Periodiciteit bij breuken
|
|
- Johanna de Jonge
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat het omzette va ee breuk aar ee kommagetal maar weiig tijd kost: je hoeft allee ee begi uit te rekee, dat zich daara herhaalt, zoals bij / = 0, Je vidt i deze odracht uit hoe lag dat begi is, e hoe de legte va de oemer va de breuk afhagt. De bouwstee va oze getalle (de riemgetalle) heb je odig om de verbade te begrije. Daardoor verrijk je ook je keis va de getaltheorie. Je bevidige reseteer je aa je docet e je medeleerlige. Natuurlijk geef je ee verklarig met aar extra mooie voorbeelde! 00 Uiversiteit Utrecht: Juior College Utrecht
2 PERIODICITEIT BIJ BREUKEN Ileidig I 85 werd aa het Nederlads lager, middelbaar e hoger oderwijs verlicht rekee wiskude igevoerd. Gelijktijdig werd ee ragestelsel igevoerd voor oderwijzers waari de oderwijzer ee hogere rag bekleedde waeer hij meer va wiskude wist. Ee belagrijk oderwer i het rekee wiskudeoderwijs was het omrekee va (gewoe) breuke aar decimaalbreuke (e adersom). Tegewoordig kue rekemachies e comuters het rekewerk doe. Wij kijke da aar de overwachte verschijsele die da i de decimale breuke aa het licht kome. I deze odracht gaa dat doe we kijke vooral aar de legte va de decimale breuk. Ihoudelijk oriëtatie De grafische rekemachie maakt va = / 8 de decimale breuk 0,5, va 8 de doorloede decimale breuk 0, e va de decimale breuk die begit met 0,48548 Je weet toch og: de decimale breuke geve aa hoeveel hele, hoeveel tiede, hoeveel hoderdste, etc. er zij. Je ziet bij het omrekee aar de decimale breuke, deze soms stoe (zoals bij ) soms reetere (zoals bij e ). 8 Bij het reetere is er bovedie verschil i de legte va het reeterede deel. Bij = 0, heeft het reeterede deel ee legte 6, daarom oeme we de eriode va deze breuk 6. Adere voorbeelde: = 0, = 0, = 8 0, a b Wat is de eriode va, e? 8 Wete we zeker dat iderdaad reeteert? 8 Schrijf o hoe je dat wel/iet zeker weet We gaa u oderzoeke of er regelmaat zit i de grootte va zo eriode.
3 Bij dit oderzoek is het atuurlijk belagrijk dat we goed kue dele, zodat we iets kue zegge over de eriode. Daar zij ee aatal maiere voor: Staartdelig: (zie bijlage ) Dele met rest (zie bijlage ) Rekemachie Comuter met software (Mathematica, Derive) voor veel decimale a Zoek uit hoe het dele gaat bij bijlage e bijlage. b Schrijf o beide maiere de delig o va 8 Beaal ook de eriode va,, 4, 5 e 6. Wat valt o? 4 Oderzoek ook de eriode va,, Welk vermoede krijg je als je aar de atwoorde va e 4 kijkt? We bekijke u de breuke va de vorm: 6 Schrijf voor de getalle = tot e met = 5 (zo mogelijk) de eriode o va. Breuk Periode 6 Reetere al deze breuke? Bij ee aatal breuke is het sel afgeloe: = 0, 5 of = 0, We sreke af dat het reeterede deel hier (dus) 0 is. De eriode zegge we is. 8 Ka het ook zij dat bij eriode het reeterede deel iet 0 is? Zo ja geef ee voorbeeld, zo ee, waarom dek je va iet? Bewerig : Elke breuk Bewerig : Elke eriode is kleier da. reeteert (soms met als reetered deel 0) 9 Geef aa waarom deze bewerige waar zij. [HINT: gebruik de maier va dele zoals i bijlage e e bedek dat als je door deelt, hoeveel verschillede reste er da theoretisch mogelijk zij?] /6
4 INTERMEZZO PRIEMGETALLEN Priemgetalle zij getalle (groter da éé) die allee e zichzelf als (ositieve) deler hebbe. Bijvoorbeeld: is ee riemgetal wat is deelbaar door e e verder iet. Adere riemgetalle:,, 5,, 0 Hoeveel eve riemgetalle zij er? Bewerig : elk ositief geheel getal ka worde geschreve als het roduct va riemgetalle e dit ka o exact éé maier (afgezie va de volgorde va de riemgetalle). Deze bewerig heet de hoofdstellig va de rekekude. Om alles recies te bewijze voor alle getalle vergt ee aatal stellige, die gaa we u iet allemaal doe. (Bekijk hiervoor bijvoorbeeld: htt:// Ee deel erva doe we wel e die gaa we u bekijke. Bewerig *: Ieder atuurlijk getal > 0 heeft ee riemfactorotbidig. Wat is het verschil tusse de hoofdstellig va de rekekude (bewerig ) e bewerig *? Ee bewijs va bewerig * is gebaseerd o het axioma va volledige iductie. [Ee bewijs met volledige iductie gaat globaal zo:. Je bewijst de bewerig voor het kleiste getal waar de bewerig juist is. Je gaat er vauit dat de bewerig juist is voor ee getal e bewijst de bewerig vervolges voor het getal + ] Bekijk het bewijs hieroder: Bewijs: Voor = is de uitsraak waar, omdat er defiitie ee riemfactorotbidig heeft (met 0 riemfactore). We eme ee getal waarva we aaeme dat bewerig * waar is voor alle getalle kleier da. M.a.w. alle getalle kleier da die hebbe ee riemfactorotbidig. [*] Bekijk u het getal +. Da zij er twee mogelijkhede: + is ee riemgetal. Da is atuurlijk bewerig * voor + waar. (De riemfactorotbidig heeft éé riemfactor.) + is gee riemgetal. M.a.w. er is ee (adere) deler da of +. Da is += a b met a e b tusse e +. Omdat a e b beide kleier da zij (e iet 0) hebbe ze ee riemfactorotbidig (zie [*]). E atuurlijk het roduct va a e b ook. Dus da is bewerig * voor + ook waar. * Om te late zie dat je deze maier sat (iet odig voor eriodiciteit va breuke) bewijs je o deze maier: = ( + ) EINDE INTERMEZZO PRIEMGETALLEN /6
5 We vervolge os oderzoekje maar de legte va eriodes bij decimale breuke. Je ka daarbij de bijlage gebruike. I de bijlage e 4 vid je ee lijst va riemgetalle e ee lijst va eriode va ee heel aatal breuke. We bekijke u de eriodiciteit va de breuke als ee riemgetal is. Kijk eerst ees aar de eriodiciteit bij:,, e 6. Er lijkt ee regelmaat o te duike. a b c Formuleer die regelmaat. Ka die regelmaat waar zij als je kijkt aar adere riemgetalle? Ka je je formulerig evetueel bijstelle? 4 Oder odracht 6 hebbe we gezie dat bij sommige breuke de eriode sel afbreekt. Ku je ee systeem otdekke? Waarom bij 4, 5, 8, 0, 0 wel e waarom bij, 6, e 5 iet? HINT : Schrijf de getalle die je oderzoekt als roduct va riemfactore. Bijvoorbeeld: 504 = HINT : Laat zie dat er breuke zij waar je de oemer ka schrijve als macht va of 0. Bijvoorbeeld: 56 Wat zegt dat over de decimale breuk bij? 56 5 Oderzoek ook ees aar de eriode va breuke regelmaat met de eriode va? E bij res., 4 etc. (met riem). Is er 6 Zij er og adere breuke waar je iets va ka zegge? (I vervolg o 5) Met behul va bovestaade vrage hebbe we oderzoek gedaa aar de eriodiciteit bij breuke. Ee aatal vrage zij oe gebleve, ook voor de wetescha. Probeer ee overzicht te make over welke breuke we u iets kue zegge over de legte va eriodiciteit. Afrodig Maak ee resetatie of oster waarmee je de belagrijkste oderdele va de odracht kut late zie. Wat hebbe jullie gedaa e wat heb je daarva geleerd? E hoe ku je dat aa belagstellede toe? 4/6
6 Bijlage : Dele Om ee gewoe breuk om te zette i ee decimale breuk ku je atuurlijk ee ouderwetse staartdelig make. Het berekee va gaat daarmee als volgt: 0,485. Bijlage : /0 \ [i het kort: Je deelt o : 0 x ( die schrijf je o), we make va de éé u tie tiede. Dele door geeft da tiede, dus: x (die rechts oschrijve) je houdt je (tiede) over (we oeme die de rest va de delig). Je deelt daara o 0 hoderdste: 4 x, (dus 4 oschrijve) da houdt je over, o 0: x etc. etc. Dus kreeg je 0,4 ] We kijke voor de eriodiciteit vooral aar de reste. Hoe doe we dat hadig? Bekijk het volgede voorbeeld: =. + 4 (Of = + 4 ) De is wat we odig hebbe: de hele, die staa voor de komma. De rest 4 gaat aawijze hoeveel tiede we gaa krijge i de decimale breuk. Er zij dus over 4 hele ofwel 40 tiede 40 =. + (Of 40 = + ) Nu dus over tiede ofwel 0 hoderdste etc. etc. De reste zij dus 4,, 0, 9,,, e da weer 4 etc. Wat valt o? A) Periodiciteit: wat a de 4 begit het weer allemaal oieuw B) Er zij 6 verschillede breuke met dezelfde reste, maar ee adere volgorde. Bij Bij Bij blijkt ee adere rest-reeks te hebbe. :, 0, 9,,, 4 :,, 5,, 6, 8 Bij ekele reste i de rij bij ku je zie dat het dubbele va die bij Maar hoe zit dat bij 0 e? Klot het daar ook? zij. 5/6
7 Daarvoor geldt: 0 * = 0 = ( + ) Dus klot ook o ee veelvoud va a. Om bijvoorbeeld de reste va 6 te vide. Vermeigvuldige de reste va met 6 maar zodra het meer da wordt hale we ee veelvoud va eraf. Je ziet zo dat alle eriodes eve lag zij. Als delers had, kreeg je gee mooie vermeigvuldigigstabel! Daarom: riem eme! Deze methode va rekee met reste ku je (vast wel) i je GR rogrammere. Bijlage : lijst va riemgetalle Bijlage 4: lijst va eriodes (tusse de haakjes staat de eriode) (6) 9 (8) (6) () () 6 (6) () 8 (6) 9 (8) (5) () 4 (6) 5 (6) () 8 (8) 9 (6) 4 (5) 4 (6) 4 () 44 () 46 () 4 (46) 49 (4) 5 (6) 5 (6) 5 () 54 () 55 () 56 (6) 5 (8) 58 (8) 59 (58) 6 (60) 6 (5) 6 (6) 65 (6) 66 () 6 () 68 (6) 69 () 0 (6) (5) (8) 4 () 6 (8) (6) 8 (6) 9 () 8 (9) 8 (5) 8 (4) 84 (6) 85 (6) 86 () 8 (8) 88 () 89 (44) 9 (6) 9 () 9 (5) 94 (46) 95 (8) 9 (96) 98 (4) 99 () 0 (4) 0 (6) 0 (4) 04 (6) 05 (6) 06 () 0 (5) 08 () 09 (08) 0 () () (6) () 4 (8) 5 () 6 (8) (6) 8 (58) 9 (48) () (60) (5) 4 (5) 6 (6) (4) 9 () 0 (6) (0) () (8) 4 () 5 () 6 (6) (8) 8 () 9 (46) 40 (6) 4 (46) 4 (5) 4 (6) 45 (8) 46 (8) 4 (4) 48 () 49 (48) 5 (5) 5 (8) 5 (6) 54 (6) 55 (5) 56 (6) 5 (8) 58 () 59 () 6 (66) 6 (9) 6 (8) 64 (5) 65 () 66 (4) 6 (66) 68 (6) 69 (8) Bijlage 5: Zelf ee rogrammaatje schrijve bv. met Excelsheet Zelf ee rogrammaatje schrijve. Bv.Periodiciteit bij breuke bijlage 5 - beta rog voor eriode.xls 6/6
Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieWe kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:
Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatieDe speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.
Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12
Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieHoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht
Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieSteekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef
Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatiePolynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n
Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieWerktekst 1: Een bos beheren
Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieEvaluatie pilot ipad onder docenten
Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012
Nadere informatieBIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen
BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel
Nadere informatieTabellenrapportage CQ-index Kraamzorg
Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee
Nadere informatieBuren en overlast. waar je thuis bent...
Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel
Nadere informatieEindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I
Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatieCombinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)
1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieSTUDIEKEUZESTAPPENPLAN
STUDIEKEUZESTAPPENPLAN www.uva.l/studie-kieze Hoe kies je ee studie? studiekeuzestappepla Weet je og iet wat je wilt studere? Begeleidig bij het studiekeuzestappepla Misschie ka dit studiekeuzestappepla
Nadere informatieRijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder
Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met
Nadere informatie1. Symmetrische Functies
Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.
Nadere informatieHandout bij de workshop Wortels van Binomen
Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides
Nadere informatieEINDVERSLAG van een project met de titel: Algoritmen in de klassenlichamentheorie
EINDVERSLAG va ee roject et de titel: Algorite i de klasselichaetheorie docet: drs J Bouw Waterut 4 959 GB Streefkerk eail: bouwj@telel uiversitair cotactersoo: Profdr P Stevehage Matheatisch istituut
Nadere informatieEindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013
Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage
Nadere informatieHET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.
HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe
Nadere informatieRUIMTE VOOR TALENT! GyMNAsIUM
RUIMTE VOOR TALENT! Gymasium Gymasium iets voor jou Houd je va puzzele Lees je graag over va alles e og wat Ku je goed lere Be je geïteresseerd i de Grieke e Romeie Vid je het leuk om te wete hoe ee taal
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatieOplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)
Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe
Nadere informatieUITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006
UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege
Nadere informatieJa, ik wil. Trouwen in Vlaardingen
Ja, ik wil Trouwe i Vlaardige Ihoud Pagia 4 Locatie kieze Pagia 5 Tijdstip kieze Pagia 6 De plechtigheid Pagia 8 I odertrouw Pagia 9 Tot slot Pagia 11 Bijlage Gefeliciteerd met uw voorgeome huwelijk of
Nadere informatieMachtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178
Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel
Nadere informatie1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten
Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke
Nadere informatieWaar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?
Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.
Nadere informatieAnalyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013
Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete
Nadere informatieEindexamen wiskunde A vwo 2010 - I
Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4
Nadere informatieDe standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:
Nadere informatieHuisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven
Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame
Nadere informatieSpelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh
Spele met vorme Tim Neefjes Brya Tog Mih Ileidig Toe ee plei i Stockholm, Sergel s Square aa heraaleg toe was stode de architecte voor ee probleem. Het was ee rechthoekig plei e i het midde moest ee wikelcetrum
Nadere informatie7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg
Nadere informatieOBS 't Gijmink Oudertevredenheid ods 't Gijmink Online Evaluatie Instrument maart 2016
Oudertevredeheid ods 't Gijmik Pagia 1 va 7 www. Olie Evaluatie Istrumet OBS 't Gijmik Oudertevredeheid ods 't Gijmik maart 2016 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2016 DigiDoc Pagia 1 va 7 Oudertevredeheid
Nadere informatieC p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15
Combiatieleer. (99 Op hoeveel maiere kue 8 studete verdeeld worde i groepe als elke groep uit mistes studet moet bestaa.. (99 Hoeveel terme elt ee homogee veelterm va graad 5 i 3 obepaalde x, y e, z? 3.
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.
Nadere informatieDit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak
Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term
Nadere informatiewww.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014
diestverleig bij Zadkie Pagia 1 va 10 www.rocspiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Zadkie Zadkie diestverleig bij Zadkie locatie: Marcoistraat april 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2014 DigiDoc ROCspiegel.l
Nadere informatiewww. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc
POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet
Nadere informatieStatistiek = leuk + zinvol
Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.0)
imtech Arbodiest (versie.0) veilig e gezod werke Wat is lichamelijke belastig? Oder lichamelijke of fysieke belastig verstaa we het aaeme va houdige, het make va bewegige e het zette va kracht. Alle medewerkers,
Nadere informatieEnquête social media gebruik ROC West-Brabant
Equête social media gebruik ROC West-Brabat Jauari / februari 2012 I jauari 2012 is ee studeteequête geoped, met als thema social media i het oderwijs. De equête is door 514 mbo-studete igevuld. Afhakelijk
Nadere informatieBevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89
Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee
Nadere informatieHANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS
hadleidig coditioele orders HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS Ee coditioele order kut u vergelijke met ee istructie die u geeft aa uw wekkerradio: als het 7.30 uur is, wil ik dat de radio aagaat e ik gewekt
Nadere informatieSchatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen
Werke aa de zelfstadigheid va kidere 2 Ileidig Werke aa zelfstadigheid is ee oderwerp dat al vele jare ee belagrijk oderdeel is va het oderwijsaabod op OBS De Spiegel. I 2008 is beslote om Zelfstadig werke
Nadere informatieEen andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam
Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige
Nadere informatied 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n
Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatiePROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1
PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked
Nadere informatieHogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013
Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-01 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-01 16:0:4 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - Participatie opleidige
Nadere informatieDOCENTENHANDLEIDING Februari De telduivel. Mark van den Aarssen Lindenholt College, Nijmegen
DOCENTENHANDLEIDING Februari 005 De telduivel Mark va de Aarsse Lideholt College, Nijmege Herma Alik Dolf va de Hombergh Bart Jordes Elzedaal College, Boxmeer Richard Klei Breteler Jos Wikel Caisius College,
Nadere informatieInzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni
Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2
Nadere informatieRAADS IN FORMATIE BRIE F
RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2017-II
wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieVAIO-Link Online Service Gids
VAIO-Lik Olie Service Gids "Wij behadele iedere idividuele klacht met zorg, aadacht e respect e we zorge ervoor dat iedere klat ee goed gevoel heeft over de ervarig die hij had of zal hebbe met het VAIO-Lik
Nadere informatieChristelijke school voor mavo en onderbouw mavo/havo. De Sav kleine school, grote toekomst
Christelijke school voor mavo e oderbouw mavo/havo De Sav kleie school, grote toekomst Iformatie voor ouders Schooljaar 2016-2017 De Sav: kleie school, grote toekomst Goed oderwijs De Sav is ee ope christelijke
Nadere informatieB C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E
Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c
Nadere informatieEen samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017
Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket
Nadere informatieNETWERK B2 UITWERKINGEN VOOR HET VWO. HOOFDSTUK 10 CONVERGENTIE Kern 1 LIMIETEN. u 2 u 1. u 3. u 4. u 5. u 7
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK B a) 7 log 7 7 log 7 7 b) 7 a) Niet b) Wel c) Niet ) HOOFDSTUK CONVERGENTIE Ker LIMIETEN Hee f t Ci j f ers log 7 7 log 7 7 77 ) µ Hee f t Ci j f ers a) µ ; µ ; ; µ ;
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.0)
imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)
TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters
Nadere informatieKansrekenen [B-KUL-G0W66A]
KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................
Nadere informatieEffectief document- en risicobeheer
Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer
Nadere informatieIteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking
1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde
Nadere informatieBovenIJ ziekenhuis Postadres : Postbus 37610, 1030 BD Amsterdam Bezoekadres: Statenjachtstraat 1, Amsterdam Telefoon : (020) 634 6346
118552 107229 BoveIJ ziekehuis Postadres : Postbus 37610, 1030 BD Amsterdam Bezoekadres: Statejachtstraat 1, Amsterdam Telefoo : (020) 634 6346 Vragelijst Hoofdpij Hoofdpijpoli BoveIJ Ziekehuis Naam: M/V
Nadere informatieFormaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden
Formaliteite bij overlijde Iformatie voor abestaade NFOINFOINFOIN FOINFOINFOINF 2 Ileidig Omdat ee aaste uit uw familie of vriedekrig is overlede e het u moeilijk valt u uw aadacht te richte op de formaliteite
Nadere informatiewww.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014
Equete project Cross Your Borders Pagia 1 va 7 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete project Cross Your Borders juli 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight
Nadere informatieSpecifieke Lerarenopleiding
Specifieke Lerareopleidig www.hubrussel.be/slo ECONOMIE & MANAGEMENT Academiejaar 2011-2012 Aa de slag als leerkracht De Specifieke Lerareopleidig (SLO) richt zich tot toekomstige leerkrachte ecoomie voor
Nadere informatieKoftig Texel & Lesformulier Texel per dag
Koftig Texel & Lesformulier Texel per dag Mica de Jog 0807580 2a DBKV Marlee Aredok Ihoud: Voorbereidig Lesformuliere Koftig Opgestuurde bestad aar Wieeke Voorbereidig Begisituatie: Ik ga erva uit dat
Nadere informatiewww. ROCspiegel.nl Online Evaluatie Instrument
KOM!: 2016-2017 leerlige equête: Pagia 1 va 6 www. ROCspiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Twets Aasluitigsetwerk KOM! 2016-2017 leerlige equête Evaluatieperiode: december 2016 april 2017 ROCspiegel.l Pagia
Nadere informatieOp het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:
Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure
Nadere informatieimtech Arbodienst (versie 2.1)
imtech Arbodiest Vervoer va gevaarlijke stoffe (versie 2.1) veilig e gezod werke imtech arbodiest Wat verstaa we oder het vervoer va gevaarlijke stoffe? Gevaarlijke stoffe zij stoffe die op éé of adere
Nadere informatieAlles wat u moet weten over asbest in en om uw woning
Alles wat u moet wete over asbest i e om uw woig is meestal iet gevaarlijk. Maar waeer da wel? Dat kut u leze i deze folder. We legge uit wat asbest precies is, welke soorte er zij, welke gezodheidsrisico
Nadere informatie