Combinatoriek groep 2

Transcriptie

1 Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket goed gebruke, maar om ook zelf de geschkte theore te selectere Iducte Bj ee bewjs met volledge ducte bewjs je eerst de bewerg voor ee zekere begwaarde 0 ; dt heet de ductebass Vervolges laat je ze dat ut de bewerg voor ee zekere k (de ductehypothese) volgt dat hj ook geldt voor k + 1; dt heet de ductestap Dt moet je late ze voor elke k 0 Ut deze twee oderdele volgt u dat de bewerg waar s voor alle 0 Soms hebbe we ee sterkere ductehypothese odg om de bewerg te kue bewjze voor k + 1, zoals de aaame dat de bewerg al geldt voor k é k 1 (tweestapsducte) of de aaame bestaat ut geldghed va de bewerg voor álle k (sterke ductehypothese) Houd er bj tweestapsducte rekeg mee dat je de ductebass ook de eerste twee gevalle bewjst Ladeprcpe Het ladeprcpe ket verschllede gedaates: Als je + 1 balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met meer da éé balletje Als je k + 1 balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met meer da k balletjes Als je oedg veel balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met oedg veel balletjes Bomaalcoëffcëte Deftes: Voor ee geheel getal 1 defëre we! ( 1) 1 (spreek ut: -facultet) Dt materaal behoort tot het tragsprogramma va de Nederladse Wskude Olympade ter voorberedg op de teratoale wedstrjde

2 Nu s! het aatal maere om verschllede objecte op ee rj te zette We defëre 0! 1 (Je kut 0 objecte op preces 1 maer op ee rj zette) Voor gehele getalle e k met 0 e 0 k defëre we ( ) k! k!( k)! Voor gehele getalle e k met 0 e et 0 k (dus of k < 0 of k > ) defëre we ( k) 0 Nu s ( k) s het aatal maere om k objecte ut te keze, waarbj de volgorde et utmaakt Egeschappe bomaalcoëffcëte (deze egeschappe ku je zelf bewjze met behulp va de deftes): Voor gehele getalle e k met 0 e 0 k geldt ( ) ( k k) Voor gehele getalle e k met 1 e 0 k 1 geldt ( ) ( k + ) ( k+1 +1 k+1) Het bomum va Newto: voor gehele 0 geldt (x + y) 0 ( ) x y x + ( ) x 1 y + 1 (Hererg: voor alle reële getalle x geldt x 0 1) Toepassg: vul x y 1, da staat er ( ) Nog ee toepassg: vul x 1, y 1, da staat er (voor > 0) 0 ( ) ( 1) (1 1) ( ) ( ) x y + + xy 1 + y 1 (Merk op dat er voor 0 aa bede kate 1 was utgekome Ja, ook voor x 0 geldt x 0 1) Paaseereprcpe Het paaseereprcpe s ee methode om slm te telle de zch bjzoder goed laat llustrere aa de had va ee opgave over het verve va paaseere: Voorbeeld Ik heb 0 paaseere de k wl verve de kleure blauw, rood, geel e paars Op hoeveel maere ka dat? Bewjs Leg de eere op ee rj e verdeel ze ver groepjes, de evetueel ook leeg moge zj Het eerste groepje verve we blauw, het tweede groepje rood, het derde groepje geel e het verde groepje paars Het aatal maere om de paaseere te verve komt dus overee met het aatal maere om de eere ver groepjes te verdele, waarbj de volgorde va de groepjes utmaakt (de verdelg (6, 4, 3, 7) s et hetzelfde als (7, 3, 4, 6))

3 Stel je u als afschedg tusse de groepjes eere hekjes voor; je hebt dus dre hekjes odg De verdelg (6, 4, 3, 7) zet er u ut als I fete staat her ee rj va 3 symbole, waarva er 0 het symbool 0 zj e 3 het symbool + Elk zo rj correspodeert met preces éé maer om de eere ver groepjes te verdele Het aatal maere om zo rj te make s smpelweg het aatal maere om 3 plekke te keze ut 3, ameljk de 3 plekke waar de plusjes kome We cocludere dat het aatal maere om de eere te verve geljk s aa ( 3 3 ) Opgave Opgave 1 Ee baketbakker heeft zes soorte bobos waaroder ook de tot bobo va het jaar verkoze bobo Wat s het aatal mogeljkhede om (a) ee doosje met 1 bobos te vulle, (b) ee doosje met 1 bobos te vulle zodat er mmaal bobos va het jaar ztte, (c) ee groot doosje met 4 bobos te vulle zodat er va elk type mstes ztte, (d) ee doosje met 1 bobos te vulle waar maxmaal éé bobo va het jaar zt, (e) ee doosje waar maxmaal 4 bobos kue te vulle (hoewel suf, het doosje zou dus leeg kue zj), (f) ee grote bak met 36 bobos vulle zodat er va elk type ee oeve aatal de bak ztte Opgave Bewjs dat voor posteve gehele geldt: 1 ( ) Opgave 3 Op hoeveel maere ka je ee atuurljk getal schrjve als som va atuurljke getalle waarbj de volgorde utmaakt Voor 3 zj bjvoorbeeld ver mogeljkhede; 3, + 1, 1 + e Opgave 4 Bewjs dat voor posteve gehele geldt: ( ) ( ) k Opgave 5 I ee verkat met zjde va legte 1 zj ege pute gegeve Bewjs dat we dre va deze pute kue keze zodat de oppervlakte va de drehoek gevormd door deze pute maxmaal 1 s 8 (Je mag zoder bewjs gebruke dat de oppervlakte va ee drehoek de geheel be ee a b-rechthoek lgt te hoogste 1 ab s) 3

4 Opgave 6 I de Eerste Kamer zj er 75 zetels te verdele Hoeveel maere zj er om deze zetels oder dre partje te verdele zodat elk tweetal partje ee meerderhed heeft de kamer? Opgave 7 Het zogeaamde hockeystcklemma ludt: voor et-egateve gehele e p geldt: p + k + p + 1 p + k + p + 1 of k p + 1 (a) Bewjs dt lemma met ducte aar p (b) Geef ee combatorsch bewjs va dt lemma door het aatal rjtjes met ee bepaald vast aatal ulle e ee bepaald vast aatal ee (hoeveel ulle e hoeveel ee?) op twee maere te telle (c) Geef og ee tweede combatorsch bewjs va dt lemma door het aatal oplossge (x 1, x,, x +1 ) (met alle x et-egatef geheel) va de ogeljkhed x 1 + x + + x +1 p op twee maere te telle (d) Waarom heet dt egeljk het hockeystcklemma? (Het heet ook wel de sok va Pascal) Opgave 8 Zj S ee deelverzamelg va {1,,, 013} zodag dat S gee twee getalle bevat de 3 of 5 verschlle Hoeveel elemete bevat S hoogut? Opgave 9 Bereke 49 ( 1) k ( ) 99 k Opgave 10 Laat, m, l gegeve posteve gehele getalle zj Bewjs de volgede geljkhed op ee combatorsche maer: ( ) + m l ( )( ) m k l k m(l,) kmax(0,l m) ( )( ) m k l k Opgave 11 Ee groep va ma-vrouw-pare met gaat dere aa ee rode tafel met stoele Als je aar alle mogeljke maere kjkt waarop me ka gaa ztte, hoeveel vrouwe ztte er da gemddeld aast hu ege ma? Opgave 1 Dwerge hebbe ver soorte mute: goude, zlvere, broze e kopere mute Broze mute zj 10 kopere mute waard, zlvere mute 100 e goude mute 1000 Stel dat ee dwerg ets wl kope dat 011 kopere mute kost Op hoeveel maere ka hj dt betale, zoder teveel te betale? 4

5 Opgave 13 Voor alle et-egateve gehele geldt ( + 1)( + 1) 6 (a) Bewjs deze bewerg met ducte (b) Geef ee combatorsch bewjs va deze bewerg door de verzamelg op twee maere te telle {(x, y, z) x, y, z {0, 1,,, }; x < z e y < z } Opgave 14 Laat S {1,,, 01} Vd het aatal deelverzamelge va S met preces 1 getalle, zodat de som va deze getalle deelbaar s door 4 Opgave 15 Bewjs dat voor et-egateve gehele geldt: 1 (+k ) k k Opgave 16 Bewjs dat voor posteve gehele geldt: 0 j0 ( 1) j!j! 1 Opgave 17 Ee voetbalwedstrjd edgt geljkspel, zeg We telle het aatal mogeljke wedstrjdverlope waarbj de eerste club oot achter heeft gestaa te op zchte va de tweede club? (Ee mogeljkhed s AAABBABAABBBAB) 1 Bewjs dat er ) +1( va zulk soort wedstrjdverlope zj (Dt zj de zogeaamde Catalagetalle) 5