Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Transcriptie

1 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel getal als epoet Wortelfucties Machtsfucties et ee breuk als epoet 7 Iverse fucties 9 6 Vergelijkige et achte 96 Saevattig 9 Zelftoets 99 Terugkoppelig Uitwerkig va de opgave Atwoorde op de zelftoets 76

2 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties Itroductie I leereeheid e hebbe we fucties et ee fuctievoorschrift va de vor f() t = b gt bestudeerd I deze fucties is het grodtal g ee vast getal e staat de variabele t i de epoet Deze fucties hete daaro epoetiële fucties I leereeheid is et behulp va deze fucties de betekeis va g r gedefiieerd als r ee ratioaal getal (ee breuk) is I deze leereeheid draaie we de posities o We bestudere fucties va de vor f( ) = r, waarbij de epoet r ee vast getal is e waarbij het grodtal de variabele is Dergelijke fucties hete achtsfucties Ekele eevoudige achtsfucties va de eerste e tweede graad werde al i eerdere leereehede besproke Hier kijke we verder; eerst aar achtsfucties et gehele getalle als epoet e vervolges aar achtsfucties et gebroke epoete Ee bijzoder geval va dergelijke fucties zij wortelfucties va de vor g ( ) = et ee atuurlijk getal Aa de had va de achtsfucties bespreke we ook het begrip iverse fuctie e uiteraard bespreke we ook ee aatal voorbeelde va achtsfucties zoals die i de atuurweteschappe gebruikt worde LEERDOELEN Na bestuderig va deze leereeheid ket u het verschil tusse ee epoetiële fuctie e ee achtsfuctie weet u dat de epoet va de achtsfuctie f( ) = r ieder willekeurig ratioaal getal ka zij e dat de grafiek voor verschillede soorte ratioale getalle verschillede vore heeft (positief of egatief; geheel, breuk va de vor / of breuk va de vor /, idie geheel da eve of oeve, etc) ket u de keerke va de grafieke va achtsfucties voor verschillede soorte epoete, zoals het doei, het bereik e de evetuele top weet u wat er verstaa wordt oder de iverse va ee fuctie weet u waeer de iverse fuctie va ee achtsfuctie bestaat e wat het fuctievoorschrift is va deze iverse fuctie weet u dat de grafieke va ee fuctie e zij iverse elkaars spiegelbeeld zij i de lij = kut u eevoudige vergelijkige et achtsfucties oplosse, zoals vergelijkige va de vor r = c 77

3 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe LEERKERN Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet We bekijke de fucties f( ) = waarbij ee atuurlijk getal is Voor = geldt f( ) = = De grafiek va f is de horizotale rechte lij = Het doei va deze fuctie is ; het bereik is allee het getal Voor = geldt f( ) = = De grafiek va f is de rechte lij = Het doei va deze fuctie is ; het bereik is ook Voor = e = is f( ) = dus ee lieaire fuctie Deze fucties zij uitgebreid besproke i leereeheid Voor = geldt f( ) = Deze tweedegraads fuctie is uitgebreid bestudeerd i leereeheid Het doei va deze fuctie is f () = e voor alle adere waarde va geldt f( ) > Het bereik va deze fuctie is dus het iterval, Derdegraads fuctie Voor = geldt f( ) = Deze derdegraads fuctie hebbe we og iet eerder bestudeerd, vadaar dat we eerst ee aatal fuctie waarde uitrekee e ee grafiek ake OPGAVE 6 Gegeve de fuctie f( ) = a Bereke f( ) voor = -, = -, = -, = -, = -, =, =, =, =, = e = b Welke setrie ziet u i deze fuctiewaarde? c Bereke ook f (- ), f (- ), f ( ) e f ( ) d Teke de pute (, ); (, ); (, ); (, ), (, ); (, ); (, ); (, ) e (, ) i ee assestelsel e aak ee schets va de grafiek va f voor - e Hoe verloopt de grafiek voor <- e voor >? Hoe ligge bijvoorbeeld de pute (, 7) e (, ) te opzichte va de pute die u i vraag d hebt geteked? Uit de opgave is waarschijlijk wel duidelijk hoe de grafiek va f loopt voor < e voor > Idie gewest kue we uiteraard altijd etra pute uitrekee, zoals de pute op de grafiek et = - e = Het resultaat ziet u i figuur 6 OPGAVE 6 (*) I deze opgave zooe we i op het verloop va de grafiek va de fuctie f( ) = i de buurt va de oorsprog (, ) a Bereke f( ) voor = -, = -, = -, =, =, e = b Teke de pute (, ); (, ), (, ); (, ); (, ) e de pute uit vraag a i ee assestelsel Nee daarbij ee grote schaal, bijvoorbeeld c voor ee eeheid c Hoe loopt de grafiek i de buurt va het put (, )? 7

4 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties Hieroder ziet u twee keer de grafiek va f() = I de likerfiguur krijgt u ee globaal idee va het verloop va de grafiek, i de rechterfiguur is igezood op het verloop va de grafiek rod het put (, ),,6,,,,6,,,,,6,,,,6, f f FIGUUR 6 FIGUUR 6 BOX 6 Toepassig: Wideergie Ee toepassig va ee derdegraads fuctie is het beschrijve va de eergieopbregst va widoles als fuctie va de widselheid Deze eergieopbregst wordt gegeereerd door ee pakket lucht dat et ee bepaalde selheid door de rotore va de widole waait, waardoor de rotore gaa draaie Per tijdseeheid (bijvoorbeeld per secode) gaat dit ruwweg o ee pakket va volue A v, et A de oppervlakte va de cirkel die door de eidpute va de rotorblade gaat e v de selheid va de wid De assa va dit luchtpakket is = ρ A v lucht et ρ de luchtdichtheid ( ρ is de Griekse letter rho) We wete uit de klassieke echaica dat de bewegigseergie va ee assa et selheid v gegeve wordt door v De eergie die het luchtpakket i het tijdsiterval aiaal aa de rotorblade ka overbrege is dus gelijk aa v = ρ A v Nu is het fsiek lucht atuurlijk ooit ogelijk o alle bewegigseergie va de luchtverplaatsig over te brege op de rotorblade Op zij ist ee gedeelte va de bewegigseergie oet overblijve, o de lucht aa de achterzijde va de rotorblade te late doorstroe Daaro houde we rekeig et ee costate efficiëtiefactor Eff va ruwweg % De eergieopbregst E per tijdseeheid het geleverde veroge is da: ρ E = A v Eff De eergieopbregst va ee widole is dus everedig aa de derde acht va de widselheid! 79

5 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe Deze berekeig ka u overiges beked voorkoe Zij is vergelijkbaar et de berekeig va het eergieverbruik va voertuige als gevolg va luchtweerstad (zie bo ) Bro: OU cursus Natuurkude voor ilieuweteschappe (va Belleghe, ), Sustaiable Eerg (MacKa, 9) Aadachtsgebied: Eergieopwekkig, Duurzae eergie, Wideergie VOORBEELD 6 Toepassig: Wideergie Als de straal va ee rotorblad gelijk is aa r =,6 eter, da is de oppervlakte va de cirkel die door de eidpute va de rotorblade loopt gelijk aa A= π r Voor de luchtdichtheid op het aardoppervlak geldt ogeveer ρ =,kg / Nee verder aa dat de widselheid gelijk is aa v = 6 / s (widkracht -) e dat de efficiëtiefactor precies % is Da levert dit ee veroge op va E, 6, kw OPGAVE 6 Toepassig: Wideergie Gegeve de widole uit voorbeeld 6 a Laat zie dat de eeheid va ρ A v Watt is (zie appedi B) e cotroleer dat het geleverde veroge bij ee widselheid va 6 /s iderdaad kw is b Bereke het geleverde veroge bij ee widselheid va /s (widkracht -9) c Stel ee forule op voor het geleverde veroge E i kw als fuctie va de widselheid v i /s Nee daarbij aa dat ρ e A gelijk blijve aa de waarde va voorbeeld 6 d Bereke E() e vergelijk uw atwoord et dat va vraag a Als het keer zo hard gaat waaie, et welke factor eet da de eergieopbregst toe? O ee algeee beeld te krijge va het verloop va fucties va de vor f( ) = bekijke we eerst deze fucties voor =,, 6 e 7 OPGAVE 6 Gegeve de fucties ( ( 6 6 ( 7 7 ( a Vul de oderstaade tabel i f () f () f 6 () f 7 () b Teke de grafieke va deze fucties, of laat deze tekee i Maia c Als we lette op doei/bereik e stijge/dale, welke va deze fucties hebbe da hetzelfde verloop als f ( ) =? E welke hebbe hetzelfde verloop als f ( ) =? d Hoe zal de grafiek va f ( ) = lope e hoe die va f ( ) =?

6 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties Coclusie: Als ee positief eve getal is, da geldt voor de grafiek va f( ) = : het doei is het bereik is het iterval, de grafiek is daled voor < e stijged voor > de grafiek heeft ee top (iiu) i het put (, ) Als ee oeve getal is et >, da geldt voor de grafiek va f( ) = : het doei is het bereik is de grafiek is stijged voor alle de grafiek vlakt af rod het put (, ) (Voor = krijge we de fuctie f( ) =, waarva de grafiek zoals beked ee rechte lij is) f f FIGUUR 6 FIGUUR 6 Grafiek va f( ) = et oeve Grafiek va f( ) = et eve OPGAVE 6 Met uitzoderig va de fuctie f ( ) = = hebbe alle hier besproke fucties twee pute geeeschappelijk a Welke twee pute zij dat? Alle fucties f ( ) = et ee eve hebbe og ee derde put geeeschappelijk b Welk put is dat? Alle fucties f ( ) = et ee oeve hebbe ee ader derde put geeeschappelijk c Welk put is dat?

7 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties et ee egatief geheel getal als epoet Horizotale asptoot Verticale asptoot I voorbeeld 6 e opgave hebbe we de grafiek va de fuctie g ( ) = bestudeerd Het doei va deze fuctie bestaat uit alle reële getalle behalve het getal (ook geoteerd als,, ) Het bereik bestaat ook uit alle reële getalle behalve het getal I opgave hebt u kue zie dat de grafiek voor grote positieve e egatieve waarde va de -as adert e dat de i de buurt va = de fuctiewaarde ee zeer groot positief of egatief getal is De grafiek heeft dus ee horizotale asptoot (de -as) e ee verticale asptoot (de -as) Merk op dat het fuctievoorschrift ook geschreve ka worde als g ( ) = - Dit is dus de achtsfuctie et epoet - Hieroder ziet u de grafiek va deze fuctie FIGUUR 6 g ( ) = = - Met epoete -, -, - e - krijge we de fucties f ( ) - = =, f ( ) = f ( ) = e f ( ) = OPGAVE 66 a Vul de oderstaade tabel i b Welke vore va setrie ziet u i de tabel va f ( ) = - -? E i de tabel va f -?

8 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties c Eig idee wat het doei, het bereik e de asptote va de grafieke va de fucties f - e f - zij? d Teke de grafieke va f - e f - e Wat kut u zegge over het globale verloop va de grafieke va de fucties f - e f -? (Teke ze idie odig i Maia) Hierbove hebbe we ee aatal grafieke bekeke va fucties va de vor f() = = / et ee positief geheel getal (de epoet is dus ee egatief geheel getal) Als we lette op doei/bereik, stijge/dale e de liggig va de asptote, da zij er weer twee vore te oderscheide Als ee positief oeve getal is, da geldt voor de grafiek va f() = = / : het doei bestaat uit alle reële getalle uv (ook geoteerd als,, ) het bereik is eveees,, de grafiek is daled voor alle de grafiek heeft de -as als horizotale asptoot e de -as als verticale asptoot Als ee positief eve getal is, da geldt voor de grafiek va f() = = / : het doei bestaat uit alle reële getalle uv (ook geoteerd als,, ) het bereik is het iterval, de grafiek is stijged voor < e daled voor > de grafiek heeft de -as als horizotale asptoot e de -as als verticale asptoot f f FIGUUR 66 FIGUUR 67 Grafiek va f( ) = et oeve Grafiek va eve f( ) = et

9 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe OPGAVE 67 Welk put hebbe de grafieke va alle fucties geeeschappelijk? f( ) = e f ( ) = Wortelfucties De tweedeachtswortel De bekedste wortelfuctie is de tweedeachtswortel, ofwel de gewoe wortel f( ) = I voorbeelde e hebbe we gezie dat het doei va deze fuctie het iterval, is e dat het bereik hetzelfde iterval is De wortel uit ee egatief getal bestaat iers iet e de wortel uit ee positief getal a is het positieve getal waarva het kwadraat a is Voor het tekee va de grafiek va f begie we weer et het ake va ee tabel Kieze we daarbij voor ooie ivoerwaarde, dat zij ivoerwaarde waarva we de wortel al kee, da hoeve we hierbij gee rekeachie te gebruike OPGAVE 6 a Vul de oderstaade tabel i Alle wortels i de tabel kue zoder rekeachie bereked worde, bijvoorbeeld b Teke de grafiek va de fuctie f( ) = Nee daarbij als doei het iterval, Wat is het bereik va f bij dit doei? De grafiek va f( ) = kue we ook krijge et behulp va de grafiek va g ( ) = Bedek daartoe dat als het put ( ab, ) et a op de grafiek va g ligt, er geldt b= ga ( ) = a Odat a volgt hieruit a= b, dus a= f( b) Dit beteket dat het put ( ba, ) op de grafiek va f ligt Zo krijge we oder eer: put op grafiek va g() = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6 ) (, 9) put op grafiek va f() = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (6, ) (9, ) Voor elke rij i deze tabel geldt dat de twee pute elkaars spiegelbeeld zij i de lij = De grafiek va f is dus het spiegelbeeld va de grafiek va g i deze lij Let op: we gebruike u allee de rechter tak va grafiek va g, we beperke het doei va g tot het iterval,

10 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties 7 g 6 f 6 7 FIGUUR 6 De grafieke va f( ) = e g ( ) = zij elkaars spiegelbeeld i de lij = OPGAVE 69 (*) a Teke de grafiek va g ( ) = voor - e geef het deel va die grafiek voor aa i ee tweede kleur b Teke ook de figuur die u krijgt als u dit aders gekleurde deel va de grafiek spiegelt i de lij = (Dit kut u doe door put voor put de - e de -coördiaat te verwissele) c Welk fuctievoorschrift past bij de figuur die u i vraag b geteked hebt? OPGAVE 6 (*) Gegeve de fuctie f( ) = - a Voor welke waarde va geldt -? b Wat is dus het doei va de fuctie f? c Geef ook het doei va de fuctie g ( ) = - De derdeachtswortel De grafiek va de derdeachtswortelfuctie f( ) = kue we et als de grafiek va f( ) = op twee aiere ake aak eerst ee tabel va de fuctie f( ) = e teke de gevode pute i ee assestelsel of teke eerst de grafiek va de fuctie g ( ) = e spiegel deze i de lij = Bij het ake va de tabel va f( ) = kieze we et als bij de tweedeachtswortel hadige ivoerwaarde

11 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe OPGAVE 6 Vul de oderstaade tabel i Alle derdeachtswortels i de tabel kue zoder rekeachie bereked worde, bijvoorbeeld 7 7 = = = = Aders da bij de tweedeachtswortel, bestaat ook voor egatieve waarde va OPGAVE 6 Bereke -, - - e - OPGAVE 6 (*) Gebruik uw atwoorde va opgave 6 e 6 o de grafiek va de fuctie f( ) = te tekee Nee daarbij als doei het iterval -, Wat is het bereik va f bij dit doei? De grafiek va f( ) = kue we ook vide et behulp va de grafiek va g ( ) = Als het put ( ab, ) op de grafiek va g ligt, da geldt iers a= b b= a ba, op de grafiek va f ligt Zo vide we: Dit beteket dat het put ( ) put op grafiek va g() = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) put op grafiek va f() = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Net als bij de tweedeachtswortel zie we dat de pute op iedere rij elkaars spiegelbeeld zij i de lij = De grafieke va f e g zij dus elkaars spiegelbeeld i deze lij Odat we de derdeachtwortel kue ee va ieder reëel getal, is het doei va f heel Ook het bereik va f is heel Ieder reëel getal is iers de derdeachtswortel va 6

12 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties g 6 f FIGUUR 69 De grafieke va f( ) = e g ( ) = zij elkaars spiegelbeeld i de lij = Wortelfucties et ee hogere acht Voor wortelfucties et ee hogere acht ake we weer het oderscheid tusse eve waarde e oeve waarde va Voor ee eve bestaat allee als e is de uitkost positief of De grafiek va f( ) = heeft ruwweg de vor va de grafiek va f( ) = Voor ee oeve bestaat voor alle e ka de uitkost ieder reëel getal zij De grafiek va f( ) = heeft ruwweg de vor va de grafiek va f( ) = OPGAVE 6 MAXIMA Cotroleer bovestaade door voor ee aatal eve e oeve waarde va de grafiek va f( ) = i Maia te late tekee Machtsfucties et ee breuk als epoet I paragraaf is voor positieve grodtalle gedefiieerd: Als e positieve gehele getalle zij et >, da geldt - = ( ) e = ( ) 7

13 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe Bij de defiitie va deze gebroke achte zij egatieve grodtalle uitgeslote, odat voor deze grodtalle de gebroke achte iet altijd eeduidig kue worde gedefiieerd Zo zage we al eerder dat = voor egatieve iet bestaat Voor achtsfucties va de vor f( ) = is de ivoerwaarde pria ogelijk, aagezie de bijbehorede fuctiewaarde eeduidig is gedefiieerd (aelijk eveees ) Daaro is het doei va de fuctie f( ) = (et e beide positief) het iterval, OPGAVE 6 Leg uit dat iet ogelijk is als ivoerwaarde va fucties va de vor f( ) = - Wat is dus het doei va deze fucties? Zie ook zelftoets c e d Met =, wordt f( ) = = de fuctie f( ) =, ee wortelfuctie zoals we i de vorige paragraaf besproke hebbe I wortelotatie zij egatieve getalle voor oeve wel toegestaa als ivoerwaarde I de otatie f( ) = zij egatieve getalle echter voor gee ekele waarde va toegestaa als ivoerwaarde Voor het ake va de grafiek va ee fuctie va de vor f( ) = begie we weer et het kieze va hadige ivoerwaarde OPGAVE 66 Bij de fuctie kee f( ) = kieze we ivoerwaarde waarva we de wortel a Vul de oderstaade tabel i (Zie ook opgave 6a) f() b Teke de grafiek va de fuctie f OPGAVE 67 Voor het tekee va de grafiek va de fuctie g ( ) = begie we wedero et het kieze va hadige ivoerwaarde Dat zij u getalle waarva we de derdeachtswortel kee a Vul de oderstaade tabel i (zie ook opgave 6a) g() b Teke de grafiek va de fuctie g OPGAVE 6 a Wat valt u op als u de tabel die u i opgave 67a hebt geaakt vergelijkt et de tabel die u i opgave 66a hebt geaakt? b Welke setrie bestaat er tusse de grafieke va f e g?

14 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties OPGAVE 69 (*) Hieroder ziet u de grafieke va de fucties f( ) = e g ( ) =, b, a,,,, FIGUUR 6 a Welke grafiek hoort bij welke fuctie? b Ga a dat het put (,6;,76 ) op de grafiek va f ligt c Beredeeer zoder berekeig dat uit b volgt dat het put,76;,6 op de grafiek va g ligt ( ) De grafieke va alle fucties f ( ) = r waari r ee positief ratioaal r getal is, gaa door de pute (, ) e (, ) Voor iedere r > geldt iers r = e r =, Voor r = geldt f ( ) = = De grafiek is dus de rechte lij = r (gestreept i de figuur hieroder) Voor adere positieve waarde va r heeft de grafiek hetzij de vor va grafiek a i de figuur hieroder (die tusse e bove de lij = ligt) of de vor va grafiek b (die tusse e oder de lij = ligt) b a FIGUUR 6 9

15 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe OPGAVE 6 (*) MAXIMA Oderzoek voor welke waarde va r de grafiek va f ( ) = r de vor r va grafiek a heeft e voor welke waarde r de grafiek va f ( ) = r de r vor va grafiek b heeft Dit kut u doe door de grafiek va f ( ) = r voor ee aatal waarde r va r te late tekee i Maia of door f r ( ) te berekee voor ee aatal waarde va r De grafieke va alle fucties f ( ) = r waari r ee egatief ratioaal r getal is, hebbe alle ogeveer de vor va de grafiek va f( ) = - i de figuur hieroder FIGUUR 6 OPGAVE 6 (*) Gegeve de fuctie g ( ) = - a Bereke g () ; g (9), g (6) e g () b Hoe verloopt de grafiek va g voor >? c Bereke g (, 9), g (,), g (,6) e g (, ) d Hoe verloopt de grafiek va g voor <,? e Welke asptote heeft de grafiek va g? f Wat zij het doei e het bereik va g? Het doei va de fucties i figuur 6 is zoals we eerder al gezie hebbe het iterval, O het bereik te bepale, oete we os realisere dat zowel grafiek b als grafiek a bove iedere gres uit stijgt Bij iedere e iedere fuctie f ( ) = r kue we aelijk ee waarde va vide r waarvoor geldt = f ( ) Verderop i deze leereeheid bespreke we r ee algeee ethode o de vergelijkig f ( ) = op te losse; i r oderstaade opgave al vast twee voorbeelde OPGAVE 6 Los de vergelijkig f ( ) = op r a als = e r = dus los op = = ; b als = e r = dus los op ( ) = = 9

16 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties Coclusie: Voor r > is het bereik va de fuctie f ( ) = r het iterval, r Voor r < is het bereik va de fuctie f ( ) = r het iterval, r BOX 6 Toepassig: Biologische schaligswette Ee toepassig va achtsfucties et gebroke epoete vide we i de biologische schaligswette Op aarde bestaat ee eore diversiteit aa orgaise die verschille i vor, fuctie, e grootte Odaks deze eore diversiteit zoekt de weteschap aar uiversele verbade die voor alle orgaise geldig zij Zo liet de Aerikaase bioloog Ma Kleiber i 9 zie dat het etabolise va ee orgaise afhagt va het lichaasgewicht tot de acht / Dit verbad is geldig over ee eor bereik va grootte, va subcellulaire iveaus tot grote orgaise zoals walvisse e boe Ook voor adere eigeschappe A e B zoals grootte, levesduur e groeiselhede blijkt er ee everedigheidsrelatie te zij va de vor A = c Br, et c ee everedigheidscostate, e waarbij r tpisch ee veelvoud va is Het cosequet voorkoe va dit soort relaties suggereert het bestaa va uiversele pricipes voor het fuctioere va orgaise, oafhakelijk va de specifieke orgaisestructuur Zo otwierpe de atheatisch biologe Geoffre West e Jaes Brow ee theorie, waarbij de zg /-achts-schalig wordt verklaard vauit de hiërarchische etwerkstructure waaruit vele orgaise zij opgebouwd Dek bijvoorbeeld aa de bloedsoloop, adehalig, e eurale sstee bij es e dier, e het trasportweefsel va plate Toch is deze theorie ook ostrede Adere weteschappers, zoals Craig White e Roger Seour, bearguetere juist dat het etabolise heleaal iet et ee /e, aar et /e acht i de assa schaalt Deze /e achtsfactor zou da verklaard kue worde uit de verhoudig tusse de assa va het orgaise (everedig aa haar volue) e haar warte verlies (everedig aa de huidoppervlakte) Het leve blijft oeilijk te bevatte Bro: West & Brow, (); White & Seour () Zie ook: OU cursus Orgaise i hu ogevig: toicologie e afweersstee (Löhr, 6) Aadachtsgebied: Orgaise VOORBEELD 6 Toepassig: Biologische schaligswette De epoet uit bovestaade discussie ka verklaard worde et ee eetkudig arguet h d b FIGUUR 6 9

17 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe De vor va ee balk wordt vastgelegd door de verhoudige tusse de breedte b, de hoogte h e de diepte d I de balk hierbove geldt b =, h = e d = Als we deze balk vergrote of verkleie et ee factor, da geldt dus b=, h = e d = De ihoud va de balk wordt da gegeve door V = bhd = 6 De oppervlakte va de balk (= de oppervlakte va de zes zijvlakke) wordt gegeve door A = bh + bd + hd = + + = 9 Uit V = 6 volgt = V dus = V = = = Merk op dat 9 = + + e dat 6 = De oppervlakte A is dus everedig et V, waarbij de everedigheidscostate afhakelijk is va de verhoudige tusse de legte, breedte e diepte va de balk Ook voor adere driediesioale figure geldt dat de oppervlakte everedig is aa het volue tot de acht / Er geldt dus A = c V, waarbij de everedigheidscostate c afhakelijk is Nu volgt ( ) ( ) A 9 9 V 9 V va de vor va de figuur OPGAVE 6 Toepassig: Biologische schaligswette Het warteverlies W va ee dier is everedig aa de huidoppervlakte A Het gewicht G is everedig aa het volue V Als we aaee dat A everedig is et V geldt da W= cg, waarbij c afhakelijk is va (de vor va) de diersoort Voor ee koe e ee uis zij de everedigheidscostate gelijk Ee koe weegt geiddeld ~kg, ee uis weegt geiddeld ~gra a Hoe verhoude zich de lichaasgewichte va ee koe e ee uis? E hoe verhoude zich de huidoppervlakte (e dus het warteverlies)? Twee hoderasse hebbe ook dezelfde everedigheidscostate Het geiddelde gewicht va het ee ras is acht keer zo groot als dat va het adere ras b Too aa dat het warteverlies va het ee ras keer zo groot is als va het adere ras Grotere diere kue geakkelijker etree kou verdrage da kleiere diere c Verklaar dit et behulp va uw atwoorde op vraag a e b OPGAVE 6 (*) I voorbeeld 6 hebbe we gevode dat voor ee balk et breedte b=, hoogte h = e diepte d = geldt dat de oppervlakte gelijk is aa A = 9 e dat de ihoud gelijk is aa V = 6 Daaruit hebbe we afgeleid dat A = c V et everedigheids costate ( ) c = 9 6 Op ee vergelijkbare aier ka ee forule afgeleid worde va de vor V = p A r, et p ee adere everedigheidscostate Bereke r e p i deze forule OPGAVE 6 (*) Ee kubus is ee balk waarva de ribbe alle gelijke legte hebbe a Hoe groot is de ihoud va ee kubus waarva de ribbe alle legte c hebbe? b E hoe groot is de oppervlakte elk va de zes zijvlakke va deze kubus? c Hoe groot is de oppervlakte va het grodvlak va ee kubus waarva de ihoud c is? 9

18 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties d E hoe groot is de oppervlakte va het grodvlak va ee kubus waarva de ihoud v c is? e Hoe groot is de ihoud va ee kubus waarva de oppervlakte va het grodvlak 9 c is? f E hoe groot is de ihoud va ee kubus waarva de oppervlakte va het grodvlak a c is? VOORBEELD 6 Toepassig: Biologische schaligswette Op basis va de bove besproke geoetrische verhoudig tusse volue e huidoppervlak gig e er oorsprokelijk vauit dat de etabole selheid schaalt et de assa tot de acht / Op basis va eperietele data kwa de Aerikaase bioloog Ma Kleiber i de jare echter tot adere coclusies (zie bo 6) Zij wet va Kleiber stelt dat voor de overgrote eerderheid va zoogdiere e vogels de etabole selheid M schaalt et de ¾ acht va de assa G va het dier Volges deze wet geldt dus M= cg OPGAVE 66 Toepassig: Biologische schaligswette Waeer het etabolise wordt uitgedrukt i kcal/dag e het gewicht i - kilogra, geldt bij beaderig c = (kg) kcal/dag a Ee es weegt geiddeld 6 kilogra Hoe sel is zij etabolise? b Ee kat is hoderd aal zwaarder da ee uis Hoeveel seller is zij etabolise da? Iverse fucties We hebbe al gezie dat de fucties f( ) = e g ( ) = veel et elkaar te ake hebbe Als ee put (a,b) op de grafiek va g ligt, da ligt het put (b,a) op de grafiek va f De grafieke zij elkaars spiegelbeeld i de lij = I deze paragraaf gaa we ader i op dergelijke verbade tusse twee fucties Kijk daartoe ees wat er gebeurt als we ee uitvoerwaarde va f ee als ivoerwaarde va g: Start bijvoorbeeld et 7 als ivoerwaarde va f, da is de uitvoerwaarde: f (7) = 7 = Als we u als ivoerwaarde ee va g, da is de bijbehorede uitvoerwaarde g () = = 7 E ogekeerd geldt: Als we starte et - als ivoerwaarde va g, da is de bijbehorede uitvoerwaarde g( - ) = - Nee u - als ivoerwaarde va f, da is de bijbehorede uitvoerwaarde f (- ) = - = - Iverse Als we dus de fucties f e g a elkaar toepasse op ee variabele, koe we dus weer bij os uitgagsput terug I forule: g( f( )) g( ) ( ) = = = e f( g ( )) = f( ) = = De fucties f e g hete elkaars iverse fuctie Voorwaarde voor het bestaa va de iverse va ee fuctie f is dat er bij iedere p i het bereik va f precies éé is zodat f( ) = p Met adere woorde, i de grafiek heeft iedere horizotale lij = p precies éé sijput et de grafiek va f Bij fucties va de vor f( ) = waarbij ee oeve geheel getal is (positief of egatief) is autoatisch aa deze voorwaarde voldaa, zoals u kut zie i oderstaade figure 9

19 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe f f FIGUUR 6 FIGUUR 6 f( ) = f( ) = - OPGAVE 67 Wat is de iverse fuctie va f( ) =? E wat is de iverse fuctie va f( ) = -? - (Let op: g ( ) = is iet gedefiieerd e is dus iet het goede atwoord!) Voor fucties va de vor f( ) = waarbij ee eve geheel getal is, ligt de zaak iets gecopliceerder Nee bijvoorbeeld f( ) = Als p >, da heeft de horizotale lij = p twee sijpute et de grafiek va f e zij er dus ook twee waarde va waarvoor geldt f( ) = p Hieroder ziet u dit geïllustreerd voor p = : f ( ) = e f (- ) = FIGUUR 66

20 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties Dit problee kue we oplosse door het doei va f te beperke tot het iterval, Als we i de fuctie f( ) = allee ivoerwaarde toestaa et, da zij de fucties f( ) = e g ( ) = elkaars iverse I paragraaf 6 hebbe we gezie dat de grafieke va f e g da elkaars spiegelbeeld zij i de lij = OPGAVE 6 (*) Als we het doei va f( ) = beperke tot het iterval,, dus als we allee ivoerwaarde toestaa et, da hoort er bij iedere p ook precies éé waarvoor geldt f( ) = p Voor welke geldt f( ) =? E voor welke geldt f( ) =? De grafiek va de iverse fuctie va f otstaat zoals we gezie hebbe door de grafiek va f te spiegele i de lij = OPGAVE 69 (*) Gegeve de fuctie f( ) = et doei, a Teke de grafiek va f Let op het gegeve doei! De iverse fuctie va f oee we g b Teke de grafiek va deze iverse fuctie i de figuur va vraag a c Wat is het fuctievoorschrift va g? d Verifieer dat als ee put (a,b) op de grafiek va f ligt, dat da het put (b,a) op de grafiek va g ligt Voor adere eve waarde va de epoet is de situatie hetzelfde Bij iedere positieve p zij er twee waarde va waarvoor geldt = p De iverse fuctie va f( ) = bestaat dus allee als we het doei va f beperke tot het iterval, (of tot het iterval, ) Als ee positief eve getal is e we als doei het iterval, ee, da is de iverse fuctie va f( ) = de fuctie g ( ) = OPGAVE 6 Geef voor elk va de oderstaade fucties idie ogelijk het fuctievoorschrift va de iverse fuctie: a f( ) = et doei, d f( ) = 7 et doei b f( ) = 6 et doei, e f( ) = - 7 et doei c f( ) = - 6 et doei, f f( ) = - et doei Voor fucties va de vor f( ) = r et r ee echte breuk (dat wil zegge r = of r = - et e beide positieve gehele getalle e > ) is er voor iedere p i het bereik altijd precies éé i het doei va f waarvoor geldt r = p Bij deze fucties is het doei iers beperkt tot het iterval, (als r > ) of, (als r < ) De waarde va deze is iet oeilijk te bepale: deze kue we altijd vide op de aier va opgave 6 E i opgave 6 hebbe we gezie dat de grafieke va f( ) = e g ( ) = elkaars spiegelbeeld zij i de lij = I opgave 6 hebt u dit ook kue zie voor f( ) = e g ( ) = Coclusie: Als e gehele getalle zij et e >, da zij de fucties f( ) = e g ( ) = elkaars iverse fuctie 9

21 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe Deze coclusie ka ook worde geïllustreerd et de volgede berekeige: f( g ( )) = f( ) = = = = e ( ) ( ) g( f( )) = f( ) = = = = OPGAVE 6 I voorbeeld 6 is het verbad afgeleid tusse de oppervlakte e de ihoud va ee balk waarva de verhoudig breedte : hoogte : diepte gelijk is aa : : De oppervlakte A als fuctie va de ihoud V wordt da gegeve door 9 I opgave 6 hebbe we gevode dat ogekeerd de A= V 6 ihoud als fuctie va de oppervlakte gegeve wordt door 6 V = A 9 I deze opgave rekee we a dat deze twee fucties elkaars iverse zij a Bereke de oppervlakte va zo balk als de ihoud c is b Bereke de ihoud va deze balk door het atwoord va vraag a i te vulle i de forule 6 V = A 9 c Herhaal vraag a e b voor het geval de ihoud va de balk v is d Bereke de ihoud va zo balk als de oppervlakte c is e Bereke de oppervlakte va deze balk door het atwoord va vraag d i te vulle i de forule 9 A= V 6 f Herhaal vraag d e e voor het geval de oppervlakte va de balk a c is OPGAVE 6 MAXIMA Odat de fucties uit opgave 6 elkaars iverse zij, oete de grafieke elkaars spiegelbeeld zij i de lij = Cotroleer dat dit iderdaad zo is door de grafieke te tekee i Maia Nee daarbij o ee duidelijk beeld te krijge als doei OPGAVE 6 (*) a Geef de iverse fuctie va f( ) = b Geef ook de iverse fuctie va f( ) = 6 Vergelijkige et achte Voor het oplosse va vergelijkige va de vor = c et =,, etc zij de wortels uitgevode Als eve is, da geldt: = c = c of = - c Hierbij oge zowel als c iet egatief zij Als oeve is, da geldt: = c = c Hierbij gelde er gee beperkige voor of c, beide kue ook egatief zij Als e c kue we ook schrijve: c c = = Vergelijkige va de vor = c kue we ook oplosse door het ogekeerde te ee va de epoet: = c = c Er geldt iers ( ) c = c = c = c 96

22 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties VOORBEELD 6 VOORBEELD 6 VOORBEELD 66 VOORBEELD 67 Los op: = 9 Bovestaade ozettig geeft = 9 Dit kue we verder uitwerke tot = ( 9 ) = = 7 Los op: - = 6 - Bovestaade ozettig geeft = 6 Dit kue we verder uitwerke tot = = 6 ( 6 ) = = Los op: - = Eerst liks e rechts door dele: = := = Bovestaade ozettig geeft da ( ) = 9 = = = = Dit kue we verder uitwerke tot ( ) ( ) ( ) Los op: - = Werk de vergelijkig eerst o: - = = = Bovestaade ozettig geeft da ( ) = Aagezie de vierdeachtswortel va iet ooi uitkot, oete we het atwoord et de rekeachie beadere: = =,6,7,67 ( ) OPGAVE 6 (*) Los de volgede vergelijkige op Gebruik de rekeachie allee als de achte i het atwoord iet ooi uitkoe e rod het atwoord da af op vier sigificate cijfers a 6 = c = e - = b - = d - = f - = 7 OPGAVE 6 Toepassig: Biologische schaligswette Ee adere vor va ¼-achts-schalig heeft betrekkig op het hartrite H va zoogdiere Deze schaalt et ee acht ¼ va het gewicht G Dit verbad wordt beaderd door de forule H = G - et het gewicht i gra, e het hartrite i slage per iuut a Bereke het te verwachte hartrite va ee hod va kg b Welk lichaasgewicht heeft ee dier et ee hartrite va slage per iuut volges deze forule? OPGAVE 66 Toepassig: Wideergie I voorbeeld 6 werd de eergieopbregst va ee widole als fuctie va de widselheid gegeve door de forule E=,6v (E i kw, v i /s) Hieroder ziet u de grafiek va deze fuctie voor het doei < v < O de turbie te late draaie, oet het iet te hard, aar ook iet te zacht waaie Ee geiddelde ole draait allee als de eergieopbregst groter is da, kw De aiale eergieopbregst is kw Bij welke widselhede draait de ole? E (kw) FIGUUR 67 v (/s) 97

23 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe Saevattig Machtsfucties Machtsfucties zij fucties va de vor f( ) = r I deze forule is de ivoervariabele het grodtal e is de epoet r ee vast ratioaal getal (breuk) Machte et positieve gehele epoete zij gedefiieerd voor alle reële grodtalle I leereeheid zij achte et egatieve gehele epoete gedefiieerd voor alle reële grodtalle behalve voor e zij achte et gebroke epoete allee gedefiieerd voor positieve grodtalle Bij het oderzoeke va achtsfucties oete we daaro vier gevalle oderscheide: als r ee positief geheel getal is krijge we fucties als f( ) = e f( ) = r bestaat da voor alle e het doei va f is dus heel als r ee egatief geheel getal is krijge we fucties als f() = = / e f() = = / r is da iet gedefiieerd voor = e het doei va f is da de verzaelig,, als r ee positief gebroke getal is, krijge we fucties als f( ) = = ( ) r is da iet gedefiieerd voor < e het doei va f is da het iterval, als r ee egatief gebroke getal is, krijge we fucties als - f( ) = = / ( ) r is da iet gedefiieerd voor e het doei va f is da het iterval, Grafieke, doei e bereik Al we kijke aar het bereik e het stijge e dale va de grafiek va f( ) = r oete we ook og ee oderscheid ake tusse eve e oeve gehele getalle: als r ee positief eve getal is, da verloopt de grafiek ruwweg als die va f( ) = (zie figuur 66) Het bereik is da het iterval, als r ee positief oeve getal is, da verloopt de grafiek ruwweg als die va f( ) = (zie figuur 6 e 6) Het bereik is da als r ee egatief eve getal is, da verloopt de grafiek ruwweg als die va f() = / (zie figuur 67) Het bereik is da het iterval, als r ee egatief oeve getal is, da verloopt de grafiek ruwweg als die va f() = / (zie figuur 66) Het bereik is da de verzaelig,, als r ee positief gebroke getal is, da loopt de grafiek zoals die va f( ) = (zie figuur 6a) of zoals die va f( ) = (zie figuur 6b) Het bereik is da het iterval, als r ee egatief gebroke getal is, da loopt de grafiek zoals die va f( ) = - (zie figuur 6) Het bereik is da het iterval, Voor alle egatieve epoete r geldt dat de -as e de -as asptote zij va de grafiek va f( ) = r (zie figure 66, 67 e 6) Bijzodere epoete Iverse fucties Voor r = is f de costate fuctie f( ) = et als doei e als bereik allee het getal Voor r = is f de lieaire fuctie f( ) = Zowel het doei als het bereik is da Twee fucties f e g hete elkaars iverse als voor alle uit het doei va f geldt g( f( )) = e voor alle uit het doei va g geldt f( g ( )) = De grafieke va ee fuctie e zij iverse fuctie zij elkaars spiegelbeeld i de lij = 9

24 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties De iverse va ee fuctie f( ) = et ee oeve positief getal is de fuctie g ( ) = Voor ee eve positieve epoet bestaat er allee ee iverse als we het doei beperke tot het iterval, of (eer gebruikelijk) tot het iterval, I dit laatste geval is de iverse va f( ) = de fuctie g ( ) = Voor ee oeve positieve is het doei e het bereik va g ( ) = heel Voor ee eve positieve is iet gedefiieerd voor egatieve waarde va e is de uikost ook ooit egatief Het doei e het bereik va g ( ) = is da het iterval, Voor ee gebroke epoet r = is de iverse fuctie va f( ) = de fuctie g ( ) = e voor ee egatieve gebroke epoet r = - is de iverse fuctie va f( ) - = de fuctie g ( ) = - Vergelijkige Bij het oplosse va vergelijkige va de vor r = c oderscheide we weer ee aatal gevalle: Als r ee oeve geheel getal is, da heeft de vergelijkig r = c voor r alle waarde va c precies éé oplossig: = c Als r ee eve geheel getal is, da heeft de vergelijkig r = c allee oplossige als c Voor c = is de oplossig = ; voor c > zij er r r twee oplossige, = c e = - c Voor ee gebroke epoet r = heeft de vergelijkig = c allee ee oplossig als c Deze oplossig is = c Als < heeft de vergelijkig = gee oplossig ZELFTOETS Gegeve de fuctie f( ) = a Teke de grafiek va f voor - b Teke i dezelfde figuur de grafiek va de iverse fuctie va f c Wat is het doei va de iverse fuctie va f als het doei va f beperkt wordt tot het iterval -,? Gegeve de fuctie f( ) = a Teke de grafiek va f voor - b Teke de grafiek va de iverse fuctie va f als het doei beperkt wordt tot het iterval, c Teke ook de grafiek va de iverse fuctie va f als het doei beperkt wordt tot het iterval, d Geef het fuctievoorschrift va de iverse fuctie uit vraag c Wat zij het doei e het bereik va deze iverse fuctie? Gegeve de fuctie f( ) = Bereke de atwoorde va vraag a e b idie ogelijk zoder rekeachie Geef bij ee beaderig va het atwoord et de rekeachie sigificate cijfers a Bereke f (), f ( ), f ( ), f (), f (), f ( ), f () e f (6) 6 6 b Voor welke geldt f( ) = 7? E voor welke geldt f( ) =? c Teke de grafiek va f voor 6 d Teke ook de grafiek va de iverse fuctie va f 99

25 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe Gegeve de fuctie f( ) = - 6 a Bereke f ( ), f ( ), f (), f ( ) e f (6) 6 6 b Teke de grafiek va f e die va de iverse fuctie va f i éé figuur c Geef ee fuctievoorschrift voor de iverse fuctie va f d Geef de asptote va de grafiek va de iverse fuctie va f De orale hartslag H va ee rusted zoogdier hagt af va het gewicht G i kg va het dier volges de forule H = 7 G - Hieri is H het aatal hartslage per iuut a Hoeveel slage per iuut aakt het hart va ee rustede volwasse olifat va kg? b Bereke bij welk gewicht ee rusted zoogdier ee hartslag heeft va slage per iuut De levesduur va ee zoogdier is ook afhakelijk va het gewicht De levesduur is everedig et G Er geldt dus L= cg c Leg uit dat hieruit volgt dat het totale aatal hartslage gedurede het leve va ee zoogdier oafhakelijk is va het gewicht Het totale aatal hartslage blijkt ogeveer, iljard te zij d Bereke de waarde va de everedigheidscotate c i vier sigificate cijfers

26 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties terugkoppelig Uitwerkig va de opgave 6 a We berekee ee aatal waarde va f() = e zette die i ee tabel f() 7 7 b De setrie is dat liks e rechts va de fuctiewaarde gelijk zij et tegegesteld teke c f() d f() e Va < gaat de grafiek sterk aar beede e va > sterk aar bove 6 a We berekee de waarde e zette die i ee tabel f() 6 6

27 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe b c De grafiek lijkt dicht bij (, ) horizotaal te lope 6 a De eeheid va ρ A v is kg/ (/s) = kg /s e dat is gelijk aa Watt b We oete de forule E ρ A v Eff opieuw ivulle, u et v = Dit geeft: E,, kw c De forule wordt E( v) = ρ A v Eff =, v, = 6, v d E() = 6, = Dit is ogeveer keer zoveel als het resultaat i oderdeel a Als het keer zo hard gaat waaie eet de eergieopbregst et ee factor toe 6 a f () f () f 6 () f 7 ()

28 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties b f 7 () f 6 () f 6 () f () f () f () f () f 7 () c De fucties f () e f 6 () hebbe hetzelfde verloop als f () = E de fucties f () e f 7 () hebbe hetzelfde verloop als f () = d De fuctie f () = zal hetzelfde verloop hebbe als f () =, wat de acht is eve De fuctie f () = zal hetzelfde verlope als f () =, wat de acht is oeve 6 a Alle grafieke gaa door (, ) e (, ) b Alle fucties et eve u gaa door put (, ) c Alle fuctie et oeve u gaa door put (, ) 66 a I de volgede tabel staat BN voor Bestaat Niet BN BN 6 BN 6 6 BN b f () = is setrisch tov de -as, ofwel f () = f ( ) f () = is setrisch tov de oorsprog, het put (, ) ofwel f ( ) = f () c Als we f bekijke da is de f () gedefiieerd voor alle waarde va behalve ; het doei is dus,, Voor alle i het doei is f () positief; het bereik is, De asptote va f zij de -as e de (positieve -as) Ook het doei va f is,, Het bereik va f is eveees,, De asptote va f zij de -as e de -as 6

29 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe d f f e De grafiek va f verloopt globaal hetzelfde als de grafiek va f, e de grafiek va f verloopt globaal hetzelfde als die va f 67 Alle fucties f( ) = e f() = hebbe het put (, ) geeeschappelijk 6 a Bijvoorbeeld: b f( ) 6 6 = = = = = op het doei, heeft bereik, 6 7 9

30 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties 69 a,b 9 = g() = 9 c De grafiek die verkrege wordt door de grafiek va voor te spiegele i de lij = heeft fuctievoorschrift f( ) = - 6 a b Het doei va f( ) = - is dus, c Het doei va g ( ) = - is dus, 6 a Bijvoorbeeld: = = = 7 = = - - = - - = - - = - 6 Het bereik va f( ) = op het iterval [, ] is [, ]

31 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe 6 Odat dele door oogelijk is, ka iet als ivoerwaarde voor fucties va de vor f( ) = - diee Het doei va deze fucties is dus, 66 a f( ) = ( ) = Bijvoorbeeld: ( ) ( ) b f() = = = = ( ) 67 a g ( ) = ( ) = g() = = = = Bijvoorbeeld: ( ) ( ) ( ) b

32 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties 6 a Als we de tabelle uit de opgave 66a e 67a et elkaar vergelijke, da zie we dat de tabelle dezelfde rije bevatte, aar i ogekeerde volgorde b Als (a, b) ee put is op de grafiek va f() da is (b, a) ee put op de grafiek va g() 69 a Grafiek b hoort bij f( ) = (Vergelijk deze et de grafiek i opgave 66b) Dus grafiek a hoort bij de fuctie g ( ) = 6 76 b f (, 6) = (, 6 ) = ( ) = ( ) = =, 76 Dus het put (,6;,76) ligt op de grafiek va f c De grafieke a e b i figuur 6 zij elkaars spiegelbeeld i de lij = Dus als (a, b) ee put is op de grafiek va f() da is (b, a) ee put op de grafiek va g() Hieruit volgt dat (,76;,6) op de grafiek va g ligt 6 f r () = r r f r ( ),79,7,6,,,,,, Voor < r < ligt de grafiek va f r bove de lij = e voor r > ligt de grafiek va f r oder de lij = 6 Gegeve is a,c g ( ) - = = = ( ),,6,,9 9 6 g() a b Voor > daalt de grafiek va g aar ; de grafiek adert zo dicht als u aar wilt, aar bereikt iet d Voor <, ( vaaf rechts aar adered) stijgt de grafiek va g aar grote hoogte Hoe dichter bij kot hoe hoger de grafiek e De -as is ee horizotale asptoot va g voor >, e de -as is ee verticale asptoot va g voor <, f Het doei va g is,, eveals het bereik = = = = = = = b ( ) 6 a Voor ee koe e ee uis is gegeve dat de everedigheidscostate gelijk zij, dus geldt dat G koe : G uis = V koe : V uis = : = :, e A koe : A uis = W koe : W uis = V : V = : 6 : koe uis b Twee hoderasse hebbe dezelfde everedigheidscostate Stel G : G = :, da is W : W = G : G = := : c Het warteverlies bij grotere diere is relatief kleier da bij kleiere diere 7

33 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe 6 A = 9 = A = A r p = Dus volgt ( ) ( ) V = = A = A Ofwel i de forule V = p A is r = e ( ) 6 6 a De ihoud va ee kubus et ribbe is V = = b Elk zijvlak va deze kubus heeft oppervlak A = = c Als V = c, da is = = = Het grodvlak heeft oppervlak = c d Als V = v c, da is = v = v Het grodvlak heeft oppervlak = ( v) = v e Als A = 9 c, da is = 9 = 9 = De ihoud va de kubus is da = = 7 c f Als A = a c, da is = a = a = a = a De ihoud va de kubus is da ( ) 9 66 M= cg et M i kcal/dag e G i kg - Bij beaderig geldt c = (kg) kcal/dag a Als G = 6 kg, da is M = 6 6 kcal/dag b G kat : G uis = : M kat : M uis = G : G = :,6 : kat uis Het etabolise va ee kat is dus bija keer seller da dat va ee uis 67 De iverse fuctie va f() = is g ( ) = =, wat f( g ( )) = f( ) = ( ) = e g( f( )) = ( ) = De iverse fuctie va f() = - is g ( ) = - 6 Als we f() = beperke tot het iterval,, da is f(-) = e f (- ) = 69 a,b f() = = g() = c g ( ) = - d Als (a, b) op de grafiek va f ligt, da is b = a, ofwel et a is dus a= - b Met adere woorde (b, a) ligt op de grafiek va g

34 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties 6 a f() = et doei, heeft iverse fuctie g ( ) =, eveees et doei, 6 b g ( ) = - et doei, is iverse va f() = 6 et doei, c f() bestaat iet, dus op dit doei heeft f gee iverse fuctie Nee we als doei, da is de iverse va f() = -6 gelijk aa - g ( ) = 6 = et doei, 6 d f() = 7 7 et doei heeft iverse g ( ) = et doei De fuctie g bestaat iers ook voor e f() bestaat iet, dus op dit doei heeft f gee iverse fuctie Nee we als doei,, da is de iverse va f() = -7 gelijk aa g ( ) = et doei,, 7 f Niet allee f() bestaat iet, aar ook is f(-a) = f(a) voor a Dus f() = - op doei heeft gee iverse 6 a A = (, ) = 9 = 9 6,6 = 9 = 9 = 9 =, 6 9 b V = (, ) = 6 6 = 9, = = = =, 9 c A= V als de ihoud va de balk v is V = v ( v ) = = v = v ( 6 ) 6 7 d 7 V = = = = =,9 9 e A = = = = =, 6 6 f V = a als de oppervlakte va de balk a c is A= a ( a ) = = a = a ( 9 ) 6 Nee voor de oppervlakte als fuctie va de ihoud de fuctie 9 f( ) = e voor de ihoud als fuctie va de oppervlakte de 6 6 fuctie g ( ) = 9 6 a De fuctie f() = heeft zichzelf als iverse fuctie b f() = heeft als iverse fuctie g ( ) = 9

35 Ope Uiversiteit Wiskude voor ilieuweteschappe a ( ) b ( ) 6 c = = = = = = = = = - = 6 () = = = + of = - = () = ( ) = = of = = - = = = = d ( ) ( ), 99 e ( ) f - = = = 7 = 7 = = = 7 = = = 7 - = = ( ), 6 7 H = G - slage/i, G i gr a Verwachte hartrite va ee hod va kg = gr is - - H = () = ( ) = = b Ee dier et H = slage/i heeft ee gewicht G waarvoor geldt dat G ( ) G G = = = = = 6 gr 66 Voor de eergieopbregst E oet gelde, < E < E,6 E E= v = v = v,6,6, Als E =,, da is v = = 6 = /s,6 Als E =, da is v = /s,6 De widole draait dus bij widselhede v /s waarbij < v < Atwoorde op de zelftoets a,b Zie figuur 69 De iverse fuctie f() = is g ( ) = c Als het doei va f wordt beperkt tot [-, ], da is het doei va g gelijk aa [-, ] a,b,c f() = = g() = h() = d De iverse va f() = op doei, is g ( ) = De iverse va f() = op doei, is h ( ) = -

36 Leereeheid 6 Machtsfucties e wortelfucties a f() =,96,,6 b f( ) = 7 = 7 = 7 = = f( ) = = = =, 9 c,d 6 g( ) = f ( ) = 6 De iverse fuctie va f( ) = is g ( ) = a b f() = 7 = 6 f ( ) = g( ) = 6 c De iverse fuctie va f( ) = - is g ( ) = - d De asptote va de grafiek va f zowel als va de grafiek va de iverse fuctie va f zij de -as e de -as a H = 7 G - slage/iuut et G i kg - Dus als G =, da is H = 7 () b ( ) = 7 G G = G = c L= cg Kies L i iute, da het aatal hartslage gedurede het leve va - ee zoogdier gelijk aa HL = 7 G cg = 7c e dat is oafhakelijk va het gewicht G d Het totale aatal hartslage is ogeveer, 9 Dus, 9 = 7 c, ofwel c = 7 i/kg