Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Transcriptie

1 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete uit ee verzamelig ihoudt. Dek maar aa de vraag va ee kredietkaartebedrijf dat wil wete hoeveel verschillede picodes va 4 cijfers er zij. Met behulp va kasrekeig ka het bedrijf da de kas op het goed gokke va ee picode va ee gestole kaart bepale. E die is liefst verwaarloosbaar klei... Of het telefoobedrijf dat wil wete hoe lag ze hu telefooummers moete make om zeker te zij dat ze og heel lag kue doorgaa met ieuwe aboees aa te make voor ze mese terug moete lastig valle met veraderig va telefooummer. E als je graag wil wete hoeveel kas je maakt om de lotto te wie zal je het totaal aatal mogelijke uitkomste va ee lottotrekkig moete berekee. Kortom, telle speelt ee fudametele rol i de kasrekeig. 1 Variaties Voorbeelde. (1) Wedde op de hoderee. Aa ee wedre eme 14 hode deel, geummerd a, b, c,...,. Bij de tiercé moete gokkers voorspelle welke hode op de eerste drie plaatse (i volgorde) zulle eidige. Ekele verschillede pogige zij (a, b, c), (a, b, ), (b, c, l),... Deze pogige oeme we variaties va 3 elemete uit de verzamelig va de 14 hode. (2) Nummerplate. Sommige Belgische autoummerplate worde gevormd met 3 letters e 3 cijfers. FGH 875 ABK 334 UZA Zowel i het cijfer- als het lettergedeelte speelt de volgorde ee rol dus spreke we va variaties. Maar i tegestellig tot voorbeeld 1 kue

2 1 Variaties 2 meerdere elemete meermaals voorkome. Het letterdeel oeme we ee herhaligsvariatie va 3 uit 24 (letters O e I worde geweerd vawege hu overeekomst met de cijfers 0 e 1) e het cijferdeel is ee herhaligsvariatie va 3 uit 10. Def. Ee variatie va p N elemete uit N elemete (p ) is ee georded p-tal va p verschillede elemete gekoze uit ee gegeve verzamelig va elemete. Twee variaties verschille va elkaar als: de volgorde va de elemete verschille: (a, b, c) e (a, c, b) de opgeome elemete verschille: (a, b, c) e (a, d, c) Stellig. Voor 1 p is het aatal variaties va p elemete uit gelijk aa V p := ( 1)( 2)... ( p + 1) Bewijs. We eme ee rij va legte p met de elemete {1, 2,..., }. Voor de eerste plaats hebbe ze de vrije keuze, er zij dus mogelijkhede. Ees de eerste plaats is igevuld ka de tweede plaats igevuld worde met ee elemet uit de overgebleve 1 elemete. Er zij dus reeds ( 1) geordede tweetalle. Voor de derde plaats is er de keuze uit de overgebleve ( 2) elemete, ez. Als ze de eerste p 1 plaatse va de rij hebbe igevuld ka op de p-de plaats i de rij og gekoze worde uit p + 1 elemete. Er zij dus ( 1)( 2)... ( p + 1) mogelijke geordede p-talle. Ee adere schrijfwijze voor het aatal variaties va p uit getalle ka met behulp va de bewerkig faculteit, gedefieerd als! = ( 1)( 2) Voorbeelde. V p =! ( p)! = ( 1)( 2)... ( p + 1) (1) Het aatal variaties va 3 elemete uit 4: V 3 4 = 4! (4 3)! = 4! 1! = = 24 (2) Hoderee: aatal mogelijke geordede drietalle uit 14: V 3 14 = 14! 11! = 2184 Eig. V 0 = 1 V =!

3 2 Permutaties 3 Def. Ee herhaligsvariatie va p N elemete uit N elemete is ee georded p-tal va p elemete gekoze uit ee gegeve verzamelig va elemete. Merk op dat hier p groter mag zij da. Stellig. Het aatal herhaligsvariaties va p elemete uit gelijk aa V p =... = p Voor de volledigheid stelle we V 0 = 1. 2 Permutaties Voorbeelde. (1) Aagram. I ee kruiswoordraadsel vraagt me soms ee aagram (letterwisselig) va ee woord. Zo ka je va het woord tak de woorde : tak, tka, atk, kta, akt e kat make. (2) Taxi s Ee taximaatschappij moet 10 taxi s toewijze aa 3 luchthaves, luchthave A heeft 5 taxi s odig, voor luchthave B zij er 4 odig e luchthave C vraagt er 1. Op hoeveel maiere kue de 10 taxi s toegeweze worde? Def. Ee permutatie (Latij voor wisselig ) va N elemete is ee variatie va uit elemete. Ee permutatie is dus ee georded -tal uit elemete. Aagezie ee permutatie va uit elemete ee variatie is geldt dat het aatal permutaties va elemete, geoteerd door P, gelijk is aa!. P = V =!.

4 3 Combiaties 4 Def. Zij, p, q, r N met p + q r = da is ee herhaligspermutatie va elemete waarva p elemete va ee eerste soort, q elemete va ee tweede soort,..., r elemete va ee laatste soort, ee georded -tal gevormd met deze p elemete va ee eerste soort, deze q elemete va ee tweede soort,... e deze r elemete va ee laatste soort. Twee herhaligspermutaties va eezelfde type kue allee va elkaar verschille door de volgorde va de iet-gelijke elemete. Stellig. Het aatal herhaligspermutaties va elemete waarva p elemete va ee eerste soort, q elemete va ee tweede soort,..., r elemete va ee laatste soort, is P p,q,...,r = (! p!q!... r! =: p q... r ) Vb. Taxi s: aatal mogelijk maiere om de 10 taxi s toe te wijze: P 5,4,1 10! = !4!1! 3 Combiaties Voorbeelde. 10 = (1) Lotto. Bij het LOTTO-spel moet je 6 verschillede getalle rade uit 1 to 42. Hoeveel mogelijkhede zij er? Is dit ee (herhaligs)variatie va 6 uit 42? Waarom (iet)? (2) Domio. Op ee domiostee stelt het aatal oge op iedere helft va ee stee ee getal voor. De getalle kue 0,1,2,3,4,5 of 6 zij. Alle mogelijke verschillede stee kome i het spel voor. Hoeveel verschillede domiostee zij er? Def. Ee combiatie va p elemete uit elemete (p ) is ee deelverzamelig va p elemete gekoze uit ee gegeve verzamelig va elemete. De volgorde heeft gee belag. Ee combiatie is dus ee iet-georded p-tal uit elemete. Twee combiaties verschille ekel va elkaar door de opgeome elemete.

5 3 Combiaties 5 Stellig. Het aatal combiaties va p elemete uit is ( ) C p! = p!( p)! =: p Bewijs. We hebbe reeds het aatal variaties va p uit elemete is V p waarbij de p-talle georded zij. Bij ee combiatie speelt de volgorde gee rol dus zij er teveel combiaties. Idie de opgeome elemete dezelfde zij, zij er P p = p! p-talle die dezelfde combiatie geve. Dus, V p C p = V p Pp =! p!( p)! = C p P p of og Vb. I het eerste voorbeeld over het aatal mogelijkhede bij de LOTTO wordt dit C 6 42 = 42! 6! 36! = Eig. (1) C = C 0 = 1 (2) C p = C p (3) De formule va Pascal C p + C p+1 = C p+1 +1 Bewijs. Ga dit a. Net zoals i de vorige gevalle is ook hier ee herhaligscombiatie mogelijk; d.i. als je p elemete kiest uit waarbij idetieke elemete moge worde gekoze e de volgorde gee rol speelt. Het aatal mogelijkhede om de p elemete over plaatse te verdele is ee p-combiatie va elemete met herhalig: C p. (Dit wordt ook wel pigeo hole priciple geoemd: op hoeveel maiere kue we p duive verdele over hokke) Merk op dat p hier ook groter ka zij da. Stellig. C p = C p +p 1 = ( ) +p 1 p. Bewijs. Ga a. Vb. Domio: C 2 7 = C = ( ) ( = 8 ) 2 = 28

6 3 Combiaties 6 Driehoek va Pascal Met de formule va Pascal kue we de combiatiegetalle C p +1 afleide uit de getalle C p. Dit levert os het volged schema op. C C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C Meestal staa deze getalle geragschikt i ee driehoeksvorm die me ka verderzette zover odig is. Elke rij begit e eidigt met ee 1 aagezie C 0 = C = 1. Merk op dat de getalle i elke rij de coëfficiëte vorme va de merkwaardige producte, bv. i de tweede rij (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b 2. Deze tred werd beweze door de biomiumformule va Newto (biomium = tweeterm). Biomium va Newto Stellig. N 0 : (a + b) = ( 0 = i=0 ) a b 0 + ( ) a i b i i ( ) ( ) a 1 b ab ( ) a 0 b Bewijs. Bewijs dit door volledige iductie. De coëfficiëte ( i) worde daarom ook biomiaalcoëfficiëte geoemd. Multiomiale otwikkelig Dit is ee veralgemieg va het biomium va Newto aar somme met meer da twee terme. Stellig. N 0 : (x 1 + x x k ) = ( ) x 1 1 x x k k k waar de som loopt over alle ( 1, 2,..., k ) waarvoor de som k =.

7 3 Combiaties 7 De coëfficiëte ( ) k worde daarom ook multiomiaalcoëfficiëte geoemd. Aatal deelverzamelige va ee verzamelig Zij A = {a, b, c, d, e}. Elke deelverzamelig va A is ee combiatie va elemete uit A. Het aatal deelverzamelige met Algemee, 0 elemete : C 0 5 = 1 1 elemet : C 1 5 = 5 2 elemete : C 2 5 = 10 3 elemete : C 3 5 = 10 4 elemete : C 4 5 = 5 5 elemete : C 5 5 = 1 Totaal aatal deelverzamelige: 32 = 2 5. Eig. Het aatal deelverzamelige va ee verzamelig A (otatie #D(A)) met N 0 elemete is 2. Bewijs. Er geldt voor #A = dat #D(A) = de som va de aatalle deelverzamelige met 0, 1, 2,..., elemete. Dus #D(A) = ( ( 0) + ( 1) + ( 2) ). Dit is vawege de biomiumformule met a = b = 1 gelijk aa (1 + 1) = 2

8 4 Oefeige 8 4 Oefeige Eevoudige oefeige (1) Me vormt permutaties met vijf elemete a,b,c,d,e Hoeveel permutaties begie met a? Hoeveel permutaties begie met cd? Hoeveel permutaties eidige op abc? Hoeveel permutaties begie iet met a? Hoeveel permutaties bevatte de elemete b e c omiddellijk a elkaar e i de volgorde bc? Hoeveel permutaties bevatte de elemete a,b,c omiddellijk a elkaar e i ee willekeurige volgorde? I hoeveel permutaties staat d ee of meer plaatse voor c? (2) Ja weet dat hij bij het boogschiete zeve va de tie keer de roos raakt. Hij gaat vier keer schiete. Hoeveel volgordes zij er mogelijk bij twee keer raak e twee keer mis? (3) Hoeveel getalle va 5 cijfers, bestaade uit 2, 3, 4, 5, 6 e 7, ka je make die groter zij da 54000? Je mag elk cijfer meer da ee keer gebruike. (4) Ee vlag moet gekleurd worde i 3 verschillede kleure. Op hoeveel maiere ka je dit doe als je de beschikkig hebt over 7 kleure? (5) Tie vriede spele ee teistorooi. Hoeveel verschillede wedstrijde kue er worde gespeeld bij ekelspel? E bij dubbelspel? (6) Voor ee schaakcompetitie moet elke school ee ploeg va 3 spelers e ee kapitei afvaardige. Oze school heeft 10 geschikte kadidate waarva er 3 i aamerkig kome om kapitei te zij. Op hoeveel maiere ka me ee ploeg samestelle rekeig houded met het feit dat de 3 kadidaat-kapiteis ook spelers kue zij? (7) Ee plaoloog wil graag wete op grod va welke eigeschappe de bewoers va de strate va hu wijk beoordele. Als oderdeel va zij oderzoek legt hij ee aatal proefpersoe groepjes va drie strate voor. Hij vraagt bij elk groepje aa te wijze welke twee va de drie strate het meest op elkaar lijke. Het oderzoek heeft betrekkig op 10 strate, voor het gemak A B C D E F G H K L geoemd. Hieruit worde alle mogelijke groepjes va drie gevormd e elk groepje wordt i alfabetische volgorde op ee kaartje geschreve. Hieroder zie je drie voorbeelde: D D A F H C Hoeveel kaartjes zij er odig? G K D

9 4 Oefeige 9 (8) Zeve werkemers va ee groot bedrijf dat tie verdiepige telt, stappe op de gelijkvloers de lift i. Oderstel dat ze oafhakelijk va elkaar beslisse op welke verdiepig ze gaa uitstappe. Op hoeveel maiere zal de lift juist zevemaal moete stoppe vooraleer iederee op zij gekoze verdiepig is uitgestapt? Op hoeveel maiere moet de lift juist 6 keer stoppe? (9) I de showroom va ee garage staa 20 wages, geummerd va 1 tot e met 20 aargelag de etto-kostprijs va de wage. Nummer 1 staat hierbij voor de goedkoopste auto e ummer 19 bijvoorbeeld voor de op ee a duurste. De garagist bewaart de autosleutels i ee grote doos i zij bureau. Oderstel dat de zoo va de garagist op zij achttiede verjaardag gebliddoekt drie sleutels mag trekke uit de doos. Uit deze drie sleutels mag hij vervolges ee auto kieze als verjaardagscadeau. Op hoeveel maiere is het mogelijk dat alle drie de autosleutels ee ummer drage dat groter da of gelijk is aa 17? E dat mistes ee va de drie autosleutels zo ummer draagt? (10) Bij ee kaartspel 21 is het de bedoelig om 21 zo dicht mogelijk te beadere, maar iet te overschrijde. Ee aas staat hierbij voor ee 1 of ee 11. Ee boer, dame e heer heeft de waarde 10. Veroderstel dat bij het begi va ee spel lukraak twee kaarte aa jou worde aagebode uit ee goed geschud kaartspel. Op hoeveel maiere ka je omiddellijk 21 vorme? E 19 of meer? Iets moeilijkere oefeige (1) Op het jaarlijks bal va de gepesioeerdebod worde hoderd lotjes verkocht met de kas op vier verschillede hoofdprijze e tie verschillede troostprijze. Op hoeveel verschillede maiere is het mogelijk om uit 5 gekochte lotjes juist 2 prijze te wie? juist 1 hoofdprijs e 1 troostprijs te wie? ekel 2 troostprijze te wie? (2) Op de zolder va ee oorlogsveteraa uit de tweede wereldoorlog staat ee bak waari 18 eve grote stukke stof ligge : 6 rode, 6 zwarte e 6 gele. Op hoeveel maiere is het mogelijk om de Belgische driekleur te make als je willekeurig 5 stukke stof uit de bak trekt? (3) Ee programmertaal aavaardt variabele va te hoogste 6 karakters. Het eerste karakter moet ee kliker zij, terwijl elk ader evetueel karakter ofwel ee kliker ofwel ee oeve cijfer moet zij. Hoeveel variabele kue er i deze programmeertaal gemaakt worde? Volgede letters worde als klikers beschouwd : a, e, i, o, u.

10 4 Oefeige 10 (4) Hoeveel woorde (zoder betekeis) va 26 letters ka me vorme als elke letter uit het alfabet tot 26 keer gebruikt mag worde? E als ee letter uit het alfabet hoogstes 25 keer mag voorkome, hoeveel woorde met 26 letters kue er da gevormd worde? (5) Bij het pokerspel krijgt iedere speler bij de aavag va het spel 5 kaarte. Er wordt gespeeld met 52 kaarte e er zij 13 soorte kaarte, amelijk de ummers 1 tot e met 10, boer, dame e heer, e bie elke soort zij er 4 kaarte, amelijk harte, klavere, ruite e schoppe. (a) Op hoeveel mogelijke maiere kue 5 kaarte gedeeld worde? (b) Op hoeveel maiere ka ee speler elk va de volgede combiaties toebedeeld krijge bij de aavag va het spel? Oplossige : i. Four of a kid : vier va eezelfde soort + ee vijfde va ee adere soort. ii. Full house : drie va eezelfde soort + twee va eezelfde soort verschilled va de eerste soort. iii. Three of a kid : drie va eezelfde soort + vierde va ee adere soort + vijfde va og ee adere soort iv. Two pair : twee va eezelfde soort + twee va eezelfde soort, maar aders da de eerste soort + vijfde va og ee adere soort. v. Oe pair : slechts twee va eezelfde soort, alle adere va verschillede soort iet gelijk aa de eerste soort. Eevoudige oefeige (1) 24, 6, 2, 96, 24, 36, 60 (2) 6 (3) 3456 (4) 210 (5) 45, 630 (6) 252 (7) 120 (8) , (9) 4, 580 (10) 64, 280

11 4 Oefeige 11 Iets moeilijkere oefeige (1) , , (2) 6210 (3) (4) 26 26, (5) (a) (b) 624, 3744, 54912, ,