Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Transcriptie

1 KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock

2 Ihoudsopgave 1 Combiatoriek Variaties Permutaties Combiaties Biomium va Newto Multiomiale otwikkelig Het aatal deelverzamelige Voorbeelde Combiatoriek

3 Hoofdstuk 1 Combiatoriek TODO: defiieer ee -tal? e ee combiatie met eige eerst zoder de cotext va combiatoriek? 1.1 Variaties Defiitie 1.1. Ee variatie va p N verschillede elemete uit N elemete (met p ) is ee georded p-tal va verschillede elemete gekoze uit ee gegeve verzamelig va elemete. Stellig 1.2. Het aatal variaties va p elemete uit is gelijk aa V p v. p 1 Vp ( p) Bewijs. We moete ee rij va legte p vorme met elemete. Voor de eerste plaats is er vrije keuze, dus elemete. Voor de tweede plaats is er keuze uit de overgebleve 1 elemete. Voor de i-de plaats is er da keuze uit de overgebleve 1 elemete. er zij dus p 1 ( p) mogelijke maiere om p elemete te kieze uit zoder herhalige. Eigeschap 1.3. V 0 1 e V! Defiitie 1.4. Ee herhaligsvariatie va p N elemete uit N elemete is ee georded p-tal va verschillede elemete gekoze uit ee gegeve verzamelig va elemete. Stellig 1.5. Het aatal herhaligsvariaties va p elemete uit is gelijk aa V p v. V p p Bewijs. Voor elk elemet va het p-tal is er keuze uit elemete. Er zij dus p mogelijke herhaligsvariaties va p elemete uit. 1.2 Permutaties 2

4 HOOFDSTUK 1. COMBINATORIEK 3 Defiitie 1.6. Ee permutatie va N elemete is ee variatie va uit elemete. Opmerkig 1.7. Soms wordt ee permutatie ook beschreve als ee bijectie va ee eidige verzamelig aar zichzelf. Deze oties kome overee i de zi dat de variatie beschreve i bovestaade defiitie ee beschrijvig geeft va de bijectie i de adere defiitie. Defiitie 1.8. Ee herhaligspermutatie va N elemete waarva p i elemete telkes tot soort i behore (met r i1 p i ) is ee georded -tal va elemete waarva de i-de p i elemete telkes tot soort i behore. Stellig 1.9. Het aatal herhaligspermutaties va p elemete uit is gelijk aa P p 1,p 2,...,p r P p 1,p 2,...,p r (! ri1 p i p 1 p 2 p r ). 1.3 Combiaties Defiitie Ee combiatie va p elemete uit is ee deelverzamelig va die elemete. Opmerkig Bij ee combiatie speelt de volgorde va de elemete dus gee rol. Stellig Het aatal combiaties va p elemete uit is C. p ( ) C p! p!( p)! p Bewijs. Het aatal variaties V p va p elemee uit, (waar de volgorde wel ee rol speelt) is teveel. Het is zelfs precies P p keer teveel wat we kue de elemete i het tal og permutere. C p V p! P p p!( p)! Opmerkig Eigeschap ( ) p leze we als kies p. C C 0 1 Eigeschap C p C p

5 HOOFDSTUK 1. COMBINATORIEK 4 Eigeschap De formule va Pascal. C p + C p+1 C p+1 +1 Defiitie Ee herhaligscombiatie va p elemete uit is ee ogeorded p-tal va elemete waarbij herhalig mogelijk is. Opmerkig De otie va ee ogeorded p-tal is ietwat vaag. I feite hebbe we ood aa ee structuur die gee orde oplegt e herhalig va elemete toelaat. Noch ee georded p-tal, och ee verzamelig is hiervoor dus bruikbaar. Stellig Het aatal herhaligscombiaties va p elemete uit is C p. ( ) C p C p + p 1 +p 1 p Biomium va Newto Stellig Het biomium va Newto. (a + b) ( ) a i b i i Defiitie De coëfficiete ( i ) worde daarom ook de biomiaalcoëfficiete geoemd Multiomiale otwikkelig Stellig De multiomiale otwikkelig. k ( ) k x i i1 1 2 i k i1 ki1 i Defiitie De coëfficiete ( ) 1 2 k worde daarom ook de multiomiaalcoëfficiete geoemd Het aatal deelverzamelige Stellig Het aatal deelverzamelige P(V ) va ee verzamelig V is 2 V. Bewijs. Het aatal deelverzamelige va i elemete va V is C i. Het totaal aatal deelverzamelige is da V V. Gebruik u het biomium va ewto met a b 1 om het gezochte Ci V resultaat te bekome. V C i V V ( ) V i V ( V i ) 1 ( V i) 1 i (1 + 1) V 2 V

6 Hoofdstuk 2 Voorbeelde 2.1 Combiatoriek Variaties Voorbeeld 2.1. Het aatal maiere om 4 studete uit 10 aa te duide om 4 verschillede oefeige te make is V Herhaligsvariaties Voorbeeld 2.2. Het aatal verschillede bytes is V 2 8. Permutaties Voorbeeld 2.3. Het aatal maiere om 5 persoe aa ee rode tafel te zette is P 5. Herhaligspermutaties EXTRA: voorbeeld Combiaties Voorbeeld 2.4. Het aatal maiere om ee groepje va 4 studete uit 10 aa te duide is C Voorbeeld 2.5. Het aatal maiere om twee teams va 6 uit 12 spelers te kieze is C 6 12/2. Voorbeeld 2.6. Het aatal maiere om 5 keer hetzelfde aatal oge te gooie met 5 dobbelstee is C 1 6. Voorbeeld 2.7. Het aatal maiere om 4 keer hetzelfde aatal oge te gooie met 5 dobbelstee is C 1 6 C1 5. Herhaligscombiaties EXTRA: voorbeeld 5

7 Bibliografie 6

8 Todo list TODO: defiieer ee -tal? e ee combiatie met eige eerst zoder de cotext va combiatoriek? EXTRA: voorbeeld EXTRA: voorbeeld