Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken

Transcriptie

1 Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u u s a + + a + + a a a + + a + + a a + 8a De vergelijkig 8a oplosse geeft 8a 76 e dus a 9,. V-a Er geldt u r u r r u r r r u r r r r u r u. Ivulle va u e u 9 8 geeft r 8 8 e dus r. 8 u 8 geeft achtereevolges u 8 6, u 6, u e u. 9 c u a r 9 ladzijde V-a v u u, v u u 6, v u u 6 e v u u. Algemee: u u + v. v + 6 e v 6 7, dus u e u c v a + ( ) v + ( ) + + V-6a v u u, 7, 7,, v u u,,,, v u u,,, e v u u,, 8,. u, dus u,. v u u , v u u 9, 6 6, 6, v u u 6, 6 9, 6, 76 e v u u 8, 76 6, 6 9, 6. + u u u (, 6) (, 6) (, 6) (, 6 ) 6, 6 + ( ) dus u 6, 6 697, 7. c v u u l l, 86, v u u l 9 l, 8, v u u l 6 l 9, 7 e v u u l l 6, 6. u l(( + ) ) l( ) dus u l l l ( ), 9. d v u u, v u u, v u u 8 e v u u 8. u dus u. e v u u 8, v u u, v u u e v u u. ( ) 9 dus u ( ), 78. u Noordhoff Uitgevers v

2 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke f v u u, v u u, v u u e 6 6 v u u. 6 u ( + )( + ) ( + ) dus u 66. V-7a u a + ( ) v + ( ) + + u e u + 9 geve s ( + 9) 6. V-8a u e u + geve u k ( + ) 7,. k t e de rede is, dus t k k ( ) 99, 9 t t t,,, t t t 6,, 6,, t t t, 6,,, t t t, 6,, 6 e t t t, 78, 6, 78 6 ( ), ee meetkudige rij met rede. t t k 78 ( ), k, 67. V-9a t s, t s s, t s s ( 9 ) ( ) e t s s ( 6 ) ( 9 ) 6. t s s ( ) (( ) ( )) ( + + ). V-a s + t geeft t + t e dus t. s + t geeft t + t + t waaruit volgt t e dus t. s + t geeft t + t + t + t waaruit volgt t e dus t. s + t geeft t + t + t + t + t waaruit volgt t e dus t. Voor ee meetkudige rij geldt: t a t + t s s t t t t + + ( + ) ( ) + t t t t Coclusie: t is ee meetkudige rij. De ijehorede ragummerformule is t a r. ( ). Grafieke va rije ladzijde a u 6 u 7 9 Noordhoff Uitgevers v

3 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke u 6 u c u 6 u d u 6 u e u 6 u f u 6 u,8,7,6,9, 6 Noordhoff Uitgevers v

4 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke a u De grafiek stijgt e daalt om e om, waarij de stijgig steeds groter is da de dalig. v De grafiek is mootoo stijged. c w Voor grote waarde va gaat de grafiek richtig ee evewichtswaarde. d De pute va de grafiek sprige hee e weer. e De grafiek is mootoo stijged. f u De grafiek is costat. Noordhoff Uitgevers v 7

5 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke ladzijde a De rij a is mootoo daled als voor elke geldt: a < a. + a a < Neem ijvooreeld p ( ) e q ( ). Da is s p + q ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) iet alterered. + + Da is t p q ( ) ( ) ( ) ( ) iet alterered. ( a Er geldt < ) <, dus de rij p + is egresd. De rij w is mootoo stijged als voor elke geldt: w w w + + ( + ) w >. 7 7 >. + c k Er geldt < ( ) < cos, dus de rij k is egresd. l De rij l is iet egresd. m De rij m is iet egresd. q Er geldt, dus de rij q! is egresd. 8 Noordhoff Uitgevers v

6 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke t Er geldt < + ( ) <, dus de rij t is egresd. u d De rij u is iet egresd. Zie vraag c voor de etreffede grafieke. De rij k is mootoo stijged. De rij l is mootoo stijged. De rij m is gee va alle. De rij q is gee va alle (wat de rij egit met,,,,...). De rij t is gee va alle (wat de rij sprigt wel hee e weer maar is iet afwisseled positief e egatief). De rij u is gee va alle (wat de rij egit met 6,,,,... ) a u s u ( + )( + + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) k c s d De rij u is mootoo stijged e iet egresd. De rij s is mootoo stijged e iet egresd. Noordhoff Uitgevers v 9

7 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke 6a u w u w De rij u is mootoo daled als voor elke geldt: u u u < u. l c l w l( ) l l d <. + f ( ) l l f ( ) l < voor f ( ) is mootoo daled voor l w is mootoo daled w is mootoo daled voor e u e w adere aar als oeidig groot wordt wat als da, dus u e w. 7a u u u + Algemee: de rij u is stijged, dus de terme i de verschilrij zij positief, de verschilrij is dus iet alterered. Mogelijkheid : de verschilrij is costat e dus egresd. Mogelijkheid : de verschille worde steeds groter, dus de verschilrij is stijged. Mogelijkheid : de verschille worde steeds kleier, dus de verschilrij is daled. De rij s is stijged als geldt s > s. Gegeve dat elke term va de rij u + positief is geldt s u + u + u u + u > u + u + u u s. + + Er geldt s u >, dus same met het feit dat s > s is de coclusie dat alle terme va s + positief zij. c u. Op de duur ladzijde 6 9 8a a, a, e a + e ( ) 768 Noordhoff Uitgevers v

8 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke c a a d I de reuk is de teller kleier da de oemer, dus de reuk zelf is kleier da. Hieruit volgt a + < voor. e ( ) Waeer, da ( ) ( ) ( ), dus 9 Als groot wordt ka de formule u + eadert worde met de formule +, u. Coclusie: aarmate de ragummers groter worde, adere de, terme va de rij de waarde. Als groot wordt ka de formule w + eadert worde met de +, formule w. Coclusie: aarmate de ragummers groter worde, worde de terme va de rij ook steeds groter. u w u w a p t Er geldt ( ), dus Er geldt < ( + si ( )) <, de rij p is egresd. dus de rij t is egresd. Noordhoff Uitgevers v

9 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke q v Er geldt 6 cos π 6, De rij u is iet egresd. dus de rij q is egresd c De rije p e q zij gee va eide. De rije t e u zij mootoo stijged. De rije p e u zij iet coverget. De rije t e q zij wel coverget met lim t e lim q. ladzijde 7 a Ojuist, zie opgave de rij q. Juist c Uitspraak C: de rij u + is mootoo stijged, maar iet coverget. Uitspraak D: de rij w ( ) is egresd, maar iet coverget. a u v lim u lim v u : als heel groot wordt, adert de epoet va de macht aar ul e de macht zelf adert da aar. v : als heel groot wordt, wordt de oemer ook heel groot e de delig als l geheel adert da aar ul. a u 9, u 9 e u, dus vaaf ragummer geldt < u <. lim w c L, 9999 e L +, De vergelijkig w, 9999 oplosse geeft ,, waaruit volgt 6,. Dit geeft e dus ,. Coclusie: vaaf ragummer 9999 geldt L < w < L +. Noordhoff Uitgevers v

10 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke a P e P. aatal lijstukjes l, l +, l ( ) ( ) + ( ). Dus l, l 7 zijde. c P aatal zijde legte zijde 6 ( ) 8 ( ) 8 ( ) d P 8 ( ) 8 ( ) : voor grote waarde va wordt de waarde va P eveees heel groot. P is ee meetkudige rij met rede >, dus oegresd. Dit eteket dat de omtrek va de seeuwvlokkromme steeds groter wordt. e De vergelijkig P oplosse met de optie itersect op de GR (Xmi, Xma, Ymi e Yma ) geeft. f O ( ( ) ) 9 9 e de oppervlakte va K , dus het klopt. O ( ( ) ) 9 ( ) 9 e de oppervlakte va 9 K , dus het klopt. g Als heel groot wordt adert de reuk ( ) aar ul. Er geldt O, dus de rij O is egresd. Dit eteket dat de oppervlakte va de seeuwvlokkromme aar de limiet adert. 9. Isluitstellig ladzijde 8 a u f ( ), 8, u f ( ),, u f ( ),, u f ( ), 9 e u f ( ), 9. si dus si c,,8,6,,,,,6,8, d lim u, dus ook u covergeert aar. Noordhoff Uitgevers v

11 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke 6a Voor geldt. Da geldt e e dus e. v e w c Isluitstellig: er geldt e. Omdat lim geldt ook lim e. Dus u covergeert aar. ladzijde 9 7a cos, lim, dus lim cos. c d + si, lim e lim +, dus lim si. + + (si + cos ), lim lim lim lim + + (si + cos ), dus lim. + ( ) ( )(si + cos ) ( ), ( ) lim lim + + lim e e lim ( ) lim ( )(si + cos ) lim, dus lim e Voor geldt + +, lim lim, dus lim f + si +, lim lim e lim lim + +, dus lim si. + 8a u u > voor c De limiet va de rij u estaat iet. d lim a lim u 9a u w lim u de waarde va w gaa aar oeidig. Noordhoff Uitgevers v

12 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke k, w , lim, dus lim. + + A B ( A B )( A + B ) A + B A + A B A B B A + B A B A + B a lim( ) lim ( ) ( + + ) + + lim Voor grote waarde va gaa de waarde va eide wortels aar oeidig. Dus zoder de worteltruc ku je cocludere dat voor grote waarde va de waarde va de som va eide wortels aar oeidig gaat. a Recursieformule: u u met u. Ragummerformule: u. Voor grote waarde va adert de reuk i de epoet aar, dus lim u lim.. Wegrafieke ladzijde a u u u +,,,,,6,6, c/d u u , 8, 9, 9, 9,6 u u + Als (, ) (, ) wordt u +, u gelijk aa +,. + Noordhoff Uitgevers v

13 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke a De pute ( u, u ) ligge op de grafiek die i het put (, ) egit. + De vergelijkig ij deze grafiek is, 7 +. Als u, da is u, 7 +,. c A( u, u ) A( ;, ) e A (, ;, ). d B( u, u ) B(, ;, 8) e B (, 8;, 8) C( u, u ) C(, 8; 7, 99) e C ( 7, 99; 7, 99) e De vergelijkig, 7 + oplosse geeft, e dus., Het sijput va de twee grafieke is S(, ). ladzijde a,,c,d 6a,,,,,, De wegrafiek eweegt i de richtig va het sijput va de lije e, +. 6 Noordhoff Uitgevers v

14 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke 7a Bij alle startwaarde krijg je op ee gegeve momet ee staiele wegrafiek: de grafiek maakt steeds hetzelfde vierkat. startwaarde startwaarde c 8a Welke startwaarde je ook kiest, de wegrafiek gaat richtig het sijput. Ogeacht de waarde va u geldt lim u lim u, 6 6 Voor ee costate rij geldt u u u. De vergelijkig u oplosse levert u u 6u +, waaruit u 6u volgt. De ac-formule geeft u ±. I deze situatie gaat het om de oplossig u +. Noordhoff Uitgevers v 7

15 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke 9a Doe i Vu-grafiek. Voor a e a is er gee ekele egiwaarde waarvoor de rij covergeert. c Voor < a < covergeert de rij.. Cotractiestellig ladzijde a De vergelijkig, + oplosse geeft, e dus, sijput (, ). c Als de rij u de limiet heeft ereikt, geldt u u. Met ehulp va opgave a volgt + lim u. d Door het sijput va de lij e de lij, + te erekee. e De rij u covergeert iet. f covergetie: a, a e a ijvooreeld. De rij covergeert voor < a <. divergetie: a, a e a ijvooreeld. de rij divergeert voor a of a. a u f ( u ) a u a f ( u ) a a u a f ( u ) a u a u a u u a a c Voor < a < geldt lim a, dus lim a. d u uit opdracht c is ee meetkudige rij met rede r a, dus de rij u covergeert. 8 Noordhoff Uitgevers v

16 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke a Als u au + covergeert, geldt op ee gegeve momet u u L. + + Oplosse va de vergelijkig L a L +, geeft ( a) L e dus L. a ( a) u au + au + au + a au + L al a( u L) + L + a a a c De limiet estaat als a ( u L) voor, dus lim a a <. ladzijde a u u, a, a >, dus er is gee sprake va covergetie. + u 8 + u, a, a <, dus er is sprake va covergetie met lim u c u u 6 u + u e dus u u, a, a >, dus er is gee sprake va covergetie. a Als a wordt u au + u + ee rekekudige rij. + Als a wordt u au + u +. + De wegrafiek adert iet aar het sijput, maar loopt er ook iet va weg. a, dus a e daarmee evidt de rij zich precies op de gres tusse covergetie e divergetie: a < geeft covergetie, a > geeft divergetie e a geeft gee va eide. Noordhoff Uitgevers v 9

17 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke a Bij covergetie geldt op ee gegeve momet u u, dat wil zegge. + Oplosse va de vergelijkig geeft + of De ac-formule geeft 8 ± 6 6 ± 8 ±. I deze situatie gaat het om de oplossig +. Coclusie: lim +, u f ( ), f ( ), dus f ( + ), 8 c Raaklij i S : a +, +., <, dus de rij is coverget. 6a Het gaat steeds om rechthoekige driehoeke met hoeke va 9, 6 e. De verhoudige va de zijde i deze driehoeke zij (korte zijde - schuie zijde - lage zijde). BQ BP BR BQ AS AR ( BR ) ( ) 8 BP AP AS ( ) c Bij covergetie geldt op ee gegeve momet. Oplosse va de vergelijkig geeft e dus 8, dus lim dekpute ladzijde 7a Oplosse va de vergelijkig ( + ) geeft +, waaruit volgt of 6 +. Otide i factore geeft ( )( ) e 6 6 dus of. De sijpute zij dus (, ) e (, ) Als u geldt lim u. Noordhoff Uitgevers v

18 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke c 6 Als u geldt lim u Als u 6 heeft de rij u gee limiet. d De rij u divergeert voor u > e u <. 8 f ( ), +, 6, f ( ),, f ( ),, e f ( 8), 8, 6 ladzijde 9a Er is sprake va covergetie aar het rechter dekput. Als u heeft de rij u ee egatieve limiet. De vergelijkig si met de GR oplosse geeft, 9. Dus lim u, 9 c u π, u e u π geve alle drie lim u d π u < π e < u < π. Noordhoff Uitgevers v

19 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke a De lij l : f ( )( ) + f ( ) gaat door het put (, f ( )) wat f ( )( ) + f ( ) f ( ). Ook hee f ( ) e l i dit put dezelfde hellig, f '( ), dus l is de raaklij i dit put De raaklij sijde met de -as geeft: f ( )( ) + f ( ) f ( )( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f '( ). c f ( ) e f ( ) geeft + +. d, + e +, e, 6, er is dus i de derde decimaal verschil tusse e..7 Gemegde opdrachte ladzijde 6 a u lim u t geeft oppervlakte OPS si t si. c t geeft oppervlakte OQS tat ta. d oppervlakte cirkelsector πr t π. e De oppervlakte va de cirkelsector is voor elke waarde va t groter da de oppervlakte va OPS. De oppervlakte va de cirkelsector is voor elke waarde va t kleier da de oppervlakte va OQS. f g Er geldt dus si < < ta dat wil zegge si < < ta. Met ehulp va ta α si α e dus ta α volgt uit si < < ta cos α si α cos α ta achtereevolges < < e < <. si si si cos lim, dus lim cos. Noordhoff Uitgevers v

20 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke h Er geldt < < e lim, dus met de isluitstellig volgt si cos cos lim, waaruit volgt lim si. si a f ( ) ( ) De ogelijkheid oplosse geeft <. Hieruit volgt <. < < <. Dus i de pute va de grafiek met <. c,, d Allee voor de waarde c e c is er gee sprake va covergetie. e f ( ) f ( ). Dus g( ) geeft g( ). Noordhoff Uitgevers v

21 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke f,8,6,,,,,6,8 Met ehulp va de GR oplosse, geeft het dekput (, 68;, 68 ). Voor < c <, 68 is de rij,,, mootoo stijged. a ladzijde 7 l l + + l + e +. l + l l + l + l + + l l met l. c d De rij covergeert. Met ehulp va de GR ee tijdgrafiek make ij de recursievergelijkig geeft, 7 a u, u u u ( ) ( ), u 6, u u ( u ) ( ) u, u u u ( ) ( ) Noordhoff Uitgevers v

22 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke c,d,e u u u u u ( ) f De vergelijkig oplosse geeft achtereevolges,, ( ) e dus of 8. Coclusie: lim u de positieve limiet is 8. Test jezelf ladzijde T-a u w u l( ) w ( + ) De rij u is mootoo stijged als voor elke geldt u u >. + u l( ( + )) l + l( + ) > l + l l u. + c w w ( + ) + ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ). d De rij w is mootoo daled als voor elke geldt w < w, dat wil zegge als + geldt w w <. + w w < voor positieve waarde va. + ( + )( + ) Er geldt, dus de rij w is egresd. w T-a De waarde va w adert aar ul voor hoge ragummers. Vaaf ragummer 9 geldt w <,. Noordhoff Uitgevers v

23 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke T-a lim e, dus lim( e ) 6, , vaaf ragummer ligge alle terme i het iterval, ;. c lim, lim( e ) e. d w f ( ) e e, deze rij covergeert iet. T- + si +, lim +, dus met de isluitstellig volgt lim + si Voor geldt < + <. Hieruit volgt l < l( + ) < l e dus l < l( + ) < l. l l( + ) < < l, lim l lim l e lim l lim l, dus met de isluitstellig volgt lim l( + ). T-a Dekpute: + geeft + waaruit volgt. Met de ac-formule volgt e. Als u e u covergeert de rij u aar ee positieve limietwaarde. Er geldt da lim u. c Allee voor u is de limiet va de rij ee egatief getal: de terme va de rij zij i dat geval costat. Voor adere waarde va u is de limiet va de rij gee egatief getal. Voor het rechter dekput geldt f ( ), < e voor het liker dekput geldt f ( ), >, dus het rechter dekput is ee limiet e het liker dekput is voor gee ekele egiwaarde, ehalve u, de limiet. 6 Noordhoff Uitgevers v

24 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke ladzijde T-6a De rij covergeert, er geldt lim u De vergelijkig, + 7, oplosse geeft, + 7, of + 7. Hieruit volgt ( )( ) e dus of. De dekpute zij dus (, ) e (, ). c Voor u e u geldt lim u. Voor < u < geldt lim Voor alle adere waarde va u divergeert de rij. u. T-7a Voor u heeft de rij het rechter dekput als limiet., + l oplosse met de GR geeft, 77 voor u geldt dus lim, 77. u Liker dekput:, + l oplosse met de GR geeft, 7. f ( ), f (, 7),, dus f (, 7) >. De rij u ka i dit geval ee heel grillig gedrag vertoe. g( ), + l c + g ( ) +, + l,, +, + l +,, + l,,, 9, +,,, 9 + l, 9, 9, 7. Dus u +, 7., 9 T-8a Som oppervlaktes f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) d c De som va de eerste rechthoeke is groter da de itegraal va opgave : Hieruit volgt u Noordhoff Uitgevers v 7

25 Modere Wiskude Uitwerkige ij vwo D deel Hoofdstuk Rije e wegrafieke + + d d ( + ) + (( + ) + ) Uit (( + ) + ) volgt u ( ) + + ( ) e ( + ) u +, ( ), lim + ( ) dus met de isluitstellig volgt lim u. 8 Noordhoff Uitgevers v