Opgaven OPGAVE OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en

Transcriptie

1 Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is i te schatte wat er gebeurt bij het verder zette va het iteratieproces). Ka je ee startwaarde bedeke waarva de baa zich aders gedraagt? OPGAVE a. Voer de oderstaade iteraties uit voor = = = = = F( ) = ( 5 stappe ). b. Stel i ee tijdgrafiek de bae voor va 1; e 1. c. Formuleer het gedrag va de bae bereked i put b.

2 OPGAVE a. Plot de grafiek va F( ) = e va G Bepaal deze sijpute ook algebraïsch. = e bepaal grafisch de sijpute. b. Vergelijk deze oplossige met sommige startwaarde uit Opgave.a. OPGAVE 4 a. Bepaal grafisch de vaste pute va F( ) = e verifieer dit algebraïsch. b. Bepaal grafisch de vaste pute va F( ) = cos. Ka je dit ook algebraïsch geverifieerd worde? OPGAVE 5 a. Bepaal de baa va voor F( ) = 1:... b. Bepaal de baa va -1 voor F( ) = 1: c. Welke operator, i fuctie va F, moet je uitvoere op om terug te bekome? E voor -1 terug -1 te bekome? ( ) = e..( -1 ) = -1 OPGAVE 6 Bepaal de vaste pute e de -cyclus va F( ) = 1.

3 OPGAVE 7 a. Bestudeer de webdiagramme voor verschillede startwaarde bij F( ) =. Coclusie? b. Bestudeer de webdiagramme voor verschillede startwaarde bij Coclusie? 1 F( ) =. c. Bestudeer de webdiagramme voor verschillede startwaarde bij F( ) =. Coclusie? d. Bestudeer de webdiagramme voor verschillede startwaarde bij Coclusie? 1 F( ) =. OPGAVE 8 Teke de grafiek va ee willekeurige cotiue fuctie F:[ a, b] [ a, b ], vertrekkede va het put ( afa, ). Coclusie? y b y = ( afa, ) a a b

4 OPGAVE 9 Ee bevolkigsmodel Biologie is ee heel dakbare weteschap voor het opstelle va éé of ader wiskudig model. Het studiemateriaal is over het algemee zó igewikkeld dat me aar de wiskude grijpt om ee overzichtelijke beschrijvig te geve. Door met slechts ee paar wetmatighede rekeig te houde, verliest me weliswaar eige feelig met het oderwerp va studie (diere worde bv. getalle) maar de hadelbaarheid is uiteraard ee grote bous. Bovedie bestudeert me meestal maar ee klei deel va het oderwerp. Ee mooi voorbeeld is het model dat de voortplatig bij koije beschrijft bij ee overvloed aa ruimte e voedsel e zoder atuurlijke vijade (zoals dat het geval was toe me deze lagoor ee paar eeuwe gelede i Australië losliet). We gaa erva uit dat het aatal koije i de volgede geeratie everedig is met het aatal koije dat er al was. Ee dergelijke relatie is wiskudig gemakkelijk uit de drukke met behulp va ee fuctie. Als het aatal koije i ee geeratie voorstelt, wordt het volgede aatal gegeve door f ( ) = c waarbij c ee positieve costate is, die ee maat vormt voor het gemiddeld aatal akomelige dat elk koij heeft. Het bestudere va de evolutie va de koijepopulatie is zo herleid tot het berekee va de opeevolgede iteraties va f :, f( ), f ( ), f ( ),... Zie opgave 7 voor ekele voorbeelde. Het mag duidelijk zij dat, bij voldoede ruimte e voedsel, e zoder jacht of atuurlijke vijade, ee koijepopulatie i ee mum va tijd door het dak gaat. Natuurlijk was os model ee tikje te eevoudig (hoewel het ee goed idee geeft va de probleme waarmee Australische parkwachters gecofroteerd werde) omdat de veroderstellige zich ooit voordoe. Bekijke we u eve terug oze modelvergelijkig f ( ) = c. Wat os vooral iteresseert is de baa die ee put aflegt oder opeevolgede iteraties va f :, f( ), f ( ),, f ( ),. Om de evewichtspute va f te bepale losse we de volgede vergelijkig op: f( ) = c =. Idie c = 1 zij alle pute evewichtspute e idie c 1 is = het eige evewichtsput. Ook voor adere pute is de baa eevoudig te berekee: f ( ) = c zodat f ( ) = cc. = c. We kue agaa dat f ( ) = c zodat het verloop va de baa volledig afhagt va de costate c. c < 1 Da zal c als. Dus f ( ) als. c = 1 Ofwel f ( ) Ofwel f ( ) =, m.a.w. allemaal evewichtspute. =. Deze afbeeldig heeft de bijzodere eigeschap dat f ( ) = f( ) = de idetieke afbeeldig oplevert. Er is dus éé evewichts-put, e alle adere pute hebbe periodieke bae met periode.

5 c > 1 Da zal c + als. Het eige evewichtsput is weer =. We oderscheide: (i) Als c > 1 e > da zal f ( ) + als. (ii) Als c > 1 e < da zal f ( ) als. (iii) Als c < 1, da zal de baa va ee put bestaa uit afwisseled egatieve e positieve pute, die zich verder e verder va de oorsprog = verwijdere. Late we os model u ee tikje igewikkelder make, bijvoorbeeld door aa te eme dat os model rekeig moet houde met beperkige i ruimte e voedsel. Als we aaeme dat het ecosysteem iet meer da 1 koije aaka, da kue we de vergelijkig herschrijve als f ( ) = D. (1 ) met D > e 1. Op de term i a is de vergelijkig gelijkaardig aa de voorgaade. Voor kleie populaties zal de groei met de kwadratische term ibegrepe vergelijkbaar zij met de lieaire. Voor grote populaties geeft de kwadratische vergelijkig duidelijk aa dat het overschot aa koije ee afame zal ihoude voor de volgede geeratie. Vauit ee wiskudig stadput is het duidelijker om de gelijkaardige vergelijkig F( ) = m. (1 ) met m > e 1 te bestudere. We kue dit iterpretere als het bekijke va verhoudige va populaties te opzichte va hu theoretische maimum. Bij het lieaire model was de studie eevoudig omdat we ee epliciete uitdrukkig voor de -de iteratie f ( ) kode opschrijve. Dit is u iet meer het geval. I het algemee is f ( ) ee veelterm va de -de graad. Bijvoorbeeld : f ( ) = m (1 ) (1 m+ m ) f ( ) = m (1 ) (1 m + m )(1 m (1 ) (1 m + m )) We bestudere het dyamisch gedrag va deze fuctie met grafische aalyse, m.a.w. ( zoder dat we ee uitdrukkig voor f ) ( ) kee. We probere os ee idee te vorme va het gedrag va het dyamisch systeem f (1 ) m = m met m ], 4] e [, 1]. 1. Bereke de evewichtspute va f ( ) = m(1 ) i.f.v. m. m

6 . We bestudere ekele bae om ee idee te krijge va het dyamisch gedrag va f (1 ) m = m. a. m < 1 e [, 1]. Bijvoorbeeld m = f ( ) 1 Welk resultaat ka je afleide uit dit eperimet? Hoe ka je dit resultaat iterpretere voor het bevolkigsmodel? Cotroleer je geformuleerde resultaat voor verschillede m < 1 met grafische aalyse.

7 b. 1< m < e [, 1]. Bijvoorbeeld m =..5.8 f ( ) 1 Welk resultaat ka je afleide uit dit eperimet? Hoe ka je dit resultaat iterpretere voor het bevolkigsmodel? Cotroleer je geformuleerde resultaat voor verschillede 1< m < met grafische aalyse.

8 c. < m <.45 e [, 1]. Bijvoorbeeld m = f ( ) 1 1 Welk resultaat ka je afleide uit dit eperimet? Hoe ka je dit resultaat iterpretere voor het bevolkigsmodel? Cotroleer je geformuleerde resultaat voor verschillede < m <.45 met grafische aalyse.

9 d..45 < m <.54 e [, 1]. Bijvoorbeeld m = f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) f 4 ( ) Welk resultaat ka je afleide uit dit eperimet? Hoe ka je dit resultaat iterpretere voor het bevolkigsmodel? Cotroleer je geformuleerde resultaat voor verschillede.45 < m <.54 met grafische aalyse.

10 e. m = 4 e [, 1] Bestudeer de baa voor oderstaade pute oder opeevolgede iteraties va f4 = 4 (1 ). Plot ook de bijhorede webdiagramme. Coclusie? f ( ) 1 4 5