Combinatoriek-mix groep 2

Transcriptie

1 Combatore-mx groep Tragsweeed, ovember 0 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te mae met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrj bj het mae va opgave s om et allee de theore de je et goed gebrue, maar om oo zelf de geschte theore te selectere Iducte Bj ee bewjs met volledge ducte bewjs je eerst de bewerg voor ee zeere begwaarde 0 ; dt heet de ductebass Vervolges laat je ze dat ut de bewerg voor ee zeere (de ductehypothese volgt dat hj oo geldt voor + ; dt heet de ductestap Dt moet je late ze voor ele 0 Ut deze twee oderdele volgt u dat de bewerg waar s voor alle 0 Soms hebbe we ee sterere ductehypothese odg om de bewerg te ue bewjze voor +, zoals de aaame dat de bewerg al geldt voor é (tweestapsducte of de aaame bestaat ut geldghed va de bewerg voor álle (stere ductehypothese Houd er bj tweestapsducte reeg mee dat je de ductebass oo de eerste twee gevalle bewjst Ladeprcpe Als je + balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met meer da éé balletje Als je + balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met meer da balletjes Als je oedg veel balletjes verdeelt over lade, da s er mstes éé lade met oedg veel balletjes Bomaalcoëffcëte Deftes: Voor ee geheel getal defëre we! ( (spree ut: -facultet Nu s! het aatal maere om verschllede objecte op ee rj te zette

2 We defëre 0! (Je ut 0 objecte op preces maer op ee rj zette Voor gehele getalle e met 0 e 0 defëre we (!!(! Voor gehele getalle e met 0 e et 0 (dus of < 0 of > defëre we ( 0 Nu s ( s het aatal maere om objecte ut te eze, waarbj de volgorde et utmaat Egeschappe bomaalcoëffcëte (deze egeschappe u je zelf bewjze met behulp va de deftes: Voor gehele getalle e met 0 e 0 geldt ( ( Voor gehele getalle e met e 0 geldt ( Het bomum va Newto: voor gehele 0 geldt (x + y 0 ( x y x + ( x y + (Hererg: voor alle reële getalle x geldt x 0 Toepassg: vul x y, da staat er 0 ( Nog ee toepassg: vul x, y, da staat er (voor > 0 ( ( ( ( + ( + + ( ( x y + + xy + y (Mer op dat er voor 0 aa bede ate was utgeome Ja, oo voor x 0 geldt x 0 Paaseereprcpe Het paaseereprcpe s ee methode om slm te telle de zch bjzoder goed laat llustrere aa de had va ee opgave over het verve va paaseere: Voorbeeld I heb 0 paaseere de wl verve de leure blauw, rood, geel e paars Op hoeveel maere a dat?

3 Oplossg Leg de eere op ee rj e verdeel ze ver groepjes, de evetueel oo leeg moge zj Het eerste groepje verve we blauw, het tweede groepje rood, het derde groepje geel e het verde groepje paars Het aatal maere om de paaseere te verve omt dus overee met het aatal maere om de eere ver groepjes te verdele, waarbj de volgorde va de groepjes utmaat (de verdelg (6, 4, 3, 7 s et hetzelfde als (7, 3, 4, 6 Stel je u als afschedg tusse de groepjes eere hejes voor; je hebt dus dre hejes odg De verdelg (6, 4, 3, 7 zet er u ut als I fete staat her ee rj va 3 symbole, waarva er 0 het symbool 0 zj e 3 het symbool + El zo rj correspodeert met preces éé maer om de eere ver groepjes te verdele Het aatal maere om zo rj te mae s smpelweg het aatal maere om 3 plee te eze ut 3, amelj de 3 plee waar de plusjes ome We cocludere dat het aatal maere om de eere te verve gelj s aa ( 3 3 Opgave Opgave Bewjs dat voor posteve gehele geldt: ( ( ( + Opgave Bewjs dat voor posteve gehele geldt: ( + ( Opgave 3 I ee verat met zjde va legte zj ege pute gegeve Bewjs dat we dre va deze pute ue eze zodat de oppervlate va de drehoe gevormd door deze pute maxmaal s 8 (Je mag zoder bewjs gebrue dat de oppervlate va ee drehoe de geheel be ee a b-rechthoe lgt te hoogste ab s Opgave 4 Het zogeaamde hoceystclemma ludt: voor et-egateve gehele e p geldt: p ( ( + + p + p ( ( + + p + of p + (a Bewjs dt lemma met ducte aar p (b Geef ee combatorsch bewjs va dt lemma door het aatal rjtjes met ee bepaald 3

4 vast aatal ulle e ee bepaald vast aatal ee (hoeveel ulle e hoeveel ee? op twee maere te telle (c Geef og ee tweede combatorsch bewjs va dt lemma door het aatal oplossge (x, x,, x + (met alle x et-egatef geheel va de ogeljhed x + x + + x + p op twee maere te telle (d Waarom heet dt egelj het hoceystclemma? (Het heet oo wel de so va Pascal Opgave 5 Zj S ee deelverzamelg va {,,, 0} zodag dat S gee twee getalle bevat de 3 of 5 verschlle Hoeveel elemete bevat S te hoogste? Opgave 6 Beree 49 ( ( 99 Opgave 7 Laat, m, l gegeve posteve gehele getalle zj Bewjs de volgede geljhed op ee combatorsche maer: ( + m l ( ( m l m(l, max(0,l m ( ( m l Opgave 8 Ee groep va ma-vrouw-pare gaat dere aa ee rode tafel met stoele Als je aar alle mogelje maere jt waarop me a gaa ztte, hoeveel vrouwe ztte er da gemddeld aast hu ege ma? Opgave 9 Dwerge hebbe ver soorte mute: goude, zlvere, broze e opere mute Broze mute zj 0 opere mute waard, zlvere mute 00 e goude mute 000 Stel dat ee dwerg ets wl ope dat 0 opere mute ost Op hoeveel maere a hj dt betale, zoder teveel te betale? Opgave 0 Voor alle et-egateve gehele geldt ( + ( + 6 (a Bewjs deze bewerg met ducte (b Geef ee combatorsch bewjs va deze bewerg door de verzamelg op twee maere te telle {(x, y, z x, y, z {0,,,, }; x < z e y < z } 4

5 Opgave Laat S {,,, 0} Vd het aatal deelverzamelge va S met preces getalle, zodat de som va deze getalle deelbaar s door 4 Opgave Bewjs dat voor et-egateve gehele geldt: (+ Opgave 3 Bewjs dat voor posteve gehele geldt: 0 j0 ( j!j! Opgave 4 Ee voetbalwedstrjd edgt geljspel, zeg We telle het aatal mogelje wedstrjdverlope waarbj de eerste club oot achter heeft gestaa te op zchte va de tweede club? (Ee mogeljhed s AAABBABAABBBAB Bewjs dat er +( va zul soort wedstrjdverlope zj (Dt zj de zogeaamde Catalagetalle 5