wiskunde B pilot vwo 2015-II

Transcriptie

1 Formules Goiometrie si( t u) sitcosu costsiu si( t u) sitcosu costsiu cos( t u) costcosu sitsiu cos( t u) costcosu sitsiu si( t) sitcost cos( t) cos t si t cos t si t - -

2 Het achtste deel p het domei [ 9,0] is de fuctie f gegeve door f( ) 9. I figuur is de grafiek va f geteked e ee lij met vergelijkig p met 9 p 0. Het gebied dat wordt igeslote door de grafiek va f, de -as e deze lij is met grijs aagegeve. figuur = p f De oppervlakte va het grijze gebied oeme we A. De waarde va A hagt af va de waarde va p. Er geldt: Ap ( ) ( p 9) 4p Bewijs dat Ap ( ) ( p 9). Er is ee waarde va p waarvoor A( p ) het achtste deel is va de oppervlakte va het gebied dat wordt igeslote door de grafiek va f, de -as e de -as. 5p Bereke eact deze waarde va p. De grafiek va f wordt gespiegeld i de -as. Het spiegelbeeld va de grafiek va f wordt vervolges 9 aar liks verschove. Zo otstaat de grafiek va de fuctie g. Zie figuur. figuur g f I figuur is het vlakdeel igeslote door de grafiek va f, de grafiek va g e de -as grijs gemaakt. Dit vlakdeel wordt geweteld om de -as. 6p Bereke eact de ihoud va het omweteligslichaam. - -

3 Lemiscaat De bewegig va ee put P wordt beschreve door de vectorvoorstellig: cost sit cost met 0 t I de figuur is de baa va P geteked. Deze baa wordt lemiscaat geoemd. figuur - - Tijdes de bewegig passeert put P vier keer de lij met vergelijkig. 4 4p 4 Bereke eact voor welke waarde va t dit het geval is. Tijdes de bewegig gaat P twee keer door de oorsprog. De richtige waari P de oorsprog passeert zij verschilled. 7p 5 Bereke eact de hoek tusse deze twee richtige. - -

4 Twee pute Gegeve zij de pute A(,) e B (6,7). I figuur zij op de -as de pute P e Q geteked waarvoor geldt dat APB AQB 90. figuur P B A Q 6p 6 Bereke eact de coördiate va P e Q. I figuur is de lij door A e B geteked. ok is ee cirkel geteked met middelput M (,0). Deze cirkel sijdt de lij door A e B i de pute R e S met RS 6 5. figuur B S A R M 6p 7 Bereke eact de straal va de cirkel

5 Stuiterede bal Ee bal wordt vaaf ee bepaalde hoogte bove ee vloer losgelate e begit vervolges te stuitere. I deze opgave bekijke we ee wiskudig model va deze situatie. p het momet va loslate bevidt de oderkat va de bal zich h 0 meter bove de vloer. De maimale hoogte va de oderkat va de bal tusse twee keer stuitere oeme we de stuithoogte. De stuithoogte a de eerste keer stuitere oeme we h, die a de tweede keer stuitere h, ezovoorts. Aa de likerkat va figuur is de bal geteked op verschillede stuithoogtes. Rechts daarva is de hoogte h va de stuiterede bal (i meters) uitgezet tege de tijd t (i secode). figuur h 0 h h h h t I deze opgave gaa we erva uit dat de verhoudig tusse twee opeevolgede stuithoogtes costat is, dus h: h 0 is gelijk aa h: h, ezovoorts. Deze verhoudig oeme we a. Voor de stuithoogte a keer stuitere geldt da: h h a 0 De waarde va a hagt af va het soort bal. p 8 Bereke de waarde va a voor ee bal waarva a 7 keer stuitere de stuithoogte 5 keer zo klei is als de hoogte waarop de bal is losgelate. Geef het atwoord i twee decimale auwkeurig

6 De hoogte va de oderkat va de bal tusse twee opeevolgede kere stuitere is ee fuctie va de tijd. De grafiek va deze fuctie is ee bergparabool. De tijd i secode tusse de -de e de ( )-ste keer stuitere oeme we de stuittijd T. I figuur zij drie stuittijde aagegeve. figuur h h 0 h h h 0 T T T t De stuittijd T ka worde uitgedrukt i de stuithoogte h. Er geldt: T h 4,9 Ee bal wordt losgelate vaaf hoogte h 0. De stuittijd T is, secode e de stuittijd T 4 is 0,68 secode. 5p 9 Bereke h 0. Geef je atwoord i decimeters auwkeurig

7 ver de muur I vroeger tijde probeerde me met ee katapult kogels over vestigmure te sligere. I deze opgave bekijke we ee katapult met ee draaibare hefboom. Het liker deel va de hefboom is 4 meter lag. p het eide daarva ligt ee kogel met middelput P. Aa het eide va het rechter deel va de hefboom zit ee cotragewicht Q. I het begi wordt de hefboom horizotaal gehoude door ee touw tusse de hefboom e de grod. De hoogte va de hefboom is da meter. I figuur is deze begistad geteked i ee assestelsel met oorsprog op de grod. Put P heeft da coördiate ( 4,). Nadat het touw wordt doorgesede, gaat de hefboom draaie i de richtig va de wijzers va de klok, tot deze draaiig door ee verstelbaar stopblok wordt gestopt e de kogel wegvliegt. De draaihoek i de eidstad wordt de stophoek geoemd, met 0 radiale. I figuur is de eidstad geteked. figuur figuur begistad eidstad P P touw 4 stopblok Q 4 α stopblok Q p 0 Druk de coördiate va P uit i de stophoek op het momet dat de eidstad wordt bereikt

8 Als de hefboom bij stophoek tot stilstad komt, verlaat de kogel de hefboom e vliegt vervolges door de lucht. De baa die P da beschrijft is bij beaderig gegeve door de bewegigsvergelijkige: t ( ) 0t si si 4cos t ( ) 5t 0t cos si 4si Hieri is t de tijd i secode vaaf het momet dat de kogel de hefboom verlaat. Verder zij () t e t () i meter e is i radiale. Voor top, de -coördiaat va het hoogste put va de baa va P, geldt: top 4si 0si 5p Bewijs dat de formule voor top volgt uit de bewegigsvergelijkige. Uit de formule voor top ka de waarde va de stophoek worde bereked waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. I dit optimale geval zij de bewegigsvergelijkige voor P bij beaderig gelijk aa: t () 0,t, t () 5t,t 4,5 4p Too met ee berekeig aa dat i dit geval iderdaad bij beaderig geldt: t () 5t,t 4,5 De stophoek is zo igesteld dat de kogel zo hoog mogelijk komt. Als de katapult, gemete vaaf, 4 meter va ee 6 meter hoge vestigmuur staat, komt de kogel iet over de muur. 5p Bereke de afstad waarover de katapult mistes i de richtig va de muur moet worde verschove zodat de kogel wel over de muur komt. Geef het atwoord i gehele meters

9 Door de asmptoot Voor is de fuctie f gegeve door De fuctie g is de iverse va f. f( ) l. I figuur zij de grafieke va f e g geteked. figuur g f Er geldt: e g ( ) e. 4p 4 Bewijs dit. De fuctie h is gegeve door h ( ) f( ). I figuur is de grafiek va h geteked. De grafiek va h heeft ee horizotale asmptoot. Deze is i de figuur gestippeld weergegeve. figuur h A De grafiek va h sijdt de horizotale asmptoot i het put A. 5p 5 Bereke eact de -coördiaat va A

10 Parabool e cirkel Gegeve zij het put F (0, 4) e de parabool met vergelijkig 8. Put P op de parabool ligt rechts va de -as e heeft -coördiaat p. De cirkel c met middelput F gaat door P. I figuur is deze situatie voor ee bepaalde waarde va p geteked. figuur c F P Voor de legte va de straal FP va de cirkel geldt: FP. 8 p 4p 6 Bewijs dit. Put P is de loodrechte projectie va P op de -as e lij m is de middelloodlij va lijstuk PP. Afhakelijk va de positie va put P op de parabool hebbe c e m ul, éé of twee pute gemeeschappelijk. I figuur is de situatie geteked waari m e de cirkel elkaar op de -as rake. figuur c F P P' m 4p 7 Bereke eact de waarde va p voor de i figuur getekede situatie