12 Kansrekening Kansruimten WIS12 1

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1"

Transcriptie

1 WIS Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de verzamelig va alle mogelijke uitkomste va het experimet. We bestudere hier allee het geval va ee eidige verzamelig Ω. Voorbeeld: het experimet bestaat uit gooie met twee dobbelstee. De uitkomsteruimte is da {1 1, 1 2,..., 1 6, 2 1, 2 2,..., 6 6} waarbij we de uitkomste 1 2 e 2 1 als verschilled beschouwe). Er zij mogelijke uitkomste. Ee kasmaat of kasverdelig op ee uitkomsteruimte Ω is ee afbeeldig Pr : Ω [0.. 1] die voldoet aa Prω) 1 Het paar Ω, Pr) heet ee kasruimte. ω Ω Kasmaat De uiforme kasverdelig op ee uitkomsteruimte Ω is de kasverdelig waarbij elke uitkomst eve waarschijlijk is, waarvoor geldt ω Ω Prω) 1/#Ω Het voorbeeld met de twee dobbelstee is ee uiforme kasverdelig. Bij gegeve kasruimte Ω, Pr) kue we ook de verdubbelde kasruimte beschouwe. De uitkomste zij hier pare va uitkomste uit Ω, e de kasmaat daarop is gedefiieerd door Prω 1, ω 2 ) Prω 1 ) Prω 2 ) Het voorbeeld met de twee dobbelstee is op die maier otstaa uit de kasruimte va ee ekele dobbelstee. Op deze maier kue herhaalde experimete die elkaar iet beïvloede worde gemodelleerd. De verdubbelde kasruimte heeft ee uiforme verdelig als dat voor de oorsprokelijke geldt. Gebeurteisse Ee gebeurteis is ee deelverzamelig va Ω. Voorbeeld: i het experimet met de twee dobbelstee is ee gebeurteis {1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6} het gooie va dubbel ).

2 WIS12 2 Voor elke gebeurteis A defiiëre we de kas op A als PrA) ω A Prω) I het bijzoder Pr{ω}) Prω). De eeputsverzamelige {ω} oeme we elemetaire gebeurteisse. Bij zuivere dobbelstee is de kas op elke elemetaire gebeurteis i bovestaad voorbeeld , de kas op dubbel is Stochaste Ee stochast radom variable ) is ee afbeeldig va de uitkomsteruimte aar de reële getalle. We otere stochaste steeds met hoofdletters e de waarde die ze aaeme met dezelfde kleie letters. I het bijzoder otere we PrX x) Pr{ω Xω) x}) ω Ω[Xω) x]prω) I het voorbeeld met twee dobbelstee beschouwe we de stochast S die het totaal aatal gegooide oge telt, bijvoorbeeld S6 3) 9. Da PrS 5) Pr1 4) + Pr2 3) + Pr3 2) + Pr4 1) Bij zuivere dobbelstee is de kas op S Oafhakelijke stochaste Stochaste X e Y hete oafhakelijk als x, y PrX x Y y) PrX x) PrY y) Voorbeeld: als S 1 de gegooide waarde va de eerste dobbelstee e S 2 die va de tweede is, zij S 1 e S 2 oafhakelijk. Als S S 1 + S 2 e P S 1 S 2, zij S e P iet oafhakelijk, wat bijvoorbeeld PrS 2 P 1) Pr1 1) 1 36 PrS 2) PrP 1) Pr1 1)) Verwachtigswaarde De verwachtigswaarde va ee stochast is gedefiieerd als EX ω Ω Xω)Prω) Alteratieve schrijfwijze:

3 WIS12 3 ω Ω Xω)Prω) {eeputsdomei} ω Ω Prω) x R x[xω) x] {dubbelsom} x R x ω Ω [Xω) x]prω) {otatie PrX x) } xprx x) x R EX x R xprx x) met ader woorde: EX is de gemiddelde waarde va X. Som e product va stochaste Uit de defiitie va verwachtigswaarde volgt direct dat voor stochaste X e Y geldt e, voor costate α, EX + Y) EX + EY EαX) α EX Aaloog aa college 9 drukke we dit same uit door E ee lieaire afbeeldig te oeme.) Voor oafhakelijke stochaste geldt bovedie EXY) EX EY Som e product va stochaste EXY) {defiitie verwachtigswaarde} ω Ω Xω)Yω)Prω) {eeputsdomei} ω Ω Prω) x R {dubbelsom} x R y R xy ω Ω y R xy[xω) x Yω) y] [Xω) x Yω) y]prω) {otatie} x R y R xy PrX x Y y) {als X e Y oafhakelijk zij} x R y R xy PrX x)pry y) {dubbelsom} x R x PrX x) y R y PrY y) {verwachtigswaarde is gemiddelde waarde} EX EY

4 WIS Variatie Variatie Hoeveel verschille de echte waarde die ee stochast aaeemt va de verwachtigswaarde? De variatie va ee stochast X is gedefiieerd als VX EX EX) 2 ) Voorbeeld: is het beter twee lote i dezelfde loterij te kope of twee lote i verschillede loterije? Stel er zij 100 lote per loterij e de prijs is P. Laat X 1 e X 2 de verwachtigswaarde va de gewoe prijs op het eerste resp. tweede lot zij, e X X 1 + X 2 de verwachtigswaarde voor het totaal gewoe bedrag; da is EX { X X 1 + X 2 ; E is additief} EX 1 + EX 2 {gegeves loterije} P) P) {rekee} 0.02P ogeacht de gevolgde strategie. Variatie Maar de kasmaat is i beide gevalle iet dezelfde! I geval va twee loterije hebbe we Uitkomst P P 0 P P Kas X 0 P P 2P X 0.02P) P P P P 2 VX {defiitie V ; EX 0.02P } EX 0.02P) 2 ) {verwachtigswaarde als gemiddelde waarde} P P P 2 {rekee} )P 2 {rekee} P 2 Opmerkelijk weiig decimale zulle we later verklare.)

5 WIS12 5 Variatie I het geval dat de twee lote i dezelfde loterij worde gekocht: Uitkomst 0 P Kas X 0 P X 0.02P) P P 2 VX {defiitie V ; EX 0.02P } EX 0.02P) 2 ) {verwachtigswaarde als gemiddelde waarde} P P 2 {rekee} )P 2 {rekee} P 2 Deze kasmaat heeft ee iets kleiere variatie, mider risico. Stadaarddeviatie Veelal geve we de voorkeur aa ee maat voor de afwijkig va het gemiddelde die dezelfde dimesie heeft als de stochast zelf. De stadaarddeviatie is gedefiieerd als σ VX I het voorgaade voorbeeld is bij twee loterije e bij éé loterij σ P P σ P P de mate va extra risico i het geval va twee loterije is te waardere op P bij ee prijs va 1 miljoe euro is dit ). Eevoudiger formule voor de variatie VX {defiitie} EX EX) 2 ) {rekee} EX 2 2X EX + EX) 2 ) { E is lieair; EX is costat} EX 2 ) 2EX EX + EX) 2 {rekee} EX 2 ) EX) 2

6 WIS12 6 VX EX 2 ) EX) 2 De variatie is het gemiddelde va het kwadraat mi het kwadraat va het gemiddelde. ) Dit verklaart de rode uitkomste va de loterijberekeig. Additiviteit va variatie Voor oafhakelijke stochaste X e Y geldt VX + Y) { VX EX 2 ) EX) 2 } EX + Y) 2 ) EX + Y)) 2 {rekee; lieariteit va E } EX 2 ) + 2EXY) + EY 2 ) EX) 2 + 2EX EY + EY) 2 ) { EXY) EX EY wat X e Y oafhakelijk} EX 2 ) EX) 2 + EY 2 ) EY) 2 { VX EX 2 ) EX) 2 } VX + VY VX + Y) VX + VY voor oafhakelijke stochaste. Merk op dat V iet lieair is: Vα X) α 2 VX.) Ogelijkheid va Chebyshev Het is wel duidelijk dat de variatie iets zegt over de te verwachte afwijkig va het gemiddelde, maar wat precies? Het precieze atwoord is de ogelijkheid va Chebyshev heeft iets te make met de ogelijkheid va Chebyshev uit college 3): wat PrX EX) 2 α) VX α VX {defiitie V e E } ω Ω Xω) EX)2 Prω) {zij A {ω Ω Xω) EX) 2 α} } ω A Xω) EX)2 Prω) {defiitie va A } ω A α Prω) {eigeschap Pr } α PrA) {defiitie va A } α PrX EX) 2 α)

7 WIS12 7 Ogelijkheid va Chebyshev Zij µ de verwachtigswaarde e σ de stadaarddeviatie va X, e kies i de ogelijkheid va Chebyshev i het bijzoder α c 2 VX. De ogelijkheid wordt da Pr X µ cσ) 1 c 2 Met c 2 vide we: X ligt bie 2 stadaarddeviaties va µ met kas 75%. Met c 10 vide we: X ligt bie 10 stadaarddeviaties va µ met kas 99%. De schattige die uit de ogelijkheid va Chebyshev volge, blijke i de praktijk overiges veel te ruim te zij. Wet va de grote aatalle Zij X ee stochast op Ω met verwachtigswaarde µ e stadaarddeviatie σ. Beschouw de kasruimte Ω, Pr) met Prω 1, ω 2,..., ω ) Prω 1 )Prω 2 ) Prω ) e daarop de stochast X 1 Xω 1) + Xω 2 ) + + Xω )) de gemiddelde uitkomst va experimete). Da heeft X verwachtigswaarde µ. Wet va de grote aatalle V X {defiitie va X } V 1 ) j1 Xω j) {terme zij oafhakelijke stochaste} 1 2 j1 VXω j)) { VXω j )) σ 2 } σ 2 σ Coclusie: de stadaarddeviatie va X is. Deze waarde ka obeperkt klei worde gemaakt door maar groot geoeg te kieze. Dit staat beked als de zwakke wet va de grote aatalle ; voor de sterke variat zie het college Statistiek.) Schatte va obekede kase Stel dat we de kasmaat iet kee, maar wel ee experimet kue herhale. Als oafhakelijk experimete respectievelijk uitkomst X 1, X 2,..., X hebbe, kue we als schattig voor EX uitgaa va ^EX 1 X j immers, j1

8 WIS12 8 E^EX) {defiitie ^E } E 1 ) j1 X j {lieariteit va E } 1 j1 EX j { EX j EX } EX Schatte va obekede kase E als schattig voor VX kue we uitgaa va ^VX 1 1 j1 X 2 j 1 1) de factore 1 i de oemer zij verrassed!) j1 X j 2 Schatte va obekede kase E ^VX) {defiitie va ^V ; schrijf kwadraat va som als dubbelsom} E 1 1 j1 X2 j 1 )) j1 k1 X jx k {lieariteit va E } 1 1 j1 EX2 j ) 1 ) j1 k1 EX jx k ) {oafhakelijkheid va X j e X k } 1 1 j1 EX2 j ) 1 ) j1 k1 [j k]ex j EX k + [j k]ex 2 j )) { EX j EX } 1 1 j1 EX2 ) 1 ) j1 k1 [j k]ex EX + [j k]ex2 )) {costate term} EX 2 ) 1 1)EX)2 + EX 2 )) ) 1 1 {rekee} EX 2 ) EX) 2 {eigeschap V } VX 12.3 Kasvoortbregede fucties Kasvoortbregede fucties Zij X ee stochast die allee iet-egatieve gehele waarde aaeemt. De kasvoortbregede fuctie pgf) va X is gedefiieerd als G X z) PrX k)z k k0

9 WIS12 9 Alteratieve formulerige: G X z) ω Ω G X z) Ez X ) Prω)z Xω) waaruit volgt G X 1) {alteratieve formulerig va defiitie G X } ω Ω Prω) { Pr is ee kasmaat} 1 Verwachtigswaarde EX {verwachtigswaarde als gemiddelde} k0 PrX k) k { k λz kz k 1 )1) voor k 1 } λz k1 PrX k) kzk 1) 1) {differetiëre va machtreeks, zie college 4} D λz k0 PrX k)zk) 1) {defiitie va G X } DG X 1) EX G X 1) Variatie EX 2 ) {verwachtigswaarde als gemiddelde} k0 PrX k) k2 { k 2 λz kk 1)z k 2 + kz k 1 )1) voor k 2 } 1 + λz k2 PrX k)kk 1)zk 2 + kz k 1 ) ) 1) {differetiëre va machtreeks} D 2 + D) λz k0 PrX k)zk) 1) {defiitie va G X } D 2 + D)G X 1) VX G X 1) + G X 1) G X 1)2

10 WIS12 10 Additiviteit Als X e Y oafhakelijke stochaste zij die allee iet-egatieve gehele waarde aaeme, geldt G X+Y z) {defiitie pgf} 0 PrX + Y )z { X, Y iet-egatief e geheel} 0 k0 PrX k Y k)z { X, Y oafhakelijk} 0 k0 PrX k)pry k)z {covolutie} k0 PrX k)zk) m0 PrY m)zm ) {defiitie pgf} G X z) G Y z) G X+Y G X G Y

Opgave 1 Zij θ R, n 1 en X 1, X 2,..., X n onafhankelijk, identiek verdeelde stochasten met kansdichtheidsfunctie. f θ (x) =

Opgave 1 Zij θ R, n 1 en X 1, X 2,..., X n onafhankelijk, identiek verdeelde stochasten met kansdichtheidsfunctie. f θ (x) = Opgave 1 Zij θ R, 1 e X 1, X 2,..., X oafhakelijk, idetiek verdeelde stochaste met kasdichtheidsfuctie { 1 als x (θ 2, θ + 2) f θ (x) = als x (θ 2, θ + 2). a pt) Bepaal E(X 1 ) e V ar(x 1 ). ANTWOORD:

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005

Fourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005 Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie

Nadere informatie

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.

Julian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit. - Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke

Nadere informatie

Polynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n

Polynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

2.1 De normale verdeling

2.1 De normale verdeling Les 2 Steekproeve We zulle i deze les bekijke, hoe we gegeves va ee populatie zoals het gemiddelde e de spreidig kue schatte, zoder aar elk idividu va de populatie te kijke. Het idee hierbij is, i plaats

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

Betrouwbaarheidsintervallen

Betrouwbaarheidsintervallen tatistiek voor Iformatiekude, 005 Les 3 Betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we groothede va ee populatie met behulp va steekproeve kue schatte. We hebbe daarbij gezie dat

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n

1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

opgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!

opgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)! opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +

Nadere informatie

UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006

UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006 UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Steekproeven en schatters

Steekproeven en schatters Statistiek voor Iformatiekude, 25 Les 2 Steekproeve e schatters We zulle i deze les bekijke, hoe we gegeves va ee populatie zo als het gemiddelde e de spreidig kue schatte, zoder aar elk idividu va de

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 11 juni 2011

Uitwerkingen toets 11 juni 2011 Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het

Nadere informatie

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.

n n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of. Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term

Nadere informatie

n -wet Wisnet-hbo update mei. 2008

n -wet Wisnet-hbo update mei. 2008 -wet Wiset-hbo update mei. 2008 1 Ileidig De wortel--wet komt i de praktijk erg vaak voor op twee maiere, amelijk bij het eme va steekproeve e bij het bepale va de va ee aatal trekkige uit ee verdelig.

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Equidistributie en ergodiciteit

Equidistributie en ergodiciteit Equidistributie e ergodiciteit Michiel Lieftik, Wouter Rieks, Mike Daas 9 december 207 Ileidig Beschouw ee situatie waari me ee grote verzamelig umerieke data tot zij beschikkig heeft Ee vraag die me zich

Nadere informatie

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen Statistiek voor Iformatiekude, 006 Les 3 Schatters e betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we bijvoorbeeld het gemiddelde e de variatie va ee populatie kue schatte, door deze

Nadere informatie

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:

Nadere informatie

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , ANTWOORDEN. en y m.b.v. y = n

INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , ANTWOORDEN. en y m.b.v. y = n INLEIDING FYICH-EXEIENTELE VAADIGHEDEN (3A56 3-1-, ANTWOODEN OGAVE 1 (a y wordt bereked mb y ³ e y mb y Uit de laatste ergelijkig ide we y i ³ x1 1 + + x ³ x1 1 + + x ³ + j6i i j xj y + j6i i j xj Omdat

Nadere informatie

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.

De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken. Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen)

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen) Hoofdstuk 4: Aavullede Begrippe (Extra Oefeige) 9. Veroderstel dat X e Y ormaal verdeeld zij met resp. gemiddelde waarde µ X e µ Y e met dezelfde variatie 2. Wat is da de distributie va X Y? Bepaal de

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 208/209 Ihoudsopgave Kasruimte. Toevallige experimete..................................2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur

Nadere informatie

151 Universele eigenschappen voor algebra 3; 2015/02/08

151 Universele eigenschappen voor algebra 3; 2015/02/08 151 Uiversele eigeschappe voor algebra 3; 2015/02/08 I het dagelijks leve make we vaak gebruik va apparate, zoals bijvoorbeeld auto s e computers, zoder dat we wete hoe die precies i elkaar zitte e hoe

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 WeS eerste kas 203 204 Permutatiecode 0 Aatekeige op de vrageblade zij NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik make va schrijfgerief e ee eevoudige rekemachie; alle adere materiaal blijft achteri. Gee GSM s toegelate:

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent. Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Techische Uiversiteit Eihove Faculteit Wiskue e Iformatica Set 3 Ileveropgave Kasrekeig (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

Elementaire speciale functies

Elementaire speciale functies ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.1 Elemetaire speciale fucties 1. Differetieerbaarheid zie syll. Calculus Ia, II.1.1 of Browder, Ch. 4). Zij I ee iterval, a ee iwedig put va I e f: I R

Nadere informatie

Oplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)

Oplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR) Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Analyse 2 - SAMENVATTING

Analyse 2 - SAMENVATTING Aalyse 2 - SAMENVATTING willem va ravestei ihoudsopgave 01. Rije, eigeschappe e stellige 02. Deelrije, Cauchy, meetkudige e telescopische rij 03. Coverget of diverget? 04. Altererede rije e het wortelcriterium

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 5

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 5 Statistiek Voor studete Bouwkude College 5 toevalsfluctuaties Programma voor vadaag Terugblik Wet va de grote aatalle Verwachtigswaarde Stadaardfout e wortel wet Normale beaderig voor kashistogramme Prof.

Nadere informatie

Uitwerkingen huiswerk week 7

Uitwerkingen huiswerk week 7 Lieaire algebra ajaar 008 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 5 Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A 1 a 3 a 3 a 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1 a 1 heet ee Vadermode matrix Laat zie dat det A 1 i

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek P. de Groe Syllabus voor het college i Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek i de Tweede Kadidature Weteschappe, Iformatica,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Antwoorden. Een beker water

Antwoorden. Een beker water Atwoorde 1 Ee beker water We ormere massa zodaig dat 1 volume-eeheid water, massa 1 heeft. We gebruike de formule voor het volume va ee cilider. De massa va de rad is Mr = π(1/36 + 1/6 + 4 4)36/5 = π5/36

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

Uitwerkingen huiswerk week 7

Uitwerkingen huiswerk week 7 Lieaire algebra ajaar 009 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 19. Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A = 1 a 3 a 3 a.... 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1. a 1 heet ee Vadermode matrix. Laat zie dat det A

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

2.6 De Fourierintegraal

2.6 De Fourierintegraal 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f

Nadere informatie

Workshop generating functions

Workshop generating functions Workshop geeratig fuctios PRIME 6 oktober 04 Geererede fucties werde igevoerd door Abraham de Moivre i 730 om recursieprobleme op te losse, maar hebbe sidsdie i allerlei deelgebiede va de wiskude hu ut

Nadere informatie

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1 PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6 Statistiek Voor studete Bouwkude College 6 extrapolatie va steekproef aar populatie Programma voor vadaag Terugblik Populatie e steekproef: extrapolatiestap Represetativiteit, (o)zuiverheid Populatiepercetage

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013 Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete

Nadere informatie

Cursus Theoretische Biologie. Onderdeel Statistiek

Cursus Theoretische Biologie. Onderdeel Statistiek Cursus Theoretische Biologie Oderdeel Statistiek J.J.M. Bedaux Oktober 2000 1 THEORETISCHE BIOLOGIE, ONDERDEEL STATISTIEK 1 Theorie 1 Parameterschattig We begie met ee voorbeeld. I Wiskude e Modelbouw

Nadere informatie

Bivariate en multivariate kansverdelingen

Bivariate en multivariate kansverdelingen Bivariate e multivariate kasverdelige Stochastische variabele [sv] zij kwatificeerbare observaties aa ee uitkomst va ee of ader toevalsexperimet dat, zoals we steeds beklemtood hebbe, altijd het uitgagsput

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

Vrije Universiteit Brussel Faculteit Toegepaste Wetenschappen T ENE BRA S. Lineaire algebra. S. Caenepeel

Vrije Universiteit Brussel Faculteit Toegepaste Wetenschappen T ENE BRA S. Lineaire algebra. S. Caenepeel VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSEL Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe SCI EN T I A V INCERE T ENE BRA S Lieaire algebra S. Caeepeel Syllabus bij de cursus Algebra e meetkude Eerste Kadidatuur

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Trigonometrische functies

Trigonometrische functies Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle.

Nadere informatie

Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen

Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen Les 7-8: Parameter- e Vergelijkigstoetse I Theorie : A. Algemee :. Hypothese formulere. H 0 : ul-hypothese H : alteratieve hypothese. teekproef eme. x e zij te berekee uit de steekproefresultate. 3. Toetsgrootheid

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

Som 23 kan met 6665 en som 24 met Dus totaal gunstige uitkomsten.

Som 23 kan met 6665 en som 24 met Dus totaal gunstige uitkomsten. C vo Schwartzeberg / Som ka met! (op = maiere) (op! maiere) (op maier)! =, = e Dus totaal + + = 0 gustige uitkomste Dubbel oderstreept beteket: "iet allee" i de geoteerde volgorde a 8 P (som ) = P (som

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

1. Gegeven is het polynoom P (z) = z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z + 5 met z C.

1. Gegeven is het polynoom P (z) = z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z + 5 met z C. Radboud Uiversiteit Tetame Calculus A NWI-WP5 ovember 7, 5.45 8.45 Het gebruik va ee rekemachie/gr, telefoo, boek, aatekeige e.d. is iet toegestaa. Geef precieze argumete e atwoorde. Zorg dat uw redeerige

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review) G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de

Nadere informatie

De Stelling van Lamperti

De Stelling van Lamperti Y.A. Peeters De Stellig va Lamperti Bachelorscriptie, 24 jui 2015 Begeleider: Dr. M.F.E. de Jeu Mathematisch Istituut, Uiversiteit Leide Ihoudsopgave 1 Voorwoord 2 2 Ileidig 3 2.1 Hoofdstellig.............................

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II Eidexame wiskude A vwo 008-II Beoordeligsmodel Cotrole bij ieuwbouw maximumscore 4 I 00 ware er (ogeveer) 7 000 ieuwbouwwoige I 004 ware er (ogeveer) 4 800 ieuwbouwwoige De toeame is 7000 4800 00% (: de

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie