. Voor ee steekproef ( X, X,... X uit ee 0 1 populatie X met succeskas π geldt: 1 2 het gemiddelde va de steekproefproportie is gelijk aa de populatieproportie Opdracht 2 E( P ˆ Welke formule voor het steekproefgemiddelde heb je hier vertaald? = π Cetrum voor Statistiek 7

9 3.2. De stadaardfout va de steekproefproportie H erier je dat voor ee 0 1 populati e X de stadaardafwijkig gelijk is aa sd( X = π (1 π. Als je dit toepast op de algemee eigeschap va het steekproefgemiddelde da krijg je het volgede. Voor ee steekproef ( X, X,... X uit ee 0 1 populatie X 1 2 met succeskas π geldt: de stadaardfout va de steekproefproportie is gelijk aa de stadaardafwijkig va de populatie gedeeld door de wortel uit de steekproefgrootte ( ˆ se P = π (1 π Opdracht 3 Welke formule voor het steekproefgemiddelde heb je hier vertaald? 3.3. De vorm va het kasmodel Ju ist zoals bij het kasmodel va het steekproefgemiddelde X is ook hier de globale vorm va het kasmodel va de steekproefproportie ˆP - WEL afhakelijk va de populatie waaruit je trekt - WEL afhakelijk va de grootte va de steekproef. I de volgede figuur zie je i de likerkolom het kasmodel va de steekproefproportie ˆP waeer je ee steekproef trekt uit ee 0 1 populatie waarbij de kas op succes gelijk is aa Bij ee steekproef va grootte = 10 e zelfs bij = 40 lijkt de globale vorm iet op ee symmetrische klokvormige figuur. Voor = 100 is dit (beadered wel het geval. I de rechterkolom zie je het kasmodel va ˆP waeer je trekt uit ee 0 1 populatie met succeskas Bij = 100 zie je ee zo goed als perfecte klokvorm, maar ook reeds bij = 40 e zelfs bij = 10 zie je figure die behoorlijk symmetrisch rod éé top zij. Cetrum voor Statistiek 8

10 Het kasmodel va de steekproefproportie ˆP bij ee steekproef va grootte uit ee 0 1 populatie X Kasmodel va ˆP bij ee steekproef uit de 0 1 populatie met π = 0.03 Kasmodel va ˆP bij ee steekproef uit de 0 1 populatie met π = = 10 = 40 = 100 Figuur 2 Cetrum voor Statistiek 9

11 3.4. Overzicht 0 1 populatie X met succeskas PX ( = 1 = π populatie EX ( = π sd( X = π (1 π ( X, X, X,... X,... X i steekproef ˆ 1 P= X steekproefproportie i = 1 i EP ( ˆ = π se( Pˆ = π (1 π Figuur 3 Cetrum voor Statistiek 10

12 Opdracht 4 Figuur 3 toot hoe je, uit de keis va de 0 1 populatie, eigeschappe ka afleide voor de steekproefproportie. Teke u zelf ook zo figuur waarbij je voor de groothede die je ket hu waarde ivult waeer je te make hebt met ee steekproef va grootte = 10 uit de 0 1 populatie va tabel 1. x P(X=x populatie X met succeskas PX ( = 1 = populatie EX ( = sd( X = steekproef P ˆ = steekproefproportie EP ( ˆ = se( P ˆ = Cetrum voor Statistiek 11

13 4. Ee kasmodel beadere met ee ader kasmodel Soms is het hadig om ee kasmodel te kue vervage door ee ader kasmodel. Dat doe je atuurlijk allee maar als dat adere kasmodel aa twee voorwaarde voldoet. Het moet het oorsprokelijke kasmodel goed beadere é het moet tegelijkertijd eevoudig te gebruike zij. Ee kasmodel dat je itusse goed ket is de ormale. Oder bepaalde voorwaarde ka je de ormale gebruike als beadered kasmodel voor de steekproefproportie ˆP. Je spreekt da over de ormale beaderig De ormale beaderig Dit weet je. Met de ormale dichtheidsfuctie zoek je de kas om i ee bepaald gebied (i ee bepaald deeliterval terecht te kome e NIET om op éé welbepaalde x-waarde terecht te kome. Je bereket ee kas als ee oppervlakte oder de curve e NIET als ee hoogte (fuctiewaarde. Dit weet je ook. De mogelijke uitkomste va de steekproefproportie vorme gee aaeegeslote cotiuüm maar eme discrete waarde aa. Bij ee steekproef va grootte = 10 bijvoorbeeld ka je 6 successe hebbe e da heb jij 0.6 gevode als je steekproefproportie. Je ka ook 7 successe hebbe e da is jouw steekproefproportie gelijk aa 0.7. Maar je ka iet zoiets als 6.12 successe hebbe bij ee steekproef va grootte = 10 e dus ka je iet als steekproefproportie uitkome (e ook gee ekel ader getal tusse 0.6 e 0.7 bij = 10. Bij elke discrete uitkomst hoort ee kas zodat je hier het kasmodel ka tekee als ee staafdiagram. Daar geeft de hoogte va de staafjes (e iet éé of adere oppervlakte de kas aa. Voorbeelde hierva zie je i figuur 2. Hoe ka je u die twee tegestrijdige systeme met elkaar verzoee? De oplossig is: werk met itervalle. Hoe je dat doet met de ormale is duidelijk, wat die is cotiu. Voor de steekproefproportie gaat dat ook, als je maar goed begrijpt wat er bedoeld wordt. Bij ee steekproef va grootte =10 ka je de vraag stelle aar de kas dat de steekproefproportie i het iterval [0.4 ; 0.7] terechtkomt. Dat beteket iet dat de mogelijke uitkomste va de steekproefproportie u plots cotiu geworde zij. Nee, zij zij discreet. Maar ook da ka je kijke aar alle mogelijke discrete waarde die i het iterval [0.4 ; 0.7] ligge. Voor al die waarde bereke je de kase e die tel je same. I formulevorm ziet dat er als volgt uit: P(0.4 Pˆ 0.7 = PP ( ˆ = PP ( ˆ = PP ( ˆ = PP ( ˆ = 0.7 De ormale beaderig zegt dat je P(0.4 Pˆ 0.7 goed ka beadere zoder eerst al die afzoderlijke kase te berekee. Hoe dat werkt leer je i de volgede paragraaf. Cetrum voor Statistiek 12

14 4.2. Criterium voor de ormale beaderig Je mag de ormale beaderig gebruike om de kas te berekee dat de steekproefproportie i itervalle valt va zodra het verwachte aatal successe e het verwachte aatal mislukkige beide mistes gelijk zij aa 15. I formulevorm beteket dit dat bij ee bepaalde waarde va π je ervoor moet zorge dat de steekproefgrootte zo groot is dat er gelijktijdig voldaa is aa π 15 (1 π 15 Voor π = bijvoorbeeld beteket dit: π 15 ( (1 π 15 ( zodat je moet werke met ee steekproefgrootte die mistes gelijk is aa 31. Nota. I de meeste tekste over statistiek lees je dat je reeds met de ormale beaderig mag werke zodra π e (1 π mistes 10 zij. Soms wordt mistes 5 als criterium geome. Recet weteschappelijk oderzoek heeft aagetood dat i bepaalde situaties deze greze te klei zij e dat het veiliger is om te werke met mistes 15. Als de steekproef groot geoeg is da mag je dus met de steekproefproportie ee ormaal verdeelde grootheid. ˆP werke zoals met De volgede kasuitspraak ke je: Elk ormaal model gemiddelde da 1.96 stadaardafwijkige. X valt met 95 % kas iet verder va zij ( P gemiddelde 1.96 stadaardafwijkig X gemiddelde stadaardafwijkig = 0.95 De ormale beaderig zegt dat je de steekproefproportie ˆP ook mag beschouwe als ee ormaal (1 model. Voor dit model is het gemiddelde ( ˆ π π EP ( ˆ = π e de stadaardafwijkig se P =. Voor de steekproefproportie ˆP krijg je da: ( ˆ P gemiddelde 1.96 stadaardfout P gemiddelde stadaardfout = 0.95 of of voluit ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P E( P 1.96 se( P P E( P se( P = 0.95 π(1 π ˆ π(1 π P π 1.96 P π = 0.95 Cetrum voor Statistiek 13

15 beadered kasmodel va de steekproefproportie ˆP 1.96 se( P ˆ π Figuur se( P ˆ De steekproefproportie ˆP levert resultate die rod haar gemiddelde E( P ˆ terechtkome. Je weet ook dat het gemiddelde va de steekproefproportie gelijk is aa de populatieproportie π. Dus ka je evegoed zegge dat de steekproefproportie ˆP rod de populatieproportie π terechtkomt. Met kas 95 % komt ˆP terecht i het iterval π 1.96 se( Pˆ ; π se( Pˆ. Je ka dit iterval ook verkort otere als π ± 1.96 se( Pˆ. Opdracht 5 Als π = e = 100 da komt de steekproefproportie ˆP met 95 % kas i het iterval [ ; ] terecht. Dat beteket dat jij met 95 % kas mistes 39 e hoogstes 58 meisjes i je steekproef zal vide. Reke dat zelf maar ees a e motiveer je maier va werke. Cetrum voor Statistiek 14

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr.

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 9. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg DEEL. Basisideeë.... Hoe extreem mag

Nadere informatie

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005 Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie

Nadere informatie

Betrouwbaarheidsintervallen

Betrouwbaarheidsintervallen tatistiek voor Iformatiekude, 005 Les 3 Betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we groothede va ee populatie met behulp va steekproeve kue schatte. We hebbe daarbij gezie dat

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 5

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 5 Statistiek Voor studete Bouwkude College 5 toevalsfluctuaties Programma voor vadaag Terugblik Wet va de grote aatalle Verwachtigswaarde Stadaardfout e wortel wet Normale beaderig voor kashistogramme Prof.

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6 Statistiek Voor studete Bouwkude College 6 extrapolatie va steekproef aar populatie Programma voor vadaag Terugblik Populatie e steekproef: extrapolatiestap Represetativiteit, (o)zuiverheid Populatiepercetage

Nadere informatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we

Nadere informatie

8. Betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden

8. Betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede tatitiek 8. Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Werktekt voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Ha Bekaert Cecile Goethal Lie Provoot Marc Vacaudeberg Statitiek

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 11 juni 2011

Uitwerkingen toets 11 juni 2011 Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het

Nadere informatie

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit. - Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 4. Werktekst voor de leerlg Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vacaudeberg . Populatemodelle:

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II Eidexame wiskude A vwo 008-II Beoordeligsmodel Cotrole bij ieuwbouw maximumscore 4 I 00 ware er (ogeveer) 7 000 ieuwbouwwoige I 004 ware er (ogeveer) 4 800 ieuwbouwwoige De toeame is 7000 4800 00% (: de

Nadere informatie

n -wet Wisnet-hbo update mei. 2008

n -wet Wisnet-hbo update mei. 2008 -wet Wiset-hbo update mei. 2008 1 Ileidig De wortel--wet komt i de praktijk erg vaak voor op twee maiere, amelijk bij het eme va steekproeve e bij het bepale va de va ee aatal trekkige uit ee verdelig.

Nadere informatie

2.1 De normale verdeling

2.1 De normale verdeling Les 2 Steekproeve We zulle i deze les bekijke, hoe we gegeves va ee populatie zoals het gemiddelde e de spreidig kue schatte, zoder aar elk idividu va de populatie te kijke. Het idee hierbij is, i plaats

Nadere informatie

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen Statistiek voor Iformatiekude, 006 Les 3 Schatters e betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we bijvoorbeeld het gemiddelde e de variatie va ee populatie kue schatte, door deze

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review) G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de

Nadere informatie

Help! Statistiek! Overzicht. Voorbeeld: bloeddruk. Interpretatie van het 95%-BI. Interpretatie van 95%-BI (2) Meest voorkomende vorm van het BI

Help! Statistiek! Overzicht. Voorbeeld: bloeddruk. Interpretatie van het 95%-BI. Interpretatie van 95%-BI (2) Meest voorkomende vorm van het BI Help! Statistiek! Overzicht Doel: Iformere over statistiek i kliisch oderzoek. Tijd: Derde woesdag i de maad, -3 uur 8 maart: Betrouwbaarheidsitervalle 5 april: Herhaald mete met twee mate 0 mei: Statistiek

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent. Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of. Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =

Nadere informatie

De standaardafwijking

De standaardafwijking Statstek voor het secudar oderwjs De stadaardafwjkg De stadaardafwjkg Prof dr Herma Callaert Ihoudstafel Motvate Ee groter kader: leare modelle Dre dmeses, twee verklarede veraderljke Twee dmeses, éé verklarede

Nadere informatie

Steekproeven en schatters

Steekproeven en schatters Statistiek voor Iformatiekude, 25 Les 2 Steekproeve e schatters We zulle i deze les bekijke, hoe we gegeves va ee populatie zo als het gemiddelde e de spreidig kue schatte, zoder aar elk idividu va de

Nadere informatie

Polynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n

Polynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte

Nadere informatie

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken. Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

Reductietechnieken. Spenderen de stedelijke huisgezinnen meer geld voor boeken dan de landelijke huisgezinnen? Maten van centrale tendentie.

Reductietechnieken. Spenderen de stedelijke huisgezinnen meer geld voor boeken dan de landelijke huisgezinnen? Maten van centrale tendentie. Reductietechieke Spedere de stedelijke huisgezie meer geld voor boeke da de ladelijke huisgezie? Mate va cetrale tedetie Modus Modus : de frequetste waarde Budget Fr Stad Fr Pl Budget Fr Stad Fr Pl Budget

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

x z vonden we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijkingen de waarde

x z vonden we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijkingen de waarde PW11: Betrouwbaarhedstervalle Bj de stude va de ormale verdelg hebbe we geze dat volgede belagrjke 68-95 - 99.7 regel geldt: Ogeveer 68% va de waaremge lgt be ee afstad va Ogeveer 95% va de waaremge lgt

Nadere informatie

OBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016

OBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016 Oudertevredeheid ods 't Gijmik Pagia 1 va 7 www. Olie Evaluatie Istrumet OBS 't Gijmik Oudertevredeheid ods 't Gijmik maart 2016 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2016 DigiDoc Pagia 1 va 7 Oudertevredeheid

Nadere informatie

Oefeningen Analyse II

Oefeningen Analyse II ste Bachelor Igeieursweteschappe ste Bachelor Natuurkude/Wiskude Academiejaar 27-28 9 jui 28 Oefeige Aalyse II. Ee lichaam bove het xy-vlak met willekeurige hoogte wordt lags oder begresd door de cirkel

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 8

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 8 Statistiek Voor studete Bouwkude College herhalig e ekele voorbeelde Programma voor vadaag Uitgebreide terugblik (per deel Is 0% va de Nederladers likshadig? Hoe checke we of ee theorie klopt? Aalyse va

Nadere informatie

1. De wereld van de kansmodellen.

1. De wereld van de kansmodellen. STATISTIEK 3 DE GRAAD.. De wereld van de kansmodellen... Kansmodellen X kansmodel Discreet model Continu model Kansverdeling Vaas Staafdiagram Dichtheidsfunctie f(x) GraJiek van f Definitie: Een kansmodel

Nadere informatie

Via de grafische rekenmachine krijg je o.a. de volgende statistische resultaten: . In rekenmachinetaal wordt dit 3, 3248.

Via de grafische rekenmachine krijg je o.a. de volgende statistische resultaten: . In rekenmachinetaal wordt dit 3, 3248. Waarom steut de grafsche rekemache e/of computer op om de stadaardafwjkg te berekee? Bj het verwerke va statstsche data bereket de grafsche rekemache ee aatal cetrum- e spredgsmate zodat deze door de leerlge

Nadere informatie

Handout bij de workshop Wortels van Binomen

Handout bij de workshop Wortels van Binomen Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides

Nadere informatie

Oplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)

Oplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR) Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

figuur 2.50 Microscoop

figuur 2.50 Microscoop 07-01-2005 10:20 Pagia 1 Microscoop Ileidig Ee microscoop is bedoeld om kleie voorwerpe beter te kue zie, zie figuur 2.50. De bolle les dicht bij het oog (het oculair) heeft ee grote diameter. De bolle

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 8 Betrouwbaarheidsitervalle e het teste va hypothese Va steekproef aar populatie Guido Herweyers Betrouwbaarheidsitervalle e het teste va hypothese Va steekproef aar populatie

Nadere informatie

B C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E

B C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep Mexicaase griep: A/H1N1 griep Wat is de Mexicaase griep? De zogeaamde Mexicaase of varkesgriep is ee ieuwe variat va het griepvirus, met ame A/H1N1. Weiig mese hebbe immuiteit voor dit virus. Hierdoor

Nadere informatie

Som 23 kan met 6665 en som 24 met Dus totaal gunstige uitkomsten.

Som 23 kan met 6665 en som 24 met Dus totaal gunstige uitkomsten. C vo Schwartzeberg / Som ka met! (op = maiere) (op! maiere) (op maier)! =, = e Dus totaal + + = 0 gustige uitkomste Dubbel oderstreept beteket: "iet allee" i de geoteerde volgorde a 8 P (som ) = P (som

Nadere informatie

Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen

Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen Les 7-8: Parameter- e Vergelijkigstoetse I Theorie : A. Algemee :. Hypothese formulere. H 0 : ul-hypothese H : alteratieve hypothese. teekproef eme. x e zij te berekee uit de steekproefresultate. 3. Toetsgrootheid

Nadere informatie

1) Complexe getallen - definitie

1) Complexe getallen - definitie Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T1-HCMEM-H7911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie.

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 2

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 2 Statistiek Voor studete Bouwkude College Numerieke samevattige va data Dataverdelig, meetfoute, uitbijters e scatterplots Programma voor vadaag Terugblik op college Numeriek samevatte va data Normale beaderig

Nadere informatie

BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen

BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1 PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Techische Uiversiteit Eihove Faculteit Wiskue e Iformatica Set 3 Ileveropgave Kasrekeig (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen)

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen) Hoofdstuk 4: Aavullede Begrippe (Extra Oefeige) 9. Veroderstel dat X e Y ormaal verdeeld zij met resp. gemiddelde waarde µ X e µ Y e met dezelfde variatie 2. Wat is da de distributie va X Y? Bepaal de

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen Werke aa de zelfstadigheid va kidere 2 Ileidig Werke aa zelfstadigheid is ee oderwerp dat al vele jare ee belagrijk oderdeel is va het oderwijsaabod op OBS De Spiegel. I 2008 is beslote om Zelfstadig werke

Nadere informatie