1 Het trekken van ballen uit een vaas

Transcriptie

1 Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas op ee evetualiteit A Ω wordt vastgelegd als IP A = #A Het probleem is da #Ω i eerste istatie ee geschikte verzamelig Ω te vide Het blijkt hiertoe vaak hadig het toevalsexperimet te iterpretere als het doe va ee aatal trekkige uit ee vaas met balle, of als het blideligs werpe va ee aatal balle i ee aatal doze We bespreke eerst de verschillede maiere waarop balle uit ee vaas getrokke kue worde Uitgagsput is ee vaas met m geummerde balle waaruit we blideligs keer ee bal trekke Dat is dus het toevalsexperimet waarvoor we ee geschikt kasmodel wille vastlegge Elke trekkig geeft als resultaat het ummer va de getrokke bal Dit ummer wordt geoteerd e zal oderdeel uitmake va de beschrijvig va ee idividuele uitkomst va het gehele experimet De volgede gevalle kue we oderscheide: Trekke met terugleggig I dit geval wordt a elke trekkig de getrokke bal weer teruggelegd i de vaas alvores de volgede trekkig gedaa wordt Aa het eid va het experimet beschikke we over ummers die iet alle verschilled hoeve te zij, omdat het mogelijk is dat sommige balle meerdere kere getrokke zij Deze collectie va ummers vormt u de uitkomst va het toevalsexperimet, maar het is og iet duidelijk hoeveel verschillede uitkomste er zij We kue amelijk de volgorde waari de balle getrokke worde wel of iet relevat vide Met iachtemig va de volgorde I dit geval kue we spreke over de eerste getrokke bal, de tweede getrokke bal, etcetera Omdat er bij elke trekkig m balle i de vaas zitte zal ee ekele uitkomst ω da ee rij zij va ummers, maw ω = x, x,, x, met x j het ummer va de j-de getrokke bal, dus x j {,,, m} De uitkomsteruimte is u Ω = {x, x,, x : x j {,,, m}, j =,,, } We zie omiddellijk dat i dit geval #Ω = m m m } {{ } = m Als we va meig zij dat deze uitkomste gelijkwaarschijlijk zij da ligt os kasmodel voor dit experimet u vast: IP A = #A m Als voorbeeld kieze we de volgede evetualiteit, Ay, y,, y m := {x, x,, x Ω : #{j : x j = i} = y i, i =,,, m} Dus Ay, y,, y m is de evetualiteit dat bal i i totaal y i keer getrokke is Uiteraard moet gelde y + y + + y m = Da geldt i het gekoze kasmodel, IP Ay, y,, y m = We oeme dit de Boltzma-Maxwell statistiek! y!y! y m! m Volgorde irrelevat Voor de beschrijvig va ee ekele uitkomst is u allee va belag welke balle getrokke zij e hoe vaak Ee ekele uitkomst ka u beschreve worde als ω = y, y,, y m, met y i het aatal kere dat de bal met ummer i getrokke is Omdat we keer ee bal trekke moet gelde y + y + + y m =,

2 dus de uitkomsteruimte is u Ω = {y, y,, y m : y i IN 0, y + y + + y m = } Als we va meig zij dat deze uitkomste gelijkwaarschijlijk zij, moete we #Ω bepale aders heeft dit gee zi!, om daarmee weer de kasmaat te kue vastlegge Dit is hier veel lastiger da i het voorgaade geval Ee slimme aapak is als volgt Zet m + pute op ee rij e plaats blideligs op m va deze pute ee verticale streep Dit ka op m + m verschillede maiere Plaats u dikke stippe op de pute waar gee strepe zij gezet Het is u iet moeilijk het resultaat te iterpretere als ee uitkomst ω: het aatal stippe tusse de i -ste streep e de i-de streep leze we als y i, dus het aatal kere dat bal i getrokke is We krijge u als kasmaat } {{ } y } {{ } y IP A = } {{ } y m #A m + m Merk op dat de hierbove gedefiieerde evetualiteit Ay, y,, y m i dit kasmodel de sigleto-evetualiteit {y, y,, y m } is Dus i het oderhavige model waari de volgorde irrelevat wordt verklaard krijge we IP Ay, y,, y m = We spreke va de Bose-Eistei statistiek m + m Trekke zoder terugleggig Nu worde de getrokke balle iet teruggelegd i de vaas Uiteraard moet u gelde m Ook voor deze situatie kue we weer oderscheid make tusse wel of iet lette op de volgorde Met iachtemig va de volgorde Ee ekele uitkomst is da weer te beschrijve als ee rij ω = x, x,, x, met x j het ummer va de j-de getrokke bal Omdat de balle u iet teruggelegd worde, geldt dat de x j s alle verschilled zij Dus de uitkomsteruimte is Ω = {x, x,, x : x j {,,, m}, j =,,, ; x j x k voor j k} Het is u eevoudig i te zie dat #Ω = m m m +, ofwel m!

3 Volgorde irrelevat Nu is ee uitkomst ee ogeordede verzamelig bestaade uit verschillede getalle We kue deze verzamelig wel als ee rij otere door de getalle uit deze verzamelig aar opklimmede grootte op te schrijve Ω = {x, x,, x : x j {,,, m}, j =,,, ; x < x < < x } Uiteraard geldt u #Ω = m Het werpe va balle i doze Het uitgagsput is u dat we balle blideligs werpe i m doze We oderscheide i totaal weer 4 gevalle Meerdere balle i ee doos toegstaa Dit is equivalet met het trekke va balle met terugleggig uit ee vaas va m balle [het getrokke ummer va de bal is u het ummer va de doos waari de bal terechtkomt!] Balle oderscheidbaar Dit komt overee met het iachteme va de volgorde bij het trekke va balle uit ee vaas Dus Ω = {x, x,, x : x j {,,, m}, j =,,, }, met u x j het ummer va de doos waari bal j terechtkomt Uiteraard #Ω = m Balle ooderscheidbaar Dit komt eer op het irrelevat verklare va de volgorde bij het trekkke va balle uit ee vaas Dus Ω = {y, y,, y m : y i IN 0, y + y + + y m = }, met u y i het aatal balle dat i doos i terechtkomt Uiteraard #Ω = m + m I elke doos hoogstes éé bal Dit is equivalet met het trekke va balle uit ee vaas met m balle zoder terugleggig, dus u weer m Balle oderscheidbaar Dit komt overee met het iachteme va de volgorde bij het trekke va balle uit ee vaas Dus Ω = {x, x,, x : x j {,,, m}, j =,,, ; x j x k voor j k}, met u x j het ummer va de doos waari bal j terechtkomt #Ω = m Balle ooderscheidbaar Dit komt eer op het irrelevat verklare va de volgorde bij het trekkke va balle uit ee vaas Dus Ω = {x, x,, x : x j {,,, m}, j =,,, ; x < x < < x }, met weer x j het ummer va de doos waar ee bal is terechtgekome #Ω =! m 3

4 3 Ekele opgave Uit ee vaas met 7 rode e 5 blauwe balle worde 4 balle getrokke Bereke de kase op oderstaade evetualiteite Geef telkes zowel het atwoord voor trekke met als voor trekke zoder terugleggig a De eerste twee balle zij rood e de laatste twee zij blauw, b Precies twee balle zij rood, c De eerste bal e de laatste bal hebbe dezelfde kleur Me vagt i ee meer 00 forelle die me merkt e weer teruggooit Vervolges vagt me opieuw 0 forelle, waarva er 7 gemerkt blijke te zij Wat is de kas hierop als er i totaal forelle i het meer leve? 3 I ee machie zij 3 verschillede type schroeve gebruikt Va elk type zeer veel Er otbreke twee schroeve waardoor de machie iet meer werkt Iemad geeft jou drie schroeve, va elk type éé Wat is de kas dat je u de machie kut reparere? 4 Me gooit éé keer met zuivere dobbelstee Wat is de kas dat me drie verschillede pare gooit? 5 Me gooit balle i geummerde doze Wat is de kas dat precies éé doos leeg blijft? Behadel zowel het geval va oderscheidbare als het geval va ooderscheidbare balle De Poolse wiskudige Baach rookte veel e had daarom altijd twee doosjes lucifers bij zich, éé i zij likerzak, e éé i zij rechterzak Ee ieuw doosje bevat lucifers Voor elke sigaret graaide hij blideligs i ee zak, pakte het doosje, am ee lucifer, e stopte het doosje a gebruik altijd weer i dezelfde zak terug Als vlak voor het aasteke va ee volgede sigaret bleek dat ee doosje leeg was, gooide hij beide doosjes weg e stopte twee ieuwe doosjes i zij beide zakke Wat is de kas dat bij het weggooie va de beide doosjes k ogebruikte lucifers worde weggegooid? 7 I het vakatiedorp Hadimassa worde toeriste gezie als ooderscheidbare wezes Er zij i Hadimassa 0 hotels Wat is de kas dat de eerste 30 toeriste die aakome zich zó over de hotels verspreide dat er gee ekel hotel leeg blijft? Hoe luidt het atwoord op deze vraag voor het vakatieoord Exclusief, waar ook 0 hotels staa e 30 idividueel te oderscheide toeriste arrivere? 8 Stel dat oderscheidbare balle blideligs i m geummerde doze worde gegooid Wat is de kas dat er precies k balle i doos terechtkome? 9 Als i ee kamer zich persoe bevide, wat is da de kas dat gee ekel tweetal zij/haar verjaardag op dezelfde dag viert? 0 Vera e Shimrit doe mee aa ee teistoerooi met i totaal deelemers Alle spelers zij eve sterk e er wordt zoals gebruikelijk bij teis ee afvalsysteem gespeeld tot de wiaar overblijft Voor elke rode wordt geloot voor het vaststelle va de parig Wat is de kas dat Vera e Shimrit tege elkaar zulle spele? Bij poker otvagt ee speler 5 kaarte uit ee pak va 5 Ee full house bestaat uit 3 kaarte va dezelfde soort e twee kaarte va dezelfde soort bv 3 Quees e Achte Wat is de kas dat je ee full house krijgt? 4

5 Ee groep va 40 sportliede, bestaade uit 0 Rotterdammers e 0 Amsterdammers, moet voor ee toerooi worde odergebracht i 0 tweepersooskamers Me doet dit blideligs Wat is de kas dat gee ekele Rotterdammer zij kamer moet dele met ee Amsterdammer? Wat is de kas dat er i gemegde pare otstaa i =,,, 0? 3 Ee groep va 0 echtpare eemt blideligs plaats aa ee rode tafel Wat is de kas dat iemad aast zij/haar eige echtgeoote zit? 4 Acht tores worde blideligs op ee schaakbord geplaatst Bereke de kas dat gee ekel tweetal elkaar ka slaa 5 Twee zuivere dobbelstee worde et zolag geworpe totdat 5 oge of 7 oge verschije Bereke de kas dat 5 oge als eerste verschije Ee vaas bevat 3 rode e 7 blauwe balle Twee spelers A e B trekke beurteligs zoder terugleggig ee bal uit de vaas totdat ee rode bal getrokke wordt A begit Wat is de kas dat A de eerste rode bal trekt? 7 Uit ee verzamelig va 8 pare schoee worde blideligs schoee getrokke Wat is de kas dat er mistes éé paar bij zit? Wat is de kas dat er iet ee liker- è ee rechterschoe bij zit? Wat is de kas dat er precies twee pare getrokke worde? 8 Bereke de kas dat ee bridge-had va 3 kaarte de Kig e de Aas va eezelfde kleur bevat Bereke ook de kas dat ee bridge-had va mistes éé va de 3 waarde,3,,0,j,q,k,a alle kleure bevat 9 Me stopt blideligs 0 verschillede foto s i zes verschillede eveloppe Bereke de kas dat gee ekele evelop leeg blijft 0 Ee verstrooide professor stopt persoolijke brieve i og ogeadresseerde eveloppe Vervolges schrijft hij lukraak de adresse op de eveloppe Bereke de kas dat exact k geadresseerde de juiste brief otvage Me gooit keer met ee zuivere mut Bereke de kas dat i de worpe iet twee of meer keer achter elkaar kruis gegooid wordt Bij de Lotto worde blideligs verschillede getalle getrokke uit de verzamelig {,,, 49} Bereke de kas dat ee -tal getrokke wordt met mistes twee elkaar opvolgede getalle 3 Gegeve is ee vaas met N geummerde balle We trekke keer ee bal uit de vaas met terugleggig We zij geïteresseerd i het aatal verschillede ummers dat getrokke wordt Bereke de kas dat m verschillede ummers getrokke worde 4 Het Datig Probleem Elisa wil door middel va date ee keuze make uit potetiële levesparters, va wie zij va tevore iets weet Na elke date weet zij of de laatste parter beter of slechter is da de eerder otmoete parters Als de laatste date de beste is tot u toe, da moet zij oherroepelijk beslisse of zij de laatste parter accepteert of iet Dus, zodra zij besluit tot ee date met ee volgede parter, ka zij iet meer op haar schrede terugkere; de ees afgeweze parter is iet meer beschikbaar Elisa gaat als volgt te werk: zij besluit tot ee date met m verschillede parters, die zij gee va alle kiest; vervolges gaat zij door met date totdat zij iemad gevode heeft die beter is da de beste oder de eerste m [reeds afgeweze] parters Deze parter wordt gekoze Als zij gee ekele parter meer vidt die beter is da de beste va de eerste m afgeweze parters da stort zij zich volledig op haar studie ecoometrie De vraag is wat de kas is dat zij via deze zogeaamde m-strategie de beste va de parters kiest Bepaal ook de waarde va m waarvoor deze succeskas maximaal is 5

6 4 Oplossige Nummer de balle V = {,, 3, 4, 5,, 7, 8, 9, 0,, } Laat de ummers t/m 7 de rode balle zij e de ummers 8 t/m de blauwe Het toevalsexperimet is u: Achtereevolges vier geummerde balle trekke uit V Laat R i e B i staa voor de evetualiteite i-de getrokke bal rood, resp i-de getrokke bal blauw Vawege de vrage moete we de volgorde iachteme We oderscheide u de gevalle met e zoder terugleggig I: met terugleggig Da is de uitkomsteruimte met de bijbehorede kasmaat Ω = {x, x, x 3, x 4 : x i V }, #Ω = 4, IP A = #A 4 II: zoder terugleggig Nu is de uitkomsteruimte met de bijbehorede kasmaat Ω = {x, x, x 3, x 4 : x i V, x i x j voor i j}, #Ω = 0 9, IP A = #A 0 9 We kue u de vrage beatwoorde We krijge steeds twee uitkomste voor geval I e voor geval II a b I: IP R R B 3 B 4 = = II: IP R R B 3 B 4 = = 7 99 I: IP precies twee rood = = c II: IP precies twee rood = = 4 33 I: IP eerste e laatste gelijke kleur = IP R R 4 + IP B B 4 = = II: IP eerste e laatste gelijke kleur = IP R R 4 + IP B B 4 = IP R R R 3 R 4 +IP R R B 3 R 4 +IP R B R 3 R 4 +IP R B B 3 R 4 +IP B R R 3 B 4 +IP B R B 3 B 4 +IP B B R 3 B 4 +IP B B B 3 B 4 = Nummer de gemerkte forelle t/m 00 e de overige va 0 t/m Als uitkomsteruimte eme we Ω = {x, x,, x 9, x 0 : x < x < < x 9 < x 0 }, #Ω =, IP A = #A 0 0

7 Merk op dat we hier iet op de volgorde lette, maar we schrijve wel de uitkomste op aar opklimmed ummer Nu geldt IP 7 va de gevage 0 forelle gemerkt = We kue hier oderscheid make tusse oderscheidbare schroeve e ooderscheidbare schroeve I het eerste geval is de gevraagde kas /3 e i het tweede geval / [ga dit zelf a] 4 De uitkomsterumte met bijbehorede homogee kasmaat is Ω = {,, 3, 4, 5, }, #Ω =, IP A = #A Om de vraag te kue beatwoorde fixere we eerst ee specifiek drietal pare, bv,,, e 3, 3 I totaal zij er va deze keuzes We moete u de verschillede 3 plaatse, aawijze voor de ee, de twee-e e de drie-e Er zij hievoor i totaal 4 verschillede mogelijkhede Alles samegevatted krijge we de volgede gevraagde kas, IP drie verschillede pare = Als de balle oderscheidbaar zij krijge we de uitkomsteruimte = 5 48 Ω = {x, x,, x : x i is het ummer va de doos waari bal i terecht komt} Dus, zoals u beked, #Ω = e IP A = #A Laat L i de evetualiteit zij allee doos i blijft leeg Da zij de verschillede evetualiteite L i paarsgewijs disjuct, e dus IP precies éé doos blijft leeg = IP L L L = IP L i = IP L i= We hoeve dus allee IP L te berekee Hiertoe moete we het aatal verschillede uitkomste bepale waarvoor doos leeg blijft, i éé adere doos twee balle terechtkome e i alle overige doze precies éé bal Dit aatal is gelijk aa [ga dit zelf a] Alles samevatted krijge we, IP precies éé doos blijft leeg =!! =! 7

8 Vervolges bekijke we het geval va ooderscheidbare balle Nu is zoals beked Ω = {y, y,, y : y i IN 0, y + y + + y = }, met y i het aatal balle dat i doos i terechtkomt We wete dat #Ω = De kasmaat eme we uiteraard weer homogee Als we u allee doos leeg wille late, zij er slechts verschillede uitkomste, omdat er voor de doos met balle keuzes zij, e er verder iets meer te kieze valt omdat i elk va de overige doze precies éé bal moet kome e de balle ooderscheidbaar zij De lege doos kue we weer variëre va doos t/m doos Coclusie: IP precies éé doos blijft leeg = We richte eerst oze aadacht op de evetualiteit L k dat op het momet dat Baach bij het opsteke va ee ieuwe sigaret merkt dat het doosje i zij rechterzak leeg is er og k lucifers zitte i het doosje i zij likerzak We vrage os af wat de kas is dat dit optreedt Hiertoe beschouwe we het toevalsexperimet waari reeds k lucifers gebruikt zij e voor de k + -ste lucifer ee keuze tusse de twee doosjes gemaakt is Als uitkomsteruimte eme we Ω = {x, x,, x k, x k+ : x i = 0, }, #Ω = k+, IP {ω} = k+ Hier beteket x i = 0 dat de i-de lucifer uit de likerzak geome wordt e x i = dat deze uit de rechterzak komt We kue u de evetualiteit L k beschrijve als deelverzamelig va Ω, L k = {x, x,, x k, x k+ Ω : x + x + + x k = e x k+ = } We zie u dat k IP L k = #L k = k+ k+ Omdat we i het bovestaade likerzak e rechtzak vrijelijk kue verwissele, is de gevraagde kas, IP er worde k lucifers weggegooid = IP L k = k k Merk teslotte op dat we via dit vraagstuk ogemerkt ee wiskudige gelijkheid hebbe beweze via de kasrekeig, k=0 k k wat aalytisch misschie wel lastig ka zij 7 Omdat de toeriste i Hadimassa als ooderscheidbaar worde beschouwd drigt zich ee kasmodel op waari = 30 ooderscheidbare balle i m = 0 doze worde geworpe =, 8

9 We hatere daarom de Bose-Eistei statistiek We wete da dat het aatal gelijkwaarschijlijke uitkomste gelijk is is aa = 0 9 We moete u allee og het aatal mogelijke uitkomste telle waarvoor gee ekele doos =hotel leeg is We zette eerst i elk hotel éé toerist, e spreide de overige 0 ooderscheidbare! toeriste over de 0 hotels Dit ka op verschillede maiere Coclusie: IP gee ekel hotel blijft leeg = We richte vervolges oze aadacht op dezelfde vraag voor 30 oderscheidbare toeriste va Exclusief die ook blideligs over 0 hotels verspreid worde We kue de toeriste u ummere va t/m 30, e het totale aatal gelijkwaarschijlijke uitkomste is u 0 30 We hebbe u te make met de Boltzma-Maxwell statistiek, e we moete het aatal verschillede verdelige va de 30 geummerde toeriste over de 0 hotels telle waari gee ekel hotel leeg blijft We merke allereerst op dat de evetualiteit gee ekel hotel blijft leeg i de eerder igevoerde otatie ka worde beschreve als {Ak, k,, k 0 : k + k + + k 0 = 30, i : k i 0} Dus de gevraagde kas wordt IP gee ekel hotel blijft leeg = k i 0:k +k + +k 0 =30 U zult het os iet euvel duide dat we dit iet verder uitwerke 30! k!k! k 0! We hebbe hier weer m verschillede gelijkwaarschijlijke uitkomste x, x,, x waarbij x j het ummer is va de doos waari bal j terecht komt We moete het aatal uitkomste bepale waarvoor er i doos precies k balle terechtkome Allereerst kue we op k verschillede maiere k balle kieze voor de bezettig va doos We moete da og de resterede k balle verdele over de doze t/m m Hiervoor zij uiteraard m k verschillede mogelijkhede Samevatted vide we m k k IP i doos kome precies k balle terecht = m 9 We kieze hier als ekele uitkomst va het toevalsexperimet eem blideligs ee groep va persoe ee rij x, x,, x met x j {,,, 35} de verjaardag va persoo j Deze uitkomste verklare we gelijkwaarschijlijk Dus de kas op éé uieke uitkomst is schrikkeljare late we buite beschouwig We moete u het aatal uitkomste 35 bepale waarvoor alle verjaardage verschilled zij Dit aatal is gelijk aa , dus de gevraagde kas is IP gee ekel tweetal op dezelfde dag jarig = Het is verrassed dat voor = 3 deze kas al groter is da ee half Reke dit zelf eve a 9

10 0 We kieze voor ee macht va twee, zeg = k, omdat aders iet ee volledig toerooi is te orgaisere Hoewel we hieroder ee slimme aapak zulle bespreke, zulle we eerst voor de gebruikelijke opzet kieze We zoeke daartoe ee verzamelig Ω va idividuele gelijkwaarschijlijke uitkomste va het volledige toevalsexperimet, dwz het gehele teistoerooi Nummer de spelers va t/m = k =Shimrit, =Vera We idicere de va k afhakelijke uitkomsteruimte met k, het aatal rode i het toerooi Voor de eevoud begie we met spelers k = Da is Ω = {{, }}, ogal flauw Iets aardiger wordt het al voor = 4 k =, Ω = {{x, y}, {{x, u}, {y, v}} : x, y, u, v {,, 3, 4}, alle verschilled } Hier staat {x, y} voor ee fialepartij e {{x, u}, {y, v}} voor twee partije uit de eerste 4 rode We zie dat #Ω = = Omdat alle idividuele uitkomste als gelijkwaarschijlijk te beschouwe zij vawege de gegeves over de sterkte va de spelers, is de gevraagde kas u uit te rekee door het aatal uitkomste te telle waari speler e elkaar otmoete Dit is mogelijk i de fiale uitkomste of i de eerste rode 4 uitkomste, i totaal Coclusie e otmoete elkaar met kas /=/ We voere u dezelfde exercitie uit voor 8 spelers k = 3, Ω 3 = {{x, y}, {{x, u}, {y, v}}, {{x, p}, {u, q}, {y, r}, {v, s}} : x, y, u, v, p, q, r, s verschilled } Hier staat {x, y} weer voor ee fialepartij, {{x, u}, {y, v}} voor twee partije uit de tweede rode e {{x, p}, {u, q}, {y, r}, {v, s}} voor vier partije uit de eerste rode Nu geldt 8 4 #Ω 3 =! 4! = 4 8! We kue u wel vermoede hoe we i het algemee geval Ω k moete beschrijve zulle we iet uitspelle e teves hoe het aatal elemete va Ω k bereked ka worde, k #Ω k = k! k 4 4! k i 4 i i k! k k! =!, voorwaar ee verrassed eevoudig atwoord! [hadde we dit misschie ook seller kue izie?] We kue u overgaa tot de berekeig va de gevraagde kas door het aatal uitkomste te telle waari speler e elkaar otmoete Omdat er voor elke specifieke partij verschillede mogelijkhede zij perke we het totale aatal mogelijke toerooie uitkomste i met ee factor als we eise dat speler e i ee specifieke partij tege elkaar moete spele Dit geeft dus verschillede uitkomste met ee partij tusee e op ee specifieke plaats Verder wete we dat er i totaal partije gespeeld worde er zij dus specifieke partije Samevatted krijge we! IP Vera e Shimrit otmoete elkaar =!! = = k We vrage os u af of we dit eevoudige atwoord ook lags ee adere weg hadde kue vide Het atwoord is ja, e de aazet voor ee simpele aapak ligt al beslote i het 0

11 bovestaade We richte os eerst op de fiale-partij Uiteraard zij er verschillede fiales mogelijk Vawege de oderlige sterkte va de spelers zij deze fiale-partije gelijkwaarschijlijk Dus de kas dat speler e elkaar otmoete i de fiale is Het aardige is u dat deze redeerig ook opgaat voor elke specifieke partij uit het toerooi bv de vijfde partij uit de achtste fiales, om maar wat te oeme Nummer u alle partije va t/m bv partij is de fiale, de eerste halve fiale, 3 de tweede halve fiale, etcetera e defiieer Q j als de evetualiteit Vera e Shimrit otmoete elkaar i partij j Omdat de Q j s paarsgewijs disjuct zij geldt da IP Vera e Shimrit otmoete elkaar = IP Q Q Q = IP Q + IP Q + + IP Q = = = k Teslotte bekijke we og ee recursieve aapak Laat P k de gevraagde kas zij voor ee toerooi met = k spelers Dus P = Da is het iet moeilijk i te zie dat geldt P k = k + k P k k We merke wel op dat hierbij op ee ogal ituïtieve maier va coditioerig gebruik gemaakt is De rechterkat moet me leze als Vera e Shimrit otmoete elkaar i de eerste rode e zo iet, da moete ze beide i de eerste rode wie e elkaar later otmoete Dit is atuurlijk ee igewikkelde maier om te zegge dat ze elkaar erges zulle otmoete e daarmee is de gegeve recursie aagetood We grijpe dit vraagstuk ook aa om de vraag te beatwoorde hoeveel verschillede partije i de eerste rode gespeeld kue worde We geve twee formules Het eevoudigst is te begie met speler e vast te stelle dat er voor deze speler mogelijke tegestaders zij Da blijve er spelers over die og gepaard moete worde Kies er éé uit e stel vast dat voor deze spelers og 3 tegestaders mogelijk zij We vide zo, Aatal verschillede parige va spelers = We kue ook als volgt te werk gaa: zet alle spelers op ee rij Dit geeft! verschillede rije spelers Verklaar u de eerste twee tot ee paar, de derde e de vierde, etcetera Zo krijge we ee geordede rij va geordede pare Om tot het gevraagde aatal parige te kome moete we u de ordeig uit de pare zelf hale e ook uit de ordeig tusse de pare oderlig Zo vide we Aatal verschillede parige va spelers =!!! Het toevalsexperimet is hier het blideligs trekke va 5 kaarte zoder terugleggig uit ee pak va 5 kaarte, waarbij de volgorde irrelevat is Ee ekele uitkomst is da te otere als ee vijftupel x, x, x 3, x 4, x 5 met x < x < x 3 < x 4 < x 5 [de volgorde is allee 5 ee kwestie va otatie!] Er zij verschillede gelijkwaarschijlijke uitkomste We 5 moete daarom de vraag weer beatwoorde door het aatal verschillede uitkomste te bepale die ee full house geve We begie met het kieze va twee soorte, éé voor

12 het drietal va dezelfde soort e éé voor het tweetal Dit geeft 3 mogelijkhede Bij 4 elk va deze keuzes zij er verschillede mogelijkhede voor ee specifiek drietal e 3 4 verschillede mogelijkhede voor ee specifiek tweetal Alles samevatted vide we IP pokerspeler otvagt ee full house = Het toevalsexperimet is i dit geval het blideligs verdele va de 40 sportliede i pare We hebbe bij vraagstuk 0 teistoerooi gezie dat het aatal verschillede uitkomste gelijk is aa 40! Vervolges moete we het aatal mogelijkhede bepale waari alle Amsterdammers met elkaar gepaard worde da worde automatisch ook alle Rotterdammers 0 0! met elkaar gepaard Dit aatal is gelijk aa 0! 0 0! omdat elke combiatie va ee parig va de Amsterdammers met ee parig va de Rotterdammers ee totale parig zoder gemegde pare geeft Dus IP gee gemegde pare = 0! 0 0! 40! 0 0! = 0!3 0! 40! We telle u het aatal parige waarbij precies i gemegde pare voorkome Allereerst 0 kue we op verschillede maiere i Amsterdammers kieze uit de groep va i 0 Amsterdammers Idem voor ee groep va i Rotterdammers I totaal zij er daarom 0 0 i! verschillede mogelijkhede om i gemegde pare te make Bij elke i i keuze voor i gemegde pare moete u de resterede 0 i Amsterdammers e 0 i Rotterdammers og ogemegd gepaard worde Dit ka op [ ] 0 i! 0 i 0 i! verschillede maiere Samevatted krijge we, IP er trede precies i gemegde pare op = 0 i i! [ ] 0 i! 0 i 0 i! 40! 0 0! 3 Dit vraagstuk kue we het beste aapakke met de iclusie-exclusie formule Nummer de echtpare t/m 0, e laat E i de evetualiteit zij dat de beide echteliede va echtpaar i aast elkaar zitte Als we de 0 stoele iet ummere da zij er i totaal 9! verschillede mogelijkhede om de persoe aa de tafel te late plaatseme ga a, die we als gelijkwaarschijlijk zulle beschouwe Maw elke precieze tafelschikkig heeft ee kas va op realisatie Met bovestaade otatie kue we u de kas waari we zij 9! geïteresseerd met behulp va de wet va DeMorga schrijve als IP E c E c E c 0 = IP E E E 0 We herhale og eve de algemee iclusie-exclusie regel, IP E E E = IP E i IP E i E j + i= i<j i<j<k IP E i E j E k

13 + + IP E E E We zie u dat het voldoede is de kase IP E i, IP E i E j, etcetera te berekee Dit is iet zo moeilijk omdat deze kase vawege symmetrie-argumete iet afhage va de specifieke echtpare Bijvoorbeeld IP E i = 8! We zie dit als volgt: vat voor 9! het momet echtpaar i op als éé persoo die same met de overgebleve 8 persoe blideligs rod de tafel gezet worde 8! mogelijkhede; merk vervolges op dat het echtpaar op twee maiere ka plaats eme vrouw liks of rechts va ma Nog ee voorbeeld: IP E i E j = 4 7! Vat de twee echtpare i e j eve op als twee persoe 9! die we same met de overige idividuele persoe rod de tafel plaatse; dit geeft 7! mogelijkhede; verder zij er = 4 verschillede maiere waarop de echteliede va de echtpare i e j oderlig kue worde eergezet Nu algemee, IP E i E i E ik = k 9 k! 9! We redeere weer als hierbove: vat de k echtpare eve op als k persoe die same met de 0 k overgebleve idividuele persoe rod de tafel gezet worde Dit ka op k + 0 k! = 9 k! verschillede maiere Teslotte zij er voor de k echtpare og k mogelijkhede omdat bij elk va deze echtpare de ma liks of rechts va zij vrouw ka zitte Alles samevatted krijge we het volgede resultaat, 0 0 IP E E E 0 = k+ k 9 k! k k= 9! Dus de gevraagde kas is Het is hadig de tores te ummere va t/m 8 We plaatse u de tores achter elkaar op 4 het bord, eerst tore, etcetera Hiervoor zij i totaal = 8! gelijkwaarschijlijke mogelijkhede We hebbe hiermee gekoze voor ee model va 8 balle 8 trekke uit ee vaas met 4 balle zoder terugleggig met iachtemig va de volgorde Dus Ω = {x, x, x 3, x 4, x 5, x, x 7, x 8 : x i {,,, 4}, x i x j voor i j} We moete u het aatal uitkomste telle waarvoor gee ekele tore ee adere ka slaa We redeere als volgt: voor de eerste tore zij er 4 mogelijkhede, voor de tweede tore 4 4 = 49, voor de derde tore = 3, etcetera Algemee, laat t k het aatal resterede mogelijkhede zij voor de k-de tore Da geldt t k+ = t k 4 + k, zoals eevoudig is a te gaa [maak ee plaatje!] De gevraagde kas wordt u IP acht blideligs geplaatste tores kue elkaar iet slaa = Het is illustratief dit probleem ook op te losse met zogeaamd ooderscheidbare tores Dit komt erop eer dat we de balle uit de vaas trekke zoder terugleggig zoder op de 4 volgorde te lette Er zij da verschillede gelijkwaarschijlijke mogelijkhede, l 8 Ω = {x, x, x 3, x 4, x 5, x, x 7, x 8 : x i {,,, 4}, x < x < x 8 } Merk weer op dat we ee uitkomst wel otere aar opklimmed ummer, maar dat hier iet op de volgorde gelet wordt We gaa u weer het aatal mogelijkhede telle waarbij gee ekel tweetal tores elkaar ka slaa Als we de velde va het schaakbord ummere va 3

14 bove aar beede boveste rij t/m 8, tweede rij 9 t/m, etc, da zie we dat moet gelde x 8 [er moet ee tore op de boveste rij geplaatst worde], dus 8 mogelijkhede voor de tweede rij moet gelde x x + 8 [ga a], dus og 7 mogelijkhede Zo doorgaade 8! vide we 8! mogelijkhede e de gevraagde kas wordt u, uiteraard hetzelfde getal 4 8 als eerder gevode is via het model waari wel op de volgorde gelet werd oderscheidbare, amelijk geummerde tores 5 Strict geome kue we dit vraagstuk og iet oplosse, omdat de uitkomsteruimte bij het toevalsexperimet gooi met twee dobbelstee totdat vijf of zeve oge verschije gee eidige uitkomsteruimte heeft [waarom iet?] Toch kue we het probleem wel oplosse door os te cocetrere op de evetualiteit bij de i-de worp met de twee stee worde voor het eerst vijf oge gegooid e i de eerdere worpe och vijf och zeve oge We otere deze evetualiteit met V i We kue de kas op V i bepale door ee kasmodel te make gebaseerd op het toevalsexperimet gooi i keer met de twee dobbelstee Hiervoor geldt we idicere de uitkomsteruimte met i Ω i = {x, y, x, y,, x i, y i : x k, y k {,, 3, 4, 5, }}, waarbij x k e y k het aatal oge zij va de eerste resp tweede dobbelstee bij de k-de worp met de twee stee Al deze uitkomste modellere we als gelijkwaarschijlijk e er geldt #Ω i = 3 i We kue u IP V i berekee door het aatal uitkomste i V i te telle Voor de aardigheid beschrijve we V i als deelverzamelig va de uitkomsteruimte Ω i, V i = {x, y, x, y,, x i, y i Ω i : voor k i, x k +y k 5 & x k +y k 7, x i +y i = 5} Hieruit zie we bija omiddellijk dat #V i = i 4, e hiermee dat IP V i = #V i #Ω i = i 4 3 i = 3 i 8 9 Nu make we ee op dit momet iet volledig te rechtvaardige stap, IP vijf oge trede eerder op da zeve oge = IP V i = IP V i i= i= Het probleem is dat de kasmate aa de rechterkat alle gedefiieerd zij op verschillede toevalsexperimete de kasmate hage ook va i af, maar dit hebbe we iet i de otatie opgeome, terwijl de kasmaat liks iet gedefiieerd is We hebbe zelfs iet vastgesteld hoe het toevalsexperimet gooie totdat vijf of zeve oge verschije eruit ziet waarbij deze kasmaat evetueel gedefiieerd zou kue worde Later zulle we zie dat dit allemaal zó gedaa ka worde dat bovestaade gelijkheid wiskudig te rechtvaardige is We gaa hier u iet verder op i, e beperke os tot het berekee va de gevraagde kas [alsof dit mag zoals we het u doe!], IP vijf oge trede eerder op da zeve oge = i= 3 i 8 9 = 3 9 = 5 8 We hebbe hier gebruik gemaakt va de meetkudige reeks k=0 x k = x voor x < Het is duidelijk dat we hier ee kasmodel moete make voor het toevalsexperimet trekke zoder terugleggig met iachtemig va de volgorde Omdat we iet va tevore wete a hoeveel trekkige we kue stoppe als de eerste rode bal getrokke wordt, 4

15 is het hadig voor het opzette va ee kasmodel met gelijkwaarschijlijke uitkomste te doe alsof alle balle getrokke worde dit beïvloedt atuurlijk iet de gevraagde kas Nummer de rode balle va t/m 3, e de blauwe balle va 4 t/m 0 Da is Ω = {x,, x 0 : x i {,,, 0}, x i x j voor i j}, waarbij x i het ummer is va de i-de getrokke bal Al deze uitkomste beschouwe we als gelijkwaarschijlijk e we zie dat #Ω = 0! Om de gevraagde kas te kue berekee defiiëre we de evetualiteite R i, die staa voor de i-de getrokke bal is de eerste rode bal Da is duidelijk dat 5 IP A trekt eerste rode bal = IP R R 3 R 5 R 7 R 9 = IP R j j= De laatste gelijkheid volgt omdat de evetualiteite R i paarsgewijs disjuct zij Het probleem is u gereduceerd tot het telle va het aatal uitkomste i de evetualiteit R i We beschrijve voor alle duidelijkheid R i ook als deelverzamelig va Ω, R i = {x,, x 0 Ω : x k 4 voor k =, i, x i 3} Het is u iet moeilijk meer het aatal uitkomste i R i te bepale #R i = 7 7 i i! = i k=0 7 k 3 0 i! We hebbe bewust de otatie voor het product gebruikt omdat, met de covetie dat ee leeg product hier voor i = de waarde heeft, de rechterformule u algemee geldig is, terwijl de middelste formule voor i = zoder betekeis is We krijge u, 5 5 IP A trekt eerste rode bal = IP R j = j= j= j 3 k=0 7 k 3 j! 0! 3 9! ! ! ! + 0 = 7 0! 0! 0! 0! Het is leerzaam voor dit probleem ook ee aapak te bespreke waarbij de balle iet geummerd worde teslotte speelt allee de kleur ee rol We kue da als uitkomsteruimte kieze 0 Ω = {x,, x 0 : x i {0, }, x i = 7}, waarbij u x i = 0 beteket dat de i-de getrokke bal rood is, e x i = dat deze blauw is Omdat i het toevalsexperimet alle balle getrokke worde kue we u ook opmerke dat de verschillede uitkomste gelijkwaarschijlijk beschouwd kue worde, maar laat het goed tot je doordrige dat deze aapak zoder de balle te ummere iet meer mogelijk 0 is als iet alle balle getrokke worde zie bijvoorbeeld opgave Nu geldt #Ω =, 7 omdat we i ee rijtje va 0 plaatse op 7 plaatse ee moete zette overige plaatse krijge ee 0 We beschrijve u R i weer als deel va de ieuwe Ω, i= = R i = {x,, x 0 Ω : i i x k = x k = i } k= k= 5

16 i 0 i We kue u vaststelle dat #R i =, te iterpretere als: oder 0 de eerste i x k s gee ekele 0, x i = 0, e va de resterede 0 i x k s precies twee 0 Zo vide we i 0 i 0 IP R i = 0 7 = 0 i! 7! 3!! 8 i! 0!, hetgee hetzelfde resultaat is als we eerder gevode hebbe, wat omiddellijk is i te zie als me opmerkt dat i 7! 8 i! = 7 k 7 Nummer de 8 paar schoee va t/m, waarbij de ummers k e k het k-de paar represetere We hebbe u va doe met ee toevalsexperimet waarbij zoder terugleggig schoee uit de collectie gekoze worde We lette iet op de volgorde, dus zoals gebruikelijk is de uitkomsteruimte met gelijkwaarschijlijke uitkomste, k=0 Ω = {x,, x : x i {,,, }, x < x < < x }, e #Ω = Voor het beatwoorde va de eerste vraag defiiëre we de evetualiteite E i : het i-de paar wordt getrokke Da geldt IP mistes éé paar wordt getrokke = IP E E E 3 E 4 E 5 E E 7 E 8 Omdat de evetualiteite E i iet paarsgewijs disjuct zij moete we weer de iclusieexclusie formule gebruike zie ook opgave 3 Omdat de i deze formule voorkomede doorsede weer iet va de specifieke pare afhage, kue we volstaa de kase te berekee voor de evetualiteite va de vorm E i E i E ik, dwz de kas dat ee specifieke collectie va k pare schoee getrokke wordt k =,, 3 Eevoudig is i te zie dat geldt IP E i E i E ik = k k k k = k!! k!! Hiermee kue we de gevraagde kas berekee vergelijk ook met opgave 3, 3 8 IP E E E 8 = k+ k k= k!! k!! = = 43 We geve ook ee adere aapak, waarbij we het complemet berekee va de evetualiteit mistes éé paar schoee wordt getrokke Dus we bepale de kas dat gee ekel paar schoee wordt getrokke We geeralisere het probleem metee eve tot ee collectie va paar schoee, waaruit r schoee blideligs getrokke worde Ga a dat u geldt, r IP gee ekel paar wordt getrokke = r r,

17 e merk op dat IP mistes éé paar wordt getrokke = IP gee ekel paar wordt getrokke De volgede vraag is eevoudig omdat iet ee liker- è ee rechterschoe eerkomt op alle getrokke schoee likerschoee òf alle getrokke schoee rechterschoee De laatste twee evetualiteite hebbe dezelfde kas e zij disjuct, dus 8 8 IP iet ee liker- è ee rechterschoe = 0 = 43 Teslotte bepale we de kas dat precies twee paar schoee getrokke wordt We bepale eerst de kas dat paar e paar getrokke worde e gee ekele va de adere pare, dus IP E E E c 3 E c 4 E c 5 E c E c 7 E c 8 = 4 4 = Toelichtig: va de schoee t/m 4 paar e moete alle vier getrokke worde, va de overige pare 3 t/m 8 moete va twee verschillede pare de resterede twee schoee getrokke worde; er zij mogelijkhede om twee pare te kieze uit de pare 3 t/m 8; bij elke keuze voor ee specifiek tweetal pare zij er mogelijkhede om va elk paar éé schoe te trekke Omdat deze kas iet afhagt va de specifieke keuze e 8, e er keuzes zij voor het tweetal pare, krijge we IP precies twee pare getrokke = = Het toevalsexperimet is hier trek 3 kaarte uit ee pak va 5 zoder terugleggig, volgorde irrelevat Dus, Ω = {x,, x 3 : x i {,,, 5}, x < x < < x 3 }, 5 e #Ω = De beide gevraagde kase moete met iclusie-exclusie beatwoord 3 worde We geve de atwoorde zoder verder commetaar [ga zelf de details a!], IP ee Aas e ee Kig va dezelfde kleur = = IP va mistes éé waarde alle kleure = =

18 9 Laat Ω = {x,, x 0 : x i {,, }}, waarbij x i het ummer is va de evelop waari foto i terecht komt Hierop beschouwe we uiteraard het homogee model, #Ω = 0 Laat u E j de evetualiteit zij dat evelop j leeg blijft j =,, Da kue we de vraag formulere als: bereke IP {E c Ec } Met De Morga wete we u c IP E c j = IP E j = IP E j j= j= j= We passe vervolges de algemee somregel toe IP E j = IP {E j } IP {E j E k } IP E j j= j= j<k j= Nu geldt op grod va het gekoze homogee model IP {E j } = #E j #Ω = 50 0, IP {E j E k } = #E j E k #Ω = 40, et cetera, 0 e uiteraard is IP {E E } = 0 We hoeve os er u allee og va te vergewisse dat het aatal terme i de r-de som i * gelijk is aa Alles samevatted krijge we r IP Ej c j= 5 = r= r r r0 0 = We ummere zowel de brieve als de adresse va t/m Da is Ω = {x,, x : x i {,, }, x i x j voor i j}, waarbij x i het ummer is va de brief die i de evelop met adres i zit We kieze opieuw voor het homogee model, #Ω =! We berekee u eerst de kas op de evetualiteit, zeg F, dat de brieve t/m k juist geadresseerd zij e de brieve k + t/m iet Da zal het gevraagde atwoord zij IP {F } om redee va symmetrie Laat A k j de evetualiteit zij dat brief j juist geadresseerd is Da hebbe we k IP {F } = IP A j A c j j= j=k+ Het komt er daarom op eer het aatal rijtjes,,, k, x k+,, x te telle waarvoor geldt x j j voor j = k +,, Nu wete we al [blz 59, example 4 i Ghahramai] dat bij het blideligs stoppe va m persoolijke brieve i m verschilled geadresseerde eveloppe de kas dat gee ekele brief i de juiste evelop terecht komt gelijk is aa m r r! r= Met adere woorde het aatal rijtjes y,, y m va verschillede getalle y i {,, m} met y i i voor alle i =,, m is gelijk aa m r m! r! r= Dit geeft voor het oderhavige probleem [m = k] k #F = k! r= 8 r r!

19 Alles samevatted kue we cocludere dat de gevraagde kas gelijk is aa IP {precies k brieve correct geadresseerd} = k k! k r=! r r! = k! k r= r r! Zoals we wete is Ω = {0, } [= kruis, 0= mut ] We kieze voor het homogee model, e daarmee is het probleem teruggebracht tot het telle va het aatal rijtjes ulle e ee va legte waari iet twee of meer ee achter elkaar staa [vaaf u afgekort tot *rijtjes] Defiieer t i als het aatal *rijtjes va legte i Da geldt de volgede recursie voor i = 3, 4 t i = t i + t i, met t = e t = 3 ga a Deze recursie is als volgt i te zie: de *rijtjes va legte i kue we opsplitse i twee disjucte groepe: *rijtjes eidiged op ee 0 e *rijtjes eidiged op ee Het aatal dat eidigt op ee 0 is gelijk aa t i, omdat elk *rijtje va legte i ee *rijtje va legte i wordt als je ee 0 aa het eid toevoegt Blijft over te bepale hoeveel *rijtjes va legte i er zij die eidige op ee Als je bij zo *rijtje de laatste weglaat, krijg je altijd ee *rijtje va legte i dat op ee 0 eidigt waarom?, e zoals we et gezie hebbe is het aatal va dat soort *rijtjes gelijk aa t i! Hiermee is de bovestaade recursie aagetood Os probleem is u teruggebracht tot het berekee va t, het aatal *rijtjes va legte [Merk op dat de rij t = bija de rij va Fiboacci is, bija omdat de start aders is] Vawege de bovestaade recursie kue we t schrijve als t = αx + βx, =,, 3,, voor zekere costate α e β, waarbij x e x de wortels zij va de vierkatsvergelijkig x = x + Ga dit zelf a door de voorgestelde vorm i te vulle i de recursie Dit geeft x = 5; e x = + 5 Omdat we wete dat t = e t = 3 kue we teslotte de costate α e β berekee uit het stelsel vergelijkige α 5 + β + 5 = 4 e α 5 + β + 5 = [doe dit zelf] We vide α = 5 3 5/0 e β = /0 Samevatted kue we cocludere IP {*rijtje va legte } = = Uiteraard is Ω = {x,, x : x < x < < x ; x i {,, 49}}, e hierop kieze we het 49 homogee model, #Ω = Laat u A de evetualiteit zij dat iet twee opvolgede getalle getrokke worde Dus A = {x,, x Ω : i : x i x i } Itroduceer vervolges de verzameig B va alle rijtjes getalle va legte uit de verzamelig {,,, 44} Dus B = {x,, x : x < x < < x ; x i {,, 44}} 9

20 We toe vervolges aa dat de verzamelige A e B gelijkmachtig zij Defiieer de fuctie f : B A als volgt fx, x, x 3, x 4, x 5, x = x, x +, x 3 +, x 4 + 3, x 5 + 4, x + 5 Het is iet moeilijk i te zie dat f ee bijectie is [ga a!] We krijge u 44 IP {A} = #A #Ω = 49 = De coclusie is dat de kas dat bij de Lotto mistes twee opvolgede getalle getrokke worde ogeveer gelijk is aa , dus bija 05 Dit is op het eerste gezicht zeer verrassed, omdat de gemiddelde afstad tusse twee opvolgede getalle ogeveer bedraagt [dek aa ee kettig va 49 krale waaruit je blideligs krale verwijdert; de 7 stukke hebbe ee gemiddelde legte va ruim krale] Voor de aardigheid berekee we de verwachtig va het kleiste getrokke getal, zeg X Dus X ω = x voor ω = x,, x De waardeverzamelig va X is W X = {,, 44} Kies i W X Da krijge we IP {X = i} = 49 i 5 49 Ga dit a! Da krijge we 44 IE[X ] = iip {X = i} = i= i i 5 i= = 50 7, dus ligt iderdaad gemiddeld het kleiste getal i de buurt va de 7 Nu we toch bezig zij, berekee we ook og eve de verwachte afstad tusse het kleiste getrokke getal X e het op éé a kleiste getrokke getal, zeg X, dus X ω = x voor ω = x,, x De waardeverzamelig va de stochastische vector X, X is W = {i, j : i < j 45} Kies i, j W Da krijge we IP {X = i; X = j} = 49 j 4 49 Dit geeft voor de verwachte afstad tusse het kleiste e het op éé a kleiste getal j IE[X X ] = j iip {X = i; X = j} = j i = 50 i= j=i i= j=i+ Zoals te verwachte was, opieuw ruim 7, zelfs exact gelijk aa IE[X ], wat atuurlijk iet verrassed is 3 We kieze het homogee model bij de uitkomsteruimte Ω = {,,, N} We fixere os u eerst op ee specifieke collectie va m verschillede ummers, zeg A {,, N} We berekee vervolges de kas, zeg pa, dat allee ummers uit de collectie A voorkome, maar wel elk ummer uit A mistes éé keer De gevraagde kas zal da zij A {,,,N}: #A=m pa = N p{,, m}, waarmee het probleem gereduceerd is tot het berekee va de kas dat m 0

21 allee de ummers va tot e met m voorkome, e wel elk mistes éé keer Defiieer de volgede deelverzamelige va R m := {,, m}, E j = {x,, x R m i : x i j} I het oderstaade is Ej := R m\e j, dus Ej is hier het complemet va E j met betrekkig tot de gereduceerde verzamelig R m Ω Da geldt met deze otatie e De Morga m m [ p{,, m} = IP Ej = IP E j = # mj= ] E j N = m #R N m # E j = j= [ m N m k m k k= j= m k ] = [ m N k m k k=0 m k ] De voorlaatste formule volgt uit de algemee somregel voor aatalle [vergelijk met de somregel voor kase!] m m # E j = k m # [E i E ik ] = k m m k k j= i <i < <i k k= Alles samevatted kue we cocludere dat de kas dat precies m verschillede ummers getrokke worde gelijk is aa [ N m ] m N k m m k k k=0 We passe dit resultaat voor de aardigheid toe op de volgede vraag: wat is de kas dat 0 blideligs getrokke persoe op slechts 5 verschillede dage jarig zij? Het atwoord is [ 35 5 ] k 5 5 k = k k=0 4 We losse dit probleem op met de Wet va de totale waarschijlijkheid [WTW] Laat S m de evetualiteit zij dat Elisa de beste parter kiest via de m-strategie e B i de evetualiteit dat de beste parter de parter is va de i-de date Da met de WTW, k= IP {S m } = IP {S m B i }IP {B i }, i= omdat {B,, B } ee partitie va de uitkomsteruimte is Omiddeliijk zie we IP {B i } = / Het probleem is u gereduceerd tot het berekee va de voorwaardelijke kase IP {S m B i } Allereerst merke we op dat voor i m uiteraard geldt IP {S m B i } = 0 [als de beste parter zich oder de eerste m dates bevidt da wordt hij zeker iet gekoze via de m-strategie] Vervolges kijke we aar i = m + Da zie we omiddellijk IP {S m B m+ } = Teslotte voor i > m +, IP {S m B i } = m m + m + m + i i = m i Toelichtig: bij de m + -ste date is de kas m/m + dat deze iet beter is da de beste va de eerste m dates ; bij de m + -de date is de kas dat deze iet beter is da de beste va de eerste m, gegeve dat de m + -ste iet beter was da de eerste m gelijk aa m + /m +, etc [ga dit a!] Je kut dit ook wat directer izie: de kas dat je de beste parter kiest, gegeve dat de beste parter bij de i-de date aagetroffe wordt is gelijk aa de kas dat oder de eerste i dates de beste bij de eerste m zit, e deze kas is m/i Alles samevatted vide we IP {S m } = i=m+ m i = m i=m+ i j=

22 Vervolges zie we uit ee plaatje [teke!] dat log = u du i i= Met deze beaderig vide we IP {S m } m log m Late we u de eis dat m IN geldt los, da krijge we de volgede calculus-opgave: Bepaal het maximum va de fuctie hx := x log x Differetiëre e afgeleide ul stelle geeft h x = log x = 0 dus we vide ee maximum bij x = /e, e de bijbehorede grootste succeskas is h/e = /e 5 Oefeopgave Vicet trekt achter elkaar kaarte uit ee pak va 5 stadaardkaarte a Bereke de kas dat de eerste aas de dertiede kaart is b Bereke de kas dat oder de eerste 3 kaarte precies éé aas zit Bouke trekt uit ee vaas waari N geummerde balle zitte 4 balle zoder terugleggig a Bereke de kas dat het kleiste getrokke ummer i is i =,,, N 3 b Bereke de kas dat het grootste getrokke ummer j is j = 4, 5,, N c Bereke de kas dat het kleiste getrokke ummer i is e het grootste getrokke ummer j 3 Chris gooit éé keer met 4 zuivere dobbelstee a Bereke de kas dat het kleiste aatal oge op ee va de stee i is b Bereke de kas dat het grootste aatal oge op ee va de stee j is c Bereke de kas dat het kleiste aatal oge op ee va de stee i is e het grootste aatal oge op ee va de stee j