In samenwerking met. ECU

Transcriptie

1 I samewerkg met ECU 9 -

2 Leo Strjbosch Makkeljk Lere! Statstek Compedum Studetesupport Studetesupport.l

3 6 Leo Strjbosch & Studetesupport Dowload grats op ISBN Studetesupport Studetesupport.l

4 Ihoudsopgave Ihoudsopgave Grodbegrppe va de kasrekeg Iledg Kasrumte, kasfucte, utkomsterumte, gebeurtes Voorwaardeljke kas e de regel va Bayes Oafhakeljke gebeurtesse De somregel voor kase Combatorek (wskudge rekeregels voor het telle) Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg Populate e aselecte steekproef Stochastsche varabele Kasverdelg Dscrete kasverdelge Cotue kasverdelge Stochastsche vectore, smultae kasdchthed e kasverdelg, oafhakeljke stochastsche varabele Verwachtgswaarde e varate Verwachtgswaarde va ee stochastsche varabele Varate e stadaardafwjkg va ee stochastsche varabele Rekeregels voor verwachtgswaarde e varate Covarate e correlatecoëffcët De wet va de grote aatalle De ogeljkhed va Chebyshev De zwakke wet va de grote aatalle De Cetrale Lmetstellg I samewerkg met ECU 9 -

5 Ihoudsopgave Beschrjvede statstek Klassfcate va varabele Locatemate: modus, (steekproef)gemddelde, medaa Spredgsmate: berek, (steekproef)varate e stadaard-afwjkg, varatecoëffcët Mate voor leare samehag: steekproefcovarate, e steekproefcorrelatecoëffcët Het toetse va ee hypothese Nulhypothese e alterateve hypothese; toetsgsgroothed Obetrouwbaarhedsdrempel, fout va de eerste soort; krteke waarde Overschrjdgskas Ee eevoudg voorbeeld Bomaal verdelge B(,p) Kasverdelg, parameters, verwachtgswaarde e varate Overschrjdgskase Het beadere va ee bomaal verdelg door ee ormale verdelg Put- e tervalschatter Posso verdelge Pos(λ) Kasverdelg, parameter, verwachtgswaarde e varate Overschrjdgskase Het beadere va ee bomaal verdelg door ee Posso verdelg Het beadere va ee Posso verdelg door ee ormale verdelg Put- e tervalschatter W ee ANWB Rjopledg Kom aar oze ope dag op 4 ovember 6 Meer wete? Bel da 8 88 of kjk op awb.l 5 I samewerkg met ECU 9 -

6 Ihoudsopgave Geometrsche verdelge Geo(p) e Negatef Bomaal verdelg NB(r,p) Geo(p): Kasverdelg, parameter, verwachtgswaarde e varate Cumulateve geometrsche kase NB(r,p): Kasverdelg, parameters, verwachtgswaarde e varate Hypergeometrsche verdelge HG(,N,S) Kasverdelg, parameters, verwachtgswaarde e varate Voorbeelde hypergeometrsche verdelg Het beadere va ee hypergeometrsche verdelg Multomaal verdelge Mult(, p,, pr) Kasverdelg, parameters, verwachtgswaarde e varate Uforme (of rechthoekge) verdelge U(a,b) Kasdchthedsfucte, cumulateve verdelgsfucte, parameters,verwachtgswaa rde e varate Epoetële verdelg Ep(λ) Kasdchthedsfucte, cumulateve verdelgsfucte, parameter,verwachtgswaar de e varate Normale verdelg N(μ; σ ) Kasdchthedsfucte, cumulateve verdelgsfucte, parameters,verwachtgswaa rde e varate De stadaardormale verdelg Put- e tervalschatter voor μ, putschatter voor σ Itervalschatter voor σ I samewerkg met ECU 9 -

7 Ihoudsopgave Verdelge gerelateerd aa de ormale verdelg64 χ verdelge ( ch-kwadraat )64 Studet s t verdelge66 Fsher s F verdelge67 Op de ormaalverdelg gebaseerde toetse e betrouwbaarhedstervalle steekproef, σ beked e/of groot; H : μ = μ 69 steekproef, σ obeked e kle; H : μ = μ 7 steekproef, obekede verwachtgswaarde μ; H : σ = σ 7 -steekproeve toets, bekede varates σ e σ y ; H : μ - μ y = d 74 -steekproeve toets, obekede geljke varates σ = σ = σy ; H : μ - μ y = d 75 -steekproeve toets, obekede77 varates σ e σ y ; H : μ - μ y = d 77 Gepaarde steekproeve toets; H : μ - μ y = d 78 steekproeve, obekede verwachtgswaarde μ e μ y, H : σ = σ y 79 Varate aalyse8 Iledg8 k-steekproeve toets, obekede geljke varates; H : μ = = μ k 8 Voorbeeld k-steekproeve toets8 χ - Goodess-of-ft toets83 Toetsgsgroothed e aatal vrjhedsgrade83 Voorbeelde met volledg gespecfceerde theoretsche verdelge83 Voorbeeld met ee theoretsche verdelg met obekede parameters I samewerkg met ECU 9 -

8 Ihoudsopgave A. B. χ - toets voor oafhakeljkhed Cotgetetabelle Voorbeeld cotgetetabelle -cotgetetabelle Fsher s eacte toets voor -cotgetetabelle Voorbeeld Fsher s eacte toets Verdelgsvrje toetse Iledg De ragteke-toets va Wlcoo ( Wlcoo Sged Rak Test ) Voorbeeld ragteke-toets va Wlcoo Wlcoo s ragsom-toets Voorbeeld ragsom-toets va Wlcoo Leare regresse Iledg Het schatte va de regressecoëffcëte β e β Aaames Het schatte va de varate σ Het toetse va de hypothese H : β =b Betrouwbaarhedsterval voor β De correlate- e determatecoëffcët Itervalschattge voor ee dvduele waaremg, gegeve = p, e voor de gemddelde waaremg, gegeve = p Statstsche terme: Egels-Nederlads Overzcht dscrete verdelge I samewerkg met ECU 9 -

9 Ihoudsopgave C. C. C. C3. C4. C5. C6. D. E. Tabelle De cumulateve stadaardormaal verdelg Cumulateve Ch-kwadraat verdelg Studet verdelge: waarde va t df ; α Cumulateve F-verdelg Wlcoo s ragteke-toets Wlcoo s ragsom-toets Notate (selecte) Ide I samewerkg met ECU 9 -

10 Voorwoord Voorwoord Statstek geldt voor veel studete wereldwjd als ee strukelblok. I veel eerstejaars programma s worde, doorgaas omvagrjke, Egelse tekstboeke gebrukt met utvoerge utleg e veel voorbeelde. Dt compedum, met ame bedoeld voor studete ecoome, e socale e medsche weteschappe, beoogt eerste state aast de gebrukte leerboeke hulp te bede door (ee belagrjk deel va de) gebrukeljke stof op compacte e overzchteljke wjze te presetere. Ook het fet dat het ee Nederladse tekst s, ka voor veel studete aatrekkeljk zj. De gebrukeljke statstsche methode e toetse worde a ee korte utleg op ee kookboekachtge wjze gepreseteerd, waarbj doorgaas éé of meer voorbeelde de werkwjze og ees llustrere. De dverse appedces vergrote bovede de toegakeljkhed va de aagebode leerstof. I samewerkg met ECU 9 -

11 Grodbegrppe va de kasrekeg. Grodbegrppe va de kasrekeg. Iledg Statstek gaat over het verkrjge e gebruke va formate de er sprake s va ozekerhed. De modere kasrekeg s gebaseerd op het model va Kolmogorov (933) e de daarva afgelede theoretsche waarschjljkhedsleer. Deze verschaft ee (kas)model voor de stuate dat vergeljkbare oorzake ee aatal verschllede gevolge ka hebbe. Zo kue worpe met ee mut (ook al probere we de maer va werpe geljk te houde) verschllede utkomste oplevere. Voor het modellere va dt soort radom (of: stochastsche) epermete hebbe we ee zg. kasrumte odg. Voor ee algemee beschrjvg troducere we de volgede symbole de vorm va voorbeelde (elemetare kes va de verzamelgeleer wordt beked verodersteld). A B veregg va A e B (alle elemete ut A e/of B) A B doorsede va A e B (alle elemete de zowel A als B ztte) c A complemet va A (alle elemete de et A ztte) A B verschl va A e B (alle elemete de wel A maar et B ztte) A B A s ee deelverzamelg va B (alle elemete ut A ztte ook B) I samewerkg met ECU 9 -

12 Grodbegrppe va de kasrekeg Va Joh Ve (834-93) s het zogeaamde Vedagram afkomstg dat gebrukt ka worde om allerle rekeregels e egeschappe va verzamelge grafsch zchtbaar te make. Deze techek s Fguur. gebrukt om bovestaade egeschappe te verdudeljke. Fguur.: Vedagramme A A A A B A B B B A B A B A B c A A B. Kasrumte, kasfucte, utkomsterumte, gebeurtes Voor ee wskudge beschrjvg va ee radom epermet hebbe we de volgede begrppe odg. Utkomsterumte: De verzamelg va alle mogeljke utkomste va ee radom epermet. We gebruke hervoor het symbool. Het complemet va s leeg e otere we met ; dus c. Utkomst, elemetare gebeurtes: Elk elemet va s ee mogeljke utkomst. Vaak wordt hervoor het symbool gebrukt. Voor s ee elemet va wordt de otate gebrukt (dus: ). Gebeurtes: Deelverzamelge va hete gebeurtesse. Ee kasrumte s ee paar,p bestaade ut ee verzamelg e ee kasfukte P, de aa edere deelverzamelg A ee reëel getal P (A) op het terval [;] toevoegt zodag dat aa de volgede twee aoma s s voldaa. Aoma s kasrumte. P( ) P A P( A de de deelverzamelge A,... va paarsgewjs dsjuct. ) zj (elkaar utslute)., A Twee gebeurtesse A e B hete dsjuct als A B. Voor ee gebeurtes A heet P (A) de kas op A. Ut de twee aoma s kue we (o.a.) de volgede egeschappe aflede. I samewerkg met ECU 9 -

13 Grodbegrppe va de kasrekeg Als A B da P( B A) P( B) P( A) P( A c B) P( A c ) P( A) ; bjzoder geval voor A : P() Als A B da P( A) P( B) A P k k A P P Als A ( ) P A c ( ), de ogeljkhed va Boferro A paarsgewjs dsjuct zj da P( A... A ) P( A )... P( A ) A,..., Ee specaal geval s de stuate dat ee edg aatal elemete bevat, zeg N, de alle met geljke kas voorkome. I dat geval geldt waarbj A het aatal elemete A s. Voorbeeld. Beschouw de verzamelg,,3,4,5,6 A A P( A) 6 P ( ) / N voor edere. Bovede geldt dat A P( A), N. Defeer voor edere deelverzamelg Het paar (, P) s dus ee kasrumte dat model ka staa voor ee worp met ee dobbelstee. Voorbeeld. Beschouw u de verzamelg,,3,4,5,6,,3,4,5,6 deelverzamelg A P( A) 36 A. Defeer voor edere Het paar (, P) staat u model voor twee worpe met ee dobbelstee. De deelverzamelg A (,),(,),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) s de gebeurtes twee geljke oge..3 Voorwaardeljke kas e de regel va Bayes Voor twee gebeurtesse A e B wordt de voorwaardeljke kas op A gegeve B (met P ( B) ) gedefeerd als P( A B) P( A B) P( B) Losjes gezegd s P ( A B) de kas dat A optreedt de we al wete dat B opgetrede s. De vorge defte aders geschreve levert de zogeaamde vermegvuldggsregel (productregel) op: P( A B) P( B) P( A B) P( A) P( B A) 3 I samewerkg met ECU 9 -

14 Grodbegrppe va de kasrekeg Voorbeeld.3 I de fale va het wereldkampoeschap voetbal 6 speelt Italë tege de waar va de halve fale tusse Portugal e Frakrjk. Ee bookmaker schat de kas dat Portugal de halve fale wt op 6%. De kas dat Italë Portugal de fale verslaat wordt geschat op %, terwjl de kas dat Italë Frakrjk de fale verslaat wordt geschat op 3%. De bookmaker bereket, gebruk maked va bovestaade stellg de kas dat Italë de fale wt als volgt P(Italë wt fale) = P(Portugal wt halve fale) P(Italë wt fale Portugal wt halve fale) + P(Frakrjk wt halve fale) P(Italë wt fale Frakrjk wt halve fale) =,6,,4,3 4% Ee gevolg herva s de regel va Bayes P( A B) P( B) P( B A) P( A) 4 I samewerkg met ECU 9 -

15 Grodbegrppe va de kasrekeg Als B,..., B ee zogeaamde dssecte s, d.w.z. als B,..., B paarsgewjs dsjucte deelverzamelge va zj de met elkaar veregd weer vorme (dus B ) e de elk ee posteve kas hebbe ( P( B ),,..., ), da geldt voor edere gebeurtes A A ( A B ) ( voorbeeld heraast s 4 ) B A B B3 e P( A) P( A B ) P( B ) B B4 e, door combate va de vorge resultate, de meer utgebrede vorm va de regel va Bayes P( B A) P( A B ) P( B ) j P( A B ) P( B ) j j.4 Oafhakeljke gebeurtesse Twee gebeurtesse A e B hete oafhakeljk als ( productregel voor kase ) P( A B) P( A) P( B) Equvalet hermee s de voorwaarde P( A B) P( A), dus de kas op A s geljk aa de kas op A gegeve B. Twee gebeurtesse zj oafhakeljk als de kas op de ee gebeurtes et afhagt va de weteschap dat de adere gebeurtes (wel of et) plaats vdt. Voorbeeld.4 We gooe ee rode e ee zwarte dobbelstee. Beschouw de gebeurtesse A: de rode dobbelstee toot ee 6 B: de zwarte dobbelstee toot ee 6 Aageze P( A B) P( A) P( B) zj A e B oafhakeljk. De kas dat de worp met de rode dobbelstee ee 6 oplevert, wordt et beïvloed door het resultaat va de worp met de zwarte dobbelstee. 5 I samewerkg met ECU 9 -

16 I samewerkg met ECU Statstek - Compedum 6 Voorbeeld.5 We gooe ee rode e ee zwarte dobbelstee. Beschouw de gebeurtesse A: de rode e de zwarte dobbelstee geve hetzelfde aatal oge B: het aatal oge va de rode e de zwarte dobbelstee s same Aageze 6 ) ( A P, maar, vawege (6,4) (5,5), (4,6), B, 3 ) ( B A P, zj A e B afhakeljk. De kas op ee geljk aatal oge eemt toe als we wete dat de som va het aatal oge s..5 De somregel voor kase Voor wllekeurge gebeurtesse A e B geldt (somregel) ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P Omdat door de optellg va ) (A P e ) (B P de term ) ( B A P dubbel wordt geteld, moet deze er weer éé keer va worde afgetrokke. Va ee Vedagram ze we ook omddelljk dat ) ( ) ( c c B A P B A P. De somregel voor 3 wllekeurge gebeurtesse A, B e C s ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B A P C B P C A P B A P C P B P A P C B A P Voorbeeld.6 Wat s de kas op mstes éé 6 als we 3 keer met ee dobbelstee werpe? Defeer A als de gebeurtes dat de e worp ee 6 oplevert, e defeer A e 3 A aaloog. Volges de somregel s de gevraagde kas 4% ) ( 3 3 A A A P Vaak kue kase op verschllede maere worde bereked. I dt geval s ee alterateve berekegswjze: % ) ( c c c A A A P. De utgebrede somregel voor wllekeurge gebeurtesse s ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( k j k j j j A P A A A P A A P A P A P Voor de laatste term geldt het plusteke voor oeve, e het mteke voor eve. Voorbeeld.7 We trekke 5 wllekeurge kaarte ut ee stok va 5 speelkaarte. Beschouw de gebeurtes B dat alle kleure oder deze 5 kaarte voorkome. We wlle u ) (B P bepale. Defeer r A als de gebeurtes dat er gee rute voorkomt oder de 5 getrokke kaarte; defeer aaloog s k h A A A,,. Nu geldt ) ( ) ( ) ( s k h r c A A A A P B P B P. Ze verder Voorbeeld.8. Grodbegrppe va de kasrekeg

17 Grodbegrppe va de kasrekeg.6 Combatorek (wskudge rekeregels voor het telle) Er zj!... (, geheel;! ; spreek ut: -facultet ) maere om verschllede objecte te ragschkke. Elk va de maere oeme we ee permutate. Ide et alle objecte r verschlled zj, bjvoorbeeld, er zj deteke objecte va type, met, da s het aatal permutates geljk aa!... r!!... r! De getalle... r oeme we ook multomaal coëffcëte. Ee varate va k objecte ut verschllede objecte s ee groep va k objecte ut deze objecte ee bepaalde volgorde. Het aatal varates va k objecte ut verschllede objecte s! ( k)! 7 I samewerkg met ECU 9 -

18 Grodbegrppe va de kasrekeg Ee combate va k objecte ut verschllede objecte s ee groep va k objecte ut deze objecte. Let wel: volgordeverwsselge be zo groep levere gee adere combate op. Het aatal combates va k objecte ut verschllede objecte s! k k k! ( k)! De getalle oeme we ook bomaal coëffcëte, overeekomed met de multomaal k coëffcëte voor r (ze bove). De zogeaamde drehoek va Pascal (Fguur.) geeft ee ragschkkg va de bomaal coëffcëte de allerle bjzodere egeschappe erva laat ze, zoals, k k k k ;. De top s, e bjvoorbeeld de 3 e rj. Fguur.: De drehoek va Pascal Voorbeeld.8 Vervolg va Voorbeeld.7. Toepassg va de utgebrede somregel geeft P( B) 4 6 4, Ee alterateve berekegswjze geeft 5! ! P( B) P( RRHKS) 4 4,64! ! waarbj P (RRHKS) de kas s dat we achtereevolges twee rute, ee harte, ee klavere e ee schoppe trekke. De factor 5!/! vertegewoordgt alle permutates va RRHKS, terwjl de factor 4 ervoor zorgt dat ook alle mogeljkhede met harte, klavere e schoppe worde meegeome. 8 I samewerkg met ECU 9 -

19 Grodbegrppe va de kasrekeg Ee herhalgscombate va k objecte ut verschllede objecte s ee groep va k objecte ut deze objecte, waarbj elk object meer da éémaal mag voorkome (trekke met terugleggg ). Ook her s allee de samestellg va de groep belagrjk, et de volgorde. Het aatal herhalgscombates va k objecte ut verschllede objecte s k k Tot slot kue we ook og k objecte ut verschllede objecte eme met terugleggg e waarbj de volgorde er wel toe doet. Het aatal mogeljke varates met herhalg dat we zo kue k krjge s. Samegevat: Zoder terugleggg Met terugleggg Ordeg s belagrjk! (varates) ( k)! k (varates met herhalg) Ordeg s obelagrjk (combates) k k (herhalgscombates) k Voorbeeld.9 We trekke 5 kaarte ut ee stok va 5 speelkaarte. De kas dat deze 5 kaarte preces aze bevat, wordt gegeve door ! 48!!! 3! 45! 5! 5! 57! ,3993 4% I samewerkg met ECU 9 -

20 Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg. Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg. Populate e aselecte steekproef Eé va de doelstellge va de statstek s het verkrjge va formate over de werkeljkhed va waaremge aa ekele elemete de formate over de werkeljkhed bevatte. Kemerked, vervolges, s dat we aa de had va de waaremge bewerge wlle doe over de werkeljkhed. Ee eevoudg voorbeeld s de producte va gloelampe. I ee fabrek worde volges ee bepaalde techologe op daartoe otworpe maches gloelampe geproduceerd; de mache wordt op de eerste dag va edere maad opeuw afgeregeld. Me wl wete wat de gemddelde levesduur s va zo gloelamp. Alle gloelampe tezame de de desbetreffede mache tusse gedurede ee maad produceert, oeme we de te oderzoeke populate (a ee maad zou de gemddelde levesduur door gebruk va adere grodstoffe e/of adere machestellge kue veradere). We zulle ee deel va de geproduceerde gloelampe moete late brade tot ze het begeve e per lamp regstrere wat de levesduur s. Hoe precezer we over de gemddelde levesduur ee utspraak wlle doe, des te groter zal het aatal te oderzoeke gloelampe moete zj. De verzamelg va te oderzoeke gloelampe oeme we ee steekproef. Om statstsch veratwoorde utsprake te moge doe, zal de steekproef aselect moete zj, d.w.z. alle de desbetreffede maad geproduceerde gloelampe moete prcpe ee geljke kas hebbe om de steekproef terecht te kome. Het s evdet dat edere euwe steekproef weer tot adere resultate ka lede (de levesdure va gloelampe zj verschlled). Daarom hebbe we de kasrekeg odg om utsprake te kue doe over het werkeljk gemddelde op bass va éé steekproef. I samewerkg met ECU 9 -

21 Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg. Stochastsche varabele Als gegeve s ee kasrumte (, P) da wordt ee stochastsche varabele,, gedefeerd als ee ee fucte op de aa edere utkomst ee reëel getal toevoegt. Ee stochastsche varabele s bedoeld om gebeurtesse te beschrjve. I het voorbeeld va. zoude we dus de volgede stochastsche varabele kue defëre ( {alle maad geproduceerde gloelampe}; P s aaloog aa de va de voorbeelde. e.. levesduur, afgerod op gehele ure, va ee gloelamp de me deze cotu laat brade bj kamertemperatuur Deze defte maakt metee dudeljk dat dt verbad ook adere stochastsche varabele gedefeerd kue worde; bjvoorbeeld, hoewel mder relevat: de grootste dameter va het glas va de gloelamp. Aa de steekproefelemete wordt dus ee of adere (auwkeurg omschreve) egeschap gemete de we utdrukke ee getal. I dt geval zoude we geïteresseerd kue zj de kas op de gebeurtes 5, m.a.w. hoe groot s de kas dat de levesduur va ee gloelamp lgt tusse 95 e 5 uur. Voor stochastsche varabele zulle dt boek doorgaas hoofdletters als (bjvoorbeeld, Y, Z) worde gebrukt ( sommge boeke zet me ook ee otate met oderstreepte klee letters zoals, y, z )..3 Kasverdelg Bj de statstsche aalyse, vervolges, veroderstelt me vaak dat de mogeljke waarde va zo stochastsche varabele worde vastgelegd door ee bepaalde kasverdelg de preces beschrjft met welke kas de stochastsche varabele,, waarde aaeemt ee wllekeurge verzamelg A R (R s de verzamelg va reële getalle); deze kas otere we da met P (A), of P( A). De kasverdelg moet me meestal opvatte als ee model voor de werkeljke verdelg, de me mmers et ket. Altjd geldt uteraard P ( A). De bedoelg va de statstsche aalyse, vervolges, s da om utsprake te doe over de parameter(s) de de theoretsche kasverdelg bepale. Veel gebrukte modelle zj de bomaal verdelg (Hoofdstuk 7) met parameters e p, e de ormale verdelg (Hoofdstuk 4) met parameters e. Utsprake over ee parameter va ee bepaalde kasverdelg hebbe de vorm va Het schatte va de waarde va de parameter Het toetse va ee hypothese over de parameter Het bepale va ee betrouwbaarhedsterval voor de parameter.4 Dscrete kasverdelge Ee stochastsche varabele,, heet dscreet als deze slechts ee edg aatal of aftelbaar veel waarde ka aaeme (bjvoorbeeld: ee waarde ut,,3,4,5,6,7,8,9,, ut,,,3,...,, of ut,/,/ 3,/ 4,... ez.). De kasverdelg va ee dscrete stochastsche varabele de waarde ka aaeme ut de verzamelg K, wordt volledg bepaald door de kase p( k) P( k). De fucte, I samewerkg met ECU 9 -

22 Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg p, de aa edere mogeljke waarde va ee getal ut het terval [ ; ] toevoegt, zodag dat kk p ( k) =, oeme we ee kasfucte. De kas dat ee waarde aaeemt ut de verzamelg A K wordt gegeve door P ( A) P( A) P( k) k A I het bjzoder geldt F( ) P( ) a ; a K P( a) P( ) e, aaloog, P( ) a ; a K P( a) F ( ) waarbj F () de kasverdelg (meer volledg: de cumulateve (kas)verdelg(sfucte)) s va. Ut de defte va F () volgt dat deze ee et-dalede fucte s va op het terval ;. Voorbeelde va dscrete kasverdelge worde besproke de Hoofdstukke 7 t/m. Overges wordt plaats va de otate P (A) e F () vaak eevoudgweg P(A) e F (), respecteveljk, geschreve, mts dat et tot verwarrg ledt..5 Cotue kasverdelge De cumulateve verdelgsfucte va ee cotue stochastsche varabele,, wordt bepaald door de zogeaamde (kas)dchthed(sfucte), f (), volges P ( A) f ( ) d, ( A R) A I het bjzoder geldt atuurljk b P ( a b) f ( ) d a e, voor de cumulateve verdelgsfucte, F ( ) f ( ) d I samewerkg met ECU 9 -

23 Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg Voor ee cotue stochastsche varabele,, geldt P ( ) zodat P( ) P( ). Nuttge rekeregels zj og P( ) P( ) F( ) F( ) P( ) P( ) F( ) F( ) Voorbeelde va cotue kasverdelge kome aa bod Hoofdstukke t/m 6..6 Stochastsche vectore, smultae kasdchthed e kasverdelg, oafhakeljke stochastsche varabele I veel oderzoeke spele meer da éé varabele tegeljkertjd ee rol. Op dezelfde kasrumte (, P) worde da verschllede stochastsche varabele, t/m k, gedefeerd. De combate va deze stochastsche varabele s de stochastsche vector,..., ) ( k 3 I samewerkg met ECU 9 -

24 Populate; Steekproef; Stochastsche varabele; Kasverdelg Als voorbeeld ka me deke aa alle op --6 geregstreerde Nederladers waarbj gewcht gram, legte cm, etc. Bj statstsche aalyses s da de gezameljke (cumulateve) kasverdelg, F,..., ) P(... ), va relevat (het k (,..., k k k symbool staat voor é ). Als spreke we over ee bvarate cumulateve kasverdelg. De cumulateve kasverdelge F ) oeme we dt verbad de margale cumulateve ( kasverdelge. De vector s allee ee k-dmesoale cotue stochastsche varabele als ee fucte f,..., (,..., ) k k de zogeaamde gezameljke kasdchthedsfucte, bestaat zodag dat k,..., (,..., k )... f (,..., ),..., u k k uk du F... du k Als allee dscrete varabele bevat da oeme we f,..., ) P(... ) k (,..., k k k de gezameljke dscrete kasdchthedsfucte e ee afzoderljke kasfucte f ) ee margale kasfucte dt verbad. Twee stochastsche varabele, e Y, zj oafhakeljk als de gebeurtesse oafhakeljk zj, d.w.z. als P( A Y B) P( A) P( Y B) ( A e Y B voor alle mogeljke verzamelge A R e B R. Dt begrp va oafhakeljkhed s op ee voor de had lggede wjze ut te brede aar meer da stochastsche varabele. 4 I samewerkg met ECU 9 -

25 Verwachtgswaarde e varate 3. Verwachtgswaarde e varate 3. Verwachtgswaarde va ee stochastsche varabele Ee zeer belagrjk begrp de statstek s de verwachtgswaarde (ook wel: verwachtg) va ee stochastsche varabele. Voor ee dscrete varabele,, s de verwachtgswaarde, (of E ( ) ), gedefeerd door E ( ) k p ( k) k K als p de kasfucte va s, e K de verzamelg va alle mogeljke waarde de ka aaeme. Voor ee cotue varabele,, s de verwachtgswaarde,, gedefeerd door E( ) f ( ) d als f de kasdchthedsfucte s va. Bede otates, E ( ) e, worde door elkaar gebrukt ( E s ee afkortg va Epected value ). De verwachtgswaarde s op te vatte als ee gewoge gemddelde va de mogeljke waarde va waarbj de gewchte bepaald worde door de kas(dchtheds)fucte: waarde de met ee grotere kas voorkome krjge ook ee groter gewcht de verwachtgswaarde. I plaats va verwachtgswaarde va wordt ook wel gesproke over het gemddelde va of zelfs het gemddelde va de kasverdelg va. De verwachtgswaarde va geeft aa waar het cetrum va de kasverdelg s gelocalseerd. Voorbeeld 3. Ee zuvere dobbelstee wordt gekemerkt door geljke kase op elk va de resultate,,3,4,5, of 6 va ee worp. De verwachtgswaarde va het aatal oge a ee 6 worp s derhalve k / 6 3,5. k Voorbeeld 3. Stel dat de kasdchthed va ee cotue stochastsche varabele s gedefeerd door f ( ) voor, 5, e f ( ) elders. Da geldt d,5.,5,5 3. Varate e stadaardafwjkg va ee stochastsche varabele De varate, (of Var ( ) ), va ee stochastsche varabele,, s ee maat voor de spredg. I woorde s de varate de verwachtgswaarde va het gekwadrateerde verschl tusse e. De defte s ( ) E E( ) E( ) Var( ) E (Merk op dat de laatste utwerkg de belagrjke egeschap dscrete varabele geldt ( p e K als 3.) E ( ) laat ze.) Voor ee 5 I samewerkg met ECU 9 -

26 Verwachtgswaarde e varate k K Var ( ) ( k ) p ( k) Voor ee cotue varabele geldt ( f als 3.) Var( ) ( ) f ( ) d Dat de varate ee spredgsmaat s, bljkt ut de wegg va de gekwadrateerde verschlle (va met zj verwachtgswaarde) met de correspoderede kas(dchthed). Ee hadger spredgsmaat s de stadaardafwjkg omdat deze s utgedrukt dezelfde eehed als de va de varabele. De stadaardafwjkg,, va ee stochastsche varabele s gedefeerd door Var ( ) dus als de posteve wortel va de varate. 6 I samewerkg met ECU 9 -

27 Verwachtgswaarde e varate Voorbeeld 3.3 Vervolg va voorbeeld 3.. De varate va s k ( k 3,5) / 6, 97 ; e,78. 6 Voorbeeld 3.4 Vervolg va voorbeeld 3.. De varate va s 3 3,75 (,5) / 3, 79 3 (,5),5 d (,5) / 3 ; e, Rekeregels voor verwachtgswaarde e varate Voor de som va ee aatal stochastsche varabele t/m E E( ) geldt algemee m.a.w., de verwachtgswaarde va de som s de som va de verwachtgswaarde. De varate va de som va ee aatal stochastsche varabele s echter allee geljk aa de som va de afzoderljke varates als t/m Var Var oafhakeljk zj, dus ( ) mts E... ) E( )... E( ) ( (ze.6 voor oafhakeljkhed va stochastsche varabele). Verwachtg e varate va ee leare trasformate E( a b) ae( ) b Var( a b) a Var( ), e dus a b a a b s gegeve door De tweede vergeljkg maakt dudeljk dat optellg met ee costate voor de varate va ee stochastsche varabele gee verschl maakt. 7 I samewerkg met ECU 9 -

28 Verwachtgswaarde e varate 3.4 Covarate e correlatecoëffcët De (populate)covarate, Cov (, Y ), e de (populate)correlatecoëffcët,, Y, zj twee belagrjke groothede voor de mate waar twee stochastsche varabele, e Y, ee leare relate met elkaar hebbe (ee specale vorm va afhakeljkhed). De deftes zj Y ( )( Y Y ) E( Y Y Cov(, Y ) E ), Y Cov(, Y ) Y Ee bjzoder geval s Cov(, ) Var( ). De covarate s als e Y oafhakeljk va elkaar zj (mmers da s E( Y ) ). De correlatecoëffcët heeft altjd ee waarde Y tusse e. Als, da hebbe e Y ee posteve leare relate. Als, Y da hebbe e Y ee egateve leare relate. De leare relate s perfect als., Y Y De varate va de som va twee stochastsche varabele, e Y, s Var( Y ) Var( ) Var( Y ) Cov(, Y) Bj oafhakeljkhed va e Y valt de laatste term atuurljk weg. Voorbeeld 3.5 We gooe ee rode e ee zwarte dobbelstee. s het aatal oge va de rode, e Y va de zwarte dobbelstee. We bepale de covarate e correlatecoëffcët tusse e Z Y. Daarvoor hebbe we odg E( ) 3,5 zodat E( Z) Var( Var( Z) ) k ( k) / ,5 6 E( Z),97 6 ( k) / 36 7 k 5,833 6 ( k) / 36 7, 47 k e Cov(, Z) E( Z) 7,47 3,5 7,97 Z,,97 /,975,833,78 Z 8 I samewerkg met ECU 9 -

29 De wet va de grote aatalle 4. De wet va de grote aatalle 4. De ogeljkhed va Chebyshev Voor ee stochastsche varabele met verwachtgswaarde e varate geldt P of, equvalet, k, ( k ) k P k k Dus, bjvoorbeeld, de kas dat ee waarde aaeemt de mder da keer zj stadaardafwjkg verwjderd s va zj verwachtgswaarde, s groter da,75. Dt s de ogeljkhed va Chebyshev. Het bjzodere va deze ogeljkhed s dat formate over de vorm va de kasverdelg va et odg s; het geldt dus voor edere mogeljke kasverdelg. 9 I samewerkg met ECU 9 -

30 De wet va de grote aatalle 4. De zwakke wet va de grote aatalle Met behulp va (ee meer algemee vorm va) de ogeljkhed va Chebyshev ka beweze worde dat het gemddelde (het steekproefgemddelde, ze 5.) va ee aselecte steekproef,, met de obekede verwachtgswaarde,, wllekeurg dcht beaderd ka worde door (dus de steekproefomvag) groot geoeg te make. Formeler: voor wllekeurge waarde va e bestaat er ee geheel getal m zodag dat voor alle gehele getalle m geldt P Dt heet de zwakke wet va de grote aatalle. I het bewjs herva bljkt dat. Voorbeeld 4. Stel dat va de obekede kasverdelg va het gemddelde obeked s, maar de stadaardafwjkg beked,. Als we u met ee aselecte steekproef zo auwkeurg wlle schatte dat de kas op ee absoluut verschl va mder da, 5 mmaal 9% s (dus, ) da det de steekproefomvag mmaal 4 /(,5,) 6 te zj. Merk op dat als de kasverdelg beked s met ee kleere steekproefomvag ka worde volstaa. 4.3 De Cetrale Lmetstellg De cetrale lmetstellg (CLS) s éé va de meest belagrjke stellge ut de kasrekeg. Deze stellg bedt os ee beaderg va de kasverdelg va ee steekproefgemddelde, e ludt: Als,..., ee rj va elkaar oafhakeljke e geljkverdeelde stochastsche varabele zj met verwachtgswaarde e varate, da covergeert de kasverdelg va Z E( ) Var( ) / aar de kasverdelg,, va ee stadaardormaal verdeelde varabele (ze 4.). Merk op dat Z verkrege wordt door het gemddelde stadaardsere, d.w.z. we vermdere va de stochaste t/m te met zj verwachtgswaarde, e dele het resultaat door zj stadaardafwjkg. We kue va dt resultaat op dverse maere gebruk make om bepaalde kase te beadere m.b.v. de lmetverdelg. 3 I samewerkg met ECU 9 -

31 De wet va de grote aatalle Kase m.b.t. het gestadaardseerde gemddelde: a Z b ( b) ( a) P Kase m.b.t. het gemddelde: P( a b a b) / / Kase m.b.t. de som: b a b P a Het opmerkeljke va de CLS s dat gee ekele voorwaarde wordt gesteld met betrekkg tot de vorm va de kasverdelg va ; dus ook voor etreme verdelge geldt de stellg. Het volgede voorbeeld llustreert dt. Voorbeeld 4. Zj ee stochast de gegeve s door P ( ) P( ), 5. Dek bjvoorbeeld aa de worp met ee mut waarbj aa de utkomste kop e mut respecteveljk de getalle e worde gekoppeld. Uteraard geldt,5,5 e E( ). Stel we gooe (op oafhakeljke wjze) keer met de mut e regstrere met t/m de bjbehorede resultate. Beschouw de (steekproef)verdelg va. Het bljkt dat, bjvoorbeeld, P ) P( ) / 4 ; P( ) / 4 ( P ) P( ) /8; P / 3) P( / 3) 3/ 8 ( 3 3 ( 3 3 P ) P( ) /6 ; P / 4) P( / 4) 4 / 6 ; P( 4 ) 6 / 6 ( 4 4 ( 4 4 Fguur 4. laat ter llustrate voor de waarde, 6, e5 de kasverdelg ze va Z E( ) Var( ) / 3 I samewerkg met ECU 9 -

32 De wet va de grote aatalle Fguur 4.: Illustrate va de Cetrale Lmetstellg (Voorbeeld 4.) 3 I samewerkg met ECU 9 -

33 Beschrjvede statstek 5. Beschrjvede statstek 5. Klassfcate va varabele Waeer me stochastsche varabele of, aaloog, steekproefgegeves gaat beschrjve, det me rekeg te houde met het karakter erva. Me oderschedt achtereevolges omale, ordale, terval e rato varabele. Bj omale varabele oderschede de mogeljke waarde zch allee door de aam; voorbeelde zj polteke voorkeur, relge, soort auto e.d. Het kemerkede va deze varabele s dat de mogeljke waarde erva et eedudg zj te ordee. Ee stapje hoger de hërarche zj de ordale varabele; deze oderschede zch va de omale varabele doordat de afzoderljke waarde wel eedudg zj te ordee; voorbeelde zj mate va tevredehed of product kwaltet (met veaus: utsteked, goed, matg, slecht) e.d. Iterval varabele kemerke zch door de egeschap dat het verschl tusse twee mogeljke waarde va zo varabele op de getallerechte ook echt betekes heeft; hercoderg va ee tervalvarabele door ee leare trasformate veradert de betekes va de varabele et wezeljk. Ee klassek voorbeeld s temperatuur. Deze wordt gemete grade Fahrehet (F), Celsus (C) of Kelv (K); hoewel deze temperatuurschale ee verschlled ulput hebbe e de éé ee leare trasformate s va de ader ( F 3, 8C, K 73 C ) beschrjve ze dezelfde formate over de temperatuur. De rato varabele s de hoogste hërarche: bj zo varabele bedt ook de afstad tot zvolle formate zodat ook de verhoudg va twee waarde betekes heeft; voorbeelde zj gewcht, leeftjd, e.d. 5. Locatemate: modus, (steekproef)gemddelde, medaa Beschrjvede statstek houdt zch bezg met het samevatte va de egeschappe va ee kasverdelg of (meestal) va steekproefgegeves éé of ekele getalle (mate), tabelle of grafeke. Bj samevattg getalle odersched me grofweg mate voor locate e spredg ( 5.3). Locatemate zegge wat over waar het cetrum va de verdelg zch bevdt (gelocalseerd s). De eg zvolle locatemaat voor omale varabele s de modus: de waarde (of de waarde) de het meest frequet voorkome. Bj ordale varabele ka daaraast ook de medaa gebrukt worde als locatemaat; deze legt vast voor welke waarde geldt dat 5% va de verdelg (of va de steekproefgegeves) kleer s (e dus ook 5% groter). Volges ee gebrukeljke defte s de medaa va ee rj geordede waarde,..., gegeve door ( )/ als oeve s, e ( ) / / / voor eve. Het gemddelde va ee rj waarde,..., s. Als,..., de waarde zj ut ee steekproef da oeme we het steekproefgemddelde. Modus, medaa e gemddelde zj zvolle mate voor terval e rato varabele. Voorbeeld 5. Beschouw de volgede steekproef ut de kasverdelg va ee tervalvarabele:, 8, 7, 8,, 8. De modus geljk s aa 8; de steekproefomvag s 6, zodat de medaa geljk s aa het gemddelde va de 3 e e 4 e waaremg de georded aar grootte, dus ( 7) / 4,5. Het steekproefgemddelde s atuurljk83 / I samewerkg met ECU 9 -

34 Beschrjvede statstek Merk op dat locate- e spredgsmate va stochastsche varabele vaak kue worde utgedrukt de parameters va de bjbehorede kasverdelg (ze Hoofdstukke 7 t/m 5); aders dee techeke zoals 3. e 3. gebrukt te worde. 5.3 Spredgsmate: berek, (steekproef)varate e stadaardafwjkg, varatecoëffcët Spredgsmate zj allee zvol voor de kwattateve terval e rato varabele. Zj hebbe als doel om aa te geve welke mate de waarde va ee verdelg of steekproef uteelope. Daartoe worde verschedee mate gebrukt. De eerste, voor de had lggede, maat s het berek gedefeerd als het verschl tusse de grootste e de kleste waarde (waaremg). Bj veel verdelge s het berek oedg e s dus obrukbaar; bj steekproeve s deze maat erg gevoelg voor utscheters (etreme waaremge; utbjters), hetgee ee oweseljke egeschap s. Geschkter zj mate de gebaseerd worde op kwartele, of op verschlle met het gemddelde. Me odersched 3 kwartele: het e, e e 3 e kwartel, vaak geoteerd als respecteveljk Q, Q, e Q3. Het e kwartel s hetzelfde als de 5. gedefeerde medaa; het e (3 e ) kwartel s de medaa va alle waarde of waaremge kleer (groter) da het e kwartel. De 3 kwartele spltse dus de steekproefgegeves of de verdelg 4 kwarte va elk 5%. De zogeaamde terkwartelafstad s het verschl tusse het 3 e e het e kwartel: Q3 Q. De meest gebrukte spredgsmaat s de stadaardafwjkg ( 3.). I de ogeljkhed va Chebyshev ( 4.) speelt deze ee promete rol: bjvoorbeeld de kas dat ee waaremg verder da 3 verwjderd s va de verwachtgswaarde,, s kleer da /9. Bj ee aselecte steekproef,..., reket me aast het steekproefgemddelde meestal ook de steekproefvarate, formule daarvoor s s s,ut. De De (posteve) wortel herut heet de steekproefstadaardafwjkg. Merk op dat de laatste geljkhed de zogeaamde rekeformule voor de steekproefvarate s; soms s deze hadger da de defteformule. Als utscheters ee steekproef gedefeerd worde als waaremge de verder verwjderd zj va het steekproefgemddelde da 3 keer de steekproefstadaardafwjkg, da geldt ook dat we oot meer da /9 utscheters ee steekproef zulle aatreffe. Als me, tot slot, de spredg wl vergeljke tusse verschllede verdelge, of steekproeve, da gebrukt me vaak de zogeaamde varatecoëffcët (met Grekse letter ( u ) als symbool). Dt s ee dmeseloze groothed de otstaat door de stadaardafwjkg te dele door het correspoderede gemddelde; dus /. 34 I samewerkg met ECU 9 -

35 Beschrjvede statstek 5.4 Mate voor leare samehag: steekproefcovarate, e steekproefcorrelatecoëffcët De covarate, Y, e de correlatecoëffcët,, Y, tusse twee stochastsche varabele, e Y, (ze 3.4) kue geschat worde op bass va ee gepaarde steekproef (, y),...,(, y). De volgede formules geve respecteveljk de steekproefcovarate, s y, e de steekproefcorrelatecoëffcët, r y : s y ( )( y y) y y r y sy s s y De laatste geljkhed de formule voor s y bevat weer de rekeformule. 35 I samewerkg met ECU 9 -

36 Het toetse va ee hypothese 6. Het toetse va ee hypothese 6. Nulhypothese e alterateve hypothese; toetsgsgroothed I de komede hoofdstukke zulle verschedee toetsprocedures de revue passere. Her bespreke we het algemee raamwerk voor het toetse va ee hypothese. Ee toetsprocedure stelt os staat om (oder zeker omstadghede) a te gaa of ee bepaalde bewerg of ee bepaald vermoede (waarschjljk) just s op bass va steekproefgegeves. Ee volledge toetsprocedure omvat de volgede stappe e redeerge: Ee oderzoeker formuleert ee bewerg met betrekkg tot ee obekede parameter, zeg, va ee kasverdelg, bjvoorbeeld de proporte, p, va de elemete va ee populate de voldoe aa ee bepaalde egeschap, of het gemddelde,, va ee populate, ezovoorts. Deze bewerg oemt me de oderzoekshypothese, e vdt me de toetsprocedure terug als de zogeaamde alterateve hypothese, aagedud met H (we ze ook wel: H a ). We oderschede meestal 3 mogeljke alterateve hypothese: H :, H :, e H : ; deze hypothese oeme we respecteveljk tweezjdg, (lks)eezjdg e (rechts)eezjdg. We zj slechts echter bered erva ut te gaa dat de alterateve hypothese just s als de steekproefgegeves sterke aawjzge bevatte de rchtg. We gebruke daarvoor ee zogeaamde toetsgsgroothed de ee fucte s va de steekproefgegeves ut ee aselecte steekproef e waarva we de (evetueel beaderede) kasverdelg kee oder de bjzodere veroderstellg dat. We oeme H : de ulhypothese. Dus kortom: als de waarde va de toetsgsgroothed ee cocreet steekproefoderzoek ee etreme waarde aaeemt de kasverdelg va de toetsgsgroothed oder H da verwerpe we de ulhypothese te guste va de alterateve (oderzoeks)hypothese. 6. Obetrouwbaarhedsdrempel, fout va de eerste soort; krteke waarde Afhakeljk va het type alterateve hypothese moet me.h.a. voor etreem leze respecteveljk: etreem kle of etreem groot (bj H : ), etreem kle (bj H : ), of etreem groot (bj H : ). Vaaf welke waarde ee toetsgsgroothed etreem geoemd mag worde, hagt af va ee afspraak de we vòòr de utvoerg va de toets wlle make te aaze va de kas dat we, odaks dat H waar s, toch de ojuste beslssg eme om H te verwerpe. Deze kas, de zogeaamde obetrouwbaarhedsdrempel of fout va eerste soort, s typsch kle, e wordt aagedud met de Grekse letter. Ee zeer gebrukeljke waarde voor s,5. Op bass va deze, het type alterateve hypothese, e de kasverdelg va de toetsgsgroothed oder H kue we de zogeaamde krteke waarde() bepale. Als de waarde va de toetsgsgroothed etremer s da deze krteke waarde() da s de edcocluse va het oderzoek: verwerp H, e aders: verwerp H et. De aamgevg fout va eerste soort suggereert dat er ook ee fout va de tweede soort s; dat s de kas dat we de ulhypothese te orechte et verwerpe. Deze kas ka ee cocreet geval 36 I samewerkg met ECU 9 -

37 Het toetse va ee hypothese allee worde bepaald de de alterateve hypothese verder gespecfceerd wordt. We late de detals her achterwege e verwjze aar de dverse tekstboeke. 6.3 Overschrjdgskas Zeer gebrukeljk (met ame door statstsche softwarepakkette) s om het resultaat va ee toetsprocedure te presetere als ee zogeaamde overschrjdgskas. Dt s de kas om, gegeve dat H waar s, op bass va ee aselecte steekproef ee waarde va de toetsgsgroothed te vde de geljk s aa of òg etremer s da de reeds gevode waarde het oderzoek. Deze overschrjdgskas oeme we ook wel de p-waarde. De algemee regel aagaade het doe va ee utspraak over H s da: Verwerp H als de p-waarde kleer s da (e aders et). Softwarepakkette presetere doorgaas de overschrjdgskas de hoort bj ee tweezjdge alterateve hypothese. Het s da eve oplette hoe deze formate gebrukt det te worde om ee utspraak te doe geval va ee éézjdge alterateve hypothese. 6.4 Ee eevoudg voorbeeld Me vertrouwt de zuverhed va ee bepaalde dobbelstee et, met ame vermoedt me dat de relateve frequete, p, va het aatal zesse hoger lgt da de gebrukeljke /6. Me wl ee oderzoek daartoe met ee obetrouwbaarheddrempel va %. Voor het oderzoek formuleert me de hypothese: H : p / 6 vs. H : p / 6 ;, Het oderzoek zal bestaa ut worpe (me schat dat deze steekproefomvag geoeg s) met de desbetreffede dobbelstee. We regstrere da het aatal zesse de worpe, e dude het resultaat aa met de stochastsche varabele. Als toetsgsgroothed kue we eme of ook / ; we eme echter als toetsgsgroothed: Om de toets te kue utvoere dee we de kasverdelg va te kee oder H, d.w.z. als p / 6. heeft da ee zogeaamde bomaal verdelg met parameters e p / 6 (ze Hoofdstuk 7). Nu wete we geoeg om de toets ut te voere e voere zorgvuldg de worpe ut. Het resultaat s (bjvoorbeeld):, 6, 5, 4, 6, 6,, 6,, 4, 4, 5,,, 5, 4,, 6, 4, 6 De waarde va de toetsgsgroothed s dus I samewerkg met ECU 9 -

38 Het toetse va ee hypothese De overschrjdgskas s P( 6 p / 6) 6 6 6, De krteke waarde lgt bj 9 (aageze P ( 8 p / 6),, e P ( 9 p / 6),3 ). Het resultaat va de toets s : verwerp H et omdat de waarde va de toetsgsgroothed et het krteke gebed ( 9 ) lgt, of, alteratef, omdat de overschrjdgskas groter s da,5; op bass va dt oderzoek s er ovoldoede bewjs dat de desbetreffede dobbelstee et zuver s. W ee ANWB Rjopledg Kom aar oze ope dag op 4 ovember 6 Meer wete? Bel da 8 88 of kjk op awb.l 38 I samewerkg met ECU 9 -

39 Bomaal verdelge B 7. Bomaal verdelge B(,p) 7. Kasverdelg, parameters, verwachtgswaarde e varate De utkomste va ee kasepermet met slechts mogeljke utkomste worde vaak geoteerd als respecteveljk S (succes) e F (falure) met P( S ) p e P( F ) q p ; ee voorbeeld s het opgooe va ee mut met mogeljke utkomste S kop e F mut, e p. 5 (mts de mut zuver s, e de worp voldoede wld ). We oeme zo epermet meestal ee bomaal (of: Beroull) epermet. Het keer op oafhakeljke wjze herhale va zo epermet geeft mogeljke utkomste (,..., ) waarbj S, F, =,,. Het aatal utkomste waarbj de dvduele bomaal epermete totaal k successe oplevere, s de bomaalcoëffcët. De kas dat het aatal kere succes, Y, geljk s aa k, P( Y k), s u geljk aa k k k P( Y k) p ( p), k {,,..., }; p k Ee bomaal verdelg wordt dus gekemerkt door twee parameters, e p. Als de kasverdelg va ee stochastsche varabele Y ee bomaal verdelg s da schrjve we Y ~ B(, p) Voorbeeld 7. Ee studet maakt zoder voorberedg ee multple choce toets bestaade ut vrage ( ) va elk 4 alterateve waarva er slechts just s ( p / 4 ). Hj gokt alle atwoorde. Ee voldoede verest goede atwoorde. Als Y het aatal correcte atwoorde s, s de kas dat hj ee voldoede scoort geljk aa k k,5,75 k k,394 Voorbeeld 7. We gooe 5 dobbelstee. De kas op temste 3 geljke oge vde we bjvoorbeeld door de kase op preces 3, 4 e 5 ée op te telle e met 6 te vermegvuldge ,3 Voorbeeld 7.3 We gooe 4 dobbelstee. De kas op temste geljke oge s te vde volges hetzelfde prcpe als Voorbeeld 7., hoewel egszs aagepast om dubbeltellge te voorkome: (4,5) ,7 39 I samewerkg met ECU 9 -

40 Bomaal verdelge B I plaats va 5 schrjve we 4+,5 omdat te voorkome dat bjvoorbeeld de combate dubbel wordt geteld. Ee veel eevoudgere maer (de Voorbeeld 7. et werkt) s (ze ook.6): !/! 3, Belagrjke karaktersteke va ee bomale varabele Y ~ B(, p) zj verwachtgswaarde varate stadaardafwjkg p p ( p) p q p q 7. Overschrjdgskase Als we beschkke over ee aselecte steekproef,..., ut ee populate waar ee fracte p va de elemete ee bepaalde egeschap heeft da heeft het aatal elemete, Y, de steekproef met de desbetreffede egeschap ee bomaal verdelg met parameters e p. Stel dat ee cocreet epermet Y k. Als p obeked s da s (afhakeljk va de stuate) het toetse va ee dretal ul- e alterateve hypothese teressat. Oderstaade tabel vermeldt deze met de bjbehorede overschrjdgskase; herbj s Y B(, ). ~ p H H p p, of: p p p p p, of: p p p p p p p Overschrjdgskas k p P Y k p p ) ( k ) p PY k p ( p A p ( p), A j P( Y j) P( Y k) Ee ulhypothese wordt verworpe met obetrouwbaarhedsdrempel, de de overschrjdgskas kleer s da. Voorbeeld 7.4 De producet va ee mache de mcrochps produceert, beweert dat te hoogste 5% va de geproduceerde chps obrukbaar zj. Stel dat er va de eerste geproduceerde chps 6 defect zj. De vraag of er op grod herva rede s om aa te eme dat de producet gee geljk heeft, kue we beatwoorde va het toetse va H : p. 5 vs. H : p. 5. De bjbehorede overschrjdgskas s,5,85 5,5,85, Bj ee obetrouwbaarhedsdrempel. 5 kue we de ulhypothese dus et verwerpe (bj. atuurljk wel). 4 I samewerkg met ECU 9 -

41 Bomaal verdelge B 7.3 Het beadere va ee bomaal verdelg door ee ormale verdelg Oder zekere voorwaarde ka me ee bomaal verdelg beadere door ee ormale verdelg. Meestal stelt me als voorwaarde dat zowel p 5 als q 5, of ook wel dat het terval [ p 3 pq; p 3 pq] geheel lgt het terval [ ; ]. Cumulateve bomaal kase worde da als volgt beaderd ( s de cumulateve dchthedsfucte va de stadaardormale verdelg): k,5 p P( Y k), e pq k,5 p P( Y k) pq Ee gevolg herva s k,5 p k,5 p P( Y k) P( Y k) P( Y k ) pq pq Het optelle, respecteveljk aftrekke, va,5, wordt ook wel cotuïtetscorrecte geoemd. 4 I samewerkg met ECU 9 -

42 Bomaal verdelge B Fguur 7. llustreert de beaderg va ee bomaal verdelg met parameters 35 e p, door ee ormale verdelg met parameters p 7 e p( p) 5, 6. Fguur 7.: Normale beaderg va ee bomaal verdelg Voorbeeld 7.5 Vervolg va Voorbeeld 7.4. Na twee weke heeft de mache chps geproduceerd waarva er 4 defect bljke te zj. Aageze het terval [5,3; 54,7] geheel be [; ] lgt, s ee ormale beaderg veratwoord. De overschrjdgskas bj het toetse va H : p, 5 vs. H : p, 5 wordt als volgt bepaald 4,5,5 ( 4) P Y (,88),97,3,5,85 Ide, 5 kue we de ulhypothese u verwerpe. 7.4 Put- e tervalschatter Ide we oder dvduele bomaal epermete k successe waareme, wordt de obekede parameter p geschat door p ˆ k / Als we het aatal successe opvatte als ee stochastsche varabele K (het aatal successe ee sere va bomaal epermete s aa toeval oderhevg) da s de mamum lkelhood schatter P ˆ K / ee zuvere (put)schatter va p met varate pq /, d.w.z. pq E( Pˆ) p, e Var( Pˆ) VarK pq De kasverdelg va het steekproefgemddelde P ˆ K / s eact geljk aa P k ˆ k, k,,,... k k K k P P p ( p) 4 I samewerkg met ECU 9 -

43 Bomaal verdelge B M.a.w. het steekproefgemddelde K / eemt de waarde k / aa met kas p k grote waarde va (d.w.z. het terval p ˆ 3 pq ˆ ˆ / lgt geheel [; ]) s p k k ( ). Voor Var ˆ ( Pˆ) ˆ pq ˆ ˆ / P ˆ ee goede schatter va Var (Pˆ ) e heeft Pˆ bj beaderg ee ormale verdelg. Dt stelt os staat om ee betrouwbaarhedsterval voor p op te stelle (ook wel tervalschattg va p geoemd). We zegge dat het terval met als greze p z pˆ qˆ / ˆ / met ee betrouwbaarhed va ( )% de obekede waarde p bevat. Voorbeeld 7.6 Vervolg va Voorbeeld 7.5. Gegeve e p ˆ 4 /,, s ee 9% betrouwbaarhedsterval voor p:,,645,,8/, ofwel [,53;,45]. Ook deze aalyse suggereert p, I samewerkg met ECU 9 -

44 Posso verdelge Poss(λ) 8. Posso verdelge Pos() 8. Kasverdelg, parameter, verwachtgswaarde e varate De Posso verdelg wordt vaak gebrukt als model voor het aatal cdete va ee zeker soort ee zeker tjdsterval, zoals bjvoorbeeld het aatal klate dat zch per uur bj ee bepaald loket meldt. De kas dat zo Posso verdeelde varabele Y de waarde k aaeemt wordt gegeve door k e P( Y k) ;, k,,,... k! Ee Posso verdelg wordt dus gekemerkt door de parameter de elke waarde groter da mag hebbe. Als de kasverdelg va ee stochastsche varabele Y ee Posso verdelg s da schrjve we Y ~ Pos( ) 44 I samewerkg met ECU 9 -

45 Posso verdelge Poss(λ) Belagrjke karaktersteke va zo Posso varabele zj verwachtgswaarde varate stadaardafwjkg Als de stochastsche varabele da heeft de som Y,..., oderlg oafhakeljk zj met Pos( ),,...,, weer ee Posso verdelg e wel met parameter ~ bjzoder geval herva s de steekproefstuate ~ Pos( ),,...,, waarbj. Ee ~ Pos( ). 8. Overschrjdgskase Als we beschkke over ee waargeome waarde, k, va ee Posso verdeelde varabele, Y, met obekede parameter,, da s (afhakeljk va de stuate) het toetse va ee dretal ul- e alterateve hypothese teressat. Oderstaade tabel vermeldt deze met de bjbehorede overschrjdgskase; herbj s Y Pos( ). ~ H H, of, of: Overschrjdgskas Y k P e /! k k P Y k e /! A e /!, A j P( Y j) P( Y ) k Ee ulhypothese wordt verworpe met obetrouwbaarhedsdrempel, de de overschrjdgskas kleer s da. 8.3 Het beadere va ee bomaal verdelg door ee Posso verdelg De kasverdelg va ee bomaal verdeelde stochast met parameters e p s voor relatef groot e tegeljkertjd p relatef kle, beaderg geljk aa de kasverdelg va ee Posso varabele Y met parameter p. Als vustregel ka me aaeme dat voldaa moet zj aa p 7 e p, voor ee goede beaderg. Het voordeel s atuurljk dat ee Posso varabele gekemerkt wordt door slechts parameter, terwjl ee bomaal verdelg parameters heeft. Fguur 8. llustreert de beaderg va ee bomaal verdelg met parameters 7 e p, door ee Posso verdelg met parameter p I samewerkg met ECU 9 -

46 Posso verdelge Poss(λ) Fguur 8.: Posso beaderg va ee bomaal verdelg Voorbeeld 8. Ee verzekergsmaatschappj heeft ee groot aatal levesverzekerge haar portefeulle voor persoe va allerle leeftjde, e de kas dat ee ekele pols tot utkerg komt gedurede ee jaar s zeer kle. 8.4 Het beadere va ee Posso verdelg door ee ormale verdelg De kasverdelg va ee Posso verdeelde stochast met parameter, gaat voor groter wordede waarde va steeds meer ljke op de kasverdelg va ee ormaalverdeelde varabele met gemddelde e varate ; dus k,5 k,5 P ( k), e P( k) met als gevolg k,5 k, 5 P( k) P( k) P( k ) Als vustregel det voldaa te zj aa 7 voor ee goede beaderg. Fguur 8. llustreert de beaderg va ee Posso verdelg met parameter p door ee ormale verdelg met parameters. Fguur 8.: Normale beaderg va ee Posso verdelg 46 I samewerkg met ECU 9 -

47 Posso verdelge Poss(λ) 8.5 Put- e tervalschatter Als we beschkke over ee aselecte steekproef k, k,..., k ut ee Posso verdelg met obekede parameter, da ka deze geschat worde door ˆ k Beschouwe we de aselecte steekproef als ee sere oderlg oafhakeljke geljkverdeelde Posso varabele K,..., K met obekede parameter, da s de kasverdelg va K eact gegeve door (ze 8.) P k K k P K e ( ) k! k, k,,,... Het tweede = -teke laat ze dat dt tegeljkertjd de steekproefverdelg s va het steekproefgemddelde ˆ K 47 I samewerkg met ECU 9 -