Periodiciteit bij breuken

Transcriptie

1 Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat het omzette va ee breuk aar ee kommagetal maar weiig tijd kost: je hoeft allee ee begi uit te rekee, dat zich daara herhaalt, zoals bij / = 0, Je vidt i deze odracht uit hoe lag dat begi is, e hoe de legte va de oemer va de breuk afhagt. De bouwstee va oze getalle (de riemgetalle) heb je odig om de verbade te begrije. Daardoor verrijk je ook je keis va de getaltheorie. Je bevidige reseteer je aa je docet e je medeleerlige. Natuurlijk geef je ee verklarig met aar extra mooie voorbeelde! 00 Uiversiteit Utrecht: Juior College Utrecht

2 PERIODICITEIT BIJ BREUKEN Ileidig I 85 werd aa het Nederlads lager, middelbaar e hoger oderwijs verlicht rekee wiskude igevoerd. Gelijktijdig werd ee ragestelsel igevoerd voor oderwijzers waari de oderwijzer ee hogere rag bekleedde waeer hij meer va wiskude wist. Ee belagrijk oderwer i het rekee wiskudeoderwijs was het omrekee va (gewoe) breuke aar decimaalbreuke (e adersom). Tegewoordig kue rekemachies e comuters het rekewerk doe. Wij kijke da aar de overwachte verschijsele die da i de decimale breuke aa het licht kome. I deze odracht gaa dat doe we kijke vooral aar de legte va de decimale breuk. Ihoudelijk oriëtatie De grafische rekemachie maakt va = / 8 de decimale breuk 0,5, va 8 de doorloede decimale breuk 0, e va de decimale breuk die begit met 0,48548 Je weet toch og: de decimale breuke geve aa hoeveel hele, hoeveel tiede, hoeveel hoderdste, etc. er zij. Je ziet bij het omrekee aar de decimale breuke, deze soms stoe (zoals bij ) soms reetere (zoals bij e ). 8 Bij het reetere is er bovedie verschil i de legte va het reeterede deel. Bij = 0, heeft het reeterede deel ee legte 6, daarom oeme we de eriode va deze breuk 6. Adere voorbeelde: = 0, = 0, = 8 0, a b Wat is de eriode va, e? 8 Wete we zeker dat iderdaad reeteert? 8 Schrijf o hoe je dat wel/iet zeker weet We gaa u oderzoeke of er regelmaat zit i de grootte va zo eriode.

3 Bij dit oderzoek is het atuurlijk belagrijk dat we goed kue dele, zodat we iets kue zegge over de eriode. Daar zij ee aatal maiere voor: Staartdelig: (zie bijlage ) Dele met rest (zie bijlage ) Rekemachie Comuter met software (Mathematica, Derive) voor veel decimale a Zoek uit hoe het dele gaat bij bijlage e bijlage. b Schrijf o beide maiere de delig o va 8 Beaal ook de eriode va,, 4, 5 e 6. Wat valt o? 4 Oderzoek ook de eriode va,, Welk vermoede krijg je als je aar de atwoorde va e 4 kijkt? We bekijke u de breuke va de vorm: 6 Schrijf voor de getalle = tot e met = 5 (zo mogelijk) de eriode o va. Breuk Periode 6 Reetere al deze breuke? Bij ee aatal breuke is het sel afgeloe: = 0, 5 of = 0, We sreke af dat het reeterede deel hier (dus) 0 is. De eriode zegge we is. 8 Ka het ook zij dat bij eriode het reeterede deel iet 0 is? Zo ja geef ee voorbeeld, zo ee, waarom dek je va iet? Bewerig : Elke breuk Bewerig : Elke eriode is kleier da. reeteert (soms met als reetered deel 0) 9 Geef aa waarom deze bewerige waar zij. [HINT: gebruik de maier va dele zoals i bijlage e e bedek dat als je door deelt, hoeveel verschillede reste er da theoretisch mogelijk zij?] /6

4 INTERMEZZO PRIEMGETALLEN Priemgetalle zij getalle (groter da éé) die allee e zichzelf als (ositieve) deler hebbe. Bijvoorbeeld: is ee riemgetal wat is deelbaar door e e verder iet. Adere riemgetalle:,, 5,, 0 Hoeveel eve riemgetalle zij er? Bewerig : elk ositief geheel getal ka worde geschreve als het roduct va riemgetalle e dit ka o exact éé maier (afgezie va de volgorde va de riemgetalle). Deze bewerig heet de hoofdstellig va de rekekude. Om alles recies te bewijze voor alle getalle vergt ee aatal stellige, die gaa we u iet allemaal doe. (Bekijk hiervoor bijvoorbeeld: htt:// Ee deel erva doe we wel e die gaa we u bekijke. Bewerig *: Ieder atuurlijk getal > 0 heeft ee riemfactorotbidig. Wat is het verschil tusse de hoofdstellig va de rekekude (bewerig ) e bewerig *? Ee bewijs va bewerig * is gebaseerd o het axioma va volledige iductie. [Ee bewijs met volledige iductie gaat globaal zo:. Je bewijst de bewerig voor het kleiste getal waar de bewerig juist is. Je gaat er vauit dat de bewerig juist is voor ee getal e bewijst de bewerig vervolges voor het getal + ] Bekijk het bewijs hieroder: Bewijs: Voor = is de uitsraak waar, omdat er defiitie ee riemfactorotbidig heeft (met 0 riemfactore). We eme ee getal waarva we aaeme dat bewerig * waar is voor alle getalle kleier da. M.a.w. alle getalle kleier da die hebbe ee riemfactorotbidig. [*] Bekijk u het getal +. Da zij er twee mogelijkhede: + is ee riemgetal. Da is atuurlijk bewerig * voor + waar. (De riemfactorotbidig heeft éé riemfactor.) + is gee riemgetal. M.a.w. er is ee (adere) deler da of +. Da is += a b met a e b tusse e +. Omdat a e b beide kleier da zij (e iet 0) hebbe ze ee riemfactorotbidig (zie [*]). E atuurlijk het roduct va a e b ook. Dus da is bewerig * voor + ook waar. * Om te late zie dat je deze maier sat (iet odig voor eriodiciteit va breuke) bewijs je o deze maier: = ( + ) EINDE INTERMEZZO PRIEMGETALLEN /6

5 We vervolge os oderzoekje maar de legte va eriodes bij decimale breuke. Je ka daarbij de bijlage gebruike. I de bijlage e 4 vid je ee lijst va riemgetalle e ee lijst va eriode va ee heel aatal breuke. We bekijke u de eriodiciteit va de breuke als ee riemgetal is. Kijk eerst ees aar de eriodiciteit bij:,, e 6. Er lijkt ee regelmaat o te duike. a b c Formuleer die regelmaat. Ka die regelmaat waar zij als je kijkt aar adere riemgetalle? Ka je je formulerig evetueel bijstelle? 4 Oder odracht 6 hebbe we gezie dat bij sommige breuke de eriode sel afbreekt. Ku je ee systeem otdekke? Waarom bij 4, 5, 8, 0, 0 wel e waarom bij, 6, e 5 iet? HINT : Schrijf de getalle die je oderzoekt als roduct va riemfactore. Bijvoorbeeld: 504 = HINT : Laat zie dat er breuke zij waar je de oemer ka schrijve als macht va of 0. Bijvoorbeeld: 56 Wat zegt dat over de decimale breuk bij? 56 5 Oderzoek ook ees aar de eriode va breuke regelmaat met de eriode va? E bij res., 4 etc. (met riem). Is er 6 Zij er og adere breuke waar je iets va ka zegge? (I vervolg o 5) Met behul va bovestaade vrage hebbe we oderzoek gedaa aar de eriodiciteit bij breuke. Ee aatal vrage zij oe gebleve, ook voor de wetescha. Probeer ee overzicht te make over welke breuke we u iets kue zegge over de legte va eriodiciteit. Afrodig Maak ee resetatie of oster waarmee je de belagrijkste oderdele va de odracht kut late zie. Wat hebbe jullie gedaa e wat heb je daarva geleerd? E hoe ku je dat aa belagstellede toe? 4/6

6 Bijlage : Dele Om ee gewoe breuk om te zette i ee decimale breuk ku je atuurlijk ee ouderwetse staartdelig make. Het berekee va gaat daarmee als volgt: 0,485. Bijlage : /0 \ [i het kort: Je deelt o : 0 x ( die schrijf je o), we make va de éé u tie tiede. Dele door geeft da tiede, dus: x (die rechts oschrijve) je houdt je (tiede) over (we oeme die de rest va de delig). Je deelt daara o 0 hoderdste: 4 x, (dus 4 oschrijve) da houdt je over, o 0: x etc. etc. Dus kreeg je 0,4 ] We kijke voor de eriodiciteit vooral aar de reste. Hoe doe we dat hadig? Bekijk het volgede voorbeeld: =. + 4 (Of = + 4 ) De is wat we odig hebbe: de hele, die staa voor de komma. De rest 4 gaat aawijze hoeveel tiede we gaa krijge i de decimale breuk. Er zij dus over 4 hele ofwel 40 tiede 40 =. + (Of 40 = + ) Nu dus over tiede ofwel 0 hoderdste etc. etc. De reste zij dus 4,, 0, 9,,, e da weer 4 etc. Wat valt o? A) Periodiciteit: wat a de 4 begit het weer allemaal oieuw B) Er zij 6 verschillede breuke met dezelfde reste, maar ee adere volgorde. Bij Bij Bij blijkt ee adere rest-reeks te hebbe. :, 0, 9,,, 4 :,, 5,, 6, 8 Bij ekele reste i de rij bij ku je zie dat het dubbele va die bij Maar hoe zit dat bij 0 e? Klot het daar ook? zij. 5/6

7 Daarvoor geldt: 0 * = 0 = ( + ) Dus klot ook o ee veelvoud va a. Om bijvoorbeeld de reste va 6 te vide. Vermeigvuldige de reste va met 6 maar zodra het meer da wordt hale we ee veelvoud va eraf. Je ziet zo dat alle eriodes eve lag zij. Als delers had, kreeg je gee mooie vermeigvuldigigstabel! Daarom: riem eme! Deze methode va rekee met reste ku je (vast wel) i je GR rogrammere. Bijlage : lijst va riemgetalle Bijlage 4: lijst va eriodes (tusse de haakjes staat de eriode) (6) 9 (8) (6) () () 6 (6) () 8 (6) 9 (8) (5) () 4 (6) 5 (6) () 8 (8) 9 (6) 4 (5) 4 (6) 4 () 44 () 46 () 4 (46) 49 (4) 5 (6) 5 (6) 5 () 54 () 55 () 56 (6) 5 (8) 58 (8) 59 (58) 6 (60) 6 (5) 6 (6) 65 (6) 66 () 6 () 68 (6) 69 () 0 (6) (5) (8) 4 () 6 (8) (6) 8 (6) 9 () 8 (9) 8 (5) 8 (4) 84 (6) 85 (6) 86 () 8 (8) 88 () 89 (44) 9 (6) 9 () 9 (5) 94 (46) 95 (8) 9 (96) 98 (4) 99 () 0 (4) 0 (6) 0 (4) 04 (6) 05 (6) 06 () 0 (5) 08 () 09 (08) 0 () () (6) () 4 (8) 5 () 6 (8) (6) 8 (58) 9 (48) () (60) (5) 4 (5) 6 (6) (4) 9 () 0 (6) (0) () (8) 4 () 5 () 6 (6) (8) 8 () 9 (46) 40 (6) 4 (46) 4 (5) 4 (6) 45 (8) 46 (8) 4 (4) 48 () 49 (48) 5 (5) 5 (8) 5 (6) 54 (6) 55 (5) 56 (6) 5 (8) 58 () 59 () 6 (66) 6 (9) 6 (8) 64 (5) 65 () 66 (4) 6 (66) 68 (6) 69 (8) Bijlage 5: Zelf ee rogrammaatje schrijve bv. met Excelsheet Zelf ee rogrammaatje schrijve. Bv.Periodiciteit bij breuke bijlage 5 - beta rog voor eriode.xls 6/6